Một số mô hình dạng vi phân, sai phân trong kinh tế

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————o0o———— NGỤY THỊ THANH HẢI MỘT SỐ MÔ HÌNH DẠNG VI PHÂN, SAI PHÂN TRONG KINH TẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2009 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————o0o———— NGỤY THỊ THANH HẢI MỘT SỐ MÔ HÌNH DẠNG VI PHÂN, SAI PHÂN TRONG KINH TẾ Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN SINH BẢY Hà Nội - 2009 Lời cảm ơn Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Sinh Bảy. Nhân dịp này em xin chân thành cảm ơn Thầy đã giành nhiều công sức, thời gian để hướng dẫn, kiểm tra và giúp đỡ em trong việc nắm bắt các kiến thức chuyên ngành và trong việc định hình, hoàn thiện bản luận văn. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến lãnh đạo và các thầy trong Khoa Toán - Tin - Cơ, phòng Sau Đại học, trường ĐHKHTN, ĐHQGHN về kiến thức và những điều tốt đẹp mang lại cho em trong thời gian học tập tại trường. Xin chân thành cảm ơn các thầy, các bạn trong Xemina của tổ Giải tích, ĐHKHTN. Xin chân thành cảm ơn lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội, Trường THPT Chương Mỹ B về sự ủng hộ quý giá, về những điều kiện thuận lợi. Xin cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè về những lời động viên, những cử chỉ khích lệ, những sự giúp đỡ thân tình. Hà Nội 11/ 2009 Ngụy Thị Thanh Hải i Mục lục Lời cảm ơn i Bảng ký hiệu iii Mở đầu 1 1 Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển 2 1.1 Tóm tắt về lí thuyết ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Các phương pháp nghiên cứu tính ổn định . . . . . . . . . 3 1.2 Sơ lược về các hệ thống kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Một số mô hình kinh tế cổ điển có dạng vi phân, sai phân . . . . 8 1.3.1 Mô hình HAROD-DOMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 Mô hình tăng trưởng kinh tế SOLOW . . . . . . . . . . . . 10 2 Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng 14 2.1 Giới thiệu và xây dựng mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.1 Lập mô hình di cư lao động . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.2 Một vài hệ thức quan trọng của mô hình . . . . . . . . . . 18 2.2 Mô hình có hệ số khuếch tán lao động bằng không . . . . . . . . 21 2.2.1 Vấn đề tồn tại điểm cân bằng dương . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.2 Tính hút về điểm biên của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Mô hình có hệ số khuếch tán lao động dương . . . . . . . . . . . . 39 2.3.1 Sự tồn tại và ổn định điểm cân bằng dương . . . . . . . . . 39 2.3.2 Tính hút toàn cục của điểm cân bằng dương . . . . . . . . 40 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 ii Bảng ký hiệu a Hệ số khuếch tán lao động b Hệ số di cư lao động c Tỷ lệ gia tăng Vốn - đầu ra (thu nhập quốc dân) L Lao động K Vốn R Tỷ số Vốn - Lao động s Hệ số tiết kiệm X Hàm chi phí Y Hàm sản xuất µ Hệ số trượt giá iii Mở đầu Hệ thống kinh tế là một hệ thống phức tạp, chịu tác động của nhiều yếu tố. Thông thường để giải quyết một số các vấn đề kinh tế ta phải mô hình hóa bằng mô hình toán học. Để xây dựng mô hình toán cần thiết phải đưa vào các giả thiết nhằm đơn giản hóa mô hình. Đây là một vấn đề rất khó khăn và phức tạp, không có một mô hình nào có thể mô tả đầy đủ mọi vấn đề kinh tế cần giải thích và phải chấp nhận những sai khác với mức độ nhất định so với thực tế. Một mô hình kinh tế quá đơn giản thì ta có thể dễ dàng xây dựng và giải mô hình đó, nhưng nó thiếu tính chính xác khi bỏ qua nhiều yếu tố quan trọng của thực tiễn. Một mô hình kinh tế quá phức tạp có đầy đủ các yếu tố thực tiễn thì sẽ phải sụp đổ dưới sức nặng của chính nó. Do vậy ta cần phải dựa vào quan sát và các số liệu thống kê để đưa ra một mô hình vừa đủ để có thể giải quyết được, nhưng cũng đủ để đưa ra những dự báo, những giải thích, đánh giá có độ tin cậy. Các mô hình này thường được mô tả bởi các phương trình vi phân hoặc sai phân. Trong các mô hình này điều được quan tâm là tính ổn định của mô hình và để khảo sát tính ổn định của mô hình ta sử dụng lý thuyết ổn định. Lý thuyết này đã được xây dựng cuối thế kỷ 19 bởi nhà toán học người Nga V. I. Lyapunov. Từ đó đến nay lý thuyết này không ngừng phát triển và trở thành một hướng Toán học có nhiều thành tựu trong việc nghiên cứu định tính các quá trình thực tiễn [1-16]. Luận văn được nghiên cứu theo hướng này, đầu tiên đi xây dựng mô hình kinh tế sau đó khảo sát tính ổn định của mô hình này. Đây là mô hình có nhiều điểm mang tính thời sự, chưa được tìm hiểu nhiều. Bố cục luận văn gồm hai chương chính: - Chương 1: Giới thiệu về lý thuyết ổn định, các phương pháp nghiên cứu ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển. - Chương 2: Giới thiệu mô hình "Di cư lao động giữa hai vùng" và khảo sát tính ổn định của mô hình này. Đây là mô hình đã được một số tác giả nghiên cứu ([13, 14, 16]). Chúng tôi là người thu thập, tự tìm cách tái xây dựng lại mô hình, khôi phục lại việc chứng minh các kết quả, rút ra ý nghĩa kinh tế từ những mệnh đề thuần tuý Toán học trong các công trình trên. 1 Chương 1 Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển 1.1 Tóm tắt về lí thuyết ổn định 1.1.1 Khái niệm Xét hệ phương trình vi phân thường x˙ = f(t, x), (1.1) trong đó t ≥ 0, x ∈ X (X nói chung là không gian Banach, đôi khi lấy X = Rn), f : R+ ×D −→ X (D ⊆ X). f đủ tốt để thỏa mãn điều kiện về tồn tại và duy nhất nghiệm trên R+ ×D. Định nghĩa 1.1. Giả sử x = x∗(t) là một nghiệm của hệ (1.1). Nói nghiệm này ổn định nếu: ∀ t0 ≥ 0, ∀ > 0, ∃δ = δ(, t0) sao cho mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1) thỏa mãn: ||x(t0) − x∗(t0)|| < δ thì ||x(t) − x∗(t)|| < , ∀ t ≥ t0. Nếu x = x∗(t) ổn định và có tính hút, nghĩa là tồn tại δ1 > 0, sao cho: ‖x(t0) − x ∗(t0)‖ < δ1 ⇒ ‖x(t) − x ∗(t)‖ → 0 khi t → ∞ thì nghiệm nói trên (và bản thân hệ) được gọi là ổn định tiệm cận. Nếu δ, δ1 có thể chọn không phụ thuộc vào t0 thì các nghĩa ổn định trên được gọi là ổn định đều. Để bài toán được đơn giản, người ta thường cho thêm giả thiết f(t, 0) = 0 ∀t ≥ 0. Khi đó nghiệm x = x∗(t) thường lấy là nghiệm tầm thường x = x∗(t) ≡ 0. Nếu tồn tại N > 0, δ > 0 sao cho: ||x(t)|| ≤ Ne−δ(t−t0) ∀ t ≥ t0 thì nói hệ là ổn định mũ. 2 Chương 1. Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển 1.1.2 Các phương pháp nghiên cứu tính ổn định Khi số chiều của không gian không quá lớn hoặc dạng của hệ đơn giản, có thể tìm được công thức nghiệm tổng quát thì có thể khảo sát trực tiếp (được trình bày trong chương 2 của luận văn). Ngoài ra có thể khảo sát tính ổn định bằng phương pháp thứ nhất, phương pháp thứ hai của Liapunov hoặc các bất đẳng thức vi phân, tích phân (bất đẳng thức Gronwall-Belman và các bất đẳng thức mở rộng). a. Phương pháp thứ nhất Liapunov Tư tưởng chính của phương pháp là nghiên cứu tính ổn định của các hệ đơn giản trước sau đó phát triển kết quả cho các hệ phức tạp hơn, theo thứ tự: - Hệ tuyến tính thuần nhất dừng. - Hệ tuyến tính thuần nhất không dừng. - Hệ tuyến tính. - Hệ tựa tuyến tính. - Hệ phi tuyến. Hệ tuyến tính thuần nhất dừng Hệ tuyến tính thuần nhất dừng là hệ có dạng x˙ = Ax (1.2) t ≥ 0, x ∈ X. Phổ của hệ (1.2) là tập σ(A) = {λ ∈ C : (A− λI) không khả nghịch}. Nếu A là ma trận hằng cỡ n× n thì σ(A) = {λ ∈ C : det(A− λI) = 0}. Định lí 1.1. Nếu mọi phần tử của phổ σ(A) đều có phần thực âm thì hệ (1.2) là ổn định tiệm cận (hay trạng thái cân bằng tầm thường x ≡ 0 là ổn định tiệm cận). - Nếu mọi phần tử của phổ σ(A) đều có phần thực không dương và các phần tử có phần thực bằng 0 là nghiệm đơn thì hệ (1.2) là ổn định. - Nếu σ(A) có phần tử với phần thực dương thì hệ không ổn định. Tiêu chuẩn Hurwitz. Với A là ma trận hằng, cỡ n × n, việc tìm phổ σ(A) là khó, trong nhiều trường hợp người ta sử dụng dấu hiệu sau (định lý 1.2) để xét tính ổn định của hệ (1.2). 3 Chương 1. Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển Định lí 1.2. Giả sử phương trình đặc trưng det(A− λI) = 0 của hệ (1.2) là f(λ) = a0 + a1λ + a2λ 2 + · · ·an−1λ n−1 + anλ n có dạng chuẩn, nghĩa là a0 > 0 và an 6= 0. Khi đó mọi phần tử của phổ σ(A) (hay mọi nghiệm của phương trình đặc trưng) có phần thực âm nếu ma trận sau xác định dương (các định thức con chính đều dương). A =   a1 a0 0 0 0 . . . 0 a3 a2 a1 a0 0 . . . 0 a5 a4 a3 a2 a1 . . . 0 ... ... ... ... ... . . . ... a2n−1 a2n−2 a2n−3 a2n−4 a2n−5 . . . an   , trong đó as = 0 khi s n. . Hệ tuyến tính thuần nhất không dừng Hệ tuyến tính thuần nhất không dừng là hệ có dạng x˙ = A(t)x. (1.3) Với hệ này ta không còn khái niệm phương trình đặc trưng. Do đó, ta xây dựng phổ theo cách khác (định nghĩa 1.2). Định nghĩa 1.2. Giả sử x = x(t) là một nghiệm của hệ (1.3), ta gọi giới hạn χ[x] = lim t→+∞ 1 t ln‖x(t)‖ là số mũ Liapunov của nghiệm này. Tập hợp các số mũ Liapunov khác ±∞ của tất cả các nghiệm của hệ (1.3) được gọi là phổ Liapunov của hệ này. Định lí 1.3. Nếu A(t) là một ma trận hàm liên tục và bị chặn trên R+ ‖A(t)‖ ≤ C ∀ t ≥ 0 (0 < C < ∞) thì mọi nghiệm không tầm thường của hệ (1.3) đều có số mũ đặc trưng hữu hạn. Trong trường hợp này hệ (1.3) có đúng n số mũ đặc trưng (không nhất thiết khác nhau). Định lí 1.4. Hệ (1.3) là ổn định tiệm cận nếu số mũ đặc trưng cực đại âm λmax = max{λi} < 0 (λi là phần tử phổ của A(t)). 4 Chương 1. Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển . Hệ tuyến tính Hệ tuyến tính là hệ có dạng x˙ = A(t)x + f(t). (1.4) Nếu f(t) là một hàm liên tục, giới nội trên R+ thì tính ổn định của hệ (1.4) được suy trực tiếp từ tính ổn định của hệ (1.3). Hệ tựa tuyến tính Hệ tựa tuyến tính là hệ có dạng x˙ = A(t)x + f(t, x). (1.5) Giả sử A(t) là ma trận ổn định tiệm cận và tồn tại lân cận đủ nhỏ của điểm gốc O ∈ X sao cho với mọi x thuộc lân cận đó có ‖f(t, x)‖ ≤ α(t)‖x‖, trong đó α(t) là một hàm dương nào đó trên R+ và α(t) → 0 khi t → +∞ thì hệ (1.5) ổn định. Có thể thay điều kiện α(t) → 0 khi t → +∞ bởi điều kiện ∫ +∞ 0 α(t)dt ≤ c < +∞. Hệ phi tuyến Hệ phi tuyến là hệ có dạng x˙ = f(t, x) f(t, 0) = 0 ∀ t ≥ 0. (1.6) Giả sử hàm f(t, x) đủ tốt về khả vi theo x. Phân tích Taylor f(t, x) tại x = 0 ta có f(t, x) = ∂f(t, 0) ∂x x + g(t, x)x, trong đó g(t, x) = 0(||x||). Đặt A(t) = ∂f(t, 0) ∂x ta đưa hệ (1.6) về dạng x˙ = A(t)x + g(t, x). Vậy, nếu mọi số mũ Liapunov của ma trận ∂f(t, 0) ∂x đều âm (hay số mũ cực đại âm) thì hệ (1.6) là ổn định tiệm cận. 5 Chương 1. Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển b. Phương pháp thứ hai Liapunov Xét hệ x˙ = f(t, x) f(t, 0) = 0 ∀ t ≥ 0, (1.7) trong đó x ∈ X( hoặc x ∈ Rn) và f đủ tốt. Ta kí hiệu K là lớp các hàm số a(.) : R+ −→ R+, trong đó a(.) là hàm liên tục đơn điệu tăng trên R+ và a(0) = 0. Định nghĩa 1.3. Một hàm V (t, x) khả vi liên tục theo t và theo x trên một lân cận R+ ×D ⊆ R+ nhận giá trị trong R+ V : R+ ×D −→ R+, V ∈ C (1,1) t,x (R + ×D) được gọi là một hàm Liapunov của hệ (1.7) nếu: i) V (t, 0) = 0 ∀ t ≥ 0. ii) Tồn tại hàm a ∈ K sao cho a(||x||) ≤ V (t, x) ∀(t, x) ∈ R+ ×D. iii) dfV (t, x) = ∂V ∂t + ∂V ∂t f(t, x) ≤ 0, ∀ (t, x) ∈ R+ ×D. Trường hợp V (t, x) là hàm Liapunov và tồn tại b, c ∈ K sao cho V (t, x) ≤ b(||x||) ∀(t, x) ∈ R+ ×D, dfV (t, x) ≤ −c(||x||) ∀t ∈ R +, ∀x ∈ D \ {0} thì V (t, x) được gọi là hàm Liapunov chặt của hệ (1.7). Định lí 1.5. Nếu hệ (1.7) có hàm Liapunov thì nó ổn định, có hàm Liapunov chặt thì nó ổn định tiệm cận đều. Lưu ý. Định lí trên đây chỉ cho điều kiện đủ về ổn định. Việc tìm hàm V (t, x) chưa có phương pháp tổng quát và hàm V (t, x) không duy nhất cho mỗi hệ. Người ta còn dùng hàm bổ trợ (hàm Liapunov) để khảo sát các định tính khác như tính giới nội, giới nội đều, dao động tuần hoàn của nghiệm. 6 Chương 1. Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển 1.2 Sơ lược về các hệ thống kinh tế Trong thực tiễn, các hoạt động kinh tế hết sức đa dạng, phức tạp và chịu tác động của nhiều yếu tố mang tính ngẫu nhiên. Chúng ta có thể sử dụng nhiều phương pháp, nhiều công cụ khác nhau để tiếp cận, phân tích và giải quyết chúng ở cả tầm vi mô và vĩ mô. Phương pháp mô hình là một trong những phương pháp hiệu quả kết hợp được nhiều cách tiếp cận hiện đại, đồng thời cũng kế thừa được nhiều mặt mạnh của các phương pháp truyền thống trong nghiên cứu kinh tế-xã hội. Trong phần này chỉ giới thiệu chung về một số thuật ngữ, khái niệm thường sử dụng trong các mô hình toán kinh tế. Đặc điểm của các biến số kinh tế Các biến Kinh tế nói chung thô ráp, không đơn giản và tròn trĩnh như những gì thường được dùng trong lý thuyết. Các mối quan hệ qua lại giữa chúng và quan hệ với các lĩnh vực khác của Xã hội như Chính trị, Văn hoá, Quốc phòng, Đối ngoại, ... lại càng phức tạp. Điều đó làm cho việc mô tả các mô hình trở nên khó khăn, thường là không sát lắm so với thực tiễn. Để có thể mô tả được chúng bằng ngôn ngữ của Toán học ta cần lý tưởng hoá chúng bằng các quy ước nhất định. Khi mô tả đối tượng và phân tích định lượng các hiện tượng và vấn đề kinh tế liên quan tới đối tượng, chúng ta cần xem xét và lựa chọn một số yếu tố cơ bản đặc trưng cho đối tượng và lượng hoá chúng. Các yếu tố này gọi là các đại lượng, các biến số (kinh tế) của mô hình. Chúng có thể thay đổi giá trị trong phạm vi nhất định. Nhờ được lượng hoá nên ta có thể quan sát, đo lường và thực hiện tính toán giữa các biến số này. Tuỳ thuộc vào bản chất của các biến, mục đích nghiên cứu, phân tích cũng như khả năng về ngôn ngữ dữ liệu liên quan mà các biến số kinh tế được phân loại như sau: - Biến nội sinh (biến phụ thuộc) là đối tượng được xác định trực tiếp hoặc gián tiếp bởi sự lựa chọn của các tác nhân. Tổng quát hơn, biến nội sinh là các biến toán học được xác định bằng cách giải mô hình. - Biến ngoại sinh (biến độc lập) là các biến nằm ngoài sự điều khiển của các tác nhân trong mô hình. Tổng quát hơn, biến ngoại sinh là các biến toán học được xác định bên ngoài phạm vi của mô hình kinh tế. Biến ngoại sinh còn được gọi là các tham biến. Tùy vào từng mô hình cụ thể ta có thể xác định được biến nào là biến nội sinh và biến nào là biến ngoại sinh. 7 Chương 1. Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển Xây dựng và phân tích mô hình i) Đặt vấn đề Chúng ta cần diễn đạt rõ vấn đề, hiện tượng nào trong hoạt động kinh tế cần quan tâm, mục đích là gì, các nguồn lực có thể tham gia nghiên cứu. ii) Mô hình hóa Quá trình mô hình hóa các đối tượng liên quan đến vấn đề đã đặt ra thường gồm các công việc sau: - Xác định các yếu tố, sự kiện cần xem xét cùng các mối liên hệ trực tiếp giữa chúng mà ta có thể cảm nhận trực quan hoặc căn cứ vào cơ sở lí luận đã lựa chọn. - Lượng hoá các yếu tố này của mô hình. - Xem xét vai trò của các biến số và thiết lập hệ thức toán học mô tả quan hệ giữa các biến. - Giải mô hình nhằm xác định mối quan hệ trực tiếp giữa các biến nội sinh và ngoại sinh cùng các tham số, tức là biểu diễn dưới dạng các hệ thức khác nhau giữa từng biến nội sinh theo biến ngoại sinh và tham số và có thể theo biến nội sinh khác. Phân tích mô hình Khi chúng ta đã tìm được nghiệm mô hình là một biến nội sinh phụ thuộc vào các biến ngoại sinh và tham số, chúng ta quan tâm phân tích là khi biến ngoại sinh thay đổi giá trị sẽ tác động như thế nào tới nghiệm. Từ đó chúng ta có thể dự báo được những thay đổi nào của môi trường sẽ ảnh hưởng tới biến đó. Kiểu phân tích này trong một mô hình toán kinh tế gọi là phân tích so sánh tĩnh. So sánh bởi vì chúng ta đang so sánh một điểm cân bằng ổn định với một điểm mới được tạo thành khi các tham số này thay đổi. Ổn định (hay tĩnh) vì chúng ta không thường xuyên xem xét điểm cân bằng trong trạng thái động, thay đổi từ vị trí này đến vị trí khác. Phân tích so sánh tĩnh thường đưa ra các dự báo mang tính chất định tính. Chúng ta chỉ quan tâm đến kết quả định tính hoặc những thay đổi lớn vì các mô hình toán thường trừu tượng và thiếu sự phù hợp với thực tế, điều đó dẫn tới kết quả dự báo chưa có tính chính xác. 1.3 Một số mô hình kinh tế cổ điển có dạng vi phân, sai phân 1.3.1 Mô hình HAROD-DOMA Khi nghiên cứu sự tăng trưởng của một nền kinh tế, một trong những vấn đề được quan tâm là xác định mối quan hệ giữa sự tăng trưởng và nhu cầu về vốn. 8 Chương 1. Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển Nếu biết được mối quan hệ này, ta có thể tính được nhu cầu đầu tư của nền kinh tế nhằm đảm bảo yêu cầu tăng trưởng đã dự kiến. Mô hình này coi đầu ra của bất kỳ một đơn vị kinh tế nào đó, dù là một công ty, một ngành công nghiệp hay toàn bộ nền kinh tế phụ thuộc vào tổng số vốn đầu tư cho nó. Nếu gọi Yt là đầu ra (thu nhập quốc dân) trong giai đoạn t còn St là mức tích luỹ (tiết kiệm) thì St = sYt, trong đó s là một hằng số và được gọi là tỉ lệ tích luỹ trong GDP. Đầu tư It tỉ lệ với sự thay đổi của thu nhập quốc dân ở mỗi thời kỳ, nên ta có It = c(Yt − Yt−1), trong đó c là một hằng số và được gọi là tỉ số gia tăng vốn - đầu ra. Do tiết kiệm là nguồn gốc của đầu tư nên đầu tư luôn bằng tiết kiệm, tức làSt = It. Ta có mô hình tăng trưởng Harod-Domar St = sYt, It = c(Yt − Yt−1), St = It. Từ hệ trên ta có c(Yt − Yt−1) = sYt. (1.8) Phương trình (1.8) là phương trình sai phân tuyến tính cấp một thuần nhất hệ số hằng. Giải phương trình này ta tìm được Yt = ( c c− s )tY0. Tính ổn định theo thời gian phụ thuộc vào c c− s . Do c là tỉ số gia tăng vốn - đầu ra nên c > 1. Chính vì thế Yt tăng nhanh nhưng không bị dao động. Thu nhập sẽ phát triển không giới hạn và cũng có nghĩa là nó không bị chặn. Từ (1.8) ta thấy thu nhập ở mỗi giai đoạn bằng c c− s lần thu nhập của giai đoạn trước Yt = c c− s Yt−1. Tỉ lệ tăng trưởng giữa các giai đoạn được xác định là g = Yt − Yt−1 Yt−1 = c (c− s) Yt−1 − Yt−1 Yt−1 = s c− s . 9 Chương 1. Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển Vậy tỉ lệ tăng trưởng là g = s c− s . Mô hình Harod-Domar chỉ ra sự tăng trưởng là do kết quả tương tác giữa tiết kiệm với đầu tư, là động lực cơ bản của sự phát triển kinh tế. Đầu tư phát sinh ra lợi nhuận và gia tăng khả năng sản xuất của nền kinh tế. Tuy nhiên trong giả thiết của mô hình vẫn còn nhiều yếu tố bất cập như đầu tư tính theo tỉ lệ cố định với thu nhập. Có thể dẫn đến đầu tư nhanh hoặc chậm hơn mức cần thiết, gây ra tình trạng thiếu hoặc thừa năng lực sản xuất. 1.3.2 Mô hình tăng trưởng kinh tế SOLOW Mô hình được đặt tên nhà kinh tế học Robert Solow. Ông đã nghiên cứu mô hình dựa trên các dữ liệu thu thập ở Mỹ vào những năm 1950 đến năm 1970. Robert Solow đã được nhận giải thưởng Nobel về kinh tế năm 1986 do những đóng góp to lớn của ông về lý thuyết tăng trưởng. Khi xem xét nền kinh tế thế giới, chúng ta có thể dễ dàng nhận ra sự khác biệt rất lớn giữa các nền kinh tế. Từ đó chúng ta có thể đặt ra các câu hỏi như: Tại sao có nhiều quốc gia phát triển nhanh trong khi nhiều quốc gia khác lại không phát triển hoặc phát triển rất chậm? Làm thế nào để giải thích sự tăng trưởng kinh tế bền vững? Mô hình tăng trưởng kinh tế Solow có thể giúp chúng ta trả lời câu hỏi đó. Các giả thiết của mô hình Solow: - Thời gian là liên tục. - Nền kinh tế đơn giản cùng với công nghệ không thay đổi. - Không có sự tham gia của chính phủ hoặc thương mại quốc tế. - Mọi nhân tố sản xuất đều có việc làm. - Lực lượng lao động gia tăng theo tỉ lệ không đổi n = L′ L . - Giá trị ban đầu của vốn và lao động là K0, L0. - Hàm sản xuất dạng tân cổ điển (Hàm Cobb-Douglas) Y (t) = F [K(t), L(t)] = γK(t)αL(t)1−α. Để đơn giản ta ký hiệu Y = γKαL1−α, trong đó K là vốn, L là lao động. Y là hàm thuần nhất cấp một vì F (λK, λL) = λF (K,L) = λγKαL1−α. 10 Chương 1. Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển - Mô hình thoả mãn điều kiện ban đầu F (0, 0) = F (K, 0) = F (0, L) = 0. - Sản xuất cận biên là dương