Thiết kế bộ điều khiển PID bền vững cho hệ thống phi tuyến bậc hai nhiều đầu vào - Nhiều đầu ra và ứng dụng trong điều khiển tay máy công nghiệp

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010 263 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN PID BỀN VỮNG CHO HỆ THỐNG PHI TUYẾN BẬC HAI NHIỀU ĐẦU VÀO - NHIỀU ĐẦU RA VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐIỀU KHIỂN TAY MÁY CÔNG NGHIỆP DESIGN OF ROBUST PID CONROLLERS FOR MIMO SECOND-ORDER NONLINEAR SYSTEMS AND APPLICATIONS IN CONTROL OF INDUSRIAL MANIPULATORS Nguyễn Văn Minh Trí Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng Lê Văn Mạnh Trường Đại học Công nghiệp TP. Hồ Chí Minh TÓM TẮT Bài báo nêu lên phương pháp thiết kế bộ điều khiển PID bền vững để áp dụng vào điều khiển các hệ phi tuyến bậc hai nhiều đầu vào – nhiều đầu ra (MIMO) có các tham số và nhiễu không xác định. Các tham số của bộ điều khiển PID được xác định bằng công thức mới sử dụng ngưỡng thay đổi của các thành phần không xác định và nhiễu bên ngoài. Sự hội tụ của hệ thống được chứng minh dựa vào tiêu chuẩn ổn định Lyapunov. Kết quả mô phỏng trên tay máy hai bậc tự do chứng tỏ tín hiệu điều khiển không còn hiện tượng rung và sai lệch tĩnh của hệ thống hội tụ về không. ABSTRACT This paper presents a design method of the robust PID controller for MIMO second- order nonlinear systems with bounded uncertainties and disturbances. PID controller parameters are obtained by proposed equations using the boundary of uncertainties and external disturbances. The system convergence is proven to be based on the Lyapunov Stability Theory. Simulation results for the two DOF robotic manipulators show that the chattering of control signals disappear and system tracking errors turn to zero. 1. Đặt vấn đề Bộ điều khiển PID (Proportional-Integral-Derivative) được sử dụng rộng rãi trong nhiều ứng dụng điều khiển vì tính đơn giản và hiệu quả của nó. Ba thông số của bộ điều khiển là: hệ số tỉ lệ KP, hệ số tích phân KI và hệ số vi phân KD, việc chọn các thông số này cho phù hợp với hệ thống cần điều khiển là khó khăn. Trong những năm gần đây, đã có sự quan tâm sâu rộng trong tự điều chỉnh ba thông số của bộ điều khiển. Các phương pháp tự điều chỉnh PID thường dựa trên các kỹ thuật phản hồi thông tin [1, 2]. Bộ điều khiển PID bền vững là một trong những chiến lược để giải quyết vấn đề điều khiển với hệ thống không xác định. Tính năng chính của PID bền vững là giúp hệ thống ổn định nhanh với sự biến đổi các tham số và những nhiễu bên ngoài tác động. Ứng dụng khác nhau của PID bền vững này có thể được áp dụng điều khiển cho các hệ thống như: hoạt động của robot, máy bay, hệ thống sản xuất công nghiệp,... TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010 264 Trong bài báo này, bộ điều khiển PID bền vững được thiết kế ra cho hệ thống phi tuyến không xác định MIMO. Mục đích là để hệ thống đạt được sự ổn định nhanh với sự biến đổi tham số và những nhiễu bên ngoài tác động. Bộ điều khiển PID bền vững được đưa ra sẽ giảm được việc tính toán phức tạp của thành phần tín hiệu điều khiển tương đương trong bộ điều khiển trượt trước đây [3]. Thêm vào đó các hệ số bộ điều khiển PID thông thường [4] chỉ xác định tường minh khi đối tượng điều khiển là tuyến tính. Trong phần II, lý thuyết về bộ điều khiển PID bền vững áp dụng cho đối tượng phi tuyến được đưa ra. Các kết quả lý thuyết sau đó được áp dụng cho việc điều khiển một tay máy công nghiệp hai bậc tự do, được trình bày ở phần III. Các kết luận được nêu lên ở phần IV. 2. Thiết kế bộ điều khiển Xét một hệ thống phi tuyến bậc hai MIMO biểu diễn phương trình trạng thái sau: ( ) ( ) ( )t,, duqqBqqaq ++=  , (1) trong đó nR∈u vectơ các tín hiệu điều khiển, nR∈q là vectơ các biến trạng thái hệ thống, nR∈)qa(q,  là véc tơ phi tuyến, nnR ×∈)qB(q,  là ma trận điều khiển, khả nghịch, nR∈d là vectơ nhiễu bên ngoài. Đối với tay máy, nRu∈ là vectơ các tín hiệu điều khiển tỉ lệ với các lực tổng quát, nR∈q là vectơ các biến khớp, B(q) là ma trận nghịch đảo của ma trận môment quán tính tay máy ( ) ( ) ( ) nnR ×∈>= qH0,qHqH T , ( ) ( ) ( )[ ]qgqqq,CHqq,a 1 += −  với ( ) nR∈qqq,C  là vectơ lực coriolis và lực ly tâm, ( ) nR∈qg là vectơ lực trọng trường, nR∈d là vectơ nhiễu không xác định. Giả thuyết rằng: ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ≤ ≤= ≤ − m m m d h a d HB a 1 , (2) Gọi nR∈dq là vectơ quỹ đạo mong muốn và qqeq;qe dd  −=−= là vectơ sai lệch bám và đạo hàm của chúng. Chọn hàm lọc bậc 1: iiii eeCσ += , trong đó ( ) n1,...,i0;CR;C;C,...,C,Cdiag iin21 =>∈=C Chọn ( )σKu sgn= , (3) trong đó ( ) n1,...,i0;KK;K,...,K,Kdiag in21 =>==K ( ) ( ) ( ) ( )[ ]Tn21 σsgn,...,σsgn,σsgnsgn =σ Chứng minh: Đạo hàm của σ là: qqeCσ  −+= d TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010 265 ( ) ( ) ( ) ( )td dσKqBqq,aqeCσ +−+−= sgn Chọn một hàm Lyapunov 0 2 1 3 ≥= σσTV , ( )eeCσσ.σ  +== TTV3 ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]KtV tV tV d T d T d TT −++−≤ −++−= +−+−== − dqq,aqeCHσqBσ σKdqq,aqeCBqBσ dσKqBqq,aqeCσσ.σ    sgn sgn sgn 3 1 3 3 Rõ ràng 03 ≤V nếu ( )dqeC  ++++≥ ηK mmm dah với η là hằng số dương nhỏ bất kỳ. Theo tiêu chuẩn ổn định Lyapunov thì: 0 2 1 3 ≥= σσTV có 03 ≤V , sẽ đảm bảo hệ thống có σ → 0. Khi σ = 0 = eCe + tương đương với nieeC iii ,...,1;0 ==+  . Với Ci > 0 thì ei → 0 khi t → ∞ mà tốc độ hội tụ phụ thuộc vào giá trị của Ci. Theo chứng minh trên, rằng e → 0 khi 0→e và dq có giới hạn vì tính chất vật lý của hệ thống. Nên có thể tìm được một hằng số Em sao cho: mE≤+ dqeC  (4) Từ đó ta có thể chọn ( ) mmmm hEdaK +++= η là hằng số. Ta có định lý sau với chứng minh ở trên: Định lý 1: Cho hệ thống (1) với giả thiết (2), (4) thỏa mãn, u chọn theo (3), trong đó: ( ) constmmmm KhEdaK =+++= η , (5) thì sai lệch bám của hệ thống e sẽ hội tụ về 0. Nhận xét 1: Từ luật điều khiển (3), ta có thể xây dựng một luật điều khiển PID như sau: [ ] ,u,...,u,u Tn21=u ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ => ≤≤−+++ −<− = ∫ n1,...,iφσkhiK φσφkhidte φ I.C e. φ K e. φ IC.K φσkhiK u iiconst iii t 0 i i ii i i const i i iiconst iiconst i  (6) Giả thiết rằng: Với mọi ( ) ( ) 0lim,lim == ∞→∞→ tt dtconstdt qqq  , ( ) constt t dd =∞→lim . Cho mỗi cặp (qconst, dconst), luôn tồn tại một điểm cân bằng [qconst,0]T và một tín hiệu điều khiển tĩnh u sao cho đảm bảo ổn định: ( ) ( ) constconstconst duqB,qa ++= 00 (7). Định lý 2: Cho hệ thống (1) với giả thiết (2), (4) và (7) thỏa mãn và một luật khiển (6) với K chọn như (5) thì điểm cần bằng của hệ thống kín, [ ] [ ]TconstT 0,qqq, = , là ổn định toàn cục. Chứng minh: Chúng ta sẽ chứng minh bằng 2 phần. Phần 1 sẽ chứng minh rằng với tham số bộ điều khiển được chọn sẽ mang quỹ đạo hệ thống vào một vùng lân cận nhỏ TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010 266 bất kỳ quanh điểm cân bằng [ ] [ ]TconstT 0,qqq, = . Phần tiếp theo chúng ta chỉ ra rằng tham số của bộ điều khiển được chọn sẽ đảm bảo sự ổn định toàn cục của điểm cân bằng. * Chứng minh phần 1: Xét hệ thống nhỏ thứ i - Khi ii φσ > thì ui = Kconst.sign(σi), do đó theo hệ quả 2 thì trạng thái hệ thống sẽ được đẩy vào bên trong một lớp biên { } iiii qL φσ ≤= . - Khi ii φσ ≤ , iiii eeC +=σ => iiii eCe σ+−= Tồn tại một số Mi sao cho Mi.(-Ci) + (-Ci).Mi = - 1 => Mi = iC2 1 . Chọn V4 = Mi.ei2 ⇒ iiiiii eMeCMV σ...2...2 24 +−= ii i i eC eV σ.124 +−≤ ; Nếu i i i C e φ≥ thì 0 2 2 4 ≤⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+−= i i i C eV φ Kết quả trạng thái hệ thống sẽ hội tụ trong vùng có i i i C e φ≤ Suy ra iiii eCe σ+−≤ ⇔ iiiie φφφ 2=+≤ Hệ thống sẽ hội tụ về vùng Ω= nie C e iiii i i i ,...,1,2 =⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ≤∩≤∩≤ φσφφ  bao quanh điểm cân bằng ( )0,0 == ee  , hay là điểm cân bằng [ ] [ ]TconstT 0,qqq, = .. * Chứng minh phần 2: Xét hệ thống nhỏ thứ i Đặt ∫+= dtIs iiii σσ , tính hiệu điều khiển (6) trở thành: ui = Kconst.sat(si/φi) (8) Khi ii φσ ≤ , có 4 khả năng xảy ra: c Nếu 0=+= iii Is σσ , σi sẽ tiến về 0 với tốc độ hội tụ là Ii, và ei → 0 khi t → ∞ như chứng minh ở định lý 1. d Nếu 0iσ hoặc 0>+= iiii Is σσ khi 0<iσ , ta cho thể nhân hai vế của bất đẳng thức để được: 00 22 ≤−<⇔<+ iiiiiiii II σσσσσσ  ⇔ 022 ≤−=−<= iiiiiii VIIV σσσ  , do đó ei→0 khi t→∞ như chứng minh ở định lý 1. e Nếu 0<+= iiii Is σσ khi 0<iσ , điều này đồng nghĩa là hàm si luôn giảm khi si<0. Do đó, sau một thời gian xác định, si<-φi, và luật điều khiển (3) đảm bảo 03 ≤V , ei → 0 khi t → ∞ như chứng minh ở định lý 1. f Nếu 0>+= iiii Is σσ khi 0>iσ , điều này đồng nghĩa là hàm si luôn tăng khi si>0. Do đó, sau một thời gian xác định, si >φi, và luật điều khiển (3) đảm bảo 03 ≤V , ei→ 0 khi t→ ∞ như chứng minh ở định lý 1. Giả thiết (7) suy ra rằng có tồn tại điểm cân bằng với: iiiiiii ssuueee ===== ,,0,0,0  ; Trong đó ( ) constdtqqCIs iditiii =−= ∫∞→lim TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010 267 Đặt iii sss −=~ và một hàm Lyapunov : 25 ~2 1 ii sV = ; Đạo hàm iV5 , ta được: iii ssV  .~5 = = ( )iiiii sssss +−+− 22 ~~ với ∫+= dtIs iiii σσ , iiii eeC +=σ ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )iiiiiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiiiiiiii sdteCIeeCIeCIICssV eIeeCIeeCsdteCIeeCssV eeCIeeCsdteeCIeeCssV −++++++++−= +++++−+++−= ++++−++++−= ∫ ∫ ∫    1~~ ~~ ~~ 22 5 22 5 22 5 ( ) ( ) ( )( )iidiiiiiiiiiiiiiii sdtqqCIeeCIeCIICssV −−++++++++−≤ ∫ 1~~ 225 Vì ( )( ) ∞→→−−→→→ ∫ tkhisdtqqCIeee iidiiiiii 0,0,0,0  , bất đẳng thức trên chỉ ra rằng các trạng thái của hệ thống thứ i sẽ tiến về điểm cân bằng ( )0,0 == ii ee  . Tổng quát hoá cho cả hệ thống, ta có điểm cân bằng ( )0,0 == ee  , hay [ ] [ ]TconstT 0,qqq, = là ổn định toàn cục. 3. Kết quả mô phỏng 3.1. Mô hình toán học tay máy 2 bậc tự do [5] Xét hình chiếu bằng tay máy như hình 1, gọi q là véc-tơ vị trí của hai khớp, khi đó: q = [q1 q2]T. Hình 1. Hình chiếu bằng của tay máy Hàm Lagrange của cánh tay robot được xác định bởi: ( ) ( ) ( )qPqqKqqL −=  ,, (9), trong đó, K, P là tổng động năng và tổng thế năng của hệ thống. Phương trình Lagrange-Euler chính là lực tổng quát tác động lên khâu thứ i được xác định bởi: ( ) ( ) 21;,, ÷=∂ ∂−⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂= i q qqL q qqL dt d i    τ Phương trình động lực học nhận được bằng cách áp dụng phương trình Lagrange: ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) 2222122122122222122 22 1212212 2 22 2 12 2 111 sinsin2cos cos2 qqllmqqqllmqIqllmlm qIIqllmlmlmlm CCCC CCC   −−+++ ++++++=τ (11) TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010 268 ( )[ ] [ ] ( ) 212212222 221222122 222 sincos qqllmqIlmqIqllmlm CCCC  +++++=τ (12) 3.2. Mô phỏng và kết quả a) Với Kconsti, Ii, φi (i = 1÷3) là hằng số và Ci lần lượt là C1 = 3; C2 = 10; C3 = 30 và quỹ đạo đặt là một đa thức bậc 3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 p g q q Thoi gian [s] u di eu k hi en u13 u12 u11 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -0.5 0 0.5 1 1.5 Thoi gian [s] S ai le ch e e13 e12 e11 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 Thoi gian [s] S ai le ch e e23 e22 e21 Hình 2. Tín hiệu điều khiển và sai lệch bám khớp 1 và 2 của tay máy {tương ứng với u1i, u2i và e1i, e2i (i = 1÷3)} * Nhận xét: Ta thấy Ci nhỏ sai lệch bám ei của các khâu bám chậm tiến về 0 so với Ci lớn hơn. Nếu Ci lớn thì sai lệch bám ei của các khâu nhanh tiến về 0 nhưng hệ có sự quá điều chỉnh. Tóm lại giá trị Ci quyết định chất lượng điều khiển của hệ thống. b) Với Ci, Ii, φI (i = 1÷3) là hằng số và Kconsti lần lượt là Kconst1 = 0,1; Kconst2 = 0,6; Kconst3 = 1500 và quỹ đạo đặt là một đa thức bậc 3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 Thoi gian [s] u di eu k hi en u13 u12 u11 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 Thoi gian [s] S ai le ch e e13 e12 e11 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 p g q q Thoi gian [s] u di eu k hi en u23 u22 u21 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 Thoi gian [s] S ai le ch e e23 e22 e21 Hình 3. Tín hiệu điều khiển và sai lệch bám khớp 1 và 2 của tay máy {tương ứng với u1i, u2i và e1i, e2i (i = 1÷3)} u di eu k hi en 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 Thoi gian [s] u23 u22 u21 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010 269 * Nhận xét: Ta thấy: Kconsti nhỏ hệ có sự dao động so với Kconsti lớn. Khi Kconsti lớn tín hiệu điều khiển có sự thay đổi của u rất nhanh. Tóm lại Kconsti phụ thuộc vào hệ và ảnh hưởng đến sự ổn định của hệ. c) Kết quả trên cho phép chọn tham số tối ưu là Ci = 15, Kconsti = 10, Ii = 0,1 và φI = 0,5 với quỹ đạo đặt là một đa thức bậc 3, nguồn nhiễu bên ngoài d1 = 0,1 và d2 = 5. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 Thoi gian [s] nh ie u d1 d2 Hình 4. Nguồn nhiễu bên ngoài d1 và d2 lần lượt tác động đến tay máy 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 g Thoi gian [s] u di eu k hi en u1(d1) u1(d2) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 Thoi gian [s] S ai le ch e e1(d1) e1(d2) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 Thoi gian [s] u di eu k hi en u2(d1) u2(d2) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 Thoi gian [s] S ai le ch e e2(d1) e2(d2) Hình 5. Tín hiệu điều khiển và sai lệch bám khớp 1 và 2 của tay máy {tương ứng với u1(di), u2(di) và e1(di), e2(di) (i = 1÷2)} * Nhận xét: Khi chọn tham số tối ưu là Ci = 15, Kconsti = 10, Ii = 0,1, φi = 0,5 (i = 1÷2) và tăng nguồn nhiễu lên 50 lần (d1 = 0,1 và d2 = 5) như trên ta thấy: sai lệch bám ei của các khâu nhanh tiến về 0, khi nguồn nhiễu bên ngoài lớn (d2 = 5) tác động đến tay máy làm cho khớp 1 có sự quá điều chỉnh (≈4,5%) nhưng không làm cho hệ thống tay máy tính mất ổn định. Hoạt động các khớp của tay máy dường như không bị ảnh hưởng khi có nhiễu bên ngoài tác động. TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010 270 d) Nhận xét chung Kết quả mô phỏng cho thấy, sự hội tụ và sai lệch bám của hệ thống sẽ thay đổi khi các thông số Kconsti, Ii, φi, Ci (i = 1÷3) thay đổi và được xác định bằng công thức: i iiconsti Pi ICK K φ += . ; i ii Ii IC K φ .= ; i consti Di K K φ= Từ kết quả mô phỏng trên và việc xác định các thông số của bộ điều khiển ta tính được các hệ số KPi, KIi, KDi dễ dàng, kết quả này có được nhờ vào việc chứng minh bộ điều khiển PID bền vững ở mục II. Đây là kết quả mang tính khoa học cao khi mà các hệ số của bộ điều khiển PID cho đối tượng phi tuyến MIMO được xác định bằng công thức rõ ràng. 4. KẾT LUẬN Bài báo đã nêu được phương pháp xây dựng bộ điều khiển PID bền vững và áp dụng để điều khiển một hệ phi tuyến MIMO như tay máy công nghiệp. Các kết quả mô phỏng tay máy 2 bậc tự do cho thấy độ chính xác của quỹ đạo có thể khống chế được theo yêu cầu cho trước. Các hệ số của bộ điều khiển PID được xác định bằng các công thức tường minh, phụ thuộc vào các thông số Kconsti, Ii, φi, Ci. Sự ổn định của hệ thống kín đã được chứng minh dựa vào tiêu chuẩn ổn định Lyapunov, sau đó bộ điều khiển PID bền vững này được áp dụng để điều khiển tay máy 2 bậc tự do. Ảnh hưởng của sự thay đổi các thông số Kconsti, di, Ci đến chất lượng đầu ra của hệ thống cũng được phân tích và trình bày. Các kết quả mô phỏng cho thấy tín hiệu điều khiển không còn sự thay đổi nhanh và sai lệch bám của hệ thống đảm bảo tiến về không. Những kết quả này một lần nữa chứng minh lý thuyết và thể hiện tính khả thi của bộ điều khiển PID bền vững được đưa ra trong bài báo. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A. Leva, “PID autotuning algorithm based on relay feedback,”IEE Porc-Control Theory Appl., vol. 140, 1993, pp. 328-337. [2] Q. G. Wang, B. Zou, T. H. Lee, and Q. Bi, “Auto-tuning of multivariable PID controller from decentralized relay feedback,” Automatica, vol. 33, 1997, pp. 319- 330. [3] Lê Tấn Duy, Thiết kế bộ điều khiển trượt cho hệ tay máy robot, Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Đại học Đà Nẵng, số 4/2003. [4] Vũ Tú Anh, Bộ điều khiển PID số cho động cơ DC ứng dụng ASIC, Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Đại học Đà Nẵng, số 4/2008. [5] Mark W. Spong, Seth Hutchinson, and M. Vidyasagar, Robot Modeling and Control, 2004.