Luận văn Về một phương pháp không cổ điển giải số phương trình vi phân bậc nhất và bậc hai

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG…………………… Về một phương pháp không cổ điển giải số phương trình vi phân bậc nhất và bậc hai 2 LỜI NÓI ĐẦU Phương trình vi phân là mô hình mô tả khá tốt các quá trình chuyển động trong tự nhiên và kĩ thuật. Để nghiên cứu phương trình vi phân, người ta thường tiếp cận theo hai hướng: nghiên cứu định tính và giải số. Mặc dù đã có lịch sử phát triển hàng trăm năm, do còn nhiều bài toán cần giải quyết, giải số phương trình vi phân thường vẫn thu hút sự quan tâm mạnh mẽ của các nhà toán học và các nhà nghiên cứu ứng dụng. Trong giải số phương trình vi phân, người ta thường cố gắng tìm ra những phương pháp hữu hiệu bảo đảm sự hội tụ, tính ổn định và tính chính xác cao. Để làm được điều này, người ta thường tổ hợp các phương pháp đa bước để nhận được các phương pháp mới có bậc hội tụ, tính ổn định và cấp chính xác cao hơn. Phương pháp không cổ điển giải số phương trình vi phân thường bậc nhất và bậc hai do M. V. Bulatov (và Berghe) đề xuất trong vòng năm năm trở lại đây nằm trong hướng này. Luận văn Về một phương pháp không cổ điển giải số phương trình vi phân bậc nhất và bậc hai có mục đích trình bày các phương pháp của Bulatov và Berghe theo các tài liệu [4] (2009) và [9]-[11] (2003-2008). Luận văn gồm ba Chương. Chương 1 trình bày một số khái niệm và phương pháp cơ bản giải số phương trình vi phân. Trong mục 1.2 của Chương, chúng tôi trình bày các phương pháp số cổ điển theo một quan điểm nhất quán là xuất phát từ Quy tắc cầu phương cơ bản. Chương 2 trình bày phương pháp không cổ điển (do Bulatov đề xuất vào những năm 2003-2008) giải số hệ phương trình vi phân bậc nhất, phi tuyến và tuyến tính, theo các tài liệu [9]-[11]. Chương 3 trình bày phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình vi phân bậc hai, tuyến tính và phi tuyến, theo bài báo của M. V. Bulatov và G. V. Berghe ([4], 2009). 3 Thông qua việc tính toán đạo hàm, phân tích các hàm nhiều biến vào chuỗi Taylor và các phép biến đổi chi tiết, chúng tôi cố gắng trình bày các kết quả của M. V. Bulatov và G. V. Berghe một cách rõ ràng và chi tiết nhất. Để minh họa và kiểm chứng lý thuyết, chúng tôi đã lập trình trên MATLAB và tính toán trên máy các ví dụ của M. V. Bulatov và G. V. Berghe. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS-TS Tạ Duy Phượng (Viện Toán học). Xin được tỏ lòng cám ơn chân thành nhất tới Thầy. Tác giả xin tỏ lòng cám ơn Ban Chủ nhiệm , các Thày Cô và các cán bộ khoa Toán- Cơ – Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học Cao học. Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Lãnh đạo và các cán bộ, giáo viên Học viện Quân y đã tạo mọi điều kiện để tác giả hoàn thành tốt khóa học Cao học. Và cuối cùng, xin được cám ơn Gia đình, bạn bè đã thông cảm, sẻ chia, hy sinh và tạo mọi điều kiện cho tác giả trong suốt thời gian học Cao học và viết luận văn. Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2009 Tác giả Vũ Thị Thanh Bình 4 CHƯƠNG 1 Kiến thức chuẩn bị Trong Chương 1 chúng tôi nhắc lại những khái niệm cơ bản nhất của giải số phương trình vi phân nhằm thuận tiện cho trình bày ở các mục sau. 1.1. Bài toán Cauchy giải hệ phương trình vi phân Xét bài toán Cauchy tìm nghiệm của hệ phương trình  ( ) ( ( ), ), 0,1x t f x t t t   (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu 0(0)x x , (1.2) trong đó    , ,f x t x t là các hàm vectơ n - chiều, hàm f xác định trên hình hộp vô hạn   nRD  1,0: . Ở đây ta hiểu nghiệm theo nghĩa cổ điển và địa phương, tức là nghiệm của (1.1)- (1.2) là một hàm khả vi ( )x t trên  0, , 1  sao cho ( ) ( ( ), )x t f x t t  trên  0, và 0(0)x x . Cùng với bài toán (1.1), ta cũng xét trường hợp hàm ( , )f x t là tuyến tính, tức là ( , ) ( ) ( )f x t B t x g t  , trong đó ( )B t là ma trận cấp n n , còn ( )g t là vectơ n -chiều, tức là hệ tuyến tính  ( ) ( ) ( ), 0,1x t B t x g t t    . (1.3) Ta luôn giả thiết rằng các phần tử của ma trận ( )B t , của các vectơ  ,f x t , ( )g t là đủ trơn (có đạo hàm đến cấp cần thiết trong tính toán). Khi ấy theo định lí Picard- Lindelöf, hệ (1.1)-(1.2) có duy nhất nghiệm ( )x t trên toàn đoạn  0,1 (nghiệm có thể kéo dài được trên toàn bộ khoảng xác định, hay tồn tại nghiệm toàn cục, xem [8], trang 467). Lưu ý này là quan trọng trong giải số hệ phương trình (1.1)-(1.2). 5 1.2. Giải số bài toán Cauchy Để chứng minh định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.1)-(1.2), ta có thể xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ hội tụ tới nghiệm của bài toán (1.1)-(1.2) trên khoảng tồn tại nghiệm. Có hai phương pháp xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ: phương pháp giải tích và phương pháp số kết quả được cho dưới dạng bảng, như phương pháp Euler, phương pháp Runge-Kutta, phương pháp đa bước,... Dưới đây trình bày cách xây dựng các công thức Euler, Runge-Kutta,... xuất phát từ qui tắc cầu phương cơ bản (xem, thí dụ, [2]). 1.2.1. Quy tắc cầu phương cơ bản và giải số phương trình vi phân Quy tắc cầu phương cơ bản (basic quadrature rules) có thể được coi là phương pháp quan trọng để tính tích phân. Vì giải phương trình vi phân thường (1.1) với điều kiện ban đầu (1.2) tương đương với việc giải phương trình tích phân 0 0( ) ( ( ), ) t t x t x f x s s ds   (1.4) nên ta cũng có thể sử dụng quy tắc cầu phương cơ bản trong việc giải số phương trình vi phân. Trong mục này ta sẽ chỉ ra rằng, nhiều công thức sai phân cổ điển giải số phương trình vi phân có thể suy ra từ quy tắc cầu phương cơ bản. Trước tiên ta nhắc lại quy tắc cầu phương cơ bản (xem, thí dụ, [1]). Nội dung cơ bản của quy tắc cầu phương là: để tính tích phân ( ) b a f t dt ta thay ( )f t bởi một đa thức nội suy (interpolating polynomial). Tích phân của hàm ( )f t được xấp xỉ bởi tích phân của hàm đa thức (tính được chính xác). Giả sử ta có s điểm nội suy khác nhau 1 2, ,..., sc c c trong khoảng  ,a b . Đa thức nội suy Lagrange bậc nhỏ hơn s có dạng (xem [1]): 1 ( ) ( ) ( ) s j j j t f c L t   , 6 trong đó 1, ( )( ) ( ) s i j i i j j i t cL t c c     . Khi ấy 1 ( ) ( ) b s j j ja f t dt f c   . Các trọng số j được tính theo công thức ( ) . b j j a L t dt   Nếu 1s  thì đa thức nội suy 1( ) ( )t f c  và ta có: 1( ) ( ) ( ). b a f t dt b a f c  Ta nói độ chính xác (precision) của quy tắc cầu phương là p nếu quy tắc này chính xác cho mọi đa thức bậc nhỏ hơn p , tức là với mọi đa thức ( )kP t bậc nhỏ hơn p ta có: 1 ( ) ( ). b s k j j ja P t dt f c   Nếu 0( )b a h  thì sai số trong quy tắc cầu phương của độ chính xác p là 10( ).ph  Ta xét một số trường hợp đặc biệt.  Nếu chọn 1s  và 1c a thì ta có công thức xấp xỉ tích phân bởi diện tích hình chữ nhật ABCD (Hình 1.1): ( ) ( ) ( ). b a f t dt b a f a  (1.5) Nếu ( )x t là nghiệm của phương trình vi phân (1.1) - (1.2) (nghiệm của phương trình tích phân (1.4)) thì: ( ) ( ) ( ( ), ) t h t x t h x t f x s s ds      (1.6) Kết hợp với công thức (1.5) ta đi đến công thức: ( ) ( ) . ( ( ), )x t h x t h f x t t   (1.7) Gọi h là độ dài bước (stepsize) của biến độc lập t ( h có thể dương hoặc âm, khi h dương thì nghiệm được xây dựng về bên phải của điểm 0t và ngược lại, khi h âm 7 thì nghiệm được xây dựng về bên trái của 0t ). Dưới đây ta coi 0h  , trường hợp 0h  có thể được xét tương tự. Từ công thức (1.7) ta có 1 0 0 0. ( , )x x h f x t  ; 2 1 1 1. ( , )x x h f x t  ; .....; 1 . ( , )n n n nx x h f x t   . Đây chính là công thức Euler tiến quen thuộc. Hình 1.1  Nếu chọn 1s  và 1c b thì ta có công thức xấp xỉ tích phân bởi diện tích hình chữ nhật ABEF (Hình 1.2): ( ) ( ) ( ). b a f t dt b a f b  Từ đây ta có: ( ) ( ) . ( ( ), )x t h x t h f x t h t h     Suy ra công thức Euler lùi: 1 1 1. ( , )n n n nx x h f x t    . Hình 1.2 Hai phương pháp Euler tiến và Euler lùi là những phương pháp Runge-Kutta bậc nhất (có độ xấp xỉ bậc nhất).  Nếu chọn 1s  và 1 2 a bc  thì ta có công thức xấp xỉ tích phân bởi diện tích hình chữ nhật ABMN (Hình 1.3): ( ( ), ) . ( ( ), ) 2 2 t h t h hf x s s ds h f x t t     Từ đây ta có: Hình 1.3 ( ) ( ) . ( ( ), ) 2 2 h hx t h x t h f x t t     . O f x C D b B a A E b B a A F O f x 2 ba  M N b B a A O f x 8 Từ công thức trên ta có 1 [ ( ( ), ]2 2n n n n h hx x h f x t t     . Đây chính là phương pháp trung điểm (midpoind method).  Nếu chọn 2s  và 1 2,c a c b  thì 1( ) ( ) t bL t a b    và 2 ( ) .( ) t aL t b a    Suy ra 2 1 1 1 ( )( ) ( ) ( ) 2 2 bb b a a a t b t b b aL t dt dt a b a b            và 2 2 2 1 ( )( ) . ( ) ( ) 2 2 ab b a a b t a t a b aL t dt dt b a b a            Chứng tỏ ( ) [ ( ) ( )] 2 b a b af t dt f a f b  . Như vậy nếu xấp xỉ tích phân ( ( ), ) t h t f x s s ds   bởi công thức trên (bởi diện tích hình thang ABED, Hình 1.4) thì ta được: ( ( ), ) [ ( ( ), ) ( ( ), )] 2 t h t hf x s s ds f x t h t h f x t t      . Từ đây ta có công thức hình thang: 1 1 1[ ( , ) ( , )]2n n n n n n hx x f x t f x t     . Phương pháp điểm giữa và phương pháp hình thang là hai phương pháp ẩn, Hình 1.4 chúng có độ chính xác 2p  .  Nếu chọn 3s  và 1 2 3, ,2 a bc a c c b   thì, đặt h b a  , ta có: E D b B a A O f x 9 1 2 ( )( ) 22( ) ( )( ), 2( )( ) 2 a bt t b a bL t t t ba b ha a b            2 2 ( )( ) 4( ) ( )( ), ( )( ) 2 2 t a t bL t t a t ba b a b ha b            3 2 ( )( ) 22( ) ( )( ). 2( )( ) 2 a bt a t a bL t t a ta b hb a b            Suy ra 1 1 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 ( ) ( )[( ) ( )( )] [ ( ) ] 2 3 2 2 2 ( ) . 12 6 b b b a a a bb a a a b a bL t dt t t b dt t b t b dt h h a b t b a b t bt b t b dt h h b a h h                             và 2 2 2 2 3 2 2 4 4( ) ( )( ) ( )( ( )) 4 ( ) ( ) 4[ ( )] . 3 2 6 b b b a a a b a L t dt t a t b dt t a t a a b dt h h t a t a ha b h                       Do tính chất đối xứng (hoặc tính trực tiếp), ta có 3 1 6 h    . Từ các tính toán trên ta đi đến công thức Simpson: ( ) [ ( ) 4 ( ) ( )] 6 2 b a h a bf t dt f a f f b   . Suy ra công thức xấp xỉ nghiệm của phương trình vi phân 10 ( ) ( ) [ ( ( ), ) 4 ( ( ), ) ( ( ), )] 6 2 2 h h hx t h x t f x t t f x t t f x t h t h         và công thức sai phân 1 1 1[ ( , ) 4 ( ( ), ) ( , )]6 2 2n n n n n n n n h h hx x f x t f x t t f x t        . Đây là công thức ẩn của phương pháp Runge-Kutta kinh điển cấp bốn (classical fourth-order Runge-Kutta method). 1.2.2. Phương pháp Runge-Kutta 1.2.2.1. Dẫn tới phương pháp Runge - Kutta Vì phương pháp ẩn đòi hỏi tại mỗi bước phải giải một phương trình phi tuyến, điều này không đơn giản, nên ta cố gắng xây dựng các công thức Runge-Kutta hiển từ công thức hình thang ẩn, công thức điểm giữa ẩn và công thức Runge-Kutta kinh điển cấp bốn ẩn tương ứng như sau.  Trong công thức hình thang ẩn: 1 1 1[ ( , ) ( , )]2n n n n n n hx x f x t f x t     , ta thay giá trị 1nx  ở vế phải bằng công thức Euler tiến: 1ˆ ( , )n n n nx x hf x t   . Khi ấy ta được công thức: 1 1 1ˆ[ ( , ) ( , )]2n n n n n n hx x f x t f x t     Công thức này được gọi là phương pháp hình thang hiển (explicit trapezoidal method).  Bằng cách sử dụng xấp xỉ bậc nhất của ( ) 2n hx t  theo phương pháp Euler tiến: 1 2 ˆ ( , ) 2n n nn hx x f x t    và thay vào công thức của phương pháp trung điểm ẩn 1 ( ( , )2 2n n n n h hx x hf x t t     11 ta nhận được phương pháp trung điểm hiển (explicit midpoint method): 1 1 2 ˆ( , ) 2n n nn hx x hf x t      Từ phương pháp Runge-Kutta ẩn cấp bốn kinh điển 1 1 1[ ( , ) 4 ( ( ), ) ( , )]6 2 2n n n n n n n n h h hx x f x t f x t t f x t        , ta có công thức Runge-Kutta hiển bậc bốn kinh điển sau: 1 1 2 3 4( 2 2 ), 0,1, 2,...6n n hx x k k k k n       trong đó: 1 1 2 2 3 4 3 ( , ); ( , ); 2 2 ( , ); 2 2 ( , ). n n n n n n n n k f x t hk hk f x t hk hk f x t k f x hk t          1.2.2.2. Phương pháp Runge-Kutta tổng quát Nội dung cơ bản của phương pháp Runge-Kutta tổng quát như sau. Chia đoạn  0,1 thành một lưới đều it ih , 0,1, 2,...,i N , 1h N  , và kí hiệu ix là giá trị xấp xỉ  ix t , ( )i iB B t ,  i ig g t . Phương pháp Runge-Kutta cho bài toán (1.1)-(1.2) có dạng (xem, [2], [4]-[7]) 1 1 s i i i i i x x h b X     , (1.8) trong đó iX là vectơ n -chiều và là nghiệm của hệ phương trình phi tuyến          s j iijjiii hctXahxfX 1 , . (1.9) Các tham số ija , ic , ib xác định bậc xấp xỉ của phương pháp, còn s được gọi là số 12 nấc. Nếu 0ija  với mọi j i thì ta có phương pháp Runge-Kutta hiển. Khi ấy tính toán khá đơn giản ( iX được tính theo công thức truy hồi). Nếu 0ija  với j i nào đó thì ta có phương pháp Runge-Kutta ẩn. Khi ấy tại mỗi bước ta phải giải một hệ ns phương trình phi tuyến (tuyến tính nếu ( , ) ( ) ( )f x t B t x g t  ) để tìm s vectơ iX (mỗi vectơ iX có n tọa độ). Thường phương pháp Runge-Kutta được viết dưới dạng bảng Butcher (Butcher table) c A Tb Hai phương pháp Runge-Kutta quan trọng thường hay được sử dụng là phương pháp Runge-Kutta bậc hai và phương pháp Runge-Kutta bậc bốn. 1.2.2.3. Công thức lặp của phương pháp Runge-Kutta bậc hai Giả thiết rằng ta đã biết giá trị của x tại nt là nx . Phương pháp Runge-Kutta hiển hai nấc cấp hai sử dụng điểm ( , )n nx t để xấp xỉ giá trị của x tại điểm tiếp theo bằng công thức 1 1 1 2 2( ),n nx x h b k b k    (1.10) trong đó 1 2 2 21 1( , ); ( , ).n n n nk f x y k f x c h y ha k    Khái niệm s -nấc ( s -stage) thể hiện rằng số lần tính các giá trị của hàm f (tại các điểm khác nhau trong công thức Runge-Kutta) là s . Để tìm các phương pháp Runge-Kutta bậc hai, ta làm như sau (xem [2]). Khai triển Taylor hàm ( , )f x t theo phương trình (1.1) và theo công thức (1.10) rồi so sánh, ta đi đến kết luận: Các hệ số trong phương pháp Runge-Kutta cấp hai phải thoả mãn hệ phương trình 1 2 2 2 21 2 1 11, , 2 2 b b c b a b    . 13 Đây là một hệ ba phương trình (phi tuyến) bốn ẩn. Ta có thể chọn một hệ số, thí dụ, 2 0b  tự do. Khi ấy các hệ số còn lại biểu diễn qua 2 0b  bởi các công thức: 1 21b b  , 2 2 1 2 c b  , 21 2 1 2 a b  . Chọn 2 1 2 b  , thì 1 1 2 b  và 21 2 1a c  . Khi ấy ta có một phương pháp Runge-Kutta cấp hai cho phép tính 1nx  dựa trên công thức: 1 1 1( , ) ( ( , ) ) 2 2n n n n n n n n x x hf x t hf x hf x t t h      . Công thức này được gọi là phương pháp Runge-Kutta đơn giản (Simple Runge- Kutta Method) hoặc phương pháp tiếp tuyến cải tiến (Impoved Tangent Method), vì nó trùng với phương pháp Euler cải tiến. Nếu chọn 2 1b  thì 21 1 2 a  , 1 0b  và 2 1 2 c  . Khi ấy ta có công thức 1 1 1 2 2( ) . . ( ( , ), )2 2n n n n n n n h hx x h b k b k x h f x f x t t        . Phương pháp tính theo công thức trên được gọi là phương pháp Euler-Cauchy. 1.2.3. Phương pháp cổ điển đa bước Phương pháp cổ điển k -bước cho bài toán (1.1) có dạng (xem, [3], [4]-[7]) 1 1 1 0 0 ( , ) k k j i j j i j i j j j x h f x t           . (1.11) Phương pháp một tựa tương ứng với nó là 1 1 1 0 0 0 ( , ) k k k j i j j i j j i j j j j x hf x t              . (1.12) Đối với phương pháp này ta giả thiết rằng các giá trị xuất phát 1 2 1, ,..., kx x x  đã được tính tương đối chính xác. Nếu 0 0  và 0 0  thì phương pháp là phương pháp hiển. Nếu 0 0  và 0 0  thì ta có phương pháp ẩn. 14 1.3. Mô hình thử và ổn định của phương pháp số 1.3.1. Mô hình thử Để phân tích hiệu quả của các phương pháp, ta thường thử chúng trên mô hình G. Dahlquist (gọi là phương trình thử hay mô hình thử)    0, 0 , 0,1x x x x R t     , (1.13) trong đó  là một hằng số (thực hoặc phức). Nghiệm của phương trình này là 0)( xetx t . Ta thường viết IR i  , trong đó R và I tương ứng là các phần thực và phần ảo của  . Tương ứng với phương trình (1.13), xét phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất nn xx 1 , ,...2,1,0n , trong đó 0x cho trước và  nói chung là một số phức. Nghiệm của phương trình này là 0xx nn  . Ta thấy rằng nghiệm này bị chặn khi và chỉ khi 1 . Giả sử bước 0h cố định. Khi ấy giá trị của nghiệm chính xác tại các điểm nhtn  sẽ là 000 xxexex nnhtn n   , trong đó he  . Nếu nghiệm chính xác bị chặn thì 1 he . Điều này chỉ có thể xảy ra nếu 0Re  hh R . Điều này có nghĩa là, trên mặt phẳng với trục hoành )Re( h và trục tung )Im( h , miền ổn định của nghiệm chính xác phải là nửa mặt phẳng mở bên trái. Phương pháp một bước được gọi là ổn định tuyệt đối nếu 1 và ổn định tương đối nếu he  . Nếu  là thuần ảo và 1 thì ổn định tuyệt đối được gọi là ổn định tuần hoàn (P- ổn định). Khi miền ổn định của phương trình sai phân đồng nhất với miền ổn định của phương trình vi phân, lược đồ sai phân hữu hạn được gọi là ổn định - A. 15 Phương trình thử thường được sử dụng như một mô hình để dự đoán tính ổn định của phương pháp số giải hệ dạng tổng quát (1.1)-(1.2). Để thuận tiện, ta cũng có thể đưa ra các khái niệm ổn định tương tự như sau. Kí hiệu z h , mọi phương pháp Runge-Kutta (1.8)-(1.9) đều có thể viết dưới dạng 1 ( )i ix R z x  , trong đó ( )R z được gọi là hàm ổn định. Định nghĩa 3.1 Tập tất cả các điểm của mặt phẳng phức M mà ( ) 1R z  được gọi là miền ổn định của phương pháp (1.8)-(1.9). Nếu tập hợp đó chứa toàn bộ nửa mặt phẳng trái thì phương pháp được gọi là ổn định-A, còn nếu ngoài ra lim ( ) 0 z R z   thì phương pháp được gọi là ổn định-L(hay còn gọi là ổn định tiệm cận). 1.3.2. Sự ổn định của phương pháp Euler Phương pháp Euler áp dụng cho phương trình thử (3.1) có dạng   nnnnnnn xhhxxtxhfxx   1),(1 . Nghiệm của phương trình sai phân tương ứng là   01 xxhx nn n n   , trong đó h  1 . Phương pháp số là ổn định nếu 1 . Xét các trường hợp sau 1)  là số thực. Khi ấy 11  h , hay 02  h . 2)  là thuần ảo (  i , trong đó  là số thực khác 0). Khi ấy 111 22  hhi  . Chứng tỏ phương pháp là không ổn định nếu  là thuần ảo. 3)  là số phức ( IR i  ). Khi ấy     1111 22  hhhihh IRIR  , 16 nghĩa là h nằm trong hình tròn đơn vị tâm là  0;1 (Hình1.5). Hình tròn này tiếp xúc với trục ảo. Hình 1.5 Như vậy, chỉ có một phần rất nhỏ (hình tròn bán kính bằng 1) của nửa mặt phẳng trái là miền ổn định của phương pháp Euler. Với mọi giá trị khác của h trong nửa mặt phẳng trái và bên ngoài hình tròn này, nghiệm số sẽ bị phóng đại (blow-up) khi nghiệm chính xác triệt tiêu (decays). Phương pháp số này được gọi là ổn định có điều kiện. Để nhận được nghiệm số ổn định, bước h phải được chọn sao cho h nằm trong hình tròn. Nếu  là số thực âm thì từ điều kiện 02  h suy ra 02  h  . Nếu  là thực và nghiệm số không ổn định thì 11  h , nghĩa là h1 là một số âm và có trị tuyệt đối lớn hơn 1. Vì   01 xhx n n  nên nghiệm số sẽ đổi dấu qua mỗi bước. Sự thay đổi của nghiệm số mô tả khá rõ tính không ổn định. Tương tự, ta có thể xét tính ổn định của các phương pháp Euler cải tiến. Ta đi đến kết luận sau. Phương pháp Euler ẩn là ổn định-L và hội tụ cấp một; Phương pháp hình thang là ổn định-A và hội tụ cấp hai, còn phương pháp Euler hiển