Luận văn Tính đơn điệu của dưới vi phân hàm lồi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG KHẮC LỢI TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA DƯỚI VI PHÂN HÀM LỒI LUẠN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 60.46.01.02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi 0.1. Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi 0.2.Mục đích và nhiệm vụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi 0.2.1. Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi 0.2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi 0.2.3. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii 0.2.4. Bố cục luận văn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii Chương 1. Tập lồi và hàm lồi trong không gian Hilbert thực . . . . . 1 1.1.Không gian Hilbert thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2. Các đẳng thức và bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2. Một số tính chất quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3. Phép chiếu theo chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.4. Định lí tách tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2. Một số tính chất quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Chương 2. Dưới vi phân của hàm lồi và tính đơn điệu của nó . . . 16 2.1.Dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 i Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ii 2.2.Đạo hàm theo hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3. Tính đơn điệu của dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.1. Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.2. Toán tử đơn điệu cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.3. Tính đơn điệu của dưới vi phân hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Chương 3. Hàm tựa lồi, hàm giả lồi và tính đơn điệu suy rộng của dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1.Hàm tựa lồi và hàm giả lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1.2. Một số tính chất quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2. Tính đơn điệu suy rộng của dưới vi phân hàm tựa lồi và hàm giả lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.1. Toán tử tựa đơn điệu và giả đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.2. Tính tựa đơn điệu và giả đơn điệu của đạo hàm của hàm tựa lồi và hàm giả lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Lời cảm ơn Bản luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của GS.TSKH. Lê Dũng Mưu. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Khoa Sau Đại Học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán Học và trường Đại học Sư Phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Xin chân thành cảm ơn tập thể bạn bè, đồng nghiệp lớp Cao Học Toán K18B và BGH, đồng nghiệp Giáo Viên ở trường THPT BạchĐằng - Quảng Ninh đã gúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong được sự góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Thái Nguyên, Tháng 8 năm 2012 Tác Giả Hoàng Khắc Lợi iii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên iv Danh mục các kí hiệu viết tắt H,Hi,K: Không gian Hilbert thực; 2H : Tập tất cả các tập con củaH ; R : Tập số thực; N : Tập hợp số tự nhiên; 〈. | .〉: Tích vô hướng; ||.|| : Chuẩn trên không gian Hilbert; [−∞,+∞]: Tập số thực mở rộng; R+ : = [0,+∞); R++ : = (0,+∞); in f : Cận dưới đúng; min : Cực tiểu; sup : Cận trên đúng; max : Cực đại; α ↓ µ: α ∈ (µ,+∞) và α dần đến µ; C− D : Hiệu Minkowski của tập C và D; span C : Không gian affine căng bởi C; spanC : Không gian đóng affine căng bởi tập C; C : Bao đóng của C; C⊥ : Phần bù trực giao của C; convC : Bao lồi của tập C; convC : Bao lồi đóng của tập C; coreC: Lõi của tập C; int C : Phần trong của C; bdryC : Biên của C; coneC: Bao nón của tập C; NC : Nón chuẩn tắc của C; PC : Phép chiếu lên tập C; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên vσC : Hàm tựa của tập C; dC : Hàm khoảng cách của tập C; B(x, e) : Hình cầu đóng tâm x, bán kính e; ΓH : Tập các hàm lồi nửa liên tục dưới từH vào [−∞,+∞]; Γ0H : Tập các hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới từ H vào (−∞,+∞];⊕ i∈I fi : Tổng trực tiếp của một hàm; dom f : Miền xác định của f ; f ∗ : Hàm liên hợp của f ; ∂ f (x) : Dưới vi phân của f tại x ; O f (x) hoặc f ′(x) : Đạo hàm của f tại x ; f ′(x, y) : Đạo hàm theo hướng y của f tại x; Argmin f : Tập các cực tiểu toàn cục của hàm f ; zerA: Tập các không điểm của toán tử A epi f : Trên đồ thị của hàm f ; gra f : Đồ thị của hàm f Id : Toán tử đồng nhất; cont f : Miền liên tục của hàm f ; l2(I) : Không gian Hilbert của tổng các hàm từ I vào R; B(H,K): Không gian các toán tử tuyến tính bị chặn từH vào K;⊕ i∈IHi : Tổng trực tiếp các không gian Hilbert; ×i∈IHi : Tích các không gian Hilbert; (x, y) : Khoảng trong R ; [x, y] : Đoạn trong R; (xi)i∈I : Họ các vectơ trongH. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Mở đầu 0.1. Lý do chọn đề tài Giải tích lồi là bộ môn quan trọng trong giải tích phi tuyến tính hiện đại. Giải tích lồi nghiên cứu khía cạnh giải tích các khái niệm, tính chất cơ bản của tập lồi và hàm lồi. Tính đơn điệu của dưới vi phân hàm lồi là một trong những tính chất quan trọng của hàm lồi, nó đã được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu và đã đạt được nhiều kết quả sâu sắc cùng với các ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khác nhau. Việc nghiên cứu về tính đơn điệu của dưới vi phân hàm lồi và hoàn chỉnh hàm lồi vẫn là đề tài cần được quan tâm và nghiên cứu trong bộ môn giải tích lồi. 0.2. Mục đích và nhiệm vụ 0.2.1. Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu và trình bày một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản và quan trọng nhất về dưới vi phân của hàm lồi và tính đơn điệu của nó. 0.2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ chính sau đây: 1) Nghiên cứu tập lồi và hàm lồi trong không gian Hilbert thực. 2) Đạo hàm theo hướng và dưới vi phân hàm lồi. vi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên vii 3) Tính đơn điệu của dưới vi phân hàm lồi. 4) Hàm tựa lồi và hàm giả lồi. 5) Tính đơn điệu suy rộng của dưới vi phân hàm tựa lồi và hàm giả lồi. 0.2.3. Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp của giải tích hàm kết hợp với phương pháp của giải tích hiện đại. - Sử dụng các phương pháp của lí thuyết tối ưu. - Kế thừa phương pháp và kết quả của lý thuyết tôi ưu không trơn. 0.2.4. Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 47 trang, trong đó có phần mở đầu, ba chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1 : Trình bày một số kiến thức cơ bản như : Không gian Hilbert thực, tập lồi, hàm lồi. Chương 2 : Dưới vi phân hàm lồi và tính đơn điệu của nó. Nội dung của chương này là trình bày việc xây dụng đạo hàm theo hướng và dưới vi phân của hàm lồi, các toán tử đơn điệu và chỉ ra tính đơn điệu của dưới vi phân hàm lồi. Chương 3 : Hàm tựa lồi, hàm giả lồi và tính đơn điệu suy rộng của dưới vi phân. Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt các kết quả đạt được. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Chương 1 Tập lồi và hàm lồi trong không gian Hilbert thực Nội dung kiến thức trong luận văn này được nghiên cứu trên không gian Hilbert thực, ta kí hiệu không gian này là H với tích vô hướng 〈. | .〉 và || . || là chuẩn trên H tương ứng với tích vô hướng này, với khoảng cách d, tức là: Với mọi x, y ∈ H ta có ||x|| = √〈x | x〉 và d(x, y) = ||x− y||. Chương này nhằm giới thiệu những khái niệm cơ bản nhất, tính chất đặc trưng của tập lồi và hàm lồi trong không gian Hilbert thực. Các kiến thức ở trong chương này được trích từ cuốn sách ”Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces” của tác giả HenizH. Bauschke và PatrickL. Combettes [2]. Hầu hết các hàm trong luận văn này là hàm f : H → R∪ {+∞}. 1.1. Không gian Hilbert thực 1.1.1. Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 1.1. Phần bù trực giao của tập C ⊆ H được kí hiệu là C⊥, tức là C⊥ = {u ∈ H | ∀x ∈ C, 〈x | u〉 = 0} . 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2Một cơ sở của tậpC ⊆ H được gọi là một cơ sở trực giao củaH nếu spanC = H. Không gian H được gọi là tách được nếu nó có một cơ sở trực giao đếm được. Bây giờ giả sử (xi)i∈I là họ các vectơ trong H và giả sử I là lớp các tập con hữu hạn khác rỗng I định hướng bởi ⊂. Khi đó (xi)i∈I là khả tổng nếu tồn tại x ∈ H mà (∑i∈J xi)J∈I hội tụ đến x, tức là, ∀ε ∈ R++, ∃K ∈ I , ∀J ∈ I , J ⊃ K ⇒ ||x−∑ j∈J xi|| ≤ ε. Trong trường hợp này ta viết x = ∑i∈I xi. Đối với (αi)i∈I trong [0,+∞], ta có ∑ i∈I αi = sup J∈I ∑ j∈J αi. Đây là trường hợp riêng trong không gian Hilbert thực và nó sẽ được sử dụng trong cuốn luận văn này. Ví dụ 1.1. Tổng trực tiếp của một họ các không gian Hilbert thực (Hi, || . ||i)i∈I là không gian Hilbert thực. ⊕ i∈I Hi = {x = (xi)i∈I ∈ ×i∈IHi | ∑ i∈I ||xi||2i < +∞}. Được trang bị với phép cộng (x, y) 7→ (xi + yi)i∈I . Nhân (α, x) 7→ (αxi)i∈I . Tích vô hướng (x, y) 7→∑ i∈I 〈xi | yi〉. Khi I là tập hữu hạn, ta chỉ dùng chung một kí hiệu×i∈IHi để thay thế cho ⊕ i∈IHi. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3Bây giờ giả sử rằng ∀i ∈ I, fi : Hi → R∪ {+∞} và I không là tập hữu hạn, infi∈I fi ≥ 0. Khi đó⊕ i∈I fi : ⊕ i∈I Hi → (−∞,+∞] : (xi)i∈I 7→∑ i∈I fi(xi). Ví dụ 1.2. Nếu mỗiHi là R trong Ví dụ 1.1 thì ta thu được l2(I) = ⊕ i∈I R; và mỗi giá trị trung bình với tích vô hướng (x, y) = ((ξi)i∈I , (ηi)i∈I)i∈I 7→∑ i∈I ξiηi. Vectơ đơn vị (ei)i∈I của l2(I) được xác định bởi ∀i ∈ I, ei : I → R : j 7→ { 1 nếu j = i 0 nếu j 6= i . 1.1.2. Các đẳng thức và bất đẳng thức Chú ý 1.1. (Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz) Cho x, y ∈ H, khi đó |〈x | y〉| ≤ ||x|| ||y||. Hơn nữa |〈x | y〉| = ||x|| ||y|| ⇔ ∃ α ∈ R+, x = αy hoặc y = αx. Bổ đề 1.1. Cho x, y, z ∈ H. Khi đó ta luôn có (i) ||x+ y||2 = ||x||2 + 2〈x | y〉+ ||y||2. (ii) Đẳng thức hình bình hành: ||x+ y||2 + ||x− y||2 = 2||y||2. (iii) Đẳng thức phân cực: 4〈x | y〉 = ||x+ y||2 − ||x− y||2. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4(iv) Đẳng thức Apllonius: ||x− y||2 = 2||z− x||2 + 2||z− y||2 − 4||z− x+ y 2 ||2. Chứng minh. (i) Hiển nhiên. (ii) và (iii) được suy ra từ (i) và ||x− y||2 = ||x||2 − 2〈x | y〉+ ||y||2. (1.1) Cộng theo vế (i) với đẳng thức (1.1) suy ra (ii) và trừ theo vế đẳng thức (i) với (1.1) suy ra (iii). (iv) Áp dụng (ii) với hai điểm z−x2 và z−y 2 . Bổ đề 1.2. Cho x, y ∈ H. Khi đó ta có: (i) 〈x | y〉 ≤ 0⇔ ∀α ∈ R+, ||x|| ≤ ||x− αy|| ⇔ ∀α ∈ [0, 1], ||x|| ≤ ||x− αy||. (ii) x ⊥ y⇔ ∀α ∈ R, ||x|| ≤ ||x− αy|| ⇔ ∀α ∈ [−1, 1], ||x|| ≤ ||x− αy||. Chứng minh. (i) Để ý rằng ∀α ∈ R, ||x− αy||2 − ||x||2 = α(α||y||2 − 2〈x | y〉) (1.2) Như vậy, chiều thuận được suy ra trực tiếp. Đảo lại nếu α ∈ [0, 1], ||x|| ≤ ||x− αy|| thì từ (1.2) suy ra 〈x | y〉 ≤ α||y|| 2 2 Khi α↘ 0, ta có 〈x | y〉 ≤ 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5(ii) Đây là một hệ quả của (i), từ đó x⊥y⇔ [〈x | − y〉 ≤ 0 và 〈x | − y〉 ≤ 0]. Bổ đề 1.3. Cho (xi)i∈I và (ui)i∈I là họ các 〈x | y〉 tập hữu hạn trong H và cho (αi)i∈I là một dãy trên R mà ∑ i∈I αi = 1. Khi đó: (i) 〈∑i∈I αixi | ∑j∈I αjuj〉+∑i∈I ∑j∈I αiαj 〈xi−xj | ui−uj〉2 = ∑i∈I αi〈xi | ui〉. (ii) ||∑i∈I αixi||2 +∑i∈I ∑j∈I αiαj ||xi−xj|| 2 2 = ∑i∈I αi||xi||2. Chứng minh. (i) Ta có 2〈∑ i∈I αixi | ∑ j∈I αjuj〉 =∑ i∈I ∑ j∈I αiαj(〈xi | ui〉+ 〈xj | uj〉) =∑ i∈I ∑ j∈I αiαj(〈xi | ui〉+ 〈xj | uj〉 − 〈xi − xj | ui − uj〉) = 2∑ i∈I αi〈xi | ui〉 −∑ i∈I ∑ j∈I αiαj(〈xi | ui〉+ 〈xj | uj〉). (ii) Được suy ra từ (i) khi (ui)i∈I = (xi)i∈I . Hệ quả 1.1. Cho x, y ∈ H và α ∈ R, khi đó ||αx+ (1− α)y||2 + α(1− α)||x− y||2 = α||x||2 + (1− α)||y||2. Chú ý 1.2. (Biểu diễn Riesz - Frechet). Cho f ∈ B(H,R), khi đó tồn tại duy nhất một vectơ u ∈ H mà ∀x ∈ H, f (x) = 〈x | u〉. Hơn nữa || f || = ||u||. Nếu K là một không gian Hilbert và T ∈ B(H,K), liên hợp của T là toán tử duy nhất T∗ ∈ B(K,H) thỏa mãn ∀x ∈ H, ∀y ∈ K, 〈Tx | y〉 = 〈x | T∗y〉. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 61.2. Tập lồi 1.2.1. Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 1.2. Một tập C ⊆ H được gọi là một tập lồi nếu ∀α ∈ (0, 1), αC+ (1− α)C = C; hay tương đương ∀x ∈ C, ∀y ∈ C, (x, y) ∈ C. Trường hợp đặc biệtH và ∅ là tập lồi. Ví dụ 1.3. Trong mỗi trường hợp sau đây C là tập lồi trongH (i) C là hình cầu. (ii) C là một không gian con affine. (iii) C là một nửa không gian. (iv) C = ⋂ i∈I Ci với (Ci)i∈I là họ các tập con lồi củaH. Tính chất giao ở (iv) được khẳng định bằng định nghĩa sau. Định nghĩa 1.3. Cho C ⊆ H, bao lồi của C là giao của tất cả các tập con lồi củaH có chứa C, tức là nó là tập con lồi nhỏ nhất củaH có chứa C. Nó được kí hiệu là convC. Bao lồi đóng của C là tập con lồi đóng nhỏ nhất củaH chứa C, nó được kí hiệu là convC. 1.2.2. Một số tính chất quan trọng Mệnh đề 1.1. Cho C ⊆ H và D là tập tất cả các tổ hợp lồi của các điểm trong C, tức là D = { ∑ i∈I αixi | I hữu hạn, {xi}i∈I ⊂ C, {αi}i∈I ⊂ (0, 1],∑ i∈I αi = 1 } . Khi đó D = convC. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7Mệnh đề 1.2. Cho K là không gian Hilbert thực, giả sử T : H → K là một toán tử affine và cho C,D là các tập lồi trongH,K tương ứng. Khi đó T(C) và T−1(D) là các tập lồi trong K vàH tương ứng. Chứng minh. Ta có ∀x ∈ H, ∀y ∈ H, T((x, y)) = (Tx, Ty). Bây giờ lấy hai điểm trong T(C)là Tx và Ty, ∀x ∈ C và ∀y ∈ C. Do tính lồi (x, y) ⊂ C và do (Tx, Ty) = T((x, y)) ⊂ C. Suy ra T(C) là tập lồi. Cuối cùng cho x và y là hai điểm trong T−1(D) thì Tx và Ty nằm trong D, do tính lồi nên T((x, y))(Tx, Ty) ⊂ D. Do đó (x, y) ⊂ T−1(T(x, y)) ⊂ T−1(D). Suy ra T−1(D) là tập lồi. Mệnh đề 1.3. Cho (Ci)i∈I là họ các tập hữu hạn của m tập con lồi trongH. Khi đó ta có: (i) ×i∈ICi là tập lồi. (ii) ∀(αi)i∈I ∈ R, ∑i∈I αiCi là tập lồi. Chứng minh. (i) Hiển nhiên. (ii) Đây là hệ quả của (i) và Mệnh đề 1.2. Từ đó ∑i∈I αiCi = L(×i∈ICi). Ở đây L : Hm → H : (xi)i∈I 7→∑ i∈I αixi là tổ hợp tuyến tính. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 81.2.3. Phép chiếu theo chuẩn Định nghĩa 1.4. Cho C ⊆ H, giả sử x ∈ H, p ∈ C. Khi đó p được gọi là một xấp xỉ tối ưu của x từ C (hay là hình chiếu của x lên C) nếu ||x− p|| = dC(x). Nếu mọi điểm trongH có ít nhất một hình chiếu lên C thì C được gọi là tập xấp xỉ. Nếu mọi điểm trong H có đúng một hình chiếu lên C thì C được gọi là tập Chebyshev. Trong trường hợp này phép chiếu (hay toán tử chiếu) lên tập C là toán tử kí hiệu là PC, mà ảnh mọi điểm trongH lên nó là hình chiếu duy nhất lên C. Ví dụ 1.4. Cho {ei}i∈I là một cơ sở trực chuẩn hữu hạn trongH. Giả sử V = span {ei}i∈I và x ∈ H. Khi đó V là tập Chebyshev, PVx =∑ i∈I 〈x | ei〉ei và dV(x) = √ ||x||2 −∑ i∈I 〈x | ei〉2. Chứng minh. Cho mọi họ (αi)i∈I trong R , ta có: ||x−∑ i∈I αiei||2 = ||x||2 − 2〈x | ∑ i∈I αiei〉+ ||∑ i∈I αiei||2 = ||x||2 − 2∑ i∈I αi〈x | ei〉+∑ i∈I |αi|2 = ||x||2 −∑ i∈I |〈x | ei〉|2 +∑ i∈I |αi − 〈x | ei〉|2. Chú ý 1.3. Cho C là tập khác rỗng trongH. Khi đó: (i) C = {x ∈ H | dC(x) = 0}, không điểm trong tập C \C có hình chiếu lên C. Một lân cận (trong một tập Chebyshev ) là một tập đóng. (ii) Nếu C là một không gian hữu hạn chiều trongH thì nó là tập Chebyshev và do đó nó là tập đóng. Mệnh đề 1.4. Giả sử rằng H là không gian hữu hạn chiều và C là tập Chebyshev trongH thì PC là liên tục. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9Chứng minh. Cho x ∈ H và giả sử (xn)n∈N là dãy trongHmà xn → x. Ta có dC là liên tục và do đó ||xn − PCxn|| = dC(xn) = ||x− PCx||. Như vậy PC(xn)n∈N là bị chặn. Bây giờ cho y là điểm tụ của PC(xn)n∈N, ta có PCxkn → y. Theo chú ý 1.3 (i) khẳng định rằng y ∈ C và mệnh đề 1.2 có nghĩa là ||xkn − PCxkn || → ||x− y|| = dC(x). Kéo theo y = PCx là điểm tụ của dãy bị chặn PC(xn)n∈N. Do đó PCxn → PCx. Ví dụ 1.5. Cho H là không gian hữu hạn chiều và (en)n∈N là một dãy các vectơ trực chuẩn trongH, (αn)n∈N là dãy trong (1,+∞) mà αn ↘ 1. Đặt C = {xn}n∈N , ∀n ∈N, xn = αnen. Khi đó cho bất kì hai điểm phân biệt xn và xm, ta có: ||xn − xm||2 = ||xn||2 + ||xm||2 > ||en||2 + ||em||2 = 2. Do đó mọi dãy hội tụ trong C đều là hằng số và C là tập đóng. Tuy nhiên 0 không có hình chiếu lên C, từ đó ∀n ∈N, dC(0) = 1 < αn = ||0− xn||. Mệnh đề 1.5. Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trongH. Khi đó với mọi x ∈ H hình chiếu PC(x) của x trên C luôn tồn tại và duy nhất. Chứng minh. Giả sử x ∈ H, y ∈ C theo định nghĩa 1.4 ta có dC(x) = ||y− x||, suy ra tồn tại dãy (xn)n∈N trong C sao cho ||xn − x|| → dC(x) < +∞. Vậy dãy (xn)n∈N là bị chặn, do đó nó có một dãy con (xkn) hội tụ yếu đến y. Do C đóng nên y ∈ C. Vậy ||y− x|| = lim n ||xkn − x|| = limn ||xn − x|| = dC(x). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 Chứng tỏ y là hình chiếu của x trên C. Bây giờ ta chỉ ra tính duy nhất của hình chiếu. Thật vậy nếu tồn tại hai điểm y và z đều là hình chiếu của x trên C thì x− y ∈ NC(y), x− z ∈ NC(z). Tức là 〈y− x , z− y〉 ≤ 0 và 〈z− x , y− z〉 ≤ 0. Cộng hai bất đẳng thức này ta suy ra ||y− z|| ≤ 0 và do đó y = z. Mệnh đề 1.6. Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong H. Khi đó hình chiếu PC là ánh xạ không giãn. Chứng minh. Cố định x và y thuộcH, ta có 〈PCy− PCx | x− PCx〉 ≤ 0 và 〈PCx− PCy | y− PCy〉 ≤ 0. Lấy tổng của hai bất đẳng thức trên ta được ||PCx− PCy||2 ≤ 〈x− y | PCx− PCy〉. Suy ra điều phải chứng minh từ bất đẳng thức Cauchy - Schwarz. 1.2.4. Định lí tách tập lồi Định nghĩa 1.5. Ch