Luận văn Xây dựng các L - Hàm p - adic

LỜI NÓI ĐẦU BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ---------------oOo -------------- CAO TRẦN TỨ HẢI XÂY DỰNG CÁC L-HÀM p-ADIC Chuyên ngành : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS.TS. MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 LỜI NÓI ĐẦU Mặc dù các số p-adic đã được xây dựng hơn một thế kỷ nhưng giải tích p-adic chỉ mới phát triển mạnh mẽ và trở thành một chuyên ngành độc lập trong khoảng 40 năm trở lại đây. Sự phát triển vượt bậc này chính là nhờ việc phát hiện những mối liên quan sâu sắc của giải tích p-adic với những vấn đề lớn của số học và hình học đại số. Chẳng hạn, A.Wiles đã dùng biểu diễn của các L-hàm p-adic của các dạng modula như là một công cụ chủ yếu để chứng minh định lý Fermat lớn nổi tiếng. Vì vậy việc nghiên cứu các L-hàm, các L-hàm p-adic đóng một vai trò quan trọng và then chốt trong lý thuyết số và chúng tôi đã chọn đề tài “ Xây dựng các L- hàm p-adic”. Trong luận văn này trình bày chi tiết cách sử dụng phép nội suy p-adic để xây dựng các L-hàm p-adic liên kết với các đặc trưng Dirichlet và tính giá trị của các L-hàm p-adic này tại s = 1 và tại các số nguyên s  2. Về bố cục, luận văn được chia làm ba chương. Chương 1. Đại số và giải tích p-adic. Trình bày các bước xây dựng trường số p-adic p , nêu một số tính chất đại số và giải tích của trường p-adic, khái niệm đại số các hàm chỉnh hình p-adic, đại số các hàm phân hình p-adic trên một tập mở nào đó để làm nền tảng cho việc xây dựng L-hàm p-adic. Chương 2. Hệ số Bernoulli và L-hàm phức. Bao gồm hai §. §1 trình bày về hệ số Bernoulli, đa thức Bernoulli, nêu khái niệm về đặc trưng Dirichlet từ đó định nghĩa hệ số Bernoulli tổng quát, đa thức Bernoulli tổng quát liên kết với các đặc trưng Dirichlet. §2 đưa ra khái niệm hàm zeta và L-hàm phức liên kết với đặc trưng Dirichlet , nêu một số tính chất cơ bản của L-hàm phức như : phương trình đặc trưng của L- hàm phức, thặng dư của 1nz)z(F tại z = 0, công thức n B ),n(L ,n  1 với n  1 và giá trị của L-hàm tại s = 1. Từ đó suy ra giá trị các hệ số Bernoulli tổng quát và tính chất của hàm zeta. Chương 3. Xây dựng L-hàm p-adic. Đây là chương quan trọng nhất của luận văn, trình bày chi tiết cách sử dụng phép nội suy p-adic để xây dựng các L-hàm p-adic liên kết với các đặc trưng Dirichlet và giá trị của nó tại s = 1 dựa theoIwasawa, đặc biệt chúng tôi đã tính giá trị L-hàm p-adic tại các điểm nguyên dương bằng cách sử dụng - biến đổi của một hàm số. Cụ thể chương III gồm năm §. §1. Phép nội suy hàm phân hình p-adic. Tìm điều kiện cần, điều kiện đủ để một dãy số p-adic trong p có thể nội suy thành hàm phân hình p-adic. §2. L-hàm p-adic. Như ta đã biết      n,BL(1 n, ) ( ) n  là các số đại số trên  nên ta xem chúng thuộc p . Một vấn đề đặt ra là có tồn tại hàm phân hình p-adic f sao cho n, B f(1 n) L(1 n, ) n       , n  0 hay không ? Rất tiếc dãy     n,B n không phải là dãy nội suy p-adic. Vì vậy chúng ta phải chỉnh sửa một chút để có được dãy nội suy p-adic. Trong § này chúng tôi chứng minh dãy     n bn với    ,nnnn Bp)p(b 11  , nn   là dãy nội suy p-adic. Do đó tồn tại hàm phân hình p-adic thoả n b nL np  ),1(  được gọi là L- hàm p-adic liên kết với đăc trưng . §3. Toán tử – biến đổi. Xây dựng – biến đổi và một số tính chất của nó. – biến đổi được xem như là một “công cụ” hữu hiệu để tính giá trị của L – hàm p-adic tại các điểm nguyên dương. §4. Công thức tính ),(Lp 1 . Xây dựng chi tiết cách tính giá trị của L-hàm p- adic liên kết với đặc trưng Dirichlet tại s = 1. §5. Công thức tính giá trị L-ham p-adic tại các điểm nguyên dương. Xây dựng chi tiết cách tính giá trị của L-hàm p-adic liên kết với đặc trưng Dirichlet tại tại các số nguyên s  2. Do khả năng và trình độ có hạn, trong luận văn này chắc chắn còn nhiều sai sót. Rất mong được sự cảm thông, góp ý chỉ bảo của quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp. Nhân dịp này chúng tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô ở Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh đã tận tình truyền thụ kiến thức, giúp đỡ trong suốt quá trình học tập. Đặc biệt xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Mỵ Vinh Quang đã trực tiếp ra đề tài hướng dẫn và cho những ý kiến quí báu. Tp.HCM, ngày 01/06/2009 Người thực hiện Cao Trần Tứ Hải CHƯƠNG 1. ĐẠI SỐ V GIẢI TÍCH p-ADIC. Trong chương ny chng tơi trình by những kiến thức cơ bản nhất về đại số v giải tích p-adic để phục vụ cho phần chính của luận văn (chương 3). §1. CÁC TRƯỜNG SỐ p-ADIC. 1.1.1. Trường số p-adic. Cho trước số nguyên tố p, mọi x  \ 0 đều có thể phân tích được dưới dạng 1 2 k 1 2 kx p p p ..p    trong đó 1 2 kp,p ,p ,...,p là các số nguyên tố phân biệt và 1 k, ,...,    .  được gọi là chỉ số p-dic của x, kí hiệu pord (x)  . Ta qui ước pord (0)   . Với mọi x, y  dễ dàng chứng minh được p p pord (xy) ord (x) ord (y)  và  p p pord (x y) min ord (x),ord (y)  . Khi đó ánh xạ trên  được xác định bởi p p ord (x) ord (x) p khi x 0x p 0 khi x= 0      lập thành chuẩn phi Archimade trên  , nghĩa là i) x 0, x , x 0 x 0      . ii) xy x y , x,y .   iii)  x y max x , y , x,y .     Nguyên lý tam giác cân có vai trò hết sức quan trọng trong trường với chuẩn phi Archimade : “Nếu x y thì  x y max x , y  ”. Chú ý rằng trên trường  với chuẩn trên là không gian định chuẩn không đầy đủ. Ta xây dựng được trường bao đủ p của  , chuẩn trên p là sự mở rộng chuẩn trên  . Mỗi phần tử trong p đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng m nm 0 1 nx a p ... a a p ... a p ...        với i0 a p 1   , i  - m, ma 0  được gọi là biểu diễn p-dic của x, khi đó mx p . Trường p  có các tính chất đặc trưng sau đây. i) p  chứa  . ii)  trù mật trong p  . iii) p  đầy đủ. Trường thoả ba tính chất trên được xác đinh duy nhất. Trường p  được gọi là trường số p-adic. Trường p không đóng đại số. Vành  p p p x : x 1      được gọi là vành các số nguyên p-adic. Đây là vành địa phương với ideal tố đại duy nhất  *p p pp x : x 1      . p  là tập compact nên p compact địa phương. Các tập  , , m m p 1     trù mật trong p với tôpô cảm sinh từ p . Trường p p pk / p / p F      được gọi là trường thặng dư của p . Tập    * * rp px x p r      cùng với phép nhân lập thành một nhóm gọi là nhóm giá trị của p . Gọi p là bao đóng đại số của p , với mỗi p , ta gọi  n n 1n 1 0 px a x ... a x    là đa thức tối tiểu của  . Khi đó p cùng với chuẩn được xác định bởi 1 n 0a  là không gian định chuẩn phi Archimade chứa p . Lúc này p lại không đầy đủ theo chuẩn trên. Bao đủ của p là không gian p-adic phức p . Đồng thời ta cũng có p không compact địa phương. p có trường thặng dư k là bao đóng đại số của pk F , nhóm giá trị    * * rp px x p r      . Dãy  n px  là dãy Cauchy khi và chỉ khi n 1 n n lim x x 0   . Nếu nnlim x x 0   thì tồn tại N > 0 sao cho nx x , n N   . Cho K là trường với chuẩn phi Archimade, M  0 là số p-dic cho trước. a,bK, ta nói a quan hệ đồng dư với b theo modulo M nếu a b M  . Kí hiệu a b ( mod M ) . Trên trường với chuẩn phi Archimade, quan hệ đồng dư theo modulo M là một quan hệ tương đương. Tiêu chuẩn Eisenstein : “Cho đa thức nn 1 0f(x)=a x +...+a x a , với i pa  , i 0,n thoả mãn ia 0 (mod p) với 0 i n 1   , na 0 (mod p), 0a 0 (mod 2p ). Khi đó f(x) bất khả quy trên p .” 1.1.2. Căn của đơn vị và đại diện Teichmuller . Căn bậc n của đơn vị trên trường F là nghiệm nào đó của đa thức nx 1 . Tập các căn bậc n của đơn vị lập thành nhóm cyclic cấp n. Căn của đơn vị là một căn bậc n của đơn vị với n là một số nguyên dương nào đó.  được gọi là căn nguyên thuỷ bậc n của đơn vị nếu nó là phần tử căn bậc n của đơn vị và không tồn tại số nguyên dương m < n sao cho  là căn bậc m của đơn vị, nói cách khác  có cấp là n trong nhóm cyclic các căn bậc n của đơn vị hay  là phần tử sinh. Bổ đề Hensel : “Cho  n0 1 n pF(x) c c x ... c x x     . Gọi  n 11 2 n pF '(x) c 2c ... nc x x     là đa thức đạo hàm của F(x).Cho pa sao cho F(a) 0 (mod p) và F'(a) 0 (mod p) . Khi đó tồn tại duy nhất pb là nghiệm của đa thức F(x) và b a (mod p) ” Áp dụng bổ đề Hensel, ta suy ra được trên trường p , phương trình px x 0  luôn có p nghiệm phân biệt 0 1 p 1a ,a ,...,a  thoả ia i (mod p) . Các nghiệm này tương ứng được gọi là các đại diện Teichmuller của 0,1,...,p 1 . Nhận xét rằng các đại diện Teichmuller của 1,2, . . , p -1 là các căn bậc p -1 của đơn vị. Hơn nữa nếu p > 2 thì các đại diện Teichmuller của 2,3, . . . , p -1 không là số hữu tỉ. Với mỗi pa , tồn tại duy nhất một đại diện Teichmuller 0ia sao cho 0ia a (mod p) . Kí hiệu 0i(a) a  được gọi là đại diện Teichmuller của a. Khi đó có thể kiểm tra được (ab) (a) (b)    và (a p) (a)    . Đặt  *p pU = x x 1    , pD 1 q   với 2 p khi p >2 q p khi p=2   , khi đó U là nhóm nhân các số nguyên p-dic khả nghịch và D là nhóm con của U chứa tất cả các phần tử dạng p1 qa , a  . Đặt  V 1  nếu p = 2, đặt V là nhóm cyclic gồm tất cả các căn bậc p -1 của đơn vị nếu p > 2. Với mỗi a U , ta dễ dàng chứng minh được (a) a (mod q)  do đó   1(a) a 1 (mod q)  . Đặt   1 pa (a) a 1 q D       , khi đó a được biểu diễn thành tích của (a) V  và  a D . Rõ ràng cách biểu diễn này là duy nhất nên U V D  . Gọi   là trường gồm tất cả các số phức đại số trên  . Do p  nên p  và mọi căn đơn vị trong p đại số trên  nên đều nằm trong  . Nhóm pV   có thể đồng nhất với nhóm nhân các căn bậc p – 1 của đơn vị trong p  ( nếu p > 2) hoặc là đồng nhất với nhóm nhân căn bậc hai của đơn vị trong p  (nếu p = 2). Vì vậy ta có thể xem (a)  , (a) đại số trên  . Khi đó ánh xạ : a (a)  từ   được gọi là đăc trưng Teichmuller. Trên trường p , nếu p > 2 thì căn bậc n của đơn vị tồn tại khi và chỉ khi n = p –1, nghĩa là căn đơn vị trong p chỉ có thể là các đại diện Teichmuller khác không, nếu p = 2 thì căn đơn vị chỉ có thể là 1 hoặc – 1 . Trên trường p đóng đại số nên tập căn bậc n của đơn vị gồm n số khác nhau. §2. CHUỖI LUỸ THỪA HÌNH THỨC p-ADIC. 1.2.1. Hàm chỉnh hình p-dic. Trên trường con K của trường p-dic đóng đại số p , xét chuỗi vô hạn n , ta nhận thấy n hội tụ khi và chỉ khi n x lim 0  . Ta gọi bán kính hội tụ của nn n p n 0 f(x) a x (a )      là số thực được xác định 1 nn n 1r lim sup a       . Chuỗi nn n 0 a x    hội tụ nếu x r , phân kỳ nếu x r . Nếu tồn tại 0 0x K, x r  sao cho nn 0 n 0 a x    hội tụ ( hoặc phân kỳ ) thì chuỗi n n n 0 a x    hội tụ ( hoặc phân kỳ ) x K, x r   . Xét chuỗi luỹ thừa nn n n 0 f(x) a x (a K)     , với x cố định thoả x r , nếu f(x) hội tụ thì f(x) có đạo hàm n 1n n 1 f '(x) na x      , hơn nữa f’ và f có cùng bán kính hội tụ. Từ đó suy ra hàm f(x) khả vi vô hạn lần. Vì lý do đó ta gọi hàm n n n n 0 f(x) a x (a K)     là hàm chỉnh hình trong quả cầu mở    KB (0,r) x K x r . Thương hai hàm chỉnh hình trên một tập mở nào đó gọi là hàm phân hình trên tập mở đó. 1.2.2. Đại số Banach các hàm chỉnh hình KP . Gọi K là trường mở rộng hữu hạn của p sao cho pK  . Khi đó K là trường compact địa phương với tôpô cảm sinh bởi chuẩn phi Archimade trên K. Gọi K[[x]] là đại số của tất cả các chuỗi hàm luỹ thừa hình thức của x. Với mỗi n n n 0 A A(x) a x K[[x]]      ta định nghĩa n n A sup a . Đặt  KP A K[[x]] A     . Rõ ràng KP là đại số con của K[[x]] và KK[x] P K[[x]]  , K[x] trù mật trong KP . Với nn K n 0 A a x P     và  p thoả mãn 1  ta có     nnna A 0 khi n . Do đó A chỉnh hình trong quả cầu mở  pB(0,1) x x 1    . Nhưng hàm chỉnh hình trong quả cầu mở B(0,1) chưa hẳn thuộc KP . KA(x),B(x) P  ; nn n 0 A(x) a x     , nn n 0 B(x) b x     ta dễ dàng khẳng định được i) A 0, A 0 A 0    . ii)  A B max A , B  . iii) cA c A , AB A B .  Vậy K(P , . ) là đại số định chuẩn trên trường K. 1.2.3. Mệnh đề. ( , . )KP là đại số Banach trên trường K. Chứng minh. Giả sử  kA là dãy Cauchy bất kỳ trong K(P , . ) , (k) n (k) k n n n 0 A (x) a x , a K     . Ta có (k) (l)k l n n n A A sup a a 0    khi k,l 0 . Suy ra  (k)n ka là dãy Cauchy trong K với n  0 nên (k)n nnlim a a K   , đặt nn n 0 A A(x) a x K[[x]]      ta chứng minh  kA hội tụ về A trong K(P , . ) . Thật vậy,  kA là dãy Cauchy suy ra (k) (l) n n n 0 , N 0 : sup a a , k,l N         . Cho l  ta được (k)n n n sup a a , k N     . Đặc biệt với k = N ta có (N) n n n sup a a    , mà  (N) (N)n n n na max a a , a , n   nên  n Na max , A , n   . Do đó  n NA max , A  hay n KA P . Hơn nữa từ (k) n n n sup a a , k N     suy ra kA A , k N     nên k k lim A A  trong KP . Vậy KP là đại số Banach. 1.2.4. Hàm logarithm p-adic. Chuỗi hàm luỹ thừa      n 1 n n 1 ( 1)log(1 x) x n có bán kính hội tụ là 1 trong p . Đặt     pD -1 1 khi hàm số plog : D  xác định bởi   n n n 1 ( 1)log log 1 ( 1) ( 1) n           được gọi là hàm logarithm p-adic. Sau đây là các tính chất cơ bản của hàm logarithm p-adic. log(xy) = logx + logy ,  x,y D và  x logxloge x, e x trong đó     nx n n xe n! . Bây giờ ta thác triển hàm logarithm p-adic từ plog : D thành  *p plog : mà vẫn đảm bảo tính chỉnh hình.  *px , giả sử  rx p với ar = , (a,b) = 1 b . Ta gọi p px là nghiệm nào đó của đa thức b ax p suy ra   b apx p . Khi đó       p1 p p xx = 1 x . Ta có   1 1 1x = (x ) x với  1(x ) là đại diện Teichmuller tổng quát của 1x , 1x  nằm trong quả cầu mở B(1,1) = D . Do đó   p 1 1x=x (x ) x . Đặt         n n1 1 n 1 ( 1) logx log x ( x 1) n , khi đó logx không phụ thuộc vào cách chọn nghiệm px và là hàm chỉnh hình trên *p . Đồng thời hàm này có các tính chất sau : i)     n n n 1 ( 1) logx (x 1) n với  x 1 1. ii) log(xy) = logx + logy ,  x,y *p . iii)  x logxloge x, e x trong đó     nx n n xe n! . iv) logp = 0. v)  *p plog : là toàn ánh. CHƯƠNG 2. HỆ SỐ BERNOULLI VÀ L-HÀM PHỨC. Chương này không liên quan gì với p-adic . Chúng tôi trình bày những kiến thức về hệ số Bernoulli, đa thức Bernoulli, nêu khái niệm đặc trưng Dirichlet từ đó định nghĩa hệ số Bernoulli tổng quát, đa thức Bernoulli tổng quát liên kết với các đặc trưng Dirichlet và L-hàm phức liên kết với các đặc trưng Dirichlet. Một vài kết quả mang tính hệ thống về tính chất của L-hàm phức chỉ được nêu ra không chứng minh. Bạn đọc nào quan tâm xin xem [1]. §1. HỆ SỐ BERNOULLI. ĐA THỨC BERNOULLI. 2.1.1. Hệ số Bernoulli. Hệ số Bernoulli thứ k (kí hiệu Bk) l tích của k! với hệ số thứ k trong khai triển Taylor của hm   t t t.eF(t) e 1 tại t =0.Tức là F(t) được khai triển theo chuỗi hm luỹ thừa của     nn n 0 tF(t) B n! . (2.1) Do đó nB là đạo hm cấp n của F(t) tại t = 0, Bn = F(n)(0). R rng cc nB , n 0 l số hữu tỉ B0 = 1, B1 = 12 , B3 = 1 6 , B3 = 0 , . . Ta cĩ t t t t t te t teF( t) t t F(t) e 1 e 1 e 1              . Khai triển Taylor tại t = 0 hai vế ta được n n n n n n 0 n 0 t t( 1) B t B n! n!          . Suy ra B0 = 1, Bn  0 với n chẵn khc khơng, B1 = 12 , Bn = 0 với n lẻ lớn hơn 1. 2.1.2. Đa thức Bernoulli. Xt hm hai biến (1 x)t tx t t.eF(t,x) F(t).e e 1     , khai triển Taylor hàm F(t,x) theo biến t tại t = 0, ta được n n n 0 tF(t,x) B (x) n!     . (2.2) Khi đó Bn(x) được gọi là đa thức Bernoulli thứ n  0. Vì F(t,x) = F(t).etx nn n n n n n n n 0 n 0 n 0 t t tB (x) B x n! n! n!                   suy ra n n i n i n i n B (x) B x i        với n 0. (2.3) Vì vậy Bn(x) là đa thức với hệ số hữu tỉ. Do B0 = 1 nn Bn(x) là đa thức đơn hệ bậc n, hơn thế nữa B0 (x) = 1, B1(x) = x + 12 , B2(x) = x 2 + x + 1 6 , . . v n n i n i n n i n B (0) B 0 B i        v ới n  0. 2.1.3. Đặc trưng Dirichlet. 2.1.3.1. Cho f l số nguyn dương,  */ f  l nhĩm nhn gồm tất cả lớp cc số nguyn tố cng nhau với f theo modulo f. Mỗi đồng cấu nhóm  * *: / f    từ  */ f  đến nhóm nhân các số phức khác không * được gọi là một đặc trưng Dirichlet theo modulo f.  biến đơn vị thnh đơn vị nn (1 f  ) = 1. R rng ảnh của  chỉ chứa những căn của đơn vị trong  , do đó ảnh của  chỉ gồm các số phức đại số trên  . Cho  là một đặc trưng Dirichlet theo modulo f. Khi đó ta có thể định nghĩa ' :   xác định bởi (a f ) khi (a,f)=1 '(a) 0 khi (a,f)>1      . Khi đó ' cĩ cc tính chất i) '(a) '(a f), a      ; ii) '(ab) = '(a) '(b), a,b     ; iii) '(a) 0   khi v chỉ khi (a,f) = 1. Ngược lại với mỗi ánh xạ ' :   thỏa ba tính chất trên ta cũng xác định được đặc trưng Dirichlet  theo modulo f :         *(a f ) '(a), a f / f    . Do đó ta có thể xem đặc trưng Dirichlet  theo modulo f l nh xạ   : thỏa mn ba tính chất như trn. Cho ’ là một đặc trưng Dirichlet theo modulo n, với n là ước số của f. Khi đó ánh xạ   : được xác định    '(a) khi (a,f)=1 (a) 0 khi (a,f)>1 là đặc trưng Dirichlet theo modulo f. Ta nói đặc trưng  được cảm sinh từ đặc trưng ’. Ta gọi đặc trưng Dirichlet theo modulo f là nguyên thủy nếu không tồn tại đặc trưng ’ theo modulo n với n < f sao cho  được cảm sinh từ ’. Khi đó f được gọi là conductor của . Cho p l số nguyn tố,  a ,    p(a) là đại diện Teichmuller của a. Dễ dàng chứng minh được ánh xạ   : là đặc trưng Dirichlet nguyn thủy với conductor   4 khi p = 2 q p khi p > 2 và được gọi là đặc trưng Teichmuller. Cho 1, 2 là hai đặc trưng nguyn thủy với conductor tương ứng là f1, f2 . Khi đó tồn tại duy nhất một đặc trưng nguyn thủy  với conductor f chia hết f1f2 sao cho (a) = 1(a)2(a) , a thoả (a, f1f2)=1.  được gọi là đặc trưng tích của 1 và 2, kí hiệu  = 1.2. Tập tất cả các đặc trưng Dirichlet nguyên thủy cùng với phép toán nhân ở trên lập thành nhóm Abel với + Đặc trưng đơn vị 0 thoả 0(0) = 1, a   \{0} được gọi là đặc trưng tầm thường. 0 có conductor 0f 1  . + Đặc trưng nghịch đảo của đặc trưng  là đặc trưng liên hợp : (a) (a)    , a . Nhận xét rằng nếu (N,f) = 1 thì (a) (N). (aN)    . Thật vậy , ta cĩ   (N) (N) v  (N) 0 (vì (N,f) = 1) nn      (N). (N) (N). (N) 1 v do đĩ     (a) (N). (N). (a)   (N). (aN) . Cho đặc trưng nguyên thủy bất kỳ  với conductor f = f > 1, xét tổng f a 1 S (a)    , do  là đặc trưng không tầm thường nên tồn tại a0 sao cho (a0)  1, khi đó      0/ f a+f a=1,2,...,f a a f a=1,2,...,f    nn f f 0 0 0 a 1 a 1 (a ).S (a ) (a) (a a) S           kéo theo ((a0) – 1 )S = 0 do đó f a 1 S (a) 0     (2.4) Từ (-1)(-1) = (1) = 1 suy ra (-1) =  1, đặt 0 khi (-1)=1 1 khi (-1)=-1       ta được ( 1) ( 1)     . 2.1.3.2. Bổ đề. Cho  là đặc trưng Dirichlet với conductor f > 1, p > 1 là một ước số của f. Khi đó tồn tại x sao cho       f1 x. 1 p . Chứng minh. Nếu p = f bổ đề hiển nhiên đúng nên ta chỉ xét p < f. Giả sử phản chứng  x ,       f1 x. 1 p . Chú ý rằng nếu (a,f) = 1 thì (a, f p ) =1, chiều ngược lạ