Luận văn Tích phân perron

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Dương Thị Mộng Thường TÍCH PHÂN PERRON Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên tôi xin trân trọng gởi đến TS. Lê Thị Thiên Hương tấm lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất. Cô đã động viên, giúp đỡ, chỉ bảo tận tình trong quá trình hướng dẫn để tôi hoàn thành tốt luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Quý thầy - cô trong khoa Toán của trường Đại học sư phạm TP. HCM đã tận tình giảng dạy để tôi có những kiến thức quý báu làm hành trang cho quá trình học tập và nghiên cứu sau này. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô thuộc phòng Quản lý khoa học sau đại học, trường Đại học sư phạm TP. HCM đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập tại trường. Cuối cùng tôi cũng xin gởi lời biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi và lời tri ân đến tất cả bạn bè tôi - những người đã luôn ở bên tôi, động viên và giúp tôi vượt qua mọi khó khăn trong quá trình thực hiện luận văn. MỤC LỤC 0TLỜI CẢM ƠN0T ................................................................................................................................................... 2 0TMỤC LỤC0T ......................................................................................................................................................... 3 0TMỞ ĐẦU0T........................................................................................................................................................... 4 0TCHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ0T ................................................................................................... 6 0T1.1. Khái niệm “hầu khắp nơi”0T .................................................................................................................. 6 0T1. 2. Đạo hàm của một hàm số đơn điệu0T .................................................................................................... 6 0T1.3. Đạo hàm của tích phân bất định0T ......................................................................................................... 7 0T1.4. Vấn đề tìm lại nguyên hàm0T ................................................................................................................ 7 0T1.5. Các tính chất của tích phân0T ................................................................................................................ 7 0T1.6. Tích phân trừu tượng và sự tổng quát hóa của nó 0T ............................................................................... 9 0T1.7. Tập phạm trù thứ nhất 0T ...................................................................................................................... 16 0TCHƯƠNG 2. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN PERRON0T ........................................ 18 0T2.1. Định nghĩa tích phân Perron0T ............................................................................................................. 18 0T2. 2. Các tính chất cơ bản của tích phân Perron0T ....................................................................................... 20 0TCHƯƠNG 3. XÂY DỰNG TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH PERRON0T ..................................................................... 26 0T3.1. Tích phân bất định Perron0T ................................................................................................................ 26 0T3.2. Tích phân hẹp Danjua0T ...................................................................................................................... 29 0T3.3. Định lý G. HACE0T ............................................................................................................................ 32 0T3.4. Định lý P. X. ALECXANDROV – G . LOMAN0T .............................................................................. 41 0TCHƯƠNG 4. SO SÁNH TÍCH PHÂN PERRON VÀ TÍCH PHÂN LEBESGUE0T ............................................ 48 0TKẾT LUẬN0T ..................................................................................................................................................... 53 0T ÀI LIỆU THAM KHẢO0T................................................................................................................................ 53 0TPHỤ LỤC0T ........................................................................................................................................................ 55 MỞ ĐẦU Vào cuối thế kỷ XIX, người ta đưa ra ví dụ hàm số ( ) ( )2 2cos , 0 0 π = =f x x f x có đạo hàm hữu hạn ( )'f x khắp nơi trên đoạn [ ]0;1 nhưng hàm số ( )'f x lại không khả tích theo nghĩa Lebesgue. Như vậy phép tính tích phân theo định nghĩa của Lebesgue không giải quyết được trọn vẹn bài toán tìm nguyên hàm của một hàm số theo đạo hàm của nó. Vào năm 1912, nhà toán học Pháp A. Danjua đã đưa ra quá trình tích phân hóa tổng quát hơn Lebesgue và chứng tỏ rằng quá trình này giải quyết được trọn vẹn bài toán nêu trên. Mặt khác, năm 1914 nhà toán học Đức O. Perron cũng đưa ra một định nghĩa tích phân khác, dựa trên nguyên tắc khác với định nghĩa của Danjua và cũng giải quyết trọn vẹn bài toán tìm nguyên hàm của một hàm số từ đạo hàm hữu hạn của nó. Các công trình tiếp theo của G. Hace (1921), P.S.Alecxandrov (1924) và G. Loman (1925) đã chứng minh sự đồng nhất của tích phân Danjua và Perron. Như vậy Perron đã đưa ra dạng mới của định nghĩa tích phân Danjua, do đó ngày nay tích phân này được gọi là tích phân Danjua - Perron. Vào năm 1916, A.Danjua và nhà toán học Nga A.I.Khintrin đã đưa ra định nghĩa tích phân tổng quát hơn, hoàn toàn độc lập với nhau. Định nghĩa này cho phép tìm nguyên hàm không chỉ từ đạo hàm thông thường mà còn từ đạo hàm xấp xỉ (hay đạo hàm tiệm cận). Số A được gọi là đạo hàm xấp xỉ của hàm số ( )f x tại điểm 0x nếu tồn tại tập hợp E nhận 0x làm điểm trù mật sao cho với 0à∈ →x E v x x ta có ( ) ( ) 0 0 0 lim → − = −x x f x f x A x x Tích phân tổng quát này thường được gọi là tích phân Danjua - Khintrin, hay tích phân Danjua “ rộng”, để phân biệt tích phân Danjua - Perron được gọi là tích phân Danjua “hẹp”. Chúng ta sẽ nghiên cứu lý thuyết tích phân Danjua – Perron. Còn tích phân Danjua – Khintrin ta chỉ đưa ra định nghĩa. Bạn đọc quan tâm có thể xem tài liệu “Lý thuyết tích phân” của S.Sacs, 1949. Luận văn được chia thành 4 chương và phụ lục. Nội dung chủ yếu của luận văn tìm hiểu định nghĩa và các tính chất của tích phân Perron, xây dựng tích phân bất định Perron thông qua lý thuyết tích phân Danjua, định lý G.Hace, định lý P. X. Alecxandrov- G. Loman và so sánh tích phân Perron với tích phân Lebesgue. Chương 1 trình bày kiến thức chuẩn bị gồm các khái niệm và các định lý sẽ được sử dụng ở các chương sau. Chương 2 nêu định nghĩa và chứng minh các tính chất của tích phân Perron. Đây là một trong các kết quả quan trọng của luận văn. Chương 3 xây dựng khái niệm tích phân bất định Perron và chứng minh các tính chất của nó. Chương 4 dành cho việc so sánh tích phân Perron với tích phân Lebesgue. Trong luận văn còn có phần phụ lục trình bày khái niệm tích phân Danjua “rộng”, nhằm phân biệt với tích phân Danjua “hẹp”. CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Khái niệm “hầu khắp nơi” Cho không gian độ đo ( ), ,X M µ . a/ Giả sử E là tập hợp thuộc M và P là một tính chất mà mỗi x E∈ hoặc thỏa mãn hoặc không thỏa mãn. Ta nói P xảy ra hầu khắp nơi trên E nếu tập hợp { }, khoâng thoûa maõn Px E x∈ được chứa trong tập thuộc M, có độ đo không. b/ Ta nói hai hàm số , :f g X R→ là tương đương (kí hiệu f g: ) nếu ( ) ( )f x g x= hầu khắp nơi, nghĩa là tập hợp ( ) ( ){ }:x X f x g x∈ ≠ chứa trong tập có độ đo không. 1. 2. Đạo hàm của một hàm số đơn điệu Bổ đề 1.1. Cho A là một tập bất kỳ nằm trong khoảng ( ),a b , J là một lớp khoảng sao cho mỗi điểm x A∈ đều là mút trái của ít nhất một khoảng ( ), xx x h J∆= + ∈ . Khi ấy tồn tại một số hữu hạn khoảng rời nhau 1 2, , ...., s J∆ ∆ ∆ ∈ phủ lên một tập con A’ của A, với độ đo ngoài ( ) ( )* ' *A Aµ µ ε> − , và ε là một số dương tùy ý cho trước. Bổ đề 1.2. Giả thiết thêm rằng với mọi số 0η > nhỏ tùy ý, tại mỗi điểm x A∈ đều có ít nhất một khoảng ( ), xx x h J+ ∈ với xh η< . Khi ấy, cho trước một tập mở bất kỳ G A⊃ , ta có thể chọn những khoảng 1 2, ,...., s∆ ∆ ∆ trong bổ đề 1.1 sao cho chúng đều nằm trọn trong tập G. Định lý 1.3. Một hàm số ( )F x đơn điệu trên một đoạn ,a b   thì có đạo hàm hầu khắp nơi trên đoạn ấy. Định lý 1.4. Nếu ( )f x là hàm tăng xác định trên ,a b   thì đạo hàm ( )'f x của nó là hàm đo được và ( ) ( ) ( )' ≤ −∫ b a f x dx f b f a nên ( )'f x khả tích. 1.3. Đạo hàm của tích phân bất định Bổ đề 1.5. Nếu ( )F x không giảm (trên ,a b   ) thì ( )'F x khả tích và ( ) ( ) ( )' b a F x dx F b F a≤ −∫ . Bổ đề 1.6. Nếu ( )g x khả tích và với mọi x trong đoạn ,a b   ta đều có ( ) 0 x a g t dt =∫ thì ( ) 0g x = hầu khắp nơi. Định lý 1.7. Đạo hàm ( )'F x của tích phân bất định ( ) ( ) , x a F x f t dt= ∫ của một hàm số khả tích ( )f x , bằng ( )f x hầu khắp nơi. 1.4. Vấn đề tìm lại nguyên hàm Bổ đề 1.8. Nếu một hàm số ( )F x liên tục tuyệt đối có đạo hàm ( )' 0F x = hầu khắp nơi thì ( )F x phải là một hằng số. Định lý 1.9. Nếu ( )F x là một hàm số liên tục tuyệt đối thì đạo hàm ( )'F x của nó khả tích và ta có ( ) ( ) ( )' x a F x F a F t dt= + ∫ . 1.5. Các tính chất của tích phân 1.5.1. Tính σ - cộng tính và liên tục tuyệt đối của tích phân Định lý 1.10. Nếu { }ng là một dãy hàm số đo được không âm trên một tập hợp A thì 1 1 n n n nA A g d g dµ µ ∞ ∞ = = =∑ ∑∫ ∫ . Định lý 1.11. Giả sử 1 nn A A ∞ = = U , trong đó các nA là những tập hợp đo được đôi một rời nhau. a/ Nếu tồn tại A f dµ∫ thì 1 n nA A f d f dµ µ ∞ = = ∑∫ ∫ (1.1) b/ Nếu f khả tích trên A thì 1 n n A f dµ ∞ = < ∞∑ ∫ (1.2) Do đó chuỗi ở vế phải của (1.1) hội tụ tuyệt đối. Đảo lại nếu có (1.2) thì f khả tích trên A và có (1.1). Định nghĩa 1.12. Giả sử ( ), ,X M µ là một không gian độ đo và : M Rλ → là một hàm số σ - cộng tính. Ta nói hàm λ là liên tục tuyệt đối với độ đo µ nếu ( ) 0Aλ = với mỗi tập hợp A có độ đo ( ) 0Aµ = . Giả sử f là một hàm số khả tích trên không gian X. Từ định lý 1.8 suy ra rằng hàm : M Rλ → , xác định bởi: ( ) A A f dλ µ=∫ (1.3) là một hàm σ - cộng tính. Nếu ( ) 0Aµ = thì ( ) 0Aλ = . Vậy λ là liên tục tuyệt đối đối với độ đo µ . Dễ dàng chứng minh được rằng tập hợp ( ){ }0 : 0X x X f x= ∈ ≠ có độ đo σ - hữu hạn, tức là ( )0 1 , , 1, 2,...n nnX X X nµ ∞ = = < ∞ =U Hiển nhiên nếu A M∈ và 0A X∩ = ∅ thì ( ) 0Aλ = . Định lý 1.13. (Radon – Nikodym) Giả sử ( ), ,X M µ là một không gian độ đo và : M Rλ → là một hàm σ - cộng tính , liên tục tuyệt đối đối với độ đo µ và ( ) 0Aλ = với mọi tập hợp A thuộc M nằm ngoài một tập hợp 0X nào đó thuộc M, có độ đo σ - hữu hạn. Khi đó tồn tại một hàm số f đo được trên X sao cho ( ) A A f dλ µ= ∫ , với mỗi A M∈ . Nếu 0λ ≥ thì 0f ≥ . Định lý 1.14. Giả sử f là một hàm số khả tích trên một tập hợp A .Khi đó với mỗi số dương ε , tồn tại một số dương δ sao cho với mọi tập hợp đo được E A⊂ nếu ( )Eµ δ< thì E f dµ ε<∫ . 1.5.2. Tính bảo toàn thứ tự Định lý 1.15. Nếu f g≤ trên A và các tích phân A f dµ∫ , A gdµ∫ tồn tại thì A A f d gdµ µ≤∫ ∫ . 1.5.3. Tính tuyến tính Định lý 1.16. Các đẳng thức sau là đúng nếu các vế phải có nghĩa. ( ) ( ) ( ) ( ) A A A A A i c f d c f d c R ii f g d f d gd µ µ µ µ µ = ∈ + = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1.5.4. Tính khả tích Định lý 1.17. Các khẳng định sau là đúng (i) Nếu A f dµ∫ có nghĩa thì A A f d f dµ µ≤∫ ∫ , (ii) f khả tích trên A khi và chỉ khi f khả tích trên A, (iii) Nếu f g≤ h.k.n trên A và g khả tích trên A thì f cũng khả tích trên A, (iv) Nếu f, g khả tích trên A thì f g± cũng khả tích trên A. Hơn nữa nếu f khả tích còn g bị chặn trên A thì .f g khả tích trên A 1.6. Tích phân trừu tượng và sự tổng quát hóa của nó Trong mục này ta xét một số khái niệm chung sẽ được sử dụng ở các mục sau khi trình bày lý thuyết tích phân Danjua. Ta đã biết một loạt tích phân: R (Riemann), L (Lebesgue), P (Perron). Các tích phân này có một số tính chất chung, ta sẽ đưa những tính chất đó vào một sơ đồ chung. Giả sử mỗi đoạn thẳng ,a b   , trong đó ≤a b , sẽ tương ứng với một lớp [ ]( ),T a b không rỗng gồm các hàm số nào đó xác định trên đoạn ,a b   . Họ các lớp như vậy được gọi là họ đúng nếu với mỗi [ ],∈c a b đều có [ ]( ) [ ]( ) [ ]( ), , ,= ∩T a b T a c T c b . (Điều kiện này được hiểu như sau: Hàm số ( )f x xác định trên [ ],a b sẽ chứa trong lớp [ ]( ),T a b khi và chỉ khi cả hai hàm số thu được từ ( )f x khi xét trên từng đoạn [ ] [ ], , ,a c c b , đều chứa trong các lớp [ ]( ) [ ]( ), , ,T a c T c b tương ứng ). Giả sử [ ]( ){ },=M T a b là một họ đúng các lớp và trên mỗi lớp [ ]( ),T a b có một phiếm hàm ( ) b a T f cho tương ứng mỗi hàm số [ ]( ),∈f T a b với một số xác định. Phiếm hàm này sẽ được gọi là tích phân nếu với mọi [ ]( ),∈f T a b và mọi [ ],∈c a b đều có ( ) ( ) ( )= + b c b a a c T f T f T f (1.4) Và (với [ ],∈x a b ) ( ) ( )lim → = x c x c a a T f T f (1.5) Nói một cách khác, tích phân là một hàm đoạn thẳng cộng tính và liên tục. Đặc biệt, nếu [ ]( ),∈f T a a thì ( ) ( ) ( )= + a a a a a a T f T f T f nghĩa là ( ) 0= a a T f . Tất cả các hàm số chứa trong lớp [ ]( ),T a b đều được gọi là hàm T – khả tích trên [ ],a b . Từ điều kiện của họ đúng các lớp [ ]( ),T a b suy ra rằng mọi hàm số T – khả tích trên [ ],a b đều T – khả tích trên mỗi đoạn [ ],p q chứa trong ,a b   và đặc biệt, đều T-khả tích tại mỗi điểm [ ],∈c a b . Bây giờ ta xét một số tính chất của tích phân vừa được định nghĩa. Giả sử hàm số ( )f x xác định trên ,a b   và [ ],∈c a b . Nếu với mọi 0δ > hàm số ( )f x không T – khả tích trên đoạn [ ] [ ], ,δ δ− + ∩c c a b thì điểm c được gọi là điểm T – bất thường đối với hàm số ( )f x . Tập hợp tất cả các điểm T – bất thường của ( )f x được kí hiệu là [ ]( ); ,TS f a b , hoặc [ ]( ),TS a b , hoặc ( )TS f , hoặc chỉ đơn giản là TS . Hiển nhiên là nếu f là T – khả tích trên ,a b   thì [ ]( ), 0=TS a b . Bổ đề sau đây chứng tỏ điều ngược lại cũng đúng. Bổ đề 1.18. Nếu ( )f x xác định trên ,a b   và không thuộc [ ]( ),T a b thì [ ]( ); , 0≠TS f a b . Chứng minh Đặt 2 a bd += . Khi đó f(x) không T – khả tích trên ít nhất một trong hai đoạn [ ] [ ], , ,a d d b mà ta kí hiệu lại là [ ]1 1,a b . Đặt 1 11 2 + = a bd và gọi [ ]2 2,a d là một trong hai đoạn [ ] [ ]1 1 1, , ,a d d b sao cho ( )f x không T – khả tích trên [ ]1 1,a d . Tiếp tục quá trình này ta thu được dãy các đoạn thẳng lồng vào nhau: [ ] [ ] [ ]1 1 2 2, , , ...⊃ ⊃ ⊃a b a b a b sao cho ( )f x không T – khả tích trên từng đoạn. Giả sử c là điểm chung của tất cả các đoạn [ ],n na b . Nếu 0δ > thì với n đủ lớn ta sẽ có [ ] [ ] [ ], , ,δ δ⊂ − + ∩n na b c c a b . Từ đó suy ra [ ] [ ]( ), ,δ δ∉ − + ∩f T c c a b và điểm c là điểm T – bất thường. Bổ đề 1.19. Tập hợp [ ]( ); ,=T TS S f a b là tập đóng. Chứng minh Giả sử àn T nc S v c c∈ → . Lấy 0δ > . Nếu n đủ lớn thì 2 δ − <nc c nên [ ] [ ] [ ], , , , 2 2 δ δ δ δ − + ∩ ⊂ − + ∩   n nc c a b c c a b Vì ( )f x không T – khả tích trên đoạn thẳng là vế trái của bao hàm trên nên ( )f x cũng không T – khả tích trên đoạn thẳng là vế phải. Do δ tùy ý nên ∈ Tc S , đây là điều phải chứng minh. Dưới đây ta xét trường hợp TS không lấp đầy đoạn [ ],a b . Khi đó phần bù [ ], \ Ta b S sẽ gồm hữu hạn hoặc đếm được các khoảng không giao nhau đôi một. Thật vậy, nếu TS = ∅ thì [ ] [ ], \ ,=Ta b S a b Nếu [ ]à ,≠ ∅TS v p q là đoạn nhỏ nhất chứa TS thì [ ] [ ] [ ]{ } [ ], \ , , \ ,= ∪ ∪T Ta b S a p p q S q b Để ý rằng [ ], \ Tp q S hoặc là tập rỗng, hoặc là hợp của các khoảng không giao nhau đôi một (khi p = a thì [ ), = ∅a p ). Trong phần bù của TS có thể có những khoảng không phải là khoảng mở, nếu xét một cách chặt chẽ thì khá phức tạp nên dưới đây ta vẫn kí hiệu các khoảng này là ( ),n na b , mặc dù trên thực tế chúng có thể là ( ],n na b hoặc [ ),n na b hoặc thậm chí là [ ],n na b (nếu TS = ∅ ). Giả sử ta có hai tích phân 1 2à TT v . Nếu mọi hàm số 1T - khả tích đều là hàm 2T - khả tích và giá trị của hai tích phân đó bằng nhau thì ta nói tích phân 2T tổng quát hơn 1T . Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng: Từ một tích phân T nào đó (mà khi định nghĩa nó ta đã đưa ra họ đúng M gồm các lớp hàm T – khả tích [ ]( ),T a b ) đều có thể xây dựng được một tích phân *T khác tổng quát hơn. Muốn vậy trước hết ta xây dựng họ đúng gồm các lớp hàm khả tích ứng với tích phân mới . Ta quy ước đưa hàm số f(x) xác định trên [ ],a b vào lớp [ ]* ,T a b khi và chỉ khi ba điều kiện sau đây được thỏa mãn: 1) Tập hợp [ ]( ); ,=T TS S f a b không trù mật khắp nơi trên [ ],a b và hàm số ( )f x khả tích theo nghĩa Lebesgue trên tập hợp này. (Điều kiện này luôn thỏa mãn khi 0Tm S = và càng thỏa mãn khi TS = ∅ ). 2) Nếu [ ]{ },n na b là dãy các khoảng là phần bù của TS thì với mỗi n đều tồn tại giới hạn hữu hạn ( ) ( )lim , , β α α β α β= < < < → →n n n n nI T f a b a b . 3) Nếu ( ) ( )sup β α α β= < < <n n nW T f a b thì n n W < + ∞∑ (Điều kiện này đảm bảo các số nW đều hữu hạn). Ta đi chứng minh họ [ ]* ,T a b là họ đúng. Giả sử ( ) [ ],∈f x T a b . Khi đó [ ]( ); , = ∅TS f a b và mọi hợp [ ],∪ n na b đều được đưa về một số hạng là [ ],a b . Do đó điều kiện 1) được thỏa mãn. Điều kiện 2) cũng thỏa mãn vì theo(2) ta có ( ) ( )lim β α = b a T f T f nếu , ,α β α β< < < → →a b a b . Cuối cùng điều kiện 3) cũng thỏa mãn đối với ( )f x vì chỉ có một số hữu hạn W . Vậy [ ]( ) [ ]( )*, ,⊂T a b T a b và tất cả các lớp [ ]( )* ,T a b đều khác rỗng. Tiếp theo ta giả sử ( ) [ ]( )* , à∈ < <f x T a b v a c b . (Trường hợp c = a và c = b là hiển nhiên vì nếu ( )f x xác định tại 0x thì ( )f x sẽ chứa trong lớp [ ]( )* 0 0,T x x cho dù ( )f x có T- khả tích tại 0x hay không). Xét tập hợp [ ]( ); ,TS f a c . Dễ thấy rằng tập hợp này là tập con của [ ]( ); ,TS f a b , do đó nó cũng không trù mật khắp nơi trên [ ],a c và hàm số ( )f x khả tích theo nghĩa Lebesgue trên [ ],a c . Do đó trên [ ],a c hàm số ( )f x thỏa mãn điều kiện 1). Giả sử [ ] [ ]( ) ( ), \ , , ,= ∪T n nna c S f a c a b . Nếu [ ]( ); ,∈ Tc S f a c thì mỗi khoảng ( ),n na b trên đây sẽ là phần bù của toàn bộ tập hợp [ ]( ); ,TS f a b đến [ ],a b . Nếu [ ]( ); ,∉ Tc S f a c thì c cũng không thuộc mọi khoảng ( ),n na b có thể trừ ra một khoảng có dạng ( 0 , na c . (Nếu [ ]( ); , = ∅TS f a c thì khoảng ( 0 , na c chính là [ ],a c . Từ đó suy ra ( )f x thỏa mãn điều kiện 2), điều kiện 3) trên [ ],a c . Vậy ( ) [ ]( )* ,∈f x T a c . Chứng minh tương tự ta có [ ]( )* ,∈f T c b . Vậy [ ]( ) [ ]( ) [ ]( )* * *, , ,⊂ ∩T a b T a c T c b . Bao hàm ngược lại được chứng minh bằng cách lập luận tương tự. Vậy họ các lớp [ ]( )* ,T a b là đúng. Bây giờ với mỗi hàm số [ ]( )* ,∈f T a b ta định nghĩa giá trị của phiếm hàm ( )* b a T f bởi công thức ( ) ( ) ( ) ( ) * = +∑ ∫ T b na n S f T f I L f x dx (1.6) Định nghĩa này hoàn toàn xác định vì ≤n nI W nên chuỗi n n I∑ hội tụ tuyệt đối. Để ý rằng với mọi hàm số T – khả tích ( )f x (trên đây ta đã chỉ ra rằng [ ]( )* ,∈f T a b ) ta có ( ) ( )* = b b a a T f T f vì trong vế phải của (1.6) thì tích phân Lebesgue bằng 0, còn chuỗi n n I∑ chỉ có một số hạng ( ) b a T f . Một trường hợp đơn giản khác là khi chỉ có a và b là điểm T – kì dị trên [ ],a b thì ( ) ( ) ( )* lim , , β α α β α β= < < < → → b a T f T f a b a b . Khi đó từ (1.6) suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * *= +∑ ∫