Tiểu luận Khảo sát hàm số trong hệ tọa độ cực

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ Đề tài HỆ TỌA ĐỘ CỰC Giảng viên: Nguyễn Vũ Thụ Nhân Nhóm thực hiện: Nguyễn Bình An Trần Thị Vĩnh Đào Trần Gia Linh Tp. HCM, 2016 LỜI NGỎ Tọa độ của một của điểm là một bộ số đặc trưng cho vị trí của điểm đó trong mặt phẳng, không gian. Tọa độ này luôn gắn liền với một hệ tọa độ xác định bao gồm gốc tọa độ và các trục tọa độ. Từ trước đến nay, ta thường quen với hệ tọa độ Decartes tức là hệ tọa độ xác định vị trí của một điểm trên mặt phẳng cho trước dựa vào cặp số tọa độ (x;y) hay (x;y;z).Tuy nhiên, trên thực tế, trong một số trường hợp, ta cần sử dụng đến một số hệ tọa độ khác, trong đó bao gồm hệ tọa độ cực. Hệ tọa độ này có ưu điểm lớn nhất khi khảo sát những đường cong xuất hiện mối quan hệ đặc biệt với gốc tọa độ. Ngoài ra, hệ tọa độ cực cũng là một hệ tọa độ đủ thú vị, đặc biệt là trong vấn đề khảo sát hàm số để nhiều người phải say mê với nó. Mặc khác, những tri thức mà hệ tọa độ cực đem lại cho chúng ta khá thú vị ,bổ ích và cần thiết. Những tri thức đó có thể được vận dụng để nghiên cứu, giải đáp một số bài tập một cách dể dàng hơn so với nhiều phương pháp khác hay có thể ứng dụng được trong một số lĩnh vực thiết thực như hàng hải, thiên văn,.... Chính vì những lý do trên mà nhóm đã quyết định chọn “ Khảo sát hàm số trong hệ tọa độ cực” làm đề tài tiểu luận. Trong quá trình thực hiện, nhóm vẫn còn nhiều thiếu sót. Mong nhận được sự góp ý từ thầy. HỆ TỌA ĐỘ CỰC Ngoài tọa độ Descartes thường gặp trong chương trình học phổ thông thì hệ tọa độ cực cũng là một trong những công cụ giúp ta giải quyết một số bài toán mà hệ Descartes khó có thể giải quyết được. Hệ tọa độ cực hữu ích trong những trường hợp trong đó quan hệ giữa hai điểm được viết dưới dạng góc và khoảng cách. I.ĐỊNH NGHĨA Hệ tọa độ cực là một hệ tọa độ 2 chiều, trong đó mỗi điểm bất kì được biểu diễn bẳng 2 thành phần: Khoảng cách từ điểm đó đến gốc O (gốc cực) gọi là bán kính. Góc tạo bởi đường thẳng từ O đến điểm đó với hướng gốc cho trước (trục cực). Cụ thể: Khi xét tọa độ của điểm M trên hệ tọa độ cực như hình ta dựa vào bán kính véctơ OM và góc định hướng giữa OM và trục Ox tức là góc θ. 1. Bán kính và hướng: -Bán kính được tính bằng các tỉ lệ dài, tập hợp các điểm có cùng bán kính được biểu diễn trên mặt phẳng cực bằng các đường tròn đồng tâm tại gốc tọa độ O. Ví dụ: r=7 -Hướng được đo bằng độ hoặc radian, chiều tăng của hướng là chiều ngược chiều kim đồng hồ, tập hợp các điểm có cùng hướng là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và tạo với trục Ox một góc bằng θ. Ở đây ta xét số đo hướng là radian. Ví dụ: θ=π7 +Lưu ý: -Khác với hệ tọa độ Descartes mỗi điểm chỉ được xác định bởi duy nhất một cặp giá trị (x;y), trong hệ tọa độ cực mỗi điểm P có nhiều cách xác định ứng với các giá trị θ tăng hoặc giảm 2π (3600) so với giá trị ban đầu: Pr;θ→P(r;θ±2π) -Trong tọa độ cực tồn tại bán kính âm, ta có thể chuyển về bán kính dương bằng cách tăng hoặc giảm θ đi π rad (1800) từ hướng cũ và đổi dấu r: Pr;θ→ P(-r;θ±π) +Ví dụ: Tìm tất cả các tọa độ cực cho điểm P(1;π6) -Với lưu ý 2, một cách biểu diễn khác tọa độ cực của P là P-1;-5π6 -Sử dụng lưu ý 1 ta tìm được 2 họ giá trị tọa độ cực của P là: P1;π6+k2π hay P-1;-5π6+p2π;k,p∈Z 2. Mối liên hệ với hệ tọa độ Descartes: Ta có thể rút ra mối liên hệ giữa các giá trị x,y và r,θ: x=rcosθy=rsinθ⇔r2=x2+y2tanθ=yx +Ví dụ: 1.Chuyển P(4;π3) từ tọa độ cực thành tọa độ Descartes Ta có: x=rcosθ=4.cosπ3=2y=rsinθ=4.sinπ3=23 ⇒P(2;23) 2.Chuyển A1;-1 từ tọa độ Descartes sang tọa độ cực. Ta có: r=x2+y2=12+-12=2tanθ=yx=-11=-1⇒r=2θ=-π4 ⇒A2;-π4 là một giá trị tọa độ cực của A(1;-1) 3.Chuyển phương trình x=1 sang tọa độ cực. Ta có: x=1 ⇔rcosθ=1 ⇔r=1cosθ 4.Chuyển phương trình y=x2 sang tọa độ cực. Ta có: y=x2 ⇔rsinθ=rcosθ2 ⇔r=tanθcosθ II.MỘT VÀI VÍ DỤ VỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRONG TỌA ĐỘ CỰC 1.Đường thẳng ax+by+c=0 ⇔a.rcosθ+b.rsinθ+c=0 ⇔r=-ca.cosθ+bsinθ +Đặc biệt đường thẳng qua gốc tọa độ: θ=c, c∈R 2.Đường tròn x-x02+y-y02=R2⇔r=asinθ+bcosθ +Đặc biệt đường tròn có tâm là gốc tọa độ: r=c, c∈R Ngoài ra còn có những đường cong lạ mắt có phương trình của chúng trong hệ Descartes rất phức tạp nhưng ở hệ tọa độ cực lại khá đơn giản như: 3.Đường xoáy ốc – Đường Archimede r=aθ 4.Đường LEMNISCAT :r=asin2θ hoặc r=acos2θ 5.Đường hình tim – Đường Cardioide: r=a(1+cosθ) 6.Các đường hình hoa: r=c+asinnθ hoặc r=c+acos⁡(nθ), n>1 7.Đường hình bướm: r=esinθ-2cos4θ-sin52θ-π24 III. KHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG TỌA ĐỘ CỰC 1.Các tính chất đối xứng : a.Đối xứng qua Ox: Nếu hàm số chẵn: r-θ=rθ⇒ (r;θ) thuộc đồ thị thì (r;-θ) cũng thuộc đồ thị. ⇒ Đồ thị đối xứng qua Ox Ví dụ: r=2cosθ b.Đối xứng qua Oy: Nếu hàm số lẻ r-θ=-r(θ) ⇒(r;θ) thuộc đồ thị thì (-r;-θ) cũng thuộc đồ thị ⇒ Đồ thị đối xứng qua Oy. Ví dụ: r=2sinθ c.Đối xứng tâm: Nếu (r;θ) thuộc đồ thị thì (r;θ+π) cũng vậy. Ví dụ: r=±tanθcosθ 2.Các bước khảo sát + Tìm miền xác định. -Trong hệ tọa độ cực hay xảy ra trường hợp các hàm số được khảo sát tuần hoàn. Do đó ta có một số nhận xét về tính tuần hoàn như sau: Hàm số r=r(θ) tuần hoàn với chu kì T khảo sát trong hoặc , qua đồ thị mỗi lần một góc T cho đến khi không sinh ra nhánh mới đồ thị đường cong r=r(θ). Nếu hàm số lẻ r-θ=-r(θ): đồ thị đối xứng qua Oy. Nếu hàm số chẵn r-θ=r(θ): đồ thị đối xứng qua Ox. + Tính đạo hàm r’, vẽ bảng biến thiên. Để phục vụ việc vẽ đồ thị, tính tanv=rr', với v là góc giữa tia bán kính và tiếp tuyến tại điểm khảo sát. tanv=0: tiếp tuyến trùng bán kính. tanv=∞: tiếp tuyến vuông góc bán kính. θ r' r tanv BBT Ví dụ: a.Khảo sát hàm số r=sin2θ MXĐ: D=R. Ta có r=sin2θ là hàm số lẻ đồ thị đối xứng qua Oy.Và có chu kì T=π ⇒ khảo sát trên -π2;π2 Có: r'=2cos2θ, r'=0⇔θ=±π4. BBT Do r=sin2θ là hàm lẻ, lấy đối xứng qua Oy ta được: b.Khảo sát hàm số r=2+4cosθ MXĐ: D=R. Ta có r=2+4cosθ là hàm số chẵn đồ thị đối xứng qua Ox.Và có chu kì T=2π ⇒ khảo sát trên 0;π Có: r'=-4sinθ, r'=0⇔θ=0 ∨θ=π BBT Lấy đối xứng qua Ox ta được: IV.ỨNG DỤNG CỦA HỆ TỌA ĐỘ CỰC 1.Trong toán học -Trong một số trường hợp, khi chuyển sang tọa độ cực thì phép tính tích phân sẽ đơn giản hơn cả về cận lẫn công thức tính tích phân. Một ứng dụng điển hình là dùng tích phân để tính diện tích hình phẳng. Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong r=rθ và các tia θ=α, θ=β là: S=12αβr2θdθ +Ví dụ: tính diện tích giới hạn bởi đường Cardioide: r=a(1+cosθ) Đạo hàm r'=-asinθ đổi dấu tại θ=π nên diện tích S=120πa21+cosθ2dθ-12π2πa21+cosθ2dθ=0πa21+cosθ2dθ =a20π1+2cosθ+cos2θdθ=a20π1+2cosθ+1+cos2θ2dθ =a232θ+2sinθ+sin2θ40π=3a2π2 2.Trong lĩnh vực hàng hải và thiên văn +Trong hàng hải:Các nhà hàng hải và quân đội sử dụng mặt phẳng tọa độ như sự yêu thích của các nhà toán học. Bán kính được gọi là phạm vi, và các đơn vị thực tế thường được ghi rõ, như mét (m) hay ki-lô-mét (km). Góc hay hướng được gọi là góc phương vị, vị trí, hay phương hướng, và được đo bằng độ từ hướng Bắc theo chiều kim đồng hồ. Góc phương vị được ký hiệu 𝛼 (chữ cái Hy Lạp cổ), và phạm vi được ký hiệu 𝑟. Vị trí của điểm được xác định bằng cặp số (𝛼, 𝑟) +Trong thiên văn: Nhà thiên văn học Hipparchus (190-120 TCN) đã lập một bảng hàm các dây cung cho biết chiều dài dây cung cho mỗi góc. Có tài liệu cho rằng ông sử dụng tọa độ cực để thiết lập vị trí các thiên hà. TÀI LIỆU THAM KHẢO