Quản trị rủi ro bằng mô hình VaR và phương pháp sử dụng Copula điều kiện

LỜI MỞ ĐẦU Cuộc khủng hoảng tài chính thế giới giai đoạn 2007-2010 gây ra sự đổ vỡ hàng loạt các hệ thống ngân hàng, tín dụng, tình trạng sụt giá chứng khoán trầm trọng và mất giá tiền tệ quy mô lớn bắt nguồn từ Hoa Kỳ và đã lan rộng ra nhiều nước trên thế giới. Cuộc khủng hoảng này phần nào cũng đã gây ra những tổn thất cho nền kinh tế và thị trường chứng khoán Việt Nam; gây ra những thiệt hại không nhỏ đối với các công ty niêm yết, các tổ chức tài chính, ngân hàng, và đặc biệt là các nhà đầu tư, những thiệt hại này nếu như được dự tính và đo lường từ trước phần nào có thể giảm thiểu được tổn thất xảy ra. Đứng trước những tổn thất, mất mát như vậy các tác nhân làm thế nào có thể nhận dạng, đo lường, kiểm soát được rủi ro để có thể phòng ngừa và giảm thiểu những rủi ro này, đó là vấn đề quản trị rủi ro. Đề tài “Quản trị rủi ro bằng mô hình VaR và phương pháp sử dụng Copula điều kiện” giới thiệu VaR như một công cụ để ước lượng trước giá trị tổn thất thị trường của danh mục và tài sản, trong đó có sử dụng hàm Copula điều kiện trong xác suất mang lại tính chính xác cao so với các phương pháp tính VaR truyền thống, giúp các tổ chức và nhà đầu tư có thể dự báo mức độ tổn thất của danh mục và thực hiện phòng hộ rủi ro. VaR là một giá trị đo mức độ tổn thất rất phổ biến, có vai trò trung tâm trong quản trị rủi ro, là một độ đo đơn giản nhưng khó để ước lượng. Lý thuyết Riskmetrics đưa ra để tính VaR thừa nhận các chuỗi lợi suất tài sản tuân theo quy luật phân phối chuẩn. Tuy nhiên, trong tài chính, điều kiện hàm phân phối của lợi suất tài sản tuân theo quy luật phân phối chuẩn là hiếm khi xảy ra. Lý thuyết Copula là một công cụ toán học rất mạnh cho hàm xác suất phân phối đồng thời do nó không bắt buộc các phân phối biên duyên phải là phân phối chuẩn, cho phép mở rộng xác định phân phối đồng thời cho n biến từ các hàm phân phối biên duyên của chúng và một hàm Copula. Mục tiêu nghiên cứu: + Trình bày mô hình VaR trên phương diện lý thuyết cũng như ứng dụng trong quản trị rủi ro tài chính. + Trình bày một số phương pháp ước lượng mô hình VaR trong đó nhấn mạnh phương pháp sử dụng Copula điều kiện, đồng thời áp dụng tính toán trên nhóm cổ phiếu REE và SAM trên Thị trường chứng khoán Việt Nam. Phương pháp nghiên cứu: Sử dụng các phương pháp mô hình toán kinh tế, phân tích kinh tế lượng, lý thuyết xác suất, thiết lập code trong phần mềm MATLAB để tiếp cận và ước lượng về mặt định lượng mô hình VaR. Đối tượng nghiên cứu: Quá trình phân tích và ước lượng mô hình VaR đối với hai cổ phiếu REE và SAM sử dụng trong quản trị rủi ro danh mục. Phạm vi nghiên cứu: Diễn biến cổ phiếu REE và SAM trong giai đoạn 16/2/2006 đến thời điểm quyết định nắm giữ danh mục(20/2/2009) và ước lượng mô hình VaR trong giai đoạn 23/9/2009 đến 12/2/2010. CHƯƠNG I: QUẢN TRỊ RỦI RO CỦA DANH MỤC VÀ PHƯƠNG PHÁP QUẢN TRỊ RỦI RO BẰNG MÔ HÌNH VaR 1.1-RỦI RO TÀI CHÍNH VÀ QUẢN TRỊ RỦI RO TÀI CHÍNH 1.1.1- KHÁI NIỆM RỦI RO VÀ RỦI RO TÀI CHÍNH Khái niệm về rủi ro có thể được hiểu đơn giản là những kết cục có thể xảy ra trong tương lai mà không được mong đợi. Rủi ro tài chính được quan niệm là hậu quả của sự thay đổi, biến động không lường trước được của giá trị tài sản hoặc giá trị các khoản nợ đối với các tổ chức tài chính và các nhà đầu tư trong quá trình hoạt động của thị trường tài chính. 1.1.2-PHÂN LOẠI RỦI RO Trong tài chính, rủi ro có thể xảy ra do nhiều nguyên nhân, tùy thuộc vào nguyên nhân xảy ra rủi ro có thể phân loại các hình thức rủi ro tài chính. Trong đề tài này, chúng ta tập trung vào rủi ro tài chính liên quan đến những thay đổi của giá cổ phiếu. 1.1.3-TỔN THẤT TÀI CHÍNH Những thiệt hại đối với nhà đầu tư do rủi ro tài chính gọi là tổn thất tài chính (Financial Loss). 1.1.4-QUẢN TRỊ RỦI RO (RISK MANAGEMENT) Quản trị rủi ro là quá trình tiếp cận rủi ro một cách khoa học toàn diện và có hệ thống nhằm nhận dạng, kiểm soát, phòng ngừa và giảm thiểu những tổn thất, mất mát, những ảnh hưởng bất lợi của rủi ro. Quản trị rủi ro bao gồm các nội dung: - Nhận dạng – phân tích – đo lường rủi ro; - Kiểm soát – phòng ngừa rủi ro; - Tài trợ rủi ro trường hợp xuất hiện rủi ro. Mô hình VaR - (Value at Risk) là một trong những phương pháp đo lường rủi ro thị trường của tài sản, danh mục. Đề tài quan tâm đến rủi ro trong một danh mục đầu tư phát sinh từ sự thay đổi giá cổ phiếu trên thị trường, thay đổi này là ngẫu nhiên khi giả định thị trường là hiệu quả khi tất cả những thông tin đều phản ánh trên giá trị của cổ phiếu. Sử dụng mô hình VaR như một cách đo lường và cảnh báo sớm những tổn thất về mặt giá trị của danh mục khi giá của mỗi cổ phiếu biến động giúp nhà đầu tư ước lượng mức độ tổn thất và thực hiện phòng hộ rủi ro. 1.2-VaR VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG 1.2.1-Nguồn gốc ra đời và quá trình phát triển Thuật ngữ VaR (Giá trị rủi ro - Value at Risk) đã được sử dụng rộng rãi và thực sự trở thành một lĩnh vực quan trọng trong khoa học kinh tế từ sau sự kiện thị trường chứng khoán sụp đổ năm 1987. Người đã tiếp cận giá trị VaR đầu tiên là Harry Markowitz vào năm 1952. 1.2.2-Khái niệm VaR VaR của danh mục tài sản thể hiện mức độ tổn thất có thể xảy ra đối với danh mục, tài sản trong một khoảng thời gian nhất định với mức độ tin cậy nhất định. VaR được định nghĩa như một giá trị ngưỡng sao cho xác suất để tổn thất danh mục trong khoảng thời gian nhất định không vượt quá giá trị này là một xác suất cho trước. 1.2.3-Mô hình VaR 1.2.3.1-Tiếp cận mô hình Giả sử rằng một nhà đầu tư quyết định đầu tư một danh mục tài sản P. Tại thời điểm t, giá trị của danh mục đầu tư là . Sau một khoảng thời gian , tức là tại thời điểm thì giá trị của danh mục đầu tư là . Khi đó, giá trị cho biết sự thay đổi giá trị của danh mục P trong khoảng thời gian . Vt Vk Hình 1.1: Biểu diễn thay đổi giá trị tài sản sau khoảng thời gian . t là một biến ngẫu nhiên khi đó cũng là một biến ngẫu nhiên. Fk(x) là hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên . Nếu ta xem xét P( ≤ xα) = α, với 0 < α < 1, thì giá trị xα gọi là “Phân vị mức α” của hàm phân bố Fk. 1.2.3.2-Mô hình VaR Hình 1.2: Đồ thị mật độ xác suất biểu diễn mức phân vị α. ---------= x fk(x) xa a Ngưỡng giá trị âm này chính là VaR. Như vậy VaR của một danh mục với chu kỳ k và độ tin cậy (1- α)100% là mức phân vị α của hàm phân bố Fk(x). Khi đó đại lượng này được ký hiệu là VaR(k, α) và mang giá trị âm. P( ≤ VaR(k, α)) = α. 1.2.3.3-Các giả thiết Tính dừng: Một chuỗi được gọi là dừng nếu kỳ vọng, phương sai và hiệp phương sai không thay đổi theo thời gian. Điều này cũng có nghĩa là phân bố xác suất của chuỗi là không thay đổi theo thời gian. Bước ngẫu nhiên: Với giả thiết này, người ta tin rằng giá trị tương lai không phụ thuộc vào giá trị trong quá khứ. Giá trị không âm: Các tài sản nhất thiết phải là các giá trị không âm. Thời gian cố định: Giả thiết này cho rằng, điều gì đúng cho một khoảng thời gian thì cũng đúng cho nhiều khoảng thời gian. Chẳng hạn, nếu cho khoảng thời gian một tuần thì cũng có thể mở rộng cho một năm. Phân phối chuẩn: Trong một số phương pháp tính VaR, giả thiết rằng lợi suất tài sản tuân theo quy luật phân phối chuẩn, chỉ trừ một số phương pháp tiếp cận VaR phi tham số như Monte Carlo. 1.2.4-Các mô hình VaR trong thực hành Trong thực tế các giả thiết để tính VaR thường xuyên bị vi phạm. Người ta luôn muốn tìm giá trị VaR, ước tính được giá trị này càng gần giá trị tổn thất trong thực tế nhất. Dưới đây là các mô hình VaR dần được cải thiện để dần cải thiện cho các giả thiết bị vi phạm. Lợi suất danh mục trong chu kỳ k được định nghĩa là: điều này suy ra . Do là xác định trước nên để tìm VaR của danh mục ta chỉ cần tính VaR của lợi suất . 1.2.4.1-Mô hình VaR cho lợi suất và tài sản Với giả thiết chuỗi lợi suất của tài sản là chuỗi dừng và có phân bố chuẩn, chúng ta chỉ cần sử dụng hai tham số kỳ vọng () và độ lệch chuẩn () (hoặc sử dụng các ước lượng của chúng) có thể tính được giá trị VaR. Từ giả thiết suy ra . Công thức tính VaR được xác định như sau: (1) Trong đó với các mức ý nghĩa : 1%; 2,5%; 5% ta có = -2,33; = -1,96; = -1.65. Hình 1.3: Ngưỡng VaR xác định trên hàm mật độ phân phối chuẩn. Pr(rt < VaR) VaR ri 1.2.4.2-Mô hình VaR cho danh mục Đối với việc xác định VaR lợi suất cho một danh mục P cũng có công thức tương tự: (2) nếu lợi suất từng tài sản của danh mục tuân theo quy luật phân phối chuẩn với i = 1N thì lợi suất danh mục cũng tuân theo quy luật phân phối chuẩn . Giả sử là tỷ trọng danh mục khi đó ta xác định được  ;  ; . 1.2.4.2.a-Mô hình RisMetris Mô hình VaR-Riskmetrics được ngân hàng JP Morgan công bố vào năm 1995. Mô hình này quan tâm đến các chuỗi lợi suất không dừng (với một mức ý nghĩa) và tồn tại phương sai không thuần nhất. Phương pháp này giả định rằng : 1. Chuỗi lợi suất với điều kiện biết các thông tin tại thời điểm (t-1) tuân theo quy luật phân phối chuẩn: . 2. tuân theo mô hình ARMA( 1,1). 3. tuân theo mô hình GARCH(1,1).  ; với ~ IID(0,1) (3) Tùy vào thực tế tính toán, chúng ta cũng có thể sử dụng một số mô hình như : ARMA( 1,1) - GARCH(1,1); AR(1) - GARCH(1,1); ARMA( 1,1) - IGARCH(1,1) ; AR(1) - GARCH(1,1)... 1.2.4.2.b-Mô hình VaR phi tham số Trong trường hợp giả thiết phân phối chuẩn bị vi phạm, có một lớp các mô hình cho phép ước lượng VaR cho danh mục tài sản này goi là mô hình VaR phi tham số. Trong đề tài này, chúng ta sẽ tiếp cận với một phương pháp khác để tìm hàm phân bố xác suất của dựa trên tính chất của hàm Copula điều kiện. Sau đó tiến hành mô phỏng Monte Carlo để ước tính VaR của danh mục. 1.3-COPULA VÀ Ý NGHĨA 1.3.1-Tiếp cận hàm Copula 1.3.2-Định nghĩa Copula có thể được nhìn nhận từ 2 điểm: Copula là phân phối đồng thời hay hàm phân phối đa biến từ các hàm phân phối biên duyên của các biến ngẫu nhiên 1 chiều. 1.3.2.1- Định nghĩa 1 1.3.2.2- Định nghĩa 2 Hàm phân phối C gọi là một hàm Copula của véc tơ ngẫu nhiên X=( X,X)t nếu nó là hàm phân phối đồng thời của véc tơ ngẫu nhiên U=( U,U))t với U= F(X) và F là hàm phân phối biên duyên của X, i = 1, 2. Có nghĩa là: F(x, x) = C( F(x), F(x)) (4) Hàm F là hàm phân phối đồng thời của (X,X). Nếu F, F liên tục thì C sẽ tồn tại duy nhất. Chúng ta có thể giải thích hàm Copula là một hàm hợp từ các hàm phân phối biên duyên của một véc tơ ngẫu nhiên đến hàm phân phối đồng thời của các hàm phân phối biên duyên đó. 1.2.4- Copula Student-t Một Copula Student- t (ngắn gọn là copula t) là hàm sau: Trong đó: là hàm ngược của phân phối Student một biến và là bậc tự do. Đặc trưng của hàm Copula cho phép ứng dụng xác suất hữu hiệu trong lĩnh vực tài chính là không cần quan tâm đến phân phối xác suất của từng biến mà chỉ quan tâm đến phân phối đồng thời của hàm chứa các biến đó. Copula tồn tài một bộ tham số đặc trưng khái quát được mối quan hệ giữa các biến với nhau trong hàm phân phối đồng thời, chẳng hạn như độ dao động, mức tương quan. Khác với Riskmetrics tương quan giữa các biến là tương quan tuyến tính, Copula thể hiện tương quan là phi tuyến tính giữa các biến, điều này có nghĩa là ngoài phản ánh sự ràng buộc giữa biến này và biến khác, còn phản ánh sự ràng buộc giữa nhóm biến này và nhóm biến khác trong phân phối đa biến. Như thế, về mặt lý thuyết khi số lượng biến tăng lên, Copula trở nên hữu hiệu hơn khi mô tả mức độ ràng buộc giữa các biến trong phân phối đồng thời của chúng CHƯƠNG II: MÔ HÌNH VaR CỦA DANH MỤC Chúng ta xem xét một danh mục gồm hai cổ phiếu trên Sàn giao dịch chứng khoán Thành phố Hồ Chí Minh là REE (Công ty cổ phần Cơ điện lạnh) và SAM (Công ty cổ phần Cáp và Vật liệu Viễn thông) thời điểm nắm giữ ngày 20/2/2009. Để đơn giản trong tính toán giả sử tỷ trọng của hai tài sản trong danh mục là bằng nhau và bằng 50%, giá trị danh mục tại thời điểm quyết định nắm giữ là 1.000.000.000 VND, tiếp cận lợi suất danh mục của hai cổ phiếu REE và SAM bằng . Trong để tài này, chúng ta xác định VaR lợi suất 1 ngày (k=1) và phân tích trên chuỗi lợi suất với hai cổ phiếu REE và SAM. Xác định VaR 1 ngày bằng VaR lợi suất 1 ngày nhân với giá trị danh mục tại thời điểm ước lượng. 2.1-MÔ TẢ DỮ LIỆU 2.1.1-Mô tả chuỗi giá cổ phiếu REE và SAM Thu thập số liệu giá đóng cửa của REE và SAM trong 3 năm, giai đoạn 16/2/2006 đến thời điểm quyết định nắm giữ danh mục (20/2/2009), mô tả chuỗi giá của 2 tài sản trong giai đoạn này. Quan sát biểu đồ giá hai cổ phiếu REE, SAM và toàn cảnh Thị trường chứng khoán Việt Nam giai đoạn 2006 - 2008, chúng ta có thể chia chuỗi giá thành 3 giai đoạn: 16/2/2006-15/2/2007; 16/2/2007-15/2/2008; 16/2/2008-20/2/2009. Giai đoạn 16/2/2006-15/2/2007: Có thể đánh giá đây là giai đoạn Thị trường chứng khoán Việt Nam phát triển thăng hoa và đầy bất ổn. Giai đoạn 16/2/2007-15/2/2008: Giai đoạn này Thị trường chứng khoán Việt Nam diễn biến hết sức bất thường và đầy rẫy rủi ro tiềm ẩn. Sau giai đoạn thăng hoa năm 2006, giai đoạn năm 2007, giá các cổ phiếu trên thị trường trồi sụt liên tục, xu hướng giảm nhanh. Giai đoạn 16/2/2008-20/2/2009: Đây là giai đoạn Thị trường chứng khoán Việt Nam suy giảm nghiêm trọng, hậu quả của rất nhiều các tác nhân trong nước và thế giới. 2.1.2-Mô tả chuỗi lợi suất của cổ phiếu REE và SAM Từ chuỗi số liệu giá REE và SAM trong giai đoạn 16/2/2006 - 20/2/2009 thu được 750 quan sát đầu tiên các chuỗi lợi suất của hai tài sản, theo công thức , với i = 1, 2. Quan sát đồ thị lợi suất của hai cổ phiếu REE và SAM cho thấy, giá trị lợi suất dao động không vượt qua khoảng - 0.05 đến 0.05, là do Sàn giao dịch chứng khoán Thành phố Hồ Chí Minh áp dụng biên độ giá 5%. Có một số giá trị của lợi suất hai cổ phiếu vượt qua khoảng này, do đây là thời điểm chi trả cổ tức của các tài sản, được gọi là ngày giao dịch không hưởng quyền. REE giao dịch không hưởng quyền vào ngày 8/5/2007, 13/8/2008; SAM giao dịch không được quyền vào ngày 18/8/2006, 14/5/2007, 23/1/2008. 2.2-KIỂM ĐỊNH CÁC GIẢ THIẾT ĐỐI VỚI LỢI SUẤT TÀI SẢN REE VÀ SAM 2.2.1-Kiểm định giả thiết phân phối chuẩn  Để kiểm định chuỗi lợi suất có phân phối chuẩn hay không người ta có thể sử dụng phân phối . Ngày nay, hầu hết các phần mềm kinh tế lượng thường sử dụng kiểm định Jarque-Bera(JB): (25) trong đó S là hệ số bất đối xứng, K là hệ số nhọn. Với n khá lớn JB có phân bố xấp xỉ (2). Xét cặp giả thiết : H : có phân bố chuẩn. H : không có phân bố chuẩn. H sẽ bị bác bỏ nếu JB > , với là mức ý nghĩa cho trước. Ngược lại, nếu JB < thì không có cơ sở bác bỏ H. Với mức ý nghĩa =5% , (2) = 3.84. Kết quả từ hình 2.5, 2.6 - Phụ lục cho thấy : Đối với : JB = 7728.704 > (2) = 3.84. Bác bỏ giả thiết H. Như vậy không có phân phối chuẩn. Đối với : JB = 719.8371 > (2) = 3.84. Bác bỏ giả thiết H. Như vậy không có phân phối chuẩn. 2.2.2-Kiểm định tính dừng  Để kiểm định tính dừng, chúng ta sử dụng kiểm định nghiệm đơn vị (Unit Root Test). Xét mô hình sau: , - nhiễu trắng. Nếu , khi đó là bước ngẫu nhiên, và là một chuỗi không dừng. Ngược lại, nếu , là một chuỗi dừng. Dickey-Fuller (DF) đã đưa ra tiêu chuẩn kiểm định sau đây: H : H : Ta ước lượng mô hình , có phân phối DF. Nếu như : thì bác bỏ H. Trong trường hợp này chuỗi là chuỗi dừng. Kết quả kiểm định với chuỗi trên hình 2.7- Phụ lục (Eviews kí hiệu D là toán tử sai phân) cho thấy, giá trị = - 23.10319, với = - 3.438854 ; = - 2.865183 ; = - 2.568766. Vì với =1%; 5% ; 10% , như vậy là chuỗi dừng. Kết quả kiểm định với chuỗi trên hình 2.8 - Phụ lục cho thấy, giá trị = - 19.89697, với = - 3.438854 ; = - 2.865183 ; = - 2.568766. Vì với =1%; 5% ; 10% , như vậy là chuỗi dừng. 2.3-ƯỚC LƯỢNG VaR Từ chuỗi số liệu giá REE và SAM trong giai đoạn 16/2/2006 - 20/2/2009 thu được 750 quan sát đầu tiên cho mỗi chuỗi lợi suất của hai tài sản. Sau đây chúng ta sẽ ước lượng VaR theo 3 phương pháp khác nhau cho quan sát thứ 751(tức là ước lượng giá trị tổn thất ngày 23/2/2009). Sau đó, ước lượng VaR cho 249 ngày tiếp theo, tiến hành hậu kiểm VaR trong 250 ngày (từ 23/2/2009 đến 12/2/2010). 2.3.1-Ước lượng VaR với giả thiết lợi suất tài sản phân phối chuẩn và dừng Theo giả thiết lợi suất theo ngày của tài sản: là chuỗi dừng và có phân phối chuẩn. Ta tìm được chuỗi lợi suất của danh mục theo công thức : . Trung bình mẫu : Phương sai mẫu : Trong đó là các ước lượng không chệch của . Sử dụng thay cho kỳ vọng () và thay cho độ lệch chuẩn () của 2 chuỗi lợi suất tài sản. Trong đó kỳ vọng và phương sai của lợi suất tài sản i xác định như sau: (26) , với (27) Chuỗi , thu được từ việc sử dụng các hàm trên có thể giúp tính được giá trị VaR lợi suất tại thời điểm t = 751+j với theo công thức (2): . Trong đó với các mức ý nghĩa : 1% ; 2,5% ; 5% ta có = - 2,33 ; = - 1,96 ; = - 1.65. Trong đó tại thời điểm t = 750+j; kỳ vọng và phương sai danh mục xác định bởi: ; (28) COV (29) Tại thời điểm t = 750 xác định được giá trị kỳ vọng và phương sai cho từng lợi suất tài sản theo công thức (26), (27) trường hợp j = 0: = - 0.00057, = 0.00101. = - 0.00137, = 0.000952. COV = 0.000585. Suy ra giá trị kỳ vọng và phương sai cho lợi suất danh mục 2 tài sản theo công thức (28), (29): = - 0.00097; = 0.000783 = 0.027989. Tại thời điểm t = 751(ngày 23/2/2009), với các mức ý nghĩa : 1% ; 2,5% ; 5% ta có: = - 0.06618; = - 0.05583 ; = - 0.04715. Như vậy mức tổn thất ước lượng tại thời điểm t = 751(ngày 23/2/2009) xác định với V= 1.000.000.000 : = - 66.184.761 VND ; = - 55.828.975 VND ; = - 47.152.506 VND. Giá trị tổn thất thực tế ngày 23/2/2009 = - 44.617.812 VND. 2.3.2-Ước lượng VaR theo mô hình Riskmetrics với giả thiết lợi suất tài sản phân phối chuẩn và không dừng Trong trường hợp này chuỗi lợi suất của 2 tài sản là chuỗi không dừng đặc biệt là phương sai là không thuần nhất. Theo phương pháp RiskMetris, chúng ta đã biết các giả thiết như trình bày ở trên là tuân theo mô hình AR(1) và tuân theo mô hình GARCH(1, 1). Lấy 750 quan sát đầu tiên tiến hành ước lượng mô hình AR(1) - GARCH(1, 1) :  ; ~ IID(0,1) Kết quả ước lượng mô hình (Hình 2.10 - Phụ lục): = - 0.003491 + 0.129190* = 6.86e-005 + 0.567368*+ 0.5036178*. = - 0.001887 + 0.3056* = 4.86e-005 + 0.3174278*+ 0.674378*. Eviews cho phép xuất ra chuỗi phần dư và chuỗi phương sai theo cách tiếp cận trên bằng dòng công cụ Make Residual Series, Make GARCH variance Series, ; là giá trị cuối cùng trong các chuỗi nhận được. Để xác định ta tiến hành đệ quy từ giá trị ban đầu theo công thức: : = 0.000806. = 0.001618. COV = 0.000585. = 0.000899 = 0.029977. Thực tế tính toán, phương pháp Riskmetrics cho 0. Tại thời điểm t = 751(ngày 23/2/2009), với các mức ý nghĩa : 1% ; 2,5% ; 5% theo công thức (2) ta có: = - 0.06985; = - 0.05875 ; = - 0.04946. Mức tổn thất ước lượng tại thời điểm t = 751(ngày 23/2/2009) xác định như sau : = - 69.846.184 VND ; = - 58.754.730 VND ; = - 49.461.890 VND ; Giá trị tổn thất thực tế ngày 23/2/2009 = - 44.617.812 VND. 2.3.3-Ước lượng VaR theo mô hình Copula Student t điều kiện với giả thiết lợi suất tài sản không phân phối chuẩn 2.3.3.1-Xác định phân phối biên duyên của hàm Copula Để xác định hàm phân phối đồng thời, chúng ta phải xác định phân phối biên duyên và dạng của Copula điều kiện. Mô hình xác định phân phối biên duyên thể hiện được các đặc trưng của từng biến. Các chuỗi lợi suất có một mô hình rất tốt để xác định các đặc trưng của biến là mô hình ARMA – GARCH. Trong thực tế, AR( 1) – GARCH(1,1) cho phép xác định phân phối biên duyên : Với i = 1, 2; và là các nhiễu trắng với trung bình bằng 0 và phương sai không đổi, các phân dư là độc lập và tuân theo một quy luật phân phối. Điều kiện trong mô hình GARCH: với i = 1, 2. Phần dư chuẩn hóa , i = 1,2 được xem xét tuân theo quy luật phân phối chuẩn hoặc phân phối Student. Ta ký hiệu : GARCH-N là mô hình AR( 1) – GARCH(1,1) có tuân theo phân phối chuẩn. GARCH-T là mô hình AR( 1) – GARCH(1,1) có tuân theo phân phối Student. Để đơn giản ta sẽ lựa chọn mô hình tổng dạng ‘GARCH-T + Student-t’ để tiến hành ước lượng VaR của danh mục hai tài sản. Nếu như chúng ta quy đổi , , với và là các hàm phân phối biên duyên điều kiện (thông tin xác định đến thời điểm t-1). Nếu