Luận văn Ứng dụng bài toán hai hạt nghiên cứu mức độ bền của hạt nhân Deuteron

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM ỨNG DỤNG BÀI TOÁN HAI HẠT NGHIÊN CỨU MỨC ĐỘ BỀN CỦA HẠT NHÂN DEUTERON Luận văn Tốt nghiệp Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ GV hướng dẫn: Sinh viên: Nguyễn Xuân Tư Trần Lê Duy Lớp: SP Lý K31 MSSV: 1050115 Cần Thơ, 2009 Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy1 TÓM TẮT LUẬN VĂN  Bài luận văn được chia 3 phần: I. PHẦN MỞ ĐẦU Khi nghiên cứu các hạt nhân nguyên tử, người ta thấy rằng trong tự nhiên tồn tại hai loại hạt nhân là: hạt nhân bền và hạt nhân không bền. Vậy hạt nhân bền và không bền ở mức độ nào? Cơ học lượng tử đã giải quyết vấn đề này ra sao? Hạt nhân Deuteron là một hạt nhân không bền có cấu tạo đơn giản nhất trong số các hạt nhân được biết. Để giải thích tính không bền của hạt nhân Deuteron, ta sẽ vận dụng bài toán hai hạt trong cơ học lượng tử và nghiệm lại vấn đề bằng hiệu ứng đường ngầm. Đây là một hướng để ta có thể tìm hiểu rõ hơn về bản chất lực hạt nhân cũng như khả năng áp dụng phương trình Schrodinger để giải bài toán nhiều hạt. Do đó, em đã chọn đề tài: "Ứng dụng bài toán hai hạt nghiên cứu mức độ bền của hạt nhân Deuteron" làm luận văn tốt nghiệp cho mình. II. PHẦN NỘI DUNG Gồm 44 trang được chia làm 3 chương: Chương 1. Các toán tử biểu diễn biến số động lực Nội dung của chương này được trình bày trong 27 trang từ trang 6 đến trang 33. Đưa ra dạng các toán tử biểu diễn biến số động lực như toán tử tọa độ, xung lượng, momen động lượng, năng lượng.... Toán tử năng lượng:  zyxU m H ,, 2 2 2    Toán tử xung lượng: z iP y iP x iP z y x             Toán tử momen động lượng:                          x y y xiPyPxL z x x ziPxPzL y z z yiPzPyL xyz zxy yzx    Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy2 Dạng của các toán tử  zLLH ,, 2 trong tọa độ cầu:                               2 2 222 2 2 2 222 sin 11 sin sin 111 2 ,    rrr r rrm H L iLz    Giải phương trình trị riêng của các toán tử trong tọa độ cầu để tìm được hàm riêng chung của chúng. Áp dụng phương trình Legendre và đa thức Legendre để tìm hàm cầu. Hàm cầu tìm được có dạng tổng quát như sau:                  iml lm lmm l mm m l e d d lml mll Y 1cos cos cos1 !2 1 !4 !12 1, 2222      Với .,...,2,1,0...;3,2,1,0 lml  Một số hàm cầu cụ thể:    ieY Y Y     .sin 8 3 cos 4 3 4 1 1 1 0 1 0 0 Chương 2. Bài toán hai hạt với hạt nhân Deuteron Chương này được trình bày trong 14 trang từ trang 33 đến từ 47. Nội dung chính là trình bày một vài đặc trưng của hạt nhân Deuteron và đưa chuyển dộng của hạt nhân Deuteron về bài toán hai hạt. Cho rằng hạt nhân Deuteron là hệ kín và viết được phương trình mô tả chuyển động của hạt nhân Deuteron là:   02 22 2  UE dr d   Với 2 m mm mm mm mm np np        0 22 2  UEm dr d  Trong đó rR là hàm sóng xác định trạng thái chuyển động của hệ hạt nhân Deuteron.  zLLH ,, 2 )1,1( )0,1( )0,0(    ml ml ml Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy3 Chương 3. Tính bền vững của hạt nhân Deuteron Chương này được trình bày trong 5 trang từ trang 47 đế trang 52. Trong phần này ta đưa ra giả thuyết hố thế năng đối xứng cầu để mô tả tính không bền của hạt nhân Deuteron và coi rằng chuyển động của hạt nhân Deuteron tương đương với hạt chuyển động trong hố thế có độ sâu U0, bề rộng bằng a. Hố thế năng đối xứng cầu Ta tính được độ sâu của giếng thế U0=33,8 (MeV). Hạt nhân Deuteron ở trạng thái cơ bản có năng lượng đúng bằng năng lượng liên kết . Do đó 0UE  hay 0UE  thì hạt nhân Deuteron nằm ở miệng giếng lực liên kết yếu rất dễ bị phá vỡ và chỉ cần cung cấp cho hạt một năng lượng E=2,2 (MeV) thì hạt sẽ nhảy ra ngoài giếng. Điều này có nghĩa là hạt nhân Deuteron có cấu tạo không bền vững. Cuối cùng ta sẽ nghiệm lại tính không bền của hạt nhân Deuteron bằng hiệu ứng đường ngầm. III. PHẦN KẾT LUẬN Bằng việc áp dụng bài toán hai hạt trong hệ kín cụ thể là sử dụng phương trình Schrodinger, cùng với lý thuyết chuyển động của hạt trong giếng thế, ta đã giải thích thành công nhận định của thực nghiệm: "Hạt nhân Deuteron là hạt nhân không bền vững". Sau đây, em xin giới thiệu luận văn: "ỨNG DỤNG BÀI TOÁN HAI HẠT NGHIÊN CỨU MỨC ĐỘ BỀN CỦA HẠT NHÂN DEUTERON" cùng quý thầy cô và các bạn. O -U0 -E U(r) ra )(2,2 MeVWE  Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy4 PHẦN I MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài Cuối thế kỉ XIX trở về sau, người ta nhận thấy có những hiện tượng vật lý không thể giải thích được bằng các lý thuyết của vật lý học cổ điển như tính bền của nguyên tử, bức xạ của vật đen...từ đó đã dẫn đến khái niệm mới -bước đầu phát triển môn Cơ học lượng tử. Đối tượng nghiên cứu của cơ học lượng tử là sự vận động của các hạt vi mô: hạt nhân, nguyên tử và các hạt sơ cấp. Cơ học lượng tử chính là lý thuyết cơ sở đầu tiên giúp cho con người tìm hiểu và chinh phục thế giới vi mô. Trong lĩnh vực nguyên tử và hạt nhân, dựa trên cơ học lượng tử người ta đã giải thích khá thành công về cấu trúc nguyên tử nhưng lại chưa biết đầy đủ về các lực và cấu trúc bên trong hạt nhân. Lý thuyết hạt nhân hiện nay vẫn ứng dụng phương trình Schrodinger để giải thích cấu trúc cũng như những biến đổi bên trong hạt nhân. Con người đã gặp không ít khó khăn khi đối đầu với bài toán nhiều hạt gồm các hạt proton và neutron. Do đó, các nhà vật lý lý thuyết đã chọn Deuteron là hạt nhân nhiều hạt đơn giản nhất trong số các hạt nhân được biết làm đối tượng để tìm hiểu về vật lý hạt nhân. Đây là bài toán hai hạt mà ta có thể giải đến cùng. Sự phân tích kĩ lưỡng hệ thống này cho phép ta tìm hiểu về lực hạt nhân, điều mà ta không dễ dàng tìm thấy từ việc nghiên cứu các hạt phức tạp. Mặt khác, khi nghiên cứu hạt nhân nguyên tử ta thấy trong tự nhiên tồn tại hai loại hạt nhân là bền và không bền, có những hạt nhân rất dễ bị phá vỡ và có những hạt có thể tự phá vỡ mình để trở thành hạt nhân khác. Vậy hạt nhân Deuteron có bền hay không và mức độ bền vững của nó như thế nào? Cơ học lượng tử đã giải quyết vấn đề này ra sao? Đây là một hướng để ta tìm hiểu rõ hơn về bản chất của lực hạt nhân cũng như khả năng áp dụng phương trình Schrodinger để giải bài toán nhiều hạt. Với suy nghĩ đó, em đã chọn đề tài:" Ứng dụng bài toán hai hạt nghiên cứu mức độ bền của hạt nhân Deuteron" làm luận văn tốt nghiệp cho mình. 1.2. Các mục tiêu của đề tài Hạt nhân Deuteron là hạt nhân không bền vững rất dễ bị phá vỡ so với các hạt nhân khác. Để giải thích tính không bền vững của hạt nhân Deuteron ta cần giải quyết tốt các vấn đề sau: ∙ Tìm dạng của các toán tử  H ,  2L ,  ZL và hàm riêng của chúng trong tọa độ cầu. ∙ Ứng dụng bài toán hai hạt cho hạt nhân Deuteron. ∙ Sử dụng dạng hố thế đối xứng cầu để giải thích tính không bền của hạt nhân Deuteron. ∙ Nghiệm lại sự không bền vững của hạt nhân Deuteron bằng hiệu ứng đường ngầm. Hạt nhân Deuteron là một hệ gồm hai hạt proton và neutron liên kết với nhau Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy5 thông qua lực hạt nhân. Để giải thích tính không bền của hạt nhân Deuteron ta phải áp dụng bài toán của hệ kín gồm hai hạt cho hạt nhân Deuteron và giải phương trình Schrodinger đối với hạt nhân Deuteron ở trạng thái cơ bản trong hệ tọa độ cầu. Hơn nữa, ta đã biết trong cơ học lượng tử sử dụng các biến số động lực trong cơ học cổ điển để mô tả trạng thái chuyển động của hệ nhưng khác ở chỗ chúng được mô tả bằng các toán tử. Do đó, ta phải tìm được dạng của các toán tử biểu diễn các biến số động lực từ đó tìm được hàm riêng của toán tử năng lượng trong tọa độ cầu. Nếu ở trạng thái cơ bản ta chứng minh được hàm sóng mô tả trạng thái của hạt chỉ phụ thuộc vào bán kính r trong hệ tọa độ cầu thì bài toán sẽ đơn giản rất nhiều. Điều này chỉ có được khi ta chứng minh rằng hàm cầu (hàm sóng mô tả trạng thái của hạt chỉ phụ thuộc vào các góc trong hệ tọa độ cầu) của hạt nhân Deuteron ở trạng thái cơ bản là một hằng số. Sau khi thiết lập được phương trình Schrodinger cho hạt nhân Deuteron ở trạng thái cơ bản ta sẽ sử dụng hố thế đối xứng cầu để giải thích tính không bền của hạt nhân Deuteron. Cuối cùng là nghiệm lại vấn đề bằng hiệu ứng đường ngầm. 1.3. Phương pháp nghiên cứu Đề tài được thực hiện từ việc kết hợp nhiều phương pháp nghiên cứu: ∙ Phương pháp nghiên cứu lý thuyết. ∙ Phương pháp toán học. ∙ Phương pháp phân tích tổng hợp lý thuyết từ việc đọc sách và tài liệu tham khảo. 1.4. Các bước thực hiện đề tài ∙ Nhận đề tài vào tháng 9 năm 2008. ∙ Sưu tầm tài liệu, nghiên cứu lý thuyết. ∙ Viết bài báo cáo luận văn. ∙ Bảo vệ đề tài luận văn. 1.5. Các thuật ngữ quan trọng trong đề tài Hạt nhân Deuteron là hạt nhân của nguyên tử Deuterium H21 , là một hệ hai hạt gồm proton và neutron liên kết với nhau bằng lực hạt nhân. Đây là hạt nhân đơn giản nhất trong số các hạt nhân nhiều hạt mà ta đã biết. Bài toán hai hạt là bài toán xác định phương trình mô tả chuyển động của một hệ gồm hai hạt chỉ tương tác với nhau thông qua một thế xuyên tâm. Hố thế đối xứng cầu: hạt chuyển động trong trường lực với thế năng U được xác định bằng biểu thức:    0 )( 0 U rU    ar ar   Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy6 PHẦN II NỘI DUNG Chương I. CÁC TOÁN TỬ BIỂU DIỄN BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC 1.1. Toán tử tọa độ và toán tử xung lượng 1.1.1. Toán tử tọa độ Xét hạt chuyển động trên trục Ox, trạng thái của hệ được mô tả bằng hàm sóng ( )x , giả sử hàm sóng đã chuẩn hóa. Toán tử tọa độ phải có dạng thế nào để hệ thức của giá trị trung bình được thỏa mãn. Tức là: Mặt khác, nếu  x là mật độ xác suất để hạt có tọa độ là x và lưu ý rằng tích của tọa độ với các hàm sóng là giao hoán được thì ta cũng có: So sánh hai biểu thức trên ta được: Nghĩa là, toán tử chỉ là phép nhân với tọa độ x . . Tương tự: Từ đó ta suy ra được: Như vậy, trong biểu diễn tọa độ thì toán tử tọa độ chỉ là phép nhân với tọa độ mà thôi. Điều đó cũng có nghĩa là mọi hàm sóng điều là hàm riêng của toán tử tọa độ. 1.1.2. Toán tử xung lượng Ta đã biết rằng hạt tự do có năng lượng E, xung lượng  P thì tương ứng với một sóng phẳng có dạng: Trong đó, hình chiếu của xung lượng là xác định nên hàm sóng        rPEt i etr 0),( là hàm riêng của toán tử xP  . Do đó, ta có phương trình trị riêng: *( ) ( ) x x x x x dx     *( ) ( ) ( ) x x x x x dx x x x dx     )( 0),(    rPEt i etr  zz yy      x xx   xP  x        xxxx ^     rr Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy7 Ta sẽ chứng minh xP  có dạng là: xP i x      Đưa biểu thức của  xP vào phương trình trị riêng ta được: Biến đổi vế trái ta được: Ta thấy hai vế của phương trình bằng nhau. Vậy: x iPx     Tương tự: Từ đó suy ra: P i i j k i x y z                           ii 1.2. Toán tử năng lượng và toán tử momen động lượng 1.2.1. Toán tử năng lượng Trong cơ học cổ điển: T: động năng của hạt. U: thế năng. Theo nguyên lý tương ứng, toán tử năng lượng có dạng: * Xét toán tử động năng . Theo cơ học cổ điển:        rPEt i xxx ePtrPtrP  0),(),( z iP y iP z y              rPEt i x rPEt i x ePeP i i           00 ( , , )H T U x y z   zyxUTH ,,  m PPP m P T zyx 22 2222     rPEti x rPEt i ePe x i         00    rPEti x rPEt i x ePeP    00  T Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy8 Suy ra: * Xét toán tử thế năng ( , , )U x y z  chỉ phụ thuộc vào các tọa độ zyx ,, của hạt nên toán tử thế năng của nó đơn giản là hàm ( , , )U x y z . Tức là: Thế dạng của toán tử động năng và thế năng ta tìm được dạng của toán tử năng lượng là: Trong đó, 2 là toán tử Laplace có dạng: 1.2.2. Toán tử momen động lượng Cơ học cổ điển có hệ thức momen động lượng là: Theo nguyên lý tương ứng, ta có: Mà Từ đó ta tìm được dạng các toán tử hình chiếu momen động lượng có dạng: ( , , ) ( , , )U x y z U x y z         xyz zxy yzx PyPxL PxPzL PzPyL 2 2 2 2 2 2 2 zyx        zyxU m H ,, 2 2 2             xyz zxy yzx yPxPL xPzPL zPyPL z iPzz y iPyy x iPxx z y x             ; ; ; 2 22222 222    mm PPP m P T zyx  zyx PPP zyx kji  PrL Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy9 Ta cũng có: Nguyên lý tương ứng cho ta: Như vậy, ta đã tìm được dạng của các toán tử biểu diễn biến số động lực đặc trưng cho trạng thái chuyển động của hệ trong cơ học lương tử. Để tìm được hàm riêng của toán tử năng lượng trong tọa độ cầu ta cần giải phương trình trị riêng của các toán tử . Muốn vậy, ta phải tìm dạng của các toán tử trong tọa độ cầu. Nếu ta chứng minh được hàm cầu của hệ ở trạng thái cơ bản là một hằng số thì bài toán sẽ đơn giản hơn, vì khi đó hàm sóng của hệ chỉ phụ thuộc vào một biến số duy nhất là khoảng cách r tới góc tọa độ. 1.3. Tọa độ cầu và dạng của các toán tử trong tọa độ cầu 1.3.1. Tọa độ cầu Trong tọa độ cầu vị trí của một điểm được xác định bởi 3 thông số . Chúng liên hệ với các tọa độ Descartes như sau: Khoảng biến thiên:                  z x x ziPxPzL y z z yiPzPyL zxy yzx      cos sinsin cossin rz ry rx    x      0 20 0 r         x y y xiPyPxL xyz  2222 zyx LLLL                                  222 22222 x y y x z x x z y z z yLLLL zyx  z y M   r  zLLH ,, 2  zLLH ,, 2  ,,r  zLLH ,, 2 Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy10 Trần lê Duy Chuyển từ tọa độ Descartes sang tọa độ cầu. Hay 1.3.2. Dạng của các toán tử zLLH  ,, 2 trong tọa độ cầu Như phần trên ta đã biết các toán tử momen động lượng trên các trục tọa độ được viết dưới dạng sau: Và toán tử bình phương momen động lượng được xác định thông qua các toán tử thành phần: Trong cơ học lượng tử, đôi khi giải bài toán trong tọa độ cầu lại đơn giản hơn. Vậy ta hãy tìm dạng các toán tử momen động lượng trong tọa độ cầu, ta có thể áp dụng chúng trong việc giải các bài toán trong cơ học lượng tử. a).Chuyển các đạo hàm trong tọa độ Descartes sang tọa độ cầu Vì trong các biểu thức của toán tử momen động lượng có chứa các đạo hàm theo            r z x y tg zyxr   cos 222              zyx z x y arctg zyxr 222 222 arccos                              x y y xiPyPxL z x x ziPxPzL y z z yiPzPyL xyz zxy yzx         3.1 2.1 1.1                                 222 22222 x y y x z x x z y z z yLLLL zyx   4.1 Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy11 2 2 2 ( cos )( sin cos ) ( sin cos ) ( sin sin ) r r x r r r              tọa độ nên ta phải chuyển các phép tính đó sang tọa độ cầu. Xét một hàm Khi đó ta có: Để thực hiện các công thức chuyển này thì ta phải tính các đạo hàm riêng Thế (1.6),(1.7),(1.8) vào (1.5) ta được: Tương tự, từ (1.5) ta cũng có các biểu thức chuyển các đạo hàm sang tọa độ cầu. ( , , )f f r    5.1 zy     , .,, xxx r        xxx r rx               x f x f x r r f x f                   cossincossin* 222 222      r r zyx x x zyx x r  cossin   x r                22222 222 arccos * zyxyx zx x zyx z x  rrx    coscos sin cossincos    rx  coscos   2 2 2 2 sin sin * ( sin cos ) ( sin sin ) y arctg y rx x x x y r r                        sin sin rx     8.1  7.1  6.1         sin sin1 coscos 1 cossin rrrx  9.1 Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy12 Thay (1.12), (1.13), (1.14) vào (1.10) ta được:    11.1 10.1 zzz r rz yyy r ry                                     2 2 2 2 2 2 ( ) sin sin * sin sin x y zr y r y y rx y z               sinsin  y r  12.1 2 2 2 2 2 2 2 2 arccos * ( ) z x y z zy y y x y x y z                   22 ( cos )( sin sin ) ( sin cos ) sin sin r r y r r r             ry  sincos   13.1   2222 sin cossin * r r yx x y x y arctg y               sin cos ry    14.1         sin cos1 sincos 1 sinsin rrry  15.1   222 222 * zyx z z zyx z r       cos   z r  16.1  sin1 arccos * 222 rz zyx z z                 sin 1   z  17.1 Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy13 Trần lê Duy Thế (1.16), (1.17), (1.18) vào (1.11) ta được: Thay (1.9), (1.15), (1.19) vào (1.1), (1.2), (1.3) ta lần lượt tìm được các biểu thức của toán tử momen động lượng trong tọa độ cầu. b). Dạng của trong tọa độ cầu          y z z yiLx             sin 1 cossinsin rr riLx             sin cos1 sincos 1 sinsincos rrr ri          coscotsincossinsin 22 gi          coscotsin giLx  (1.20) c) Dạng của trong tọa độ cầu           z x x ziL y   yL                 sin sin1 coscos 1 cossincos rrr ri          sinsin cos coscoscossincos 2 r ri         2sincoscossincos r r 0*         z x y arctg z  0   z   18.1        sin 1 cos rrz  19.1  xL ))sin 1 (cossincos(     rr r Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy14 d) Dạng của trong tọa độ cầu          x y y xiLz  a) e). Dạng của toán tử trong tọa độ cầu Thay (1.20), (1.21), (1.22) vào (1.4) :   2222 zyx LLLL                              222 22 cotsincoscoscotsin  ggL                 2 2 2 22 sin 1 sin sin 1 L Hay : Trong đó: là toán tử Laplace cầu. f). Dạng của tóan tử Hamilton trong tọa độ cầu Toán tử năng lượng có dạng : Với  zL  