Quang lượng tử

SEMINARQUANG LƯỢNG TỬGVHD: TS. VÕ TÌNHHV : PHẠM TÙNG LÂMLớp VLLT_VLT K211.6. Sự tương đương giữa một khí Bose nhiều hạt và một tập những dao động tử điều hòa lượng tửCHƯƠNG ILÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ TRƯỜNG BỨC XẠ Chúng ta đi chứng minh rằng một tập các dao động tử điều hòa lượng tử là tương đương về mặt động lực học với một khí Bose nhiều hạt. Xét một khí Bose có N hạt chứa trong một thể tích V.23 Hàm sóng của N hạt có thể được viết bởi tích đối xứng các hàm sóng của hạt đơn lẻ Với là số hạt trên một trạng thái. * Hàm sóng của một hạt tự do:* Cho N hạt tương tác lẫn nhau thông qua một điện thế=> Một hạt ở trạng thái có thể chuyển đến trạng thái Sự biến đổi cho quá trình này tỉ lệ với yếu tố ma trận 4 Trước khi xem xét cho hệ tổng quát khí Bose gồm N hạt bên trong thể tích V, ta xét trường hợp đơn giản hệ có 3 hạt boson.Hàm sóng mô tả trạng thái ban đầu của hệ 3 hạt:Ở đây với 5Hàm sóng mô tả trạng thái sau của hệ 3 hạt:Yếu tố ma trận cho hệ 3 hạt:6 Vì đây là hệ hạt đồng nhất, do đó đóng góp của các hạt là như nhau, nên ta có: Ta thay 2 hàm sóng và vào biểu thức yếu tố ma trận M3 đồng thời khai triển ra ta có tổng cộng 9 tích phân. Ta tính tích phân thứ nhất:Ta có:7Tiếp tục tính cho 8 tích phân còn lại, ta có:8 Để thuận lợi cho việc tính toán ta giữ lại hai số hạng đều bằng 0, ta có biểu thức Đặt thừa số làm thừa số chung, ta được9 Dùng phương trình hàm sóng của hệ 2 hạt boson có Ta có:Khi đó ta có:Vì hàm sóng cho hai hạt đã được chuẩn hóa nên10 Bây giờ ta xét hệ khí Bose gồm N hạt chứa trong thể tích V. Xét quá trình tán xạ của một hạt đơn lẻ trong hệ N hạt từ trạng thái đầu có hàm sóng thông qua thế tương tác cho hàm sóng ở trạng thái cuối như sau:11Yếu tố ma trận cho hệ N hạt: Vì đây là hệ hạt đồng nhất, do đó đóng góp của các hạt là như nhau, nên ta có:12Ta sử dụng biểu thức hàm sóng của hệ (N-1) hạt như sau:13Lúc này ta được: Nhận xét: Khi hủy một hạt ở trạng thái thì sinh một hạt ở trạng thái tức là tổng số hạt được bảo toàn.14* Véc tơ trạng thái cho hệ nhiều hạt* Các toán tử sinh - hủy cho hạt bosonCác toán tử này thỏa mãn hệ thức giao hoán:15Vậy: Bằng cách sử dụng các toán tử sinh hủy ta cũng có thể tìm được kết quả của yếu tố ma trận MN cho hệ N hạt boson nếu ta có thế tương tác được biểu diễn như sau:16 Toán tử Hamiltonian của phân tử tự do có xung lượng theo các toán tử sinh hủy như sau:* Một số tính chất của hệ dao động tử điều hòa lượng tử Các toán tử sinh hủy của dao động tử:17Khi đó toán tử Hamiltonian có dạng:Các toán tử thỏa mãn hệ thức giao hoán sau: 18 => Sự tương đương giữa một khí Bose nhiều hạt và một tập những dao động tử điều hòa lượng tử về mặt động lựcHệ khí BoseDao động tử điều hòa lượng tử+ làm tăng, giảm số hạt ở trạng thái một đơn vị+ làm tăng, giảm số lượng tử kích thích đi một đơn vị+ Hamiltonian của hạt tự do+ Hamiltonian của hạt tự do+ là toán tử số hạt ở trạng thái và là toán tử ecmite+ là toán tử số lượng tử kích thích và là toán tử ecmite19KẾT LUẬN* Mỗi hạt boson tương ứng về mặt động lực học với một dao động tử điều hòa lượng tử.* Dirac viết: “Hệ động lực học gồm có tập hợp của những hạt boson tương tự tương đương với hệ động lực học gồm có một tập của các dao động tử - Hai hệ thống đó chỉ là các hệ thống tương tự đứng trên hai quan điểm khác nhau. Có một dao động tử liên kết với mỗi trạng thái boson độc lập. Ở đây ta có một trong những kết quả cơ bản của cơ học lượng tử, cho phép thống nhất giữa lý thuyết sóng và các hạt của ánh sáng.20