Luật mạnh số lớn trong đại số Von Neumann

Mục lục Lời mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Đại số von Neumann và vết . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Đại số Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Phép tính liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Đại số von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4 Phiếm hàm tuyến tính dương và biểu diễn . . . . 6 1.2 Toán tử đo được theo một vết . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Các tính chất cơ bản của phổ . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Khái niệm về toán tử không bị chặn . . . . . . . 9 1.2.3 Mở đầu về phép chiếu . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.4 Lý thuyết về toán tử τ− đo được . . . . . . . . . 12 1.3 Không gian Lp theo một vết . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.1 Hội tụ hầu đều trong đại số von Neumann . . . . 24 1.3.2 Các kiểu hội tụ ′′ hầu chắc chắn ′′ trong đại số von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3.3 Dạng không giao hoán của định lý Egoroff . . . . 28 1.3.4 Khái niệm về luật số lớn . . . . . . . . . . . . . . 29 2 Luật mạnh số lớn trong đại số von Neumann 31 2.1 Tính độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Hội tụ hầu đầy đủ trong đại số von Neumann . . . . . . 32 2.3 Định lý giới hạn mạnh cho dãy trực giao . . . . . . . . . 34 2.4 Mở rộng không giao hoán của định lý Glivenko-Cantelli . 41 2.5 Bất đẳng thức Kolmogorov đối với vết và một số hệ quả 44 2.6 Luật mạnh số lớn đối với vết . . . . . . . . . . . . . . . . 47 i MỤC LỤC 1 2.7 Tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn . . . . . . . . . . . 62 2.8 Chú ý và chú thích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Kết luận 70 Tài liệu tham khảo 72 Lời nói đầu Các tài liệu khoa học hiện tại đưa ra nhiều bằng chứng rằng các phương pháp đại số vốn đã cách mạng hóa toán học thuần thúy thì nay lại đang gây ảnh hưởng tương tự đối với khoa học vật lý. Tiếp cận đại số đối với cơ học thống kê và lý thuyết trường lượng tử là một ví dụ cho định hướng mới này. Gần đây nhiều tác giả đã mở rộng các định lý hội tụ điểm cơ bản trong lý thuyết xác suất và lý thuyết ergodic sang (ngữ cảnh) đại số von Neumann.Họ đã cung cấp một số công cụ mới cho vật lý toán và đồng thời tạo ra nhiều kĩ thuật hấp dẫn cho lý thuyết đại số toán tử. Mục đích chính của đề tài là trình bày bản chất của một số ý tưởng và kết quả từ lĩnh vực nói trên,chuyển các kết quả cổ điển đã biết trong lý thuyết xác suất đến các phiên bản không giao hoán của chúng, đưa vào các ứng dụng trong lý thuyết trường lượng tử. Đại số von Neumann là một sự tổng quát hóa không giao hoán rất tự nhiên của đại số L∞ và những cấu trúc tốt của nó đem lại khả năng thu được các phiên bản ′′ hầu chắc chắn ′′ của các định lý giới hạn .Trong đại số von Neumann, ta có thể đưa ra khái niệm hội tụ ′′ hầu đều ′′ tương đương với khái niệm hội tụ hầu chắc chắn trong đại số L∞.Kiểu hội tụ này sẽ là nền tảng cho toàn bộ đề tài. Nội dung của đề tài gồm hai chương : Chương 1 Trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho việc nghiên cứu chương 2 bao gồm các kiến thức nền tảng về giải tích và xác suất.Một số tính chất của hội tụ ′′ hầu đều ′′ trong đại số von Neumann. Chương 2 Nội dung chính của đề tài: ′′ Luật mạnh số lớn trong đại số von Neumann ′′ Trình bày các kết quả của Batty ,cùng một số kết quả khác. Nếu như trong xác suất cổ điển các dạng hội tụ theo xác suất ,hội tụ hầu chắc chắn và hội tụ trung bình của dãy biến nhiên đóng vai trò then chốt 2 Lời nói đầu 3 trong Luật số lớn thì ở đây chúng ta được tiếp cận với 1 kiểu hội tụ hoàn toàn mới ′′ hội tụ hầu đều ′′.Các định lý được chứng minh đối với trạng thái , đối với vết. Vì một trạng thái thì không cộng tính dưới trên dàn các phép chiếu nên các qui tắc và các kĩ thuật đối với trạng thái không vết khác nhiều và khó khăn hơn nhiều so với các qui tắc đối với vết. Đáng chú ý ở đây là các lập luận cần dùng đối với vết thường rất giống trường hợp cổ điển. Nhưng trong một số thường hợp thì chúng ta cần hướng tiệm cận mới . Hầu hết các kết quả được trình bày trong đề tài là kết quả mới. Một số nội dung của đề tài là một trong số các bài giảng tại Đại Học Tenessee ở Knoxville và tại Trung Tâm Quá Trình Ngẫu Nhiên (Centerfor Stochastic Processes) tại đại học North Carolina ở Chapel Hill (bởi R.Jajte) Nội dung của đề tài vẫn đang là hướng quan tâm của nhiều nhà toán học và vật lý học trong các lĩnh vực đại số toán tử và các ứng dụng của chúng như Lance 1976-1978 ; Goldstein 1981; Watanabe 1979; Yeadon 1975-1980; Kiinrinerre 1978;....... Trong quá trình tìm hiểu , nghiên cứu nội dung các công trình của người khác chúng tôi đã hệ thống , giới thiệu nhằm phác họa triển vọng ứng dụng các kết quả nghiên cứu của mình trong tương lai. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn khoa học của mình là PGS. TS. Phan Viết Thư, người đã đưa ra đề tài và hướng dẫn tận tình trong suốt quá trình nghiên cứu bản luận này. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, và các thầy cô giáo ở Viện Toán học -Viện KHCNVN đã tận tình giảng dạy ,tạo điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian Tác giả học tập và nghiên cứu. Hà Nội, năm 2009 Học viên Vũ Thị Hương Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày một số kiến thức cho việc nghiên cứu ở chương 2. Các khái niệm ,định nghĩa đưa ra để hiểu rõ các từ khóa của đề tài. Một vài khái niệm được trình bày theo nghĩa cổ điển ( và theo nghĩa mở rộng ). Nội dung bao gồm hai phần chính: Phần 1: Nghiên cứu về tính đo được theo một vết τ trên một đại số von Neumann (sự trình bày được chỉnh sửa từ tài liệu của E.Nelson [ 6 ] ). Phần 2: Trình bày lý thuyết về không gian Lp kết hợp với đại số von Neumann . Cụ thể là xây dựng không gian Lp theo một vết , cốt yếu của việc xây dựng các không gian Lp là lý thuyết toán tử đo được theo một vết trên đại số von Neumann ( lý thuyết này được phát triển bởi Haagerup ); Các khái niệm về hội tụ điểm...Tất cả các kiến thức trong chương này đều đã có, không thuộc phần sáng tạo của đề tài. Các khái niệm ,thuật ngữ , kết quả được dùng đều có thể tra cứu trong các tài liệu tham khảo kèm theo. 1.1 Đại số von Neumann và vết 1.1.1 Đại số Banach Kí hiệu C là trường số phức và xét các không gian tuyến tính trên trường phức. Định nghĩa 1.1.1. Giả sử A là không gian tuyến tính (phức) và trong 4 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5 A có phép nhân: A×A −→ A (x, y) 7−→ xy thỏa mãn các tính chất sau : 1. x(yz) = (xy)z; 2. (x+ y)z = xz + yz; x(y + z) = xy + xz; 3. α(xy) = (αx)y = x(αy), ∀x, y, z ∈ A, α ∈ C Khi đó , A được gọi là một đại số phức. Hơn nữa , nếu A là một không gian Banach (với chuẩn ||.||) thỏa mãn các tính chất sau : 4. ||xy|| ≤ ||x||.||y||; (x ∈ A, y ∈ B) 5. A chứa phần tử đơn vị e sao cho xe = ex = x (x ∈ A); 6. ||e|| = 1; thì A được gọi là một đại số Banach. Nếu phép nhân giao hoán thì gọi là đại số (đại số Banach) giao hoán . 1.1.2 Phép tính liên hợp Định nghĩa 1.1.2. Giả sử A là một đại số phức , ánh xạ x ∈ A → x∗ gọi là phép liên hợp nếu thỏa mãn các điều kiện sau : (i) (x+ y)∗ = x∗ + y∗ (ii) (λx)∗ = λ¯x∗ (iii) (xy)∗ = y∗x∗ (iv) (x∗)∗ = x Đại số phức A đóng đối với phép liên hợp gọi là ∗− đại số . Nếu A là đại số Banach đóng đối với phép liên hợp thì gọi là một ∗− đại số Banach . Nếu A là một ∗− đại số Banach thỏa mãn điều kiện ||x|| = ||x∗|| thì A gọi là đại số Banach liên hợp. Nếu ∗− đại số Banach thỏa mãn điều kiện ||xx∗|| = ||x||2, ∀x ∈ A thì gọi là một C∗− đại số CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6 Phần tử x ∈ A (A là ∗− đại số ) gọi là chuẩn tắc nếu xx∗ = x∗x. Gọi là Hermit nếu x∗ = x, unitar nếu x∗x = xx∗ = e, (e là đơn vị của A). Nếu A là C∗− đại số thì ||x|| = ||x∗||, ∀x ∈ A. Vậy mọi C∗− đại số đều là đại số Banach liên hợp. 1.1.3 Đại số von Neumann Định nghĩa 1.1.3. Giả sử H là không gian Hilbert, B(H) là đại số các toán tử bị chặn. A ∈ B(H) là một đại số con. Đại số A ∈ B(H) gọi là đại số von Neumann nếu: (i) A là kín đối với phép lấy liên hợp; (ii) I ∈ A (iii) A đóng đối với topo hội tụ yếu, tức là An w −→ A nếu :→ với mọi x, y ∈ H Như vậy đại số von Neumann là một C∗− đại số. 1.1.4 Phiếm hàm tuyến tính dương và biểu diễn Định nghĩa 1.1.4. (*) Giả sử A là đại số von Neumann. Phiếm hàm tuyến tính : Φ : A −→ C gọi là dương nếu: Φ(xx∗) ≥ 0, ∀x ∈ A (*) Φ gọi là phiếm hàm dương chính xác (đúng) nếu: Φ(xx∗) ≥ 0 và từ Φ(xx∗) = 0 suy ra x = 0 Đặc biệt : ||Φ|| = Φ(I) (*) Nếu Φ(I) = 1 thì Φ gọi là trạng thái Định nghĩa 1.1.5. Kí hiệu : A+ = {x ∈ A : x ≥ 0} . Ánh xạ τ : A+ → [0,∞] thỏa mãn tính chất : (i) τ(x+ y) = τ(x) + τ(y), x, y ∈ A+ CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7 (ii) τ(λx) = λτ(x), λ ≥ 0; x ∈ A+ (quy ước 0.∞ = 0) (iii) Nếu U là unitar thì : τ(UxU−1) = τ(x), ∀x ∈ A+ Khi đó τ gọi là vết của đại số A . Nếu : τ(x) <∞, ∀x ∈ A+ thì τ gọi là vết hữu hạn. Nếu : τ(x) = sup{τ(y)|y ≤ x; τ(y) <∞} thì τ gọi là vết nửa hữu hạn . Nếu : τ(x) = 0, x ≥ 0 mà suy ra x = 0 thì τ gọi là vết chính xác (hay vết đúng) Vết τ gọi là chuẩn tắc (Normal) nếu: τ(T ) = supα τ(Tα) trong đó Tα là dãy các toán tử tăng tới T . Đại số von Neumann gọi là hữu hạn (hay nửa hữu hạn) nếu với mọi x ∈ A, x 6= 0 tồn tại vết chuẩn tắc hữu hạn sao cho τ(x) 6= 0. Trên đại số von Neumann nửa hữu hạn luôn tồn tại một vết chuẩn tắc , chính xác nửa hữu hạn. 1.2 Toán tử đo được theo một vết Phần này ta sẽ định nghĩa khái niệm về tính đo được theo một vết τ trên một đại số von Neumann A và chỉ ra rằng tập A˜ các toán tử τ đo được là một ∗− đại số topo đầy đủ. Giả sử A là một đại số von Neumann nửa hữu hạn hoạt động trên không gian Hilber H và τ là trạng thái nửa hữu hạn chuẩn đúng trên A. 1.2.1 Các tính chất cơ bản của phổ Định nghĩa 1.2.1. Giả sử A là đại số Banach . G = G(A)− là tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của đại số A . Khi đó G lập thành một CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 8 nhóm . Phổ σ(x) của x ∈ A là tập hợp tất cả các số phức λ sao cho λe−x không có khả nghịch . C/σ(x)− được gọi là tập hợp chính quy của phần tử x. C/σ(x) = {λ : (λe− x)−1∃} Số ρ(x) = sup{|λ| : λ ∈ σ(x)} được gọi là bán kính phổ của phần tử x. Ta luôn chứng minh được rằng σ(x) 6= ∅, ∀x ∈ A. Định nghĩa 1.2.2. Giả sử a là toán tử tuyến tính với miền xác định D(a) . Kí hiệu D(a∗) = {g : ∃ ! g∗, = ∀f ∈ D(a)} với giả thiết D(a) = H. Khi đó D(a∗) là không gian con và toán tử a∗g = g∗, g ∈ D(a∗), g∗ là phần tử duy nhất để = là một toán tử tuyến tính. a∗ gọi là liên hợp của toán tử a. Nếu a ⊂ a∗ thì a gọi là toán tử đối xứng . Nếu a = a∗ thì a gọi là tự liên hợp. Khi a là toán tử đóng và D(a) = H thì khi đó D(a∗) = H và a∗∗ = a. Chú ý. Đại số con A của đại số B(H) gọi là chuẩn tắc nếu nó giao hoán và nếu T ∈ A thì T ∗ ∈ A. Định nghĩa 1.2.3. Toán tử P được gọi là toán tử chiếu nếu D(P ) = H;P ∗ = P = P 2 Như vậy , toán tử chiếu P là bị chặn và có sự tương ứng một - một giữa các toán tử chiếu và các không gian con đóng trong không gian Hilbert. Định nghĩa 1.2.4. Xét H là không gian Hilbert . (Ω, Σ) là một không gian đo, Σ là σ− trường. P là tập hợp các toán tử chiếu trong không gian Hilbert H. Ánh xạ E : Σ → P được gọi là một khai triển đơn vị trên (Ω, Σ) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn : 1. E(∅) = 0, E(Ω) = I CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 9 2. E(AB) = E(A)E(B) 3. E(A ∪B) = E(A) + E(B) nếu AB = ∅ 4. ∀x, y ∈ H hàm tập hợp Ex,y xác định bởi công thức Ex,y(A) = là một độ đo phức trên Ω Định lý 1.2.5. (Về biểu diễn Phổ) Nếu T ∈ B(H) và T là toán tử chuẩn tắc thì tồn tại đúng một khai triển đơn vị trên các tập con Borel của phổ σ(T ) của toán tử T sao cho T = ∫ σ(T ) λdE(λ) Nếu T là tự liên hợp thì σ(T ) ⊂ R. Khi đó T = b∫ a λdEλ Nếu T là toán tử unitar TT ∗ = T ∗T = I . Khi đó σ(T ) nằm trong vòng tròn đơn vị . Khi đó T = 2pi∫ 0 eiφdE(φ) 1.2.2 Khái niệm về toán tử không bị chặn Với các toán tử (tuyến tính) a, b trên H ta có thể định nghĩa tổng a+ b và tích ab là các toán tử trên H với miền xác định : D(a+ b) = D(a) ∩D(b) D(ab) = {ξ ∈ D(b) ∣∣∣ bξ ∈ D(a)} Các phép toán này có tính chất kết hợp, vì thế a+b+c và abc là các toán tử được định nghĩa tốt. Hơn nữa ,với mọi a, b, c ta có : (a+ b)c = ac+ bc và c(a+ b) ⊇ ca+ cb CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 10 Định nghĩa 1.2.6. Một toán tử a trên H là đóng nếu đồ thị G(a) của nó đóng trong H ⊕H ; a là trước đóng nếu bao đóng G(a) của đồ thị của nó là đồ thị của một toán tử đóng nào đó ( gọi là bao đóng của a , kí hiệu là [a]) ; a là xác định trù mật nếu D(a) trù mật trong H. Nếu a, b và ab xác định trù mật thì : (ab)∗ ⊇ b∗a∗ đẳng thức xảy ra nếu a bị chặn và xác định khắp nơi. Toán tử đóng , xác định trù mật a có biểu diễn cực: a = u|a| ở đây |a| là toán tử tự liên hợp dương , và u là một đẳng cự riêng với supp(a) là phép chiếu đầu của nó và r(a) , phép chiếu lên bao đóng của miền giá trị của a , là phép chiếu cuối của nó. Định nghĩa 1.2.7. Nếu tổng a + b của hai toán tử xác định trù mật a và b là trước đóng và xác định trù mật , thì bao đóng [a+ b] được gọi là tổng mạnh của a và b. Tương tự , tích mạnh là bao đóng [ab] nếu ab là trước đóng và xác định trù mật. Ta viết ||a|| = sup{||aξ|| ∣∣∣ ||ξ|| ≤ 1} với mọi toán tử xác định khắp nơi a trên H, bị chặn hoặc không. Khi đó ước lượng sau đây đúng : ||a+ b|| ≤ ||a||+ ||b||; ||ab|| ≤ ||a||.||b|| Kí hiệu A′ là hoán tập của A (hoán tập A′ của đại số von Neumann A là tập tất cả các b trong B(H) giao hoán với a trong A). Định lý hoán tập 2 lần von Neumann khẳng định A′′ = A. Định nghĩa 1.2.8. Toán tử tuyến tính a trên H được gọi là kết hợp với A (và ta viết aηA) nếu: ∀y ∈ A′ : ya ⊆ ay Ta kí hiệu A là tập tất cả các toán tử đóng , xác định trù mật kết hợp với A CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 11 1.2.3 Mở đầu về phép chiếu Kí hiệu Aproj là dàn các phép chiếu ( trực giao ) trong A . Đối với họ (pi)i∈I các phép chiếu trực giao trong A, kí hiệu :∧ i∈I pi; ( ∨ i∈I pi) là phép chiếu lên ⋂ i∈I piH; ( ⋃ i∈I piH) Ta có : ( ∧ i∈I pi) ⊥ = ∨ i∈I p⊥i ; ( ∨ i∈I pi) ⊥ = ∧ i∈I p⊥i ở đây p⊥ = 1− p là phép chiếu trực giao với p. Hai phép chiếu p và q là tương đương nếu p = u∗u và q = uu∗ với u ∈ A nào đó. Ta kí hiệu sự tương đương là ∼ . Các phép chiếu tương đương có cùng vết. Mệnh đề 1.2.9. Giả sử a là toán tử đóng, xác định trù mật kết hợp với A. Khi đó: supp(a) ∼ r(a) ở đây r(a) kí hiệu phép chiếu lên bao đóng miền giá trị của a. Với các phép chiếu p, q ∈ A ta có: (p ∨ q)− p ∼ q − (p ∧ q) kéo theo : τ(p ∨ q) ≤ τ(p) + τ(q) Tổng quát hơn : τ( ∨ i∈I pi) ≤ ∑ i∈I τ(pi) đối với họ tùy ý (pi)i∈I các phép chiếu trong A ( nếu I hữu hạn thì điều này kéo theo bằng qui nạp; đối với trường hợp tổng quát , sử dụng tính chuẩn tắc của τ ). Nhận xét 1.2.10. p, q ∈ Aproj : p ∧ q = 0 =⇒ p . 1− q CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 12 ( ở đây . có nghĩa ′′tương đương với một phép chiếu con của ′′ ). Thật vậy : p = 1− q⊥ = (p ∧ q)⊥ − p⊥ = (p⊥ ∨ q⊥)− p⊥ ∼ q⊥ − (p⊥ ∧ q⊥) . q⊥ = 1− q 1.2.4 Lý thuyết về toán tử τ− đo được Định nghĩa 1.2.11. Giả sử ε, δ ∈ R+ . Khi đó ta kí hiệu D(ε, δ) là tập tất cả các toán tử aηA sao cho tồn tại phép chiếu p ∈ A thỏa mãn : (i) pH ⊆ D(a) và ||ap|| ≤ ε (ii) τ(1− p) ≤ δ Khi pH ⊆ D(a) thì toán tử ap xác định khắp nơi , đòi hỏi ||ap|| ≤ ε kéo theo ap bị chặn . Mệnh đề 1.2.12. Cho ε1, ε2, δ1, δ2 ∈ R+ . Khi đó: (i) D(ε1, δ1) +D(ε2, δ2) ⊆ D(ε1 + ε2, δ1 + δ2) (ii) D(ε1, δ1).D(ε2, δ2) ⊆ D(ε1ε2, δ1, δ2) Mệnh đề 1.2.13. Giả sử ε, δ ∈ R+: (i) Nếu a là toán tử trước đóng , thì: a ∈ D(ε, δ) ⇒ [a] ∈ D(ε, δ). (ii) Nếu a là toán tử đóng , xác định trù mật với biểu diễn cực a = u|a| thì: a ∈ D(ε, δ) ⇔ u ∈ A, |a| ∈ D(ε, δ) Bổ đề 1.2.14. Cho a ∈ A và ε, δ ∈ R+ . Khi đó : a ∈ D(ε, δ) ⇔ τ(χ]ε,∞[(|a|)) ≤ δ ( ở đây χ]ε,∞[(|a|) kí hiệu phép chiếu phổ của |a| tương ứng với khoảng ]ε,∞[ ). CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 13 Chứng minh. ′′ ⇐′′ Đặt : p = χ[0,∞](|a|) . Khi đó: pH ⊆ D(|a|) và || |a|p|| ≤ ε ′′ ⇒′′ Với p ∈ Aproj nào đó ta có : || |a|p|| ≤ ε và τ(1− p) ≤ δ Giả sử: |a| = ∞∫ 0 λdeλ là phân tích phổ của |a| . Bây giờ: ∀ξ ∈ pH ta có: || |a|ξ||2 ≤ ε2||ξ||2 và : ∀ξ ∈ (1− eε)H{0} ta có: || |a|ξ||2 > ε2||ξ||2 Vì: || |a|ξ||2 = ∞∫ 0 λ2d(eλξ|ξ) = ∫ ]ε,∞[ λ2d(eλξ|ξ) nên: (1− eε)H ∩ pH phải là {0} ,tức là (1− eε) ∧ p = 0 Vậy 1− eε . 1− p, do đó τ(1− eε) ≤ δ CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 14 Mệnh đề 1.2.15. Cho a ∈ A¯ và ε, δ ∈ R+. Khi đó: a ∈ D(ε, δ) ⇔ a∗ ∈ D(ε, δ) Chứng minh. Giả sử a = u|a| là biểu diễn cực của a. Khi đó u là một đẳng cự của χ]0,∞[(|a|) = supp(a) lên χ]0,∞[(|a ∗|) = supp(a∗) = r(a) Do tính duy nhất của phân tích phổ suy ra với mỗi λ ∈ R+, u là một đẳng cự của χ]λ,∞[(|a|) lên χ]λ,∞[(|a∗|). Áp dụng bổ đề trên có điều phải chứng minh. Định nghĩa 1.2.16. Một không gian con E của H được gọi là τ− trù mật nếu ∀δ ∈ R+ , tồn tại phép chiếu p ∈ A sao cho pE ⊆ E và τ(1− p) ≤ δ. Mệnh đề 1.2.17. Giả sử E là không gian con τ− trù mật của H . Khi đó tồn tại một dãy tăng (pn)n∈N các phép chiếu trong A với pn ↑ 1, τ(1− pn) → 0, ∞∑ n=1 pnH ⊆ E . Chứng minh. Lấy các phép chiếu qk ∈ A, k ∈ N sao cho : qkH ⊆ E và τ(1− qk) ≤ 2−k. Với mỗi n ∈ N , đặt : pn = ∞∧ k=n+1 qk Khi đó pnH = ∞⋂ k=n+1 qkH ⊆ E CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 15 và τ(1− pn) = τ ( ∞∨ k=n+1 (1− qk) ) ≤ ∞∑ k=n+1 τ(1− qk) ≤ ∞∑ k=n+1 2−k = 2−n . Kéo theo: pn ↑ 1. Thật vậy, kí hiệu p là supremum của dãy tăng pn , ta có ∀n ∈ N : τ(1− p) ≤ τ(1− pn) ≤ 2 −n do đó τ(1− p) = 0 và p = 1. Hơn nữa ∞⋃ n=1 pnH ⊆ E Vậy nếu E là không gian con τ− trù mật của H thì E trù mật trong H. Bổ đề 1.2.18. (i) Cho p0 ∈ Aproj.Giả sử rằng : ∀δ ∈ R+, ∃p ∈ Aproj : p0 ∧ p = 0 và τ(1− p) ≤ δ. Khi đó : p0 = 0. (ii) Cho p1, p2 ∈ Aproj. Giả sử rằng ∀δ ∈ R+, ∃p ∈ Aproj : p1 ∧ p = p2 ∧ p và τ(1− p) ≤ δ. Khi đó: p1 = p2. Mệnh đề 1.2.19. Cho a, b ∈ A¯ và E là không gian con τ− trù mật của H chứa trong D(a) ∩D(b). Giả sử a|E = b|E . Khi đó a = b Chứng minh. Xét trong không gian Hilbert H2 = H ⊕ H đại số von Neumann A2 =  A A A A   được trang bị vết nửa hữu hạn chuẩn đúng τ2 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 16 xác định bởi τ2  x11 x12 x21 x22   = τ(x11) + τ(x22). Kí hiệu pa và pb là các phép chiếu lên đồ thị G(a) và G(b) của a và b .Vì a và b kết hợp với A nên G(a) và G(b) bất biến dưới tất cả các phần tử của A′2 = {  y 0 0 y   |y ∈ A′} và do đó pa, pb ∈ A2 . Giả sử δ ∈ R+ khi đó tồn tại một phép chiếu p ∈ A với pH ⊆ E và τ(1− p) ≤ δ/2. Đặt p2 =  p 0 0 p   Khi đó: τ2(1− p2) ≤ δ. Hơn nữa pa ∧ p2 = pb ∧ p2 Vì a và b thống nhất trên pH ⊆ E nên G(a) ∩ (pH ⊕ pH) = {(ξ, aξ)|ξ ∈ pH, aξ ∈ pH} = {(ξ, bξ)|ξ ∈ pH, bξ ∈ pH} = G(b) ∩ (pH ⊕ pH) Theo bổ đề trên , ta suy ra pa = pb, do đó a = b. Định nghĩa 1.2.20. Một toán tử đóng , xác định trù mật kết hợp với A được gọi là τ− đo được nếu với mọi δ ∈ R+ , tồn tại một phép chiếu p ∈ A sao cho pH ⊆ D(a) và τ(1− p) ≤ δ. Kí hiệu A˜ là tập tất cả các toán tử đóng , τ− đo được ,xác định trù mật Nhận xét 1.2.21. 1. Nếu a, b ∈ A˜ và a ⊆ b thì a = b. 2. Nếu a ∈ A˜, và a là đối xứng thì a tự liên hợp . 3. Nếu a đóng và p ∈ Aproj thỏa mãn pH ⊆ D(a) thì toán tử , xác định khắp nơi ap cũng đóng và bị chặn. Định nghĩa 1.2.22. Toán tử aηA được gọi τ− tiền đo được nếu với mọi δ ∈ R+ tồn tại phép chiếu p ∈ A sao cho pH ⊆ D(a), ||a|| <∞ CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 17 và τ(1− p) ≤ δ. Hay tương đương Giả sử aηA . Khi đó a là τ− tiền đo được khi và chỉ khi ∀δ ∈ R+, ∃ε ∈ R+ : a ∈ D(ε, δ) Mệnh đề 1.2.23. (i) Ta có A ⊆ A˜. (ii) Với a ∈ A˜ thì a∗ ∈ A˜. (iii) Cho a, b ∈ A˜ khi đó a+ b và ab xác định trù mật và tiền đóng , và [a+ b] ∈ A˜, [ab] ∈ A˜. (iv) A˜ là một ∗− đại số đối với tổng mạnh và tích mạnh. Từ đây ta sẽ bỏ qua kí hiệu [ ] trong kí hiệu tổng mạnh và tích mạnh. Định nghĩa 1.2.24. Với mọi ε, δ ∈ R+ , ta đặt N(ε, δ) = A˜ ∩D(ε, δ) tức là , N(ε, δ) là tập các a ∈ A¯, τ− đo được sao cho tồn tại phép chiếu p ∈ A thỏa mãn ||ap|| ≤ ε và τ(1− p) ≤ δ. Định lý 1.2.25. (i) N(ε, δ), với ε, δ ∈ R+ tạo