Luận văn Thuật giải lặp cho phương trình sóng phi tuyến có hệ số chứa tích phân với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ___________________________ Nguyễn Thị Ngọc Hiền THUẬT GIẢI LẶP CHO PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN CÓ HỆ SỐ CHỨA TÍCH PHÂN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP THUẦN NHẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH __________________________ Nguyễn Thị Ngọc Hiền THUẬT GIẢI LẶP CHO PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN CÓ HỆ SỐ CHỨA TÍCH PHÂN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP THUẦN NHẤT Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60. 46. 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THÀNH LONG Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh. Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Long Khoa Toán – Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh. Người nhận xét 1: PGS. TS. Lê Hoàn Hoá Khoa Toán – Tin học, Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh. Người nhận xét 2: TS. Lê Thị Phương Ngọc Trường Cao đẳng Sư phạm Nha Trang. Học viên cao học: Nguyễn Thị Ngọc Hiền Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận văn Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh, vào lúc giờ ngày tháng năm 2008. Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thư viện trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh. Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 1 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên tôi trân trọng kính gửi tới Thầy hướng dẫn, TS. Nguyễn Thành Long, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất. Người Thầy đã rất ân cần và tận tình hướng dẫn, giúp cho tôi nắm được từng bước nghiên cứu và giải đáp những thắc mắc khi tôi gặp phải. Sự đam mê nghiên cứu khoa học và sự tận tình hướng dẫn của Thầy đã giúp tôi hoàn thành luận văn này. Xin trân trọng cảm ơn Thầy Lê Hoàn Hóa và Cô Lê Thị Phương Ngọc đã dành thời gian, công sức để đọc và cho những nhận xét quý báu đối với luận văn của tôi. Xin trân trọng cảm ơn quý Thầy Cô trong và ngoài khoa Toán – Tin học trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh đã tận tình truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm quý báu cho tôi trong suốt thời gian học tập tại trường. Chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin học, quý Thầy Cô thuộc phòng quản lý Khoa học Công nghệ & Sau Đại học, thư viện trường Đại học Sư phạm Tp.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành chương trình học cũng như trong quá trình làm thủ tục bảo vệ luận văn tốt nghiệp. Xin cảm ơn các anh chị lớp Cao học Giải tích Khóa 16, các anh chị trong nhóm xemina do Thầy tổ chức đã động viên và nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua. Tôi cũng không quên gửi lời biết ơn đến gia đình tôi, những người đã hết lòng lo lắng và luôn ở bên tôi trong những lúc khó khăn nhất. Sau cùng, vì kiến thức bản thân còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo của quý Thầy Cô và sự góp ý chân thành của các bạn bè đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2008. Nguyễn Thị Ngọc Hiền 2 MỤC LỤC Lời cảm ơn ........................................................................................................1 Mục lục ..............................................................................................................2 MỞ ĐẦU ...........................................................................................................3 Chương 1: MỘT SỐ CÔNG CỤ CHUẨN BỊ...............................................7 1.1. Các không gian hàm thông dụng .............................................................. 7 1.2. Không gian hàm (0, ; ), 1 .pL T X p≤ ≤ ∞ .................................................. 8 1.4. Đạo hàm trong (0, ; ).pL T X ...................................................................... 10 1.5. Bổ đề về tính compact của Lions............................................................ 11 1.6. Một kết quả về lý thuyết phổ. ................................................................. 12 1.7. Một số kết quả khác. ................................................................................. 13 Chương 2: THUẬT GIẢI LẶP CẤP MỘT .................................................14 2.1. Giới thiệu bài toán và các công cụ chuẩn bị. .....................................14 2.2. Thiết lập định lý tồn tại và duy nhất nghiệm bởi thuật giải lặp cấp một. ........................................................................................................16 Chương 3: THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI ..................................................37 3.1. Giới thiệu bài toán...................................................................................... 37 3.2. Thiết lập định lý tồn tại và duy nhất nghiệm bởi thuật giải lặp cấp hai. ................................................................................................................. 37 KẾT LUẬN .....................................................................................................60 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................62 3 MỞ ĐẦU Các bài toán biên phi tuyến nói chung là đề tài được quan tâm bởi nhiều tác giả, chẳng hạn như trong [3 – 23] và các tài liệu tham khảo trong đó. Loại bài toán nầy chứa đựng nhiều mô hình toán học đặt ra trong các lĩnh vực Kỹ thuật, Cơ học,. và có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Đó là lý do tôi chọn đề tài nầy. Trong nhiều trường hợp, bài toán chỉ giải được và dừng lại ở mức độ tồn tại nghiệm và không chỉ ra cách thiết lập nghiệm như thế nào. Một cách thông dụng nhất mà nhiều nhà nghiên cứu hay làm là phương pháp tuyến tính hóa, hơi giống như phép xấp xỉ liên tiếp của nguyên lý ánh xạ co. Cách làm nầy vẫn bảo đảm hội tụ về mặt toán học, nhưng trong thực tế hệ số co tuy nhỏ hơn 1 và khá gần 1, thì phép lặp nầy sẽ hội tụ chậm và đòi hỏi số bước lặp phải khá lớn, thậm chí rất lớn. Phương pháp lặp kiểu nầy người ta còn gọi là phép lặp cấp 1 hay lặp đơn. Cải tiến phương pháp nầy, người ta thường tìm kiếm thuật giải có tốc độ hội tụ nhanh hơn, chẳng hạn như thuật giải lặp cấp hai [17] hoặc cao hơn nữa [22]. Ví dụ như một thuật giải xác định một dãy lặp { }mu gọi là thuật giải cấp hai nếu ta có được đánh giá sai lệch của số hạng mu với nghiệm chính xác u theo bất đẳng thức dưới đây (với một chuẩn thích hợp ⋅ ) 21 ,m mu u C u u m−− ≤ − ∀ ∈` (0.1) trong đó C là hằng số độc lập với .m Với đánh giá nầy, nếu bước lặp đầu tiên 0u được chọn đủ gần với nghiệm chính xác u sao cho 0 1,C u uβ = − < khi đó ta có đánh giá sai số 2 (2)1 . m m mu u R mC β− ≤ = ∀ ∈` (0.2) Trong trường hợp lặp cấp một ta có đánh giá 4 (1)1 , m m mu u C R mα− ≤ = ∀ ∈` (0.3) trong đó 0 1,α≤ < 1C là các hằng số độc lập với .m So sánh với hai đánh giá sai số (0.2) và (0.3), ta thấy (0.2) có tốc độ hội tụ nhanh hơn (0.3), bởi vì (2) 2 ln(1/ ) ln(1/ 2 (1) 1 1 0, m m m m m R e R CC β α⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠ = → khi .m → ∞ (0.4) Trong luận văn này, chúng tôi xét một số thuật giải lặp (cấp một và cấp hai) cho bài toán giá trị biên và ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến có hệ số chứa tích phân thuộc dạng dưới đây: ( ) ( )2 2( ) ( , ) , , , ( ) , (0, ), (0,1), tt x xx t xu B u t u f u u F x t u u t t T x − + = ∈ ∈ (0.5) (0, ) (0, ) (1, ) 0,xu t u t u t− = = (0.6) 0 1( ,0) ( ), ( ,0) ( ),tu x u x u x u x= =  (0.7) trong đó 0 1, , , ,u u f F B  là các hàm cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau. Trong phương trình (0.5), số hạng phi tuyến ( )2, , , ( ) ,xF x t u u t ( )2( ) ,xB u t là hàm có phụ thuộc vào một tích phân 1 2 2 0 ( ) ( , ) .x xu t u x t dx= ∫ (0.8) Trong [13], Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định và Trần Ngọc Diễm đã nghiên cứu bài toán ( )( )20 ( , , , , ), (0,1), (0, ),tt x tu b B u u f x t u u u x t T− + ∇ ∆ = ∈ ∈ (0.9) (0, ) (1, ) 0,u t u t= = (0.10) 0 1( ,0) ( ), ( ,0) ( ).tu x u x u x u x= =  (0.11) 5 Trong [14], Nguyễn Thành Long và Bùi Tiến Dũng đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán 2 2( ) ( , , , , , ), (0,1), (0, ),tt x tu B u u f x t u u u u x t T− ∇ ∆ = ∇ ∈ ∈ (0.12) 0(0, ) (0, ) (1, ) 0,xu t h u t u t− = = (0.13) 0 1( ,0) ( ), ( ,0) ( ),tu x u x u x u x= =  (0.14) trong đó 0 1, , ,B f u u  là các hàm cho trước và 0 0h ≥ cho trước. Trong [10, 12], tác giả đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình 122 ( ) ( , ), , 0,tt t tu u B u u u u F x t x t αλ ε −+ ∆ − ∇ ∆ + = ∈Ω > (0.15) trong đó 0, 0, 0 1λ ε α> > < < là các hằng số cho trước và Ω là tập mở và bị chặn của .n\ Trong luận văn này, chúng tôi tập trung giải quyết hai vấn đề. Vấn đề thứ nhất: Khảo sát thuật giải lặp cấp một. Chúng tôi chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương của bài toán (0.5) – (0.7). Ý tưởng và công cụ để khảo sát sự tồn tại nghiệm là thiết lập một dãy quy nạp tuyến tính liên kết với bài toán, sau đó sử dụng xấp xỉ Galerkin và phương pháp compact để chứng minh dãy này hội tụ mạnh về nghiệm yếu của bài toán (0.5) – (0.7) trong các không gian hàm thích hợp và với các giả thiết mà ta sẽ đặt thêm. Sự tồn tại nghiệm nhờ vào việc vận dụng định lý ánh xạ co (toán tử co ở dạng lặp) và sự duy nhất nghiệm được chứng minh nhờ vào bổ đề Gronwall sau một số phép tính toán và đánh giá cụ thể. Vấn đề thứ hai: Khảo sát thuật giải lặp cấp hai. Bài toán (0.5) được xét với ( , ),F F x t= 2( ) ,qf f u K u u−= = 2q > và 2 ( ),B C +∈ \ 0 0 0( ) ,pb B z d z d≤ ≤ +  11 1( ) ,pB z d z d−′ ≤ +  6 trong đó 0 0,b > 1,p > 0 0 1 1, , , 0d d d d ≥   là các hằng số cho trước. Chúng tôi liên kết phương trình (0.1) với một dãy quy nạp phi tuyến { }mu xác định bởi ( )2 22 1 1 12 2( ) ( , ) ( ) ( )( ),m mm m m m mu uB u t F x t f u f u u ut x − − −∂ ∂ ′− ∇ = − − −∂ ∂ với mu thỏa (0.6), (0.7). Khi đó, luận văn chứng tỏ dãy lặp { }mu sẽ hội tụ bậc hai về nghiệm yếu của bài toán (0.5) – (0.7). Trong chứng minh tồn tại nghiệm địa phương, định lý điểm bất động Banach được sử dụng. Luận văn sẽ được trình bày theo các chương mục sau. Phần mở đầu tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn, điểm qua các kết quả đã có trước đó, đồng thời nêu bố cục luận văn. Chương 1, chúng tôi trình bày một số kết quả chuẩn bị bao gồm việc nhắc lại một số không gian hàm, một số kết quả về phép nhúng compact giữa các không gian hàm quan trọng. Chương 2, chúng tôi sử dụng kỹ thuật tuyến tính hoá số hạng phi tuyến, kết hợp với phương pháp Galerkin, cùng với các đánh giá tiên nghiệm, sự hội tụ yếu và tính compact. Phương pháp nầy dẫn đến một thuật giải cấp một hội tụ về nghiệm của bài toán (0.5) – (0.7). Trong phần xấp xỉ Galerkin, luận văn cũng sử dụng định lý ánh xạ co trong việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình vi phân. Tính duy nhất nghiệm được chứng minh bằng cách sử dụng bổ đề Gronwall. Chương 3, là phần khảo sát một thuật giải lặp cấp hai. Trong mục này, bài toán giá trị đầu và giá trị biên được xét với 2( ) ,qf f u K u u−= = ( )B B z= và các điều kiện được cho cụ thể. Một lần nữa định lý ánh xạ co đựơc sử dụng trong việc chứng minh tồn tại và duy nhất nghiệm. Kế đến là phần kết luận và sau cùng là danh mục các tài liệu tham khảo. 7 Chương 1: MỘT SỐ CÔNG CỤ CHUẨN BỊ 1.1. Các không gian hàm thông dụng Ta đặt các ký hiệu (0,1), (0, ), 0TQ T TΩ = = Ω× > và cũng bỏ qua định nghĩa các không gian hàm thông dụng: ( ),mC Ω ( ), pL Ω ( ), mH Ω , ( ).m pW Ω Để cho gọn, ta ký hiệu lại như sau: ( ) ,p pL LΩ = , ,( ) ,m p m pW WΩ = ,2( ) ( ) .m m mH W HΩ = Ω = Có thể xem trong [1, 2]. Ta định nghĩa 2 2 ( )L L= Ω là không gian Hilbert với tích vô hướng 1 2 0 , ( ) ( ) , , .u v u x v x dx u v L= ∈∫ (1.1) Ký hiệu ⋅ để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.1), nghĩa là 1/ 21 2 2 0 , ( ) , .u u u u x dx u L ⎛ ⎞ = = ∈⎜ ⎟⎝ ⎠∫ (1.2) Ta định nghĩa không gian Sobolev cấp 1 { }1 2 2: .xH v L v L= ∈ ∈ (1.3) Không gian này cũng là không gian Hilbert với tích vô hướng 1, , , .x xHu v u v u v= + (1.4) Kí hiệu 1H⋅ để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.4), nghĩa là ( )1 1 1/ 222 1, , .xH Hu u u u u u H= = + ∈ (1.5) Liên hệ giữa hai không gian 1H và 0 ( )C Ω ta có các bổ đề sau: Bổ đề 1.1. Phép nhúng 1H 0 ( )C Ω là compact và 0 1 1( ) 2 , .C Hv v v HΩ ≤ ∀ ∈ (1.6) Bổ đề 1.2. Đồng nhất 2L với 2 2( )L L ′≡ (đối ngẫu của 2L ). Khi đó ta có 8 1H 2 2( )L L ′≡ 1( )H ′ (1.7) với các phép nhúng liên tục và nằm trù mật. Chú thích 1.1. Từ bổ đề 2, ta dùng ký hiệu tích vô hướng ,⋅ ⋅ trong 2L để chỉ cặp tích đối ngẫu 1 1( ) ,, H H′⋅ ⋅ giữa 1H và 1( ) .H ′ Chuẩn trong 2L được ký hiệu bởi .⋅ Ta cũng ký hiệu X ⋅ để chỉ chuẩn trong không gian Banach X và gọi X ′ là không gian đối ngẫu của X. 1.2. Không gian hàm (0, ; ), 1 .pL T X p≤ ≤ ∞ Cho X là không gian Banach thực với chuẩn là .X⋅ Ta ký hiệu (0, ; ), 1pL T X p≤ ≤ ∞ là không gian các lớp tương đương chứa hàm : (0, )u T X→ đo được sao cho 0 ( ) , 1 . T p X u t dt p< ∞ ≤ < ∞∫ hay 0 : ( ) , . . (0, ),XM u t M a e t T∃ > ≤ ∈ với .p = ∞ Ta trang bị cho (0, ; ), 1pL T X p≤ ≤ ∞ chuẩn như sau 1 (0, ; ) 0 ( ) , 1 p p T p L T X X u u t dt p ⎛ ⎞ = ≤ < ∞⎜ ⎟⎝ ⎠∫ và { } (0, ; ) sup ( ) inf 0 : ( ) , . . (0, ) , . pL T X X X u ess u t M u t M a e t T p = = > < ∈ = ∞ Khi đó ta có các bổ đề dưới đây mà chứng minh của chúng có thể tìm thấy trong Lions [8]. Bổ đề 1.3. (Lions[8]) (0, ; ), 1pL T X p≤ ≤ ∞ là không gian Banach.„ 9 Bổ đề 1.4. (Lions [7]) Gọi X ′ là đối ngẫu của .X Khi đó, với , 1 pp p ′ = − 1 p< < ∞ thì (0, ; )pL T X′ ′ là đối ngẫu của (0, ; ).pL T X Hơn nữa, nếu X là không gian phản xạ thì (0, ; )pL T X cũng phản xạ.„ Bổ đề 1.5. (Lions [8]) ( )1(0, ; ) (0, ; ).L T X L T X∞′ ′= Hơn nữa, các không gian 1(0, ; ), (0, ; )L T X L T X∞ ′ không phản xạ.„ Chú thích 1.2. Nếu ( )pX L= Ω thì (0, ; ) ( (0, )).p pL T X L T= Ω× 1.3. Phân bố có giá trị trong không gian Banach. Định nghĩa 1.1. Cho X là không gian Banach thực. Một ánh xạ tuyến tính liên tục từ ( )(0, )D T vào X gọi là một phân bố có giá trị trong ,X ký hiệu là { } (0, ; ) ( (0, ); ) : (0, ) : . D T X L D T X u D T X u ′ = = → laø tuyeán tính lieân tuïc Chú thích 1.3. Ta ký hiệu (0, )D T thay cho ( )(0, )D T hoặc ( )(0, )cC T∞ để chỉ không gian các hàm số thực khả vi vô hạn có giá trị compact trong (0, ).T Định nghĩa 1.2. Cho (0, ; ).u D T X′∈ Ta định nghĩa đạo hàm du dt theo nghĩa phân bố của u bởi công thức , , , (0, ).du du D T dt dt φφ φ= − ∀ ∈ (1.8) Các tính chất a) Cho (0, ; ).Pv L T X∈ Xét ánh xạ : (0, )vT D T X→ như sau 0 , ( ) ( ) , (0, ). T vT v t t dt D Tφ φ φ= ∀ ∈∫ (1.9) 10 Ta có thể nghiệm lại rằng (0, ; ).vT D T X′∈ Thật vậy: i) Ánh xạ : (0, )vT D T X→ là tuyến tính. ii) Ta nghiệm lại ánh xạ : (0, )vT D T X→ là liên tục Giả sử { } (0, )m D Tφ ⊂ sao cho 0mφ → trong (0, ).D T Ta có 0 0 , ( ) ( ) ( ) ( ) T v m mX X T m X T v t t dt v t t dt φ φ φ = ≤ ∫ ∫ 1 1 ' 0 0 ( ) ( ) 0, . T Tp pp p mX v t dt t dt mφ ′⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ → + ∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ (1.10) Vậy (0, ; ).vT D T X′∈ b) Ánh xạ vv T6 là một đơn ánh, tuyến tính từ (0, ; )PL T X vào (0, ; ).D T X′ Do đó, ta có thể đồng nhất .vT v= Khi đó ta có kết quả sau Bổ đề 1.6. (Lions [8]) (0, ; ) (0, ; )pL T X D T X′⊂ với phép nhúng liên tục. 1.4. Đạo hàm trong (0, ; ).pL T X Do bổ đề 7, phần tử (0, ; )pu L T X∈ và do đó du dt là phần tử của (0, ; ).D T X′ Ta có các bổ đề sau đây mà chứng minh có thể tìm thấy trong Lions [8].„ Bổ đề 1.7. (Lions[8]) Nếu , (0, ; ), 1pf f L T X p′∈ ≤ ≤ ∞ thì f bằng hầu hết với một hàm thuộc 0 ([0, ]; ).C T X „ 11 1.5. Bổ đề về tính compact của Lions. Cho không gian Banach 0 1, ,B B B với 0B B 1B với các phép nhúng liên tục sao cho: - 0 1,B B phản xạ (1.11) - 0B B là phép nhúng compact. (1.12) Ta định nghĩa 0 10 1(0, ) { (0, ; ) : (0, ; )}, p pdvW T v L T B v L T B dt ′= ∈ = ∈ (1.13) trong đó 0 , , 0, 1.T i< < ∞ ≤ ≤ ∞ =i 1 p Trang bị trên (0, )W T một chuẩn như sau 0 1 0 1(0, ) (0, ; ) (0, ; ) ' .p pW T L T B L T Bv v v= + (1.14) Khi đó, (0, )W T là một không gian Banach. Hiển nhiên (0, )W T 0 (0, ; ).pL T B Ta cũng có kết quả sau đây liên quan đến phép nhúng compact. Bổ đề 1.8. (Bổ đề về tính compact của Lions [8]). Với giả thiết (1.11), (1.12) và nếu 1 ,ip< < ∞ i = 0, 1 thì phép nhúng (0, )W T 0 (0, ; ) pL T B là compact. Bổ đề 1.9. (Lions [8], p.12). Cho Q là mở bị chận của ,N\ , ( ),pmg g L Q∈ 1 ,q< < ∞ thỏa (i) ( )pm L Q g C≤ trong đó C là hằng số độc lập với mọi ,m (ii) mg g→ hầu hết trong ,Q khi đó mg g→ trong ( ) pL Q yếu. 12 1.6. Một kết quả về lý thuyết phổ. Một số kết quả về lý thuyết phổ dưới đây được áp dụng trong nhiều bài toán biên. Trước hết ta làm một số giả thiết sau Cho V và H là hai không gian Hilbert thực thỏa mãn các điều kiện (i) Phép nhúng V H là compact, (1.15) (ii) V trù mật trong .H (1.16) Cho :a V V× →\ là một dạng song tuyến tính đối xứng, liên tục trên V V× và cưỡng bức trên .V Chính xác hơn, ta gọi a là một dạng song tuyến tính (j) Nếu ( , )u a u v6 tuyến tính từ V vào \ với mọi v V∈ và ( , )v a u v6 tuyến tính từ V vào \ với mọi .u V∈ (2j) Đối xứng nếu ( , ) ( , ), , .a u v a v u u v V= ∀ ∈ (3j) Liên tục nếu 1 10 : ( , ) , , .V VC a u v C u v u v V∃ ≥ ≤ ∀ ∈ (4j) Cưỡng bức nếu 20 00 : ( , ) , .VC a v v C v v V∃ > ≥ ∀ ∈ Khi đó ta có kết quả sau Bổ đề 1.10. Dưới giả thiết (1.15), (1.16). Khi đó tồn tại một cơ sở trực chuẩn Hilbert { }jw của H bao gồm các hàm riêng jw tương ứng với giá trị riêng jλ sao cho 1 20 ... ..., lim ,j jjλ λ λ λ→∞< ≤ ≤ ≤ ≤ = +∞ (1.17) ( , ) , , , 1, 2,...j j ja w v w v v V jλ= ∀ ∈ ∀ =  (1.18) Hơn nữa, dãy { }/j jw λ cũng là một cơ sở trực chuẩn Hilbert của V đối với tích vô hướng ( , ).a ⋅ ⋅ Chứng minh bổ đề 1.10 có thể tìm thấy trong [20]. Định lý 6.2.1, p.127. 13 1.7. Một số kết quả khác. Bất đẳng thức Gronwall. Giả sử : [0, ]f T →\ là hàm khả tích, không âm trên [0, ]T và thỏa mãn bất đẳng thức 1 2 0 ( ) ( ) , [0, ], t f t C C f s ds t T≤ + ∀ ∈∫ trong đó 1 2,C C là các hằng số không âm. Khi đó 21( ) , [0, ]. C tf t C e t T≤ ∀ ∈ Ký hiệu ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( )t tt x xxu t u t u t u t u t u t u t u t u t= = = ∇ = ∆  thay cho 2 2 2 2( , ), ( / )( , ), ( / )( , ), ( / )( , ), ( / )( , )u x t u t x t u t x t u x x t u x x t∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ lần lượt tương ứng. Ngoài ra, với ( , , , ),F F x t u v= ta đặt 1 2 3 4/ , / , / , / .D F F x D F F t D F F u D F F v= ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ 14 Chương 2: THUẬT GIẢI LẶP CẤP MỘT 2.1. Giới thiệu bài toán và các công cụ chuẩn bị. Trong chương nầy, chúng tôi xét bài toán giá trị biên và ban đầu sau đây: ( ) ( )2 2( ) ( , ) , , , ( ) , (0, ), (0,1), tt x xx t xu B u t u f u u F x t u u t t T x − + = ∈ ∈ (2.1) (0, ) (0, ) (1, ) 0,xu t u t u t− = = (2.2) 0 1( ,0) ( ), ( ,0) ( ),tu x u x u x u x= =  (2.3) trong đó 1 2 2 ([0,1] ), ( , ) , 2, 2, 0, 0.q pt t t F C f u u K u u u u q p Kλ λ + + − − ∈ × × ×⎧⎪⎨ = + > > > >⎪⎩ \ \ \ (2.4) trong đó 0 1, ,u u B  là các hàm cho trước. Trong chương này ta sẽ thiết lập định lý tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (2.1) – (2.4) bằng thuật giải lặp cấp một kết hợp với phương pháp Galerkin và phương pháp compact yếu. Trước hết ta sử dụng một không gian Sobolev đặc biệt hơn đó là không gian { }1(0,1) : (1) 0 .V v H v= ∈ = (2.5) Khi đó V là một không gian con đóng của 1H và do đó V cũng là không gian Hilbert đối với tích vô hướng của 1.H Ngoài ra, trên V , 1Hv v6 và 1/21 2 0 , ( )x x xv v v v x dx ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟⎝ ⎠∫6 là hai chuẩn tương đương. Điều này cho bởi bổ đề sau. Bổ đề 2.1. Phép nhúng từ V 0 ( )ΩC