Nghiên cứu đặc trưng kết cấu lắp ráp, tính toán và bôi trơn ổ lăn

Lời nói đầu Ngày nay cuộc cách mạng khoa học kỹ thuật ngày càng phát triển với tốc độ rất nhanh chóng. Do đó việc nghiên cứu về ma sát cũng đạt được nhiều thành tựu to lớn. Những thành tựu to lớn đó đã và đang được ứng dụng rộng rãi trong máy móc thiết bị như : nâng cao tuổi thọ của máy, độ chính xác và khả năng làm việc tin cậy của máy. Thực tế việc ứng dụng thuật ma sát (bôi trơn ma sát và mài mòn) trong ổ lăn đã làm cải thiện đáng kể chế độ làm việc của ổ lăn. Từ đó các nhà sản xuất đã tạo ra nhiều ý tưởng chế tạo ra nhiều loại ổ lăn với chế độ làm việc và bôi trơn hợp lý để giảm ma sát và tăng tuổi thọ... từ đó đã tạo ra năng suất cao trong sản xuất và hiệu quả kinh tế đạt được sẽ cao. Với đề tài được giao “ Nghiên cứu đặc trưng kết cấu lắp ráp, tính toán và bôi trơn ổ lăn“. Chúng em đã hoàn thành xong đề tài tốt nghiệp về ổ lăn với các nội dung chính sau : Phần I : Cơ học tiếp xúc herTz Phần II : ổ lăn : Chương I : Cấu tạo chung và các đặc tính kỹ thuật của ổ lăn Chương II : Các thông số lực và cách tính chọn ổ lăn Chương III : Dung sai và lắp ráp ổ lăn Phân III : Bôi trơn ổ lăn Phần IV : Cách bảo dưỡng và lắp ghép ổ lăn Phần I : CƠ học tiếp xúc hertz I. giới thiệu chung Khi hai bề mặt đối xứng tiếp xúc chịu tải, sự biến dạng trên bề mặt luôn luôn tồn tại, sự biến dạng có thể thuần tuý là đàn hồi hoặc có thêm biến dạng dẻo và do vậy luôn có sự thay đổi hình dạng bề mặt. Xét vĩ mô (kích thước lớn) thì biến dạng được xem như là độ cong của bề mặt, các đường thẳng, bán kính,...Tuy nhiên ở kích thước tế vi, không thể có bề mặt thực sự phẳng vì có độ nhấp nhô bề mặt và biến dạng sẽ được xem xét qua chuyển vị của các điểm. Khi các bề mặt tiếp xúc với nhau, ban đầu chỉ xảy ra tiếp xúc tại một số điểm hoặc các nhấp nhô. Tổng diện tích của tất cả các tiếp xúc đó thì được một diện tích tiếp xúc “thực sự”, tổng diện tích tiếp xúc thật sự này chỉ bằng vài % so với diện tích của bề mặt tiếp xúc.Trong vùng tiếp xúc thực sự đó, ứng suất thực sự sinh ra có tổng cân bằng với tải tác dụng. áp suất danh nghĩa hay biểu kiến tính bằng tải tác dụng chia cho diện tích tiếp xúc và nó có giá trị nhỏ hơn rất nhiều so vớ giá trị áp suất thực (áp suất cục bộ).Dạng tiếp xúc đó gọi là tiếp xúc gọi là tiếp xúc Hertz. Trong chương này chúng ta đã phân tích về tiếp xúc Hertz trên cả hình dạng vĩ mô và vi mô của bề mặt. Chúng ta bắt đầu khảo sát các điều kiện tiếp xúc Tribology đơn giản giữa hai bề mặt tiếp xúc profin bề mặt rắn với một mức độ lý tưởng như thực tế, đó là tiếp xúc giữa hai quả cầu, hai trụ, ở tầm vĩ mô chúng có thể là tiếp xúc giữa con lăn, viên bi và vòng trong của ổ bi. Trong khi đó ở tầm vi mô ta có thể mô hình hoá tiếp xúc giữa các nhấp nhô bề mặt với nhau. Chúng ta cần phải thiết lập biểu diễn ứng suất ở vùng tiếp xúc quan hệ với tải tác dụng, hình dạng của profin bề mặt và tính chất của vật liệu. Chúng ta cần nghiên cứu cả hai trường hợp : tiếp xúc chịu tải đơn giản và khi có ma sát giữa các tiếp xúc. II. Hình dạng bề mặt không tuân theo trong tếp xúc Chúng ta cần bắt đầu xem xét trường hợp một trụ dài chịu nén tiếp xúc với một bề mặt phẳng được coi là cứng, sau đó sẽ mở rộng ra các trường hợp khác khi các bề mặt khác tiếp xúc đều cong và chịu biến dạng nhưng trụ vẫn được coi là dài vô hạn. Cuối cùng chúng ta sẽ đưa ra trường hợp trong không gian ba chiều là trường hợp tiếp xúc của hai mặt cầu.Trên (hình 1.1) là hình dạng tiếp xúc giữa trụ dài chịu tải biến dạng và bề mặt phẳng cứng :(a) không chịu tải ;(b) chịu tải trên đơn vị chiều dài W/L. Khi không chịu tải ; (c) sự tiếp xúc giữa hai quả cầu biến dạng. Khi chịu tải (hình a), khe hở z giữa bề mặt phẳng cứng và bề mặt prôfin có được bằng việc ứng dụng định lý pitago : Có : Z = R- (R2 –X2)1/2 = R- R(1- ) (1.1) Nếu x<< R mà trong trường hợp chúng ta có thể triển khai căn bậc hai bằng định lý nhị thức là : Z = R – R[ 1 - ... + dạng _cao _hơn () ] Và vậy : Z = (1.2) Mặt khác chúng ta chọn để mô phỏng prrofin bề mặt các dạng parabol ở gần miền rất nhỏ gần vùng tiếp xúc. Bây giờ giả sử rằng khi có tải trên đơn vị chiều dài lực ứng dụng trụ biến dạng làm cho tâm dịch chuyển một cách thẳng đứng ở về phía mặt phẳng. Như vậy vùng tiếp xúc thực sự sẽ là một vệt dài hình chữ nhật xếp đối xứng về phía trục Z.Giả sử chiều dài này có bề rộng là 2a kéo từ x=-a đễn x= a. Điều này được nhìn thấy ở hình 1.1b. Mục đích của chúng ta là liên hệ kích cỡ của vết tiếp xúc mà được mô tả có bề rộng là 2a và với hình dạng hình học và với thuộc tính vật liệu của trục. Trong hình 1.1b thấy profin gốc của trục là đường nét đứt và rõ ràng là nếu chúng ta đưa ra điều kiện trong vùng tiếp xúc trong khoảng –a < x < a thì : z + w z = d. Trong đó w z đại diện cho chuyển vị thẳng đứng của mặt trục. Trong miền này < a ; w z = d - Z WZ = d - (1.3) ở ngoài vùng tiếp xúc tức> a vẫn có nơi tự do giữa trục và mặt phẳng vì vậy : W Z > d - (1.3b) Và độ lớn của khe hở h giữa hai bề mặt được chia ra làm hai biểu thức sau: h = Z + WZ - d = + WZ - d Nếu bây giờ bề mặt thứ hai vẫn coi là cứng như trước và cũng có khẳ năng biến dạng, cũng có profin làm trục (có trục song song với trục ban đầu), thì chúng ta có thể viết các phương trình tương đương với (1.3a) và (1.3b) như sau : Khi tham gia vào vùng tiếp xúc : W Z 1 + WZ 2 = d1 + d2 - - (1.5a) Khi ở ngoài vùng tiếp xúc : W Z 1 + WZ 2 > d1 + d2 - - (1.6) Trong đó các ký hiệu 1 và 2 quy cho hai bề mặt, và d2 là chuyển vị của tâm trục 2 về vị trí trục 1. Các phương trình đó có thể viết ngắn gọn bằng việc định nghĩa D =d1+ d2 là tổng của khoảng cách do tâm của hai trục chuyển vị và R là bán kính cong là : (1.7) Chú ý rằng R1 và R2 đều dương khi cách bề mặt đều lồi nhưng có giá trị âm nếu bề mặt nào là lõm khi đó ở trong vùng tiếp xúc tức là miềnÊ a thì : W Z 1 + WZ 2 = D + (1.8) Khi ở ngoài khoảng tức > a thì W Z 1 + WZ 2 > D + (1.9) Trường hợp phức tạp hơn, giữa hai hình trụ có các trụ không song song thì ở luận văn này không xét đến. Trạng thái tiếp xúc tương tự trong không gian ba chiều gồm có tiếp xúc hai quả cầu. Nếu bây giờ ta để cho hai bề mặt dạng cầu tiếp xúc thì vết tiếp xúc có dạng cung tròn như thấy ở (hình c) , mà có bán kính tiếp xúc là a. Các phương trình tương ứng với (1.8) và (1.9) bây giờ sẽ là : W Z 1 + WZ 2 = D - - với x2 + y2 Ê a2 Hoặc thay x2 + y2 = r2 ta có thể viết điều kiện tiếp xúc dạng : < a nên : W Z 1 + WZ 2 = D - (1.10) Và khi > a thì : W Z 1 + WZ 2 > D - (1.11) Vấn đề đặt ra là chúng ta phải đặt gốc để tìm ra sự phân bố áp suất mà khi bề mặt có chuyển vị tương hợp với các điều kiện đặc biệt đặt ra ở trên. Trong trường hợp của hai trụ tiếp xúc dài thì nói chung sự chuyển vị phải thoả mãn phương trình (1.8) và (1.9). Trong khi đó trường hợp của hai quả cầu thì điều kiện thoả mãn thích hợp là các phương trình (1.10) và ( 1.11 ). III. ứng suất bề mặt và sự phân bố áp suất bán elipse . Tải xuyên tâm Khi hai vật thể đều mang tải tiếp xúc thì các ứng suất tạo ra trong mỗi chúng có thể là hoàn toàn đàn hồi hoặc có thể đủ lớn để có thể biến dạng dẻo ở một hay vài vật thể. Nếu như sự biến dạng chỉ đơn thuần là trường ứng suất đàn hồi thì trong trường hợp của các kim loại (mà có môđun đàn hồi cao) phải có sức căng tương ứng nhỏ và vì vậy lý thuyết đàn hồi tuyến tính được áp dụng. Các diện tích tiếp xúc thực sự sẽ có kích thước nhỏ hơn so với các kích thước mà mô tả đặc tính hình dạng vĩ mô của các bề mặt. Trong ví dụ của chúng ta điều này có nghĩa là bề rộng (hoặc các bán kính) a của vùng tiếp xúc là nhỏ so với các bán kính của của các bề mặt cong tức là a / R << 1 Dưới điều kiện đó thì sự phân bố áp suất trong các vùng tiếp xúc có thể không ảnh hưởng nhiều bởi các điều kiện cách xa chúng.Giả sử đưa ra là các vật thể đặc có các đường khoảng cách là vô hạn từ điểm tiếp xúc ; trong thuật ngữ của môi trường liên tục chúng ta có thể coi như mỗi vật thể là nửa vùng bán vô hạn. Chúng ta bắt đầu với trường hợp không gian hai chiều bằng ví dụ các ứng suất đàn hồi và sự biến dạng trong của vật thể bán vô hạn chịu tải qua một dải hẹp. Mục đích của chúng ta là thiết lập dạng phân bố của áp suất, và phân bố áp suất liên quan gân bề mặt. Nó sẽ tăng khi khi có sự thay đổi của hình dạng của bề mặt được mô tả bằng các phương trình (1.8) và (1.9). Một lời giải đàn hồi đầy đủ sẽ cho chúng ta biết cấu trúc của ứng suất và sức căng tại mỗi điểm trong vật thể. Các ứng suất phải cân bằng đâu đó trong khối vật liệu và cũng cân bằng với tải ứng dụng trên biên. Sử dụng đàn hồi tuyến tính khi đó chúng ta có thể nhận được cấu trúc của sức căng từ biểu thức của ứng suất và để tạo được hệ thống sức căng thừa nhận đó thì phải thoả mãn các điều kiện hình dạng hình học tương hợp.Chúng ta sẽ giả sử trong không gian hai chiều, là các khe hẹp nằm song song với trục Y và đối xứng qua nó (qua trục Y), và vật liệu ở trong trạng thái có sức căng bề mặt ey = 0. Có giả thiết này để điều chỉnh bề dày vật thể có độ lớn cần thiết so với bề rộng của vùng tiếp xúc và trường hợp này là rất hay gặp trong các vấn đề tiếp xúc thực tế. Trong các trường hợp của sức căng bề mặt các phương trình cân bằng và trường hợp có thể được tổng quát hóa trong hệ toạ độ Đề_cac (các phương trình đạo hàm từ (1.12) đến (1.15)) như đã thấy trong các sách sức bền vật liệu tiêu chuẩn.Để cân bằng thoả mãn thì : + = 0 và + = 0 (1.12) Trong đó : , là các ứng suất pháp và t là ứng suất trượt tác động lên nhân tố của vật liệu tại điểm (x, z). Để cho tương hợp thì các sức căng tương ứng e, evà g phải thoả mãn phương trình : + = (1.13) Trong đó các sức căng được liên hệ với chuyển vị wvà Wcủa phần tử tại toạ độ (x, z) bởi liên hệ sau : ex = ; ez = ; và exz = + (1.14) Đàn hồi tuyến tính liên hệ với ứmg suất và sức căng theo định luật Hook thì sức căng bề mặt có thể viết như sau : ex = ez = (1.15) Trong đó E là mô đun đàn hồi , G là môđun trựơt đàn hồi, và v là hệ số Poisson. Các phương trình (1.13), (1.14), (1.15) là tự động thỏa mãn các ứng suất nhận được từ hàm ứng suất f (x, z) theo quan hệ sau : ; ; (1.16) Miễn là hàm f (x, z) thoả mãm phương trình sau : [] [] = 0 (1.17) Vấn đề là nếu đặt ra trong tọa độ (r, q) Thì hàm ứng suất f(r, q) phải thoả mãn dạng tọa độ cực của phương trình sau : [ ] [] = 0 (1.18) Và ứng suất tương ứng được đưa ra từ các phương trình: ; và (1.19) Các sức căng e, e, và trong trường hợp này có liên hệ với các chuyển vị wr và wf của một phân tố tại (r , q) là : ; ; (1.20) Và định luật Hook trở thành : er = eq = (1.21) Sự phân tích có thể bắt đầu bằng việc nghiên cứu các ứng dụng và biến dạng gây ra bởi một cường độ tải đường gây ra trên đơn vị chiều dài W / L tác dụng dọc theo trục y trên bề mặt của vật đặc bán vô hạn như chúng ta đã nêu và được minh hoạ ở (hình 1.2) Trường hợp ứng suất đàn hồi trong mặt phẳng ( r, q) Cho lọai tải này có thể đạt được thực sự từ hàm ứng suất AIRY (1.22) Tải này gây ra tương ứng sự phân bố áp suất ép có các hình dạng như các vân toả ra hướng về phía trục 0, là điểm tác dụng của tải, các ứng suất trong bán bề mặt được mô tả bằng các phương trình sau : và 0 (1.23) Bề mặt của bán không gian là tự do ứng suất tức 0 Trừ tại những điểm có tải tác dụng tức là ở chỗ đó r =0. Lý thuyết ứng suất vô hạn ở đây được gợi ý bằng phương trình (1.23) mà có r ở mẫu là phù hợp với tải tập trung dọc theo một đường. Trong thực tế vùng tiếp xúc phải luôn có một vùng giới hạn thậm chí có các bề rộng vô cùng nhỏ. Chúng ta cũng chú ý tới hai đặc điểm của phương trình (1.23) : Thứ nhất là khi r rất lớn thì ứng suất tiến tới 0, và thứ hai sr có độ lớn bằng -2W / p D = const trên vòng tròn có đường kính là D đi qua 0 (điều này có thể thấy ngay từ quan hệ hình học trên đường tròn có D cos q = r. Như vậy t rq = 0 cho thấy rằng sr và s q phải là các ứng suất chính vì vậy ứng suất trượt chính t r tại điểm (r, q) có giá trị là sr / 2. Hình (1.2) Cường độ đường tải tác dụng đều W/L trên đơn vị chiều dài ở bề mặt của vật thể đặc bán vô hạn.Hình (1.3) - vòng tròn MOHR ứng suất cho vật liệu tại điểm A trong (hình 1.2). Sự biến đổi từ một hệ thống toạ độ đến một hệ thống toạ độ khác có thể được vẽ bởi vòng tròn MOHR của trạng thái ứng suất cho một điểm đại diện như là điểm A ở hình 1.2. Các thủ tục này được minh hoạ trong hình 1.4 và dẫn đến các phương trình sau : (1.24) Để tìm sự thay đổi trong hình dạng của vật liệu dưới tác dụng của loại tải này chúng ta có thể thay thế ứng suất dư bởi phương trình (1.23) hoặc (1.24) bằng trạng thái thích hợp của định luật Hook.Ngay khi đó sức căng được thiết lập khi thực hiện lại công việc kết hợp các chuyển vị được dùng trog các toạ độ cực hoặc toạ độ Đề_các. Vấn đề quan tâm đầu tiên là hình dạng của bề mặt biến dạng, ở trong toạ độ cực đó là các giá trị của các chuyển vị xuyên tâm (hướng kính) và tiếp tuyến mà Wr mà Wq làm đại diện. Khi q = ± p /2 các biểu thức cho có chuyển vị đó có thể thấylà : Wr (q = ± p /2) = (1.25) Wr (q = + p /2) = Wr (q = - p /2) = (1.26) Phương trình (1.25) chỉ ra rằng tại tất cả các điểm trên biên của vật thể có một chuyển vị hằng số về phía gốc 0. Trong phương trình (1.26) hằng số r0 phản ánh việc chọn một số đã biết mà chỉ chuyển vị thẳng đứng được đo (khi r = r 0 thì chuyển vị bề mặt thẳng đứng Wq = 0) sự lựa chọn tuỳ ý cần thiết kết hợp với lựa chọn trên là đặc điểm không thể tránh được của các vấn đề biến dạng trong không gian hai chiều của vật thể bán không gian đàn hồi. Hình dạng của biến dạng bề mặt được thấy ở hình 1.2 mà việc chọn gía trị của r0 được chỉ ra. (2) Tải phân bố: Chúng ta đã biết rằng trong thực tế tải w được phân bố trong một vùng tiếp xúc có hạn như sự phân bố của áp suất p. Gía trị xác định của áp suất xen giữa hai bề mặt này có thể thay đổi với các giá trị dọc trục x vì vậy p là hàm của x qua đó chúng ta đã giả sử rằng sự phân bố đó là đối xứng về phía trục z , như sự phân bố được biểu diễn ở hình 1.4. Bây giờ chúng ta mong muốn thiết lập một kết quả của sự tạo thành ứng suất tại các điểm, chẳng hạn như điểm A (x, z) trong phần lớn các điểm của vật thể và chuyển vị chuyển vị thẳng đứng của điểm đặc biệt C (x, z) trên bề mặt. Vấn đề này chúng ta có thể đạt được bằng việc đưa ra tổng tải mà nó được đại diện bằng diện tích giữa sự phân bố của áp suất để tạo thành các tải đừơng thành phần mà qua mỗi đường tải thành phần này có thể áp dụng việc phân tích bằng các phương pháp ở các phần trước. ở đây đưa ra phương pháp của các lời giải xếp chồng đơn giản hơn đó là “ phương pháp hàm GREEN ‘’. Tải đặc biệt ở phần này có mật độ là pds tại điểm B(s, 0) ở hình 1.4. Các ứng suất tại điểm A do kết quả của tải đường này có thể được viết ngay từ phương trình (1.24) bằng việc thay x bằng x – z và W/ L bởi pds. Vậy tích phân của kết quả của tất cả các phân tử tải chúng ta có thể viết : ; (1.27) Hình 1.4 – Tải phân bố đối xứng trong không gian hai chiều kéo dài qua một khe hẹp với bề rộng là 2a Điều kiện này có nghĩa rằng nếu hình dạng của phân bố áp xuất P(s) được biết (ít nhất là trong nguyên tắc) khi trạng thái của ứng suất tại một số điểm trong vật thể có thể được đánh giá từ các phương trình trên. Trong thực tế đánh giá các tích phân là không phức tạp chỉ trong một vài trường hợp đặc biệt lớn hơn. Chuyển vị đàn hồi của bề mặt của vật thể có thể được thiết lập bằng nhiều cách giống nhau nhưng bằng tổng các chuyển vị do tất cả các phần tử tải tăng dần của mỗi độ lớn P(ds). Biểu thị các chuyển vị tiếp tuyến và thẳng đứng của điểm C bởi WX và WZ làm đại diện, từ WX = Wr tại điểm q = và WZ = Wo và từ phương trình (1.25), (1.26) Chúng ta có thể viết : WX = - (1.28) Và WZ = - (1.29) Bước thay đổi trong chuyển vị tại gốc mà nó ẩn trong phương trình (1. 25) cần phải được tách ra trong thứ tự tích phân của phương trình (1.28). Chú ý rằng lại một lần nữa phương trình các chuyển vị bề mặt thẳng đứng chứa một ẩn số r0 đại diện mà từ đó mức bề mặt thay đổi được đo. Các dạng phương trình có thể đưa ra ở dạng khác mà trong một số cách là tiện lợi hơn cho việc tính toán nếu biểu diễn ở dạng các Gradient chuyển vị dwX/dx và dwZ/dx, là : = P(x) (1.30) Và : = - ds (1.31) Một lời nhận xét quan trọng có thể được đưa ra từ một ví dụ của các phương trình đó. Từ việc định nghĩa, trên bề mặt thì ứng suất ex = khi đó chúng ta có thể cân bằng hai biểu cho extừ các phương trình (1.30) và (1.15). Trên bề mặt ứng suất pháp bằng độ lớn (nhưng trái dấu) với P(x) là áp suất ở mặt phân giới, do vậy thấy rằng : (1-v2) + v (1+v) P(x) = - (1- 2v) (1+v) P(x) (1.32) và : , mà bằng giá trị số với z Vì vậy chúng ta có thể nói rằng dưới bất cứ hệ thống áp suất bề mặt thông thường, ứng suất trong bề mặt xác định x tại một điểm dưới tải là nén (ngược chiều) và bằng độ lớn của áp suất pháp tác động tại điểm đó. Các ứng suất bề mặt ngược chiều đã sinh ra được xác định là đặc biệt quan trọng bởi vì chúng có ảnh hưởng là làm chận lại sự tấn công của đàn hồi dẻo ở lớp trên cùng của bề mặt, do đó làm tăng thêm sự chống lại của bề mặt đàn hồi với biến dạng dẻo. 3) Tiếp xúc đường : Để đánh giá các ứng suất bên trong và các chuyển vị thay đổi của các phân bố áp suất trong cả hai dạng hình học không gian hai chiều và không gian ba chiều thì một dạng phân bố riêng và thực tế quan trọng là đã mô tả trong không gian hai chiều bằng phương trình : P(x) = Po (1.33) áp suất tiếp xuác tăng từ 0 tại các cạnh dìa của vùng tiếp xúc (ở tại x=±a) tới một giá trị của của Po tại tâm ; profin áp suất là một nửa elipse. Tổng tải trọng trên đ ơn vị chiều dài của tiếp xúc được đưa ra bởi : = (1.34) Khi đó từ : = thì áp suất cực đại là : Po= (1.35) áp suất danh nghĩa Pm qua khe hẹp tiếp xúc và bằng và vì vậy : Pm=Po (1.36) Hình 1.5 – Biến dạng bề mặt phát sinh từ các ứng suất tiếp xúc bán elipse: tiếp xúc giữa một trụ tương ứng và một mặt phẳng đi qua miền -a < x < a ; (b) phân bố áp suất bán elipse với giá trị cực đại P0 trên đường tâm ; và (c) kết quả biến dạng bề mặt của mặt phẳng vật thể bán không gian. Hình dạng của bề mặt biến dạng thiết lập có thể tìm thấy bằng việc thay thế phân bố áp suất bán elipse và các phương trìng (1. 28) và (1. 29). viết x = vậy thì trong vùng tiếp xúc x < 1, di chuyển vị thẳng đứng Wz của bề mặt được đưa bởi biểu thức : Wz = (x2 + C) (1. 37) Trong khi ở ngoài vùng tiếp xúc tức : > 1 thì : Wz = ++ C + (1.38) Trong đó V = Const. Hình dạng của profin của bề mặt vật thể bán không gian với tải dạng này được phác họa trên hình 1.5.c. Hằng số C được chọn tại Wz = 0 và = 3. Sự phân bố của áp suất được quan tâm đặc biệt bởi vì việc làm oằn bề mặt của bán không gian phát sinh từ việc nó có thể tồn tại với các điều kiện liên quan đến tiếp xúc của hai trụ với liên quan tới các phương trình (1.8) và (1.9) miễn là a và W được liên hệ với phương trình : a2 = Điều kiện này có thể được viết ngắn gọn hơn bởi định nghĩa E * gọi là modul tiếp xúc bằng quan hệ : = + Do vậy : a2 = và vì vậy P0 = (1.40) a) b) Hình 1.6 – Tiếp xúc đàn hồi của trụ : (a) ứng xuất bề mặt dọc theo trục đối xứng Oz ; và (b) là các đường cong ứng suất trượt chính. Các ứng suất trong vật liệu dưới tải bề mặt này có thể tìm thấy bằng việc thay thế phân bố áp suất bán elipse vào phương trình (1.27). Tích phân dọc theo trục Z dẫn đến biểu thức cho các ứng suất chính và , tức là : = - Po (1.41) = - Po Độ lớn của ứng suất trượt chính t1 khi này là : t1 = - Po Biểu thức này cói giá trị MAX của 0, 30 Po dưới bề mặt tại điểm ở đâu đó mà Z = 0, 78 a. Sự đánh giá ; và t1 với chiều sâu z được vẽ ở hình 1.6.a, và các đường cong của các giá trị hằng t1 được thấy ở hình 1.6.b. Khi đưa ra hai thành phần trụ ban đầu được ép vào nhau chúng ta cần quan tâm tới khe hở chúng đó là kích thước h trong hình 1.5.a Rõ ràng khi h = 0 qua miền –a < x < +a thì -1 < < +1 ; Còn ở bên ngoài khe hở hàng được đưa bởi phương trình : = - ln (1.42) Hình 1.7 – Sự so sánh các phương trình (1.42) và (1.43) khi kết thúc ở các cạnh của miền tiếp xúc. Sự khác nhau là nhỏ