Luận văn Về các radical trong pi. đại số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thành Nam VỀ CÁC RADICAL TRONG PI. ĐẠI SỐ Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. BÙI TƯỜNG TRÍ Thàn phố Hồ Chí Minh 2008 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn thành kính đến Thầy PGS. TS. BÙI TƯỜNG TRÍ đã tận tình chỉ bảo tôi trong quá trình thực hiện luận văn này. Tôi cũng xin vô cùng biết ơn các Thầy: PGS. TS. BÙI XUÂN HẢI, PGS.TS. MỴ VINH QUANG, TS. TRẦN HUYÊN, TS. NGUYỄN VIẾT ĐÔNG và các Thầy cô trong khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã trực tiếp hướng dẫn tôi học tập, những người đã đưa tôi đến ngưỡng cửa của khoa học và giúp tôi hoàn thành luận văn này. Cho phép tôi được kính chúc PGS.TS. BÙI TƯỜNG TRÍ, PGS. TS BÙI XUÂN HẢI, PGS.TS. MỴ VINH QUANG, TS. TRẦN HUYÊN, TS. NGUYỄN VIẾT ĐÔNG và tất cả quý thầy cô trong Khoa Toán, Phòng Khoa Học Công Nghệ và Sau Đại Học Trường ĐHSP TP. Hồ Chí Minh lời chúc sức khỏe, cùng với lòng tri ân sâu sắc nhất của tôi. Qua đây, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến tất cả các bạn học viên cao học khóa 16 đã tiếp sức và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng thành kính biết ơn đến toàn thể mọi người trong gia đình tôi. TP. Hồ Chí Minh, ngày tháng 9 năm 2008 Tác giả luận văn NGUYỄN THÀNH NAM MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Trong thời gian theo học ở trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh, chúng tôi được nghe giảng một số chuyên đề về lý thuyết vành của Thầy PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ. Chủ đề được trình bày dựa trên nền tảng của cuốn sách: Introducton to Commutative Algebra của M.F. ATIYAH và I.G.MACDONALD, cuốn sách NONCOMMUTATIVE RINGS của I.N.HERSTEIN, cuốn sách STRUCTURE OF RINGS của NATHAN JACOBSON, và cuốn sách LECTURE NOTES IN MATHEMATICS.441- PI ALGEBERAS AN INTRODUCTION của NATHAN JACOBSON. Qua tìm hiểu, tôi nhận ra được sự quan trọng của PI. Đại số trong nhiều lĩnh vực của đại số nói chung và trong việc xây dựng câu trúc vành nói riêng. Từ đây, tôi đã đi sâu tìm hiểu về một chủ đề nhỏ của lý thuyết vành là: Về các Radical trong PI. Đại số. Luận văn tập trong nghiên cứu cấu trúc của các Radical trên các trên các vành và mối liên hệ giữa chúng trên các cấu trúc đại số khác nhau. 2. Mục đích Hệ thống lại toàn bộ các khái niệm về Radical và từ những khái niệm đó chúng tôi đi nghiên cứu về mối quan hệ giữa chúng trên các đại số giao hoán và không giao hoán. 3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu Cấu trúc của các đại số giao hoán và không giao hoán. Mối quan hệ giữa các Radical trên các cấu trúc đại số khác nhau. 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn Hình thành hệ thống lôgíc các cấu trúc về Radical và vận dụng chúng trong việc xây dựng các cấu trúc đại số . 5. Nội dung của luận văn Chương 1. Các kiến thức cơ bản Trong chương này, tác giả luận văn đã đưa ra hệ thống những kiến thức về: Vành, ideal trên vành, mô đun trên vành, đại số trên vành và đồng nhất thức trên đại số. Tất cả những kiến thức trên được đưa ra vừa đủ để làm kiến thức nền cho chương 2, 3. Chương 2. Xây dựng các loại Radical Trong chương này, tác giả luận văn đã tiến hành xây dựng các loại radical theo các chủ đề chính sau: - Xây dựng Radical trên vành giao hoán có đơn vị. - Xây dựng Radical Jacobson trên vành không giao hoán. - Nghiên cứu Radical Jacobson trên các vành đặc biệt khác. - Nghiên cứu về Radical trên đại số A, Có 4 loại radical: Levitzki nil radical, Upper nil radical, lower nil radical, Jacobson radical. Chương 3. Các Radical Trong các PI- đại số Trong chương này, tác giả luận văn đã tiến hành xây dựng mối quan hệ bao hàm giữa các loại radical trên các cấu trúc như sau: Trên đại số A, trên PI-đại số, PI- đại số phổ dụng. Từ đây, tác giả đã đưa ra một số kết quả khá tổng quát về mối quan hệ bao hàm giữa các radical. Luận văn được hoàn thành trong sự cố gắng của tác giả luận văn cùng với sự giúp đỡ hết sức tận tình của thầy giáo hướng dẫn PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ. Vì thời gian nghiên cứu luận văn không được nhiều nên luận văn còn có nhiều vấn đề chưa khai thác được một cách triệt để và cũng không thể tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, tôi rất chân thành ghi nhận những ý kiến đóng góp của quý thầy trong khoa toán của trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh, các đồng nghiệp và tất cả mọi người. Chương 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1. Vành, Mođun Và Ideal 1.1.1. Định nghĩa Vành Vành R là tập hợp  được trang bị hai phép toán hai ngôi, phép cộng và phép nhân sao cho: i/ R cùng với phép toán cộng là nhóm Abel  Phần tử trung hòa ký hiệu là o  x A, tồn tại phần tử đối, ký hiệu –x. ii/ phép nhân có tính kết hợp: x(yz) = ( xy)z,x, y, z R iii/ phép nhân phân phối đối với phép cộng: ( x +y)z = xz +yz, x(y+z) = xy + xz,x, y, z R * Nếu R thỏa mãn thêm hai tính chất: iv/ phép nhân có tính giao hoán: xy = yx, x, y R v/ Tồn tại phần tử đơn vị, ký hiệu 1: x1=1x =x,x R Thì R được gọi làvành giao hoán có đơn vị. Trong luận văn này, nếu không nói gì thêm, các vành được xét thuộc lớp vành đơn giản nhất: Vành không giao hoán và không nhất thiết phải chứa đơn vị. 1.1.2. Định nghĩa Môđun Một R – môđun là một nhóm cộng Abel M cùng với tác động ngoài từ R vào M, tức là một ánh xạ từ MxR vào M sao cho: cặp (m,r) biến thành mr R sao cho: i/ m( a+b) = ma +mb ii/ (m+n)a =ma + na iii/ (ma)b = m(ab), với mọi m, n  M và mọi a, b R. Nếu R là vành có chứa đơn vị 1 và m1 = m thì M gọi là môđun Unitary. 1.1.3. Định nghĩa môđun trung thành Một R- môđun M được gọi là trung thành nếu: Mr = kéo theo r = 0 1.1.4. Định nghĩa cái linh hóa Cái linh hóa của R-môđun M, ký hiệu là: annR(M) =   0/ MrRr  Nếu M là R-môđun trung thành thì annR(M) =. 1.1.5.Định nghĩa Ideal Một ideal phải(trái) của vành R là vành con của vành R sao cho: R   (hay R   ). Nghĩa là: xy Rx , , y  (hay yx Rx,  , y  ). Một ideal vừa là ideal trái vừa là ideal phải thì gọi là ideal hai phía. 1.1.6. Định nghĩa môđun bất khả quy M được gọi là R môđun bất khả quy nếu: MR  0 và M không có môđun con thực sự nào. 1.1.7. Bổ đề M là R- môđun bất khả quy  /RM , với  là ideal phải, tối đại, chính quy. 1.1.8. Định nghĩa  là ideal phải của R, ký hiệu: ( :R ) =   Rx/Rx 1.1.9. Bổ đề a/ Nếu  là ideal phải chính quy thì ( :R ) là ideal hai phía lớn nhất của R nằm trong  b/ Nếu là ideal phải, tối đại, chính quy thì annR(M)= ( :R ); M = R/ c/ Nếu  là ideal phải chính quy của R ( R) thì  nằm trong ideal phải, tối đại, chính quy nào đó. 1.1.10. Định nghĩa môđun hoàn toàn khả quy A là R – môđun hòan toàn khả quy nếu nó thỏa mãn một trong các mệnh đề sau: a/ A =  Ii iA , với Ai là R-môđun con bất khả quy của A b/ A= iIi A , với Ai là R-môđun con bất khả quy của A c/ với Ai là R-môđun con của A là hạng tử trực tiếp của A. 1.1.11. Định nghĩa đồng cấu môđun Gọi M, N là các R- Môđun. Một đồng cấu môđun trên R (hay R-đồng cấu) là ánh xạ f: M ->N thỏa mãn: i/ f(x +y) = f(x) + f(y) ii/ f(ax) = af(x)  x, y  M, a  R khi đó: * Aûnh của đồng cấu f là tập hợp Imf = f(M) * Hạt nhân của đồng cấu f là tập hợp: Kerf = f-1(  0 ) =  0)x(f/Mx  1.1.12.Định nghĩa Ideal nguyên tố Một ideal P của vành R được gọi là ideal nguyên tố nếu: P  R và x, y R, ta có: xyP xP hoặc yP Định nghĩa Ideal tối đại: một ideal m của vành R được gọi là ideal tối đại nếu m R và với mọi ideal  của R thỏa mãn  R, m  thì  =m. 1.1.13. Định nghĩa Ideal chính Một ideal  của vành R được gọi là ideal chính nếu tồn tại a  , sao cho  = . 1.1.14.Định nghĩa i/ một phần tử a R được gọi là lũy linh nếu an = 0, với số n tự nhiên nào đó. ii/ một ideal phải ( trái, hai phía )  của R là nil ideal nếu mọi phần tử của nó đều lũy linh. iii/ Một ideal phải( trái, hai phía )  của R là lũy linh nếu tồn tại số tự nhiên m: a1a2 ..am =0, với mọi a1, .am  . Hay: một ideal phải của R là lũy linh khi và chỉ khi m = với một số tự nhiên m nào đó.  Nhận xét Trong khi mọi ideal lũy linh đều là nil ideal thì có những nil ideal không nhất thiết lũy linh. 1.1.15. Định nghĩa 1/ một phần tử a R được gọi là tựa chính quy phải nếu: tồn tại phần tử a’ R sao cho: a + a’ +aa’ = 0. Ta gọi a’ là tựa nghịch đảo phải của a. 2/ Ideal phải của R là tựa chính quy phải nếu mọi phần tử của nó đều tựa chính quy phải 1.1.16. Định nghĩa ideal chính quy Một ideal phải  của R được gọi là chính quy nếu tồn tại a R: x –ax  , x R. * Phần tử chính quy của A là phần tử không có ước của không bên phải hay bên trái. 1.1.17. Định nghĩa (nil radical của vành R) Một ideal m của vành R là nil radical nếu và chỉ nếu: * m là một nil ideal * R/m không chứa ideal lũy linh khác không nào. 1.1.18. Định nghĩa(Vành nil radical ) Vành R là vành nil (hay lũy linh) chứa ideal B sao cho B và R/B là nil( hay lũy linh) thì R là nil(hay lũy linh) và khi đó R cũng được gọi là nil radical. 1.1.19. Định nghĩa tâm của R Cho vành R, tập hợp:C = {c  R / cr = rc,  r  R được gọi là tâm của vành R. 1.2. Đại Số Trên Vành Để tiện cho việc trình bày được ngắn gọn, ta quy ước: - Vành A được hiểu là vành không giao hoán, có đơn vị. - Vành K là vành giao hoán, có đơn vị và được dùng làm vành cơ sở - I deal không được ký hiệu là - Ideal được hiểu là ideal hai phía 1.2.1. Định nghĩa đại số A A được gọi là đại số trên vành K giao hoán có đơn vị nếu: - A là K – mođun - A là vành - với mọi k K; với mọi a, b  A : k(ab) =(ka) =a(kb) Từ đây nếu không nói gì thêm, đại số A được hiểu là đại số có đơn vị trên vành K 1.2.2. Định nghĩa đại số đối A0 Đại số đối của đại số A là đai số: * A0 = A như là K- môđun * Phép nhân trên A0, ký hiệu *, được xác định: với mọi a, b A0, a*b =b.a 1.2.3. Định nghĩa Nếu A, B là K- đại số thì A B k  cũng là đại số 1.2.4. Định nghĩa đại số con Cho đại số A và BA với 1A B. B được gọi là đại số con của A nếu B là K- đại số với phép toán cảmsinh trên A 1.2.5. Định nghĩa đồng cấu đại số Cho A, B là k- đại số. Ánh xạ f: A -> B gọi là đồng cấu đại số khi f vừa là đồng cấu vành, vừa là đồng cấu môđun. 1.2.6. Định nghĩa tích trực tiếp ( Ai ) iI là họ k – đại số. Tích trực tếp của họ đại số (Ai ) iI ký hiệu:  Ii iA là tích của các tập Ai, trên đó được trang bị một cấu trúc đại số. 1.2.7. Tích trực tiếp con 1.2.7.1. Định nghĩa Đại số A gọi là tích trực tiếp con của họ đại số Ai nếu tồn tại một đơn cấu    Ii iAA: sao cho: i là toàn cấu trong đó: i Ii ii AA:    là toàn cấu chiếu. 1.2.7.2. Định lý Cho đại số A là tích trực tiếp con của họ đại số (Ai) iI lúc đó:   0 Ii i và Ai A/ i . Trong đó: i = Ker  i 1.2.7.3. Định lý Cho đại số A và ( i ) i I là họ các ideal trong A sao cho:   0 Ii i .Lúc đó A đẳng cấu với tích trực tiếp con của( Ai ) iI, với Ai A/ i . I.2.8. Đại số nguyên tố 1.2.8.1. Định nghĩa Một đại số gọi là đại số nguyên tố khi là ideal nguyên tố 1.2.8.2. Định lý A là đại số. Lúc đó các mệnh đề sau là tuơng đương: a/ A là đại số nguyên tố b/ với mọi a, b A ; aAb = a =0 hoặc b = 0. c/ linh hóa phải của ideal phải là ideal d/ linh hóa trái của ideal trái là ideal e / với B,C là hai ideal của A và nếu B.C = thì B = hay C = 1.2.8.3 Định lý Tâm của đại số nguyên tố là miền nguyên 1.2.9. Đại số nửa nguyên tố 1.2.9.1 Định nghĩa Một đại số gọi là nửa nguyên tố khi nó không chứa ideal lũy linh nào khác ideal 1.2.9.2 Định lý Cho A là đại số. Các mệnh đề sau là tương đương: a/ A là đại số nửa nguyên tố b / là ideal lũy linh duy nhất của A c / với B, C là hai ideal khác của A và BC= thì BC = d / A là tích trực tiếp con của các đại số nguyên tố 1. 2.9.3 Định lý a/ Mọi đại số nguyên tố đều là đại số nửa nguyên tố b/ Mọi đại số không chứa nil ideal khác là đại số nửa nguyên tố I.2.9.4. Định lý A là đại số nửa nguyên tố,  là ideal tối tiểu phải khác . Lúc đó: eA , với e  , e 0 , e2 = e. 1.2.10. Đại số nguyên thủy 1.2.10.1. Định nghĩa Một đại số gọi là đại số nguyên thủy khi nó có môdun bất khả quy trung thành 1. 2.10.2. Định lý Đại số nguyên thủy là đại số nguyên tố 1.2.11. Đại số nửa nguyên thủy 1.2.11.1.Định nghĩa Một đại số gọi là đại số nửa nguyên thủy khi nó có môđun hoàn toàn khả quy và trung thành. 1.2.11.2. Định lý Mọi đại số nửa nguyên thủy khi và chỉ khi nó là tích trực tiếp của các đại số nguyên thủy. 1.2.12 Đại số đơn 1.2.12.1 Định nghĩa Đại số A gọi là đại số đơn khi A không chứa ideal con nào khác và A. 1.2.12.2. Định lý Tâm của đại số đơn là một trường 1.2.13. Đại số Artin Đại số A gọi là đại số Artin nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện: a/ mỗi tập con không rỗng các ideal của A đều có phần tử tối tiểu b/ mỗi dãy giảm các ideal của A đều dừng sau một số hữu hạn bước 1.2.14. Đại số địa phương Đại số dịa phương là đại số có một ideal tối đại duy nhất 1.2.15. Định nghĩa Cho đại số A. khi đó: i/ A được gọi là đại số lũy linh nếu tồn tại m: Am = ii/ A được gọi là đại số lũy linh địa phương nếu mọi tập con hữu hạn của nó đều sinh ra một đại số con lũy linh. iii/ Một ideal của A được gọi là lũy linh ( lũy linh địa phương, nil ideal ) nếu xem là đại số thì nó là đại số lũy linh (lũy linh địa phương, nil đại số). 1.3. Đồng Nhất Thức Trên Đại Số Để định nghĩa khái niệm đồng nhất thức đa thức của một đại số và một PI – đại số trước tiên ta xét đại số tự do trong một tập sinh đếm được trên vành giao hóan có đơn vị K. Giả sử X là vị nhóm tự do sinh bởi tập đếm được các phần tử x1, x2, . Thì K  X là tập sinh bởi 1, riii xxx ...21 của các đơn thức phân biệt. Hai đơn thức bằng nhau: riii xxx ... 21 = sjjj xxx ... 21      ,.....ji sr 11 Phép nhân được định nghĩa sao cho 1 là phần tử đơn vị và ( riii xxx ... 21 )( sjjj xxx ...21 ) = riii xxx ...21 sjjj xxx ...21 Xét K  X là đại số vị nhóm của X trên K. K  X vừa có cấu trúc môđun vừa có cấu trúc vành suy ra K  X là đại số tự do với tập đếm được các phần tử sinh xi. Tính chất cơ bản của K  X là nếu A là đại số bất kỳ trên K và  là ánh xạ từ X đến A thì tồn tại duy nhất đồng cấu : K  X -> A sao cho biểu đồ sau giao hoán: K  X sao cho  = i A i   Và nếu f  K  X , f  K m1 x,...,x đạisố con sinh bởi tập hữu hạn  m1 x,.....x với m nào đó. Ta viết f = f( x1, ..xm ) ảnh của đa thức này dưới đồng cấu : K  X -> A biến xi thành ai ( 1  i ) được ký hiệu: f(a1, .,am), Aa i  . 1.3.1. Định nghĩa đồng nhất thức f = f( x1, ..xm) là đồng nhất của A nếu f(a1, , am) = 0, Aa i  . 1.3.2 Định nghĩa đồng nhất thức sự Đa thức f được gọi là đồng nhất thức thực sự của A nếu f là đồng nhất thức của A và tồn tại một hệ số của f không linh hóa A. * Nhận xét Nếu f là đồng nhất thức mà trong đó có hệ số là 1 hoặc -1 thì f là đồng nhất thức thực sự. 1.3.3. Định nghĩa đồng nhất thức chính quy mạnh: Đồng nhất thức f của A đươcï gọi là đồng nhất thức chính quy mạnh nếu f  0 và các hệ số khác 0 của nó đều là các phần tử khả nghịch của K. 1.3.4 Định nghĩa PI-đại số Một đại số A trên vành giao hoán có đơn vị K được gọi là PI –đại số hay đại số với đồng nhất thức đa thức nếu tồn tại một đa thức f (a1, , am )  K  X là đồng nhất thức thực sự đối với mọi ảnh đồng cấu khác của A. 1.3.5. Định nghĩa đồng nhất thức chuẩn Trong K  nxx ,...,1 đồng nhất thức chuẩn n biến là: f( x1, ,xn)= Sn( x1, , xn) =     )n(Sym )n()1( Sg x.....x.)1( * Chú ý: Tổng này có n! đơn thức. Sym(n) là nhóm đối xứng bậc n ( )n(Sym = n!);  chạy khắp trong Sym(n); (-1)Sg bằng 1 hoặc -1 tùy thuộc vào  là phép thế chẵn hay lẻ. 1.3.6. Định nghĩa toán tử sai phân Cho f = f( x1, ..,xm )  K  X . Khi đó toán tử sai phân fij trong K  X xác định bởi fij ( x1, ..,xm) = f(x1,..,xi-1, xi+xj, xi+1,..xm) – f(x1,..,xi-1, xi,xi+1,..,xm) – f(x1,..,xi-1, xj, xi+1,..,xm) với 1 mi  1.3.7. Định nghĩa đa thức tâm Một đa thức f( x1, ..,xm) được gọi là đa thức tâm của đại số A nếu f( x1, ..,xm ) không là đồng nhất thức của A Và [ f( x1, ..xm), xm+1] là đồng nhất thức của A. 1.3.8. Định lý Kaplansy –Amitsur Nếu A là đại số nguyên thủy thỏa mãn đồng nhất thức thực sự bậc d thì tâm C của A là trường, A đơn và [ A:C] 2 2 d    . 1.3.9. Định lý Amitsur – Levitzky Đa thức chuẩn S2n là đồng nhất thức của Mn(K). 1.3.10. Định lý Kaplansky- Amitsur – Levitzky A là đại số nguyên thủy. Khi đó A thỏa mãn đồng nhất thức thực sự khi và chỉ khi A là đại số đơn và hữu hạn chiều trên tâm C của nó. Nếu d là bậc nhỏ nhất của đồng nhất thức thự sự của A thì d = 2n là số chẵn và [A:C ]= n2 đồng thời A thỏa mãn đồng nhất thức chuẩn Sd. Chương 2. XÂY DỰNG CÁC LOẠI RADICAL Trong chương này, chúng tôi sẽ đi vào trình bày về việc xây dựng các loại Radical trên: Vành giao hoán có đơn vị, vành không giao hoán (không nhất thiết có đơn vị) và đồng thời cũng là trên đại số A . Ở đây, khi nói đến đại số A trên vành K giao hoán có đơn vị ta có thể gọi tắt là đại số A để tiện cho việc trình bày. Mặt khác, khi nói đến Radical trên vành không giao hoán hay một đại số nào đó thì ta cũng có thể hiểu là Radical của đại số trên vành cơ sở của nó. 2.1. Radical Jacobson & Nil Radical (Trên vành Giao Hoán Có Đơn Vị) 2.1.1. Định nghĩa nil radical Nil radical của vành R (R là vành giao hoán có đơn vị) l