Tiểu luận Mối quan hệ đại số - Hình học qua parabol

Mối quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lớp 10. LỜI MỞ ĐẦU Đáp ứng xu thế hội nhập thế giới, đưa kinh tế Việt Nam lên một tầm cao mới, giáo dục Việt Nam cũng phải có những biến chuyển mạnh mẽ nhằm nâng cao chất lượng giáo dục để có thể đào tạo ra một lớp người lao động: “tự chủ, năng động, sáng tạo, có năng lực giải quyết vấn đề do thực tiễn đặt ra, tự lo liệu việc làm, lập nghiệp và thăng tiến trong cuộc sống, qua đó góp phần xây dựng đất nước giàu mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh” – Trần Hồng Quân_1995. Trong số rất nhiều nội dung phải thay đổi thì không thể không nói đến nội dung đổi mới phương pháp dạy học. Để thực hiện được nhiệm vụ này, mỗi giáo viên phải trang bị cho mình một cái nhìn tổng thể, toàn diện và sâu sắc về nội dung chương trình SGK. Vì vậy, việc nghiên cứu nội dung chương trình sách giáo khoa với mỗi giáo viên là một trong những việc rất cần thiết. Trong bài tiểu luận này, em xin được phép trình bày những nghiên cứu của bản thân về mảng tri thức liên quan đến parabol trong chương trình Đại số và Hình học lớp 10 như là một tài liệu để phục vụ cho công tác giảng dạy sau này. Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn PGS.TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU đã tận tình hướng dẫn em hoàn thành bài tiểu luận này. 1 SVTH: Nguyễn Thị Bích Hoa. Mối quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lớp 10. MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU.................................................................................................... 1 U MỤC LỤC ........................................................................................................... 2 A. PHẦN MỞ ĐẦU ......................................................................................... 3 U I. Lý do chọn đề tài: .................................................................................... 3 II. Xây dựng đề cương nghiên cứu:.............................................................. 3 1. Mục đích nghiên cứu: .......................................................................... 3 2. Phương pháp và tổ chức nghiên cứu: .................................................. 3 B. NỘI DUNG.................................................................................................. 4 I. Lịch sử ra đời của parabol trong mối quan hệ với lịch sử hình thành các đường conic. .............................................................................................. 4 II. Quan điểm đại số về các đường conic: .................................................... 5 III. Nói về Parabol:........................................................................................ 7 IV. Khái quát về kiến thức Parabol trong Đại số 10 và Hình học 10: ........... 9 V. Xây dựng tình huống dạy học bài parabol trong Hình học 10: ............. 11 1. Mục đích xây dựng tình huống:......................................................... 11 2. Tình huống dạy học. .......................................................................... 12 ( Nộp kèm theo file word này là 1 giáo án điện tử bài ”Parabol” Hình học lớp 10 dựa trên cở sở xây dựng tình huống dưới đây) .............................. 12 a) Mục đích yêu cầu:.......................................................................... 12 b) Phương pháp – Phương tiện dạy học:............................................ 12 c) Chuẩn bị của học sinh và giáo viên:.............................................. 12 d) Các bước tiến hành thực nghiệm:.................................................. 13 TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 21 Ghi chú: Để đến các mục cần xem có thể click vào mục lục ở mục đó ấn Ctrl + click. 2 SVTH: Nguyễn Thị Bích Hoa. Mối quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lớp 10. A. PHẦN MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài: Parabol đã trở thành một mảng kiến thức trọng tâm của chương trình lớp 10, học sinh sẽ gặp parabol trong cả Đại số và Hình học. Vấn đề là liệu học sinh khi gặp một bài toán về parabol sẽ áp dụng kiến thức được học như thế nào? Để rèn luyện các kỹ năng toán học, nâng cao khả năng sáng tạo và linh hoạt trong tư duy cho học sinh đòi hỏi giáo viên phải giảng dạy đảm bảo tính logic, hợp lý và tính sư phạm cao để học sinh có thể lĩnh hội tri thức dễ dàng. Do đó, em chọn đề tài “Mối quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức parabol ở lớp 10” với mục đích tìm hiểu lịch sử hình thành và một số kiến thức liên quan đến parabol để áp dụng vào việc soạn giáo án và giảng dạy nội dung parabol trong chương trình Hình học 10. Từ đó, giúp học sinh thấy được mối quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức parabol. II. Xây dựng đề cương nghiên cứu: 1. Mục đích nghiên cứu: Mối quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức parabol. 2. Phương pháp và tổ chức nghiên cứu: Nghiên cứu lịch sử của parabol trong mối quan hệ với lịch sử ra đời của các đường conic. Quan điểm Đại số về các đường conic. Nói về parabol. Khái quát về kiến thức Parabol trong Đại số 10 và Hình học 10. Xây dựng tình huống dạy học bài “Parabol” trong Hình học 10. 3 SVTH: Nguyễn Thị Bích Hoa. Mối quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lớp 10. B. NỘI DUNG I. Lịch sử ra đời của parabol trong mối quan hệ với lịch sử hình thành các đường conic. Các đường conic là một chủ đề toán học được nghiên cứu một cách có hệ thống và triệt để. Những đường conic được phát hiện bởi Menaechmus (người Hy Lạp, 375 – 325 năm trước Công nguyên), từng là giám hộ cho Alexander the Great. Những đường conic được phôi thai trong nổ lực giải 3 bài toán nổi tiếng: chia thành ba góc bằng nhau của 1 góc, gấp đôi khối lập phương và phép cầu phương vòng tròn. Những đường conic được định nghĩa lần đầu tiên như là sự cắt nhau của 1 hình nón tròn xoay có góc ở đỉnh thay đổi với 1 mặt phẳng vuông góc với đường sinh của hình nón, tùy thuộc vào góc nhỏ, bằng, hay lớn hơn 900 mà chúng ta có được elip, parabol, hay hypebol tương ứng. Appollonius ( 262 – 190 năm trước Công nguyên) – được biết đến như 1 nhà hình học vĩ đại – đã củng cố và mở rộng những kết quả trước đó về những đường conic trong chuyên khảo “Conic Sections”, gồm 8 cuốn sách với 487 định đề. Trích dẫn từ Morris Kline: “Như 1 thành tựu, nó – Appollonius’ Conic Sections – quá vĩ đại đến nỗi nó hầu như đã là 1 đề tài khép kín đối với các nhà tư tưởng sau này, ít nhất là từ quan điểm thuần hình học”. Quyển thứ VIII của “Conic Sections” đã bị thất lạc. “Conic Sections” của Appollonius và “Elements” của Euclid có thể được xem là tinh hoa của nền toán học Hy Lạp. Appollonius cũng là người đặt tên elip, hypebol và parabol. Một bản giải thích tóm tắt về việc đặt tên có thể được tìm thấy trong “Howard Eves” – một tác phẩm giới thiệu về lịch sử toán học.(trang 172) Trong Renaissance, những quy luật chuyển động của hành tinh của Kepler, tọa độ hình học của Descarte và Fermat và những công trình hình học xạ ảnh ban đầu của Desargues, La Hire, Pascal đã mở rộng những đường conic lên một cấp độ cao. Nhiều nhà toán học sau này cũng đóng góp vào sự phát triển của conic, đặt biệt là sự phát triển của hình học xạ ảnh là lĩnh vực mà những đường conic là đối tượng cơ bản như hình tròn trong hình học Hy Lạp. Trong số những người đóng góp phải kể đến 4 SVTH: Nguyễn Thị Bích Hoa. Mối quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lớp 10. Newton, Dandelin, Gergonne, Poncelet, Brianchon, Dupin, Chasles, và Steiner. Thiết diện conic là 1 đề tài kinh điển đã thúc đẩy nhiều sự phát triển trong lịch sử toán học. Dịch từ trang web: II. Quan điểm đại số về các đường conic: ƒ Trong tọa độ Đềcac, các đường conic thỏa mãn phương trình bậc hai có dạng : trong đó A, B, C, D, E và F là các hằng số; A, B, C là các số khác 0. Khi chúng ta thay đổi một vài trong các hằng số này thì hình dạng tương ứng của conic sẽ thay đổi theo.Vì vậy, tập trung chú ý vào những sự thay đổi này trong các phương trình đại số khi nghiên cứu từng đường conic là một điều quan trọng. Việc chúng ta biết được sự khác biệt trong các phương trình sẽ giúp chúng ta xác định một cách nhanh chóng loại conic được biểu diễn bằng phương trình đã cho. Có lẽ chúng ta đã làm việc nhiều với những phương trình như vậy mặc dù có thể không nhận ra nó ở góc độ liên quan đến các đường conic. Dịch từ trang web: http:// www.Krelinst.org/UCES/archive/resources/conics/node7.html. Nếu thì phương trình biểu diễn 1 elip (trừ trường hợp và ) Nếu thì phương trình biểu diễn 1 parabol. Nếu thì phương trình biểu diễn 1 hypebol. Nếu có thêm điều kiện , phương trình biểu diễn 1 hypebol đều. Thay đổi hệ trục tọa độ, ta có thể đưa các phương trình của các conic về dạng chính tắc: 5 SVTH: Nguyễn Thị Bích Hoa. Mối quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lớp 10. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Elip: 1; 1 Parabol: 4 . xHypebol: 1 a x y x y a b b a y ax y b + = + = − = = Những dạng chính tắc có thể được viết như những phương trình tham số: 2 Elip: ( cos , sin ) Parabol: ( ,2 ) Hypebol: ( sec , tan ) hoaëc ( cosh , sinh ) a b at at a b a u b u θ θ θ θ ± ƒ Trong tọa độ thuần nhất, các đường conic có thể được biểu diễn qua phương trình: Hoặc qua dạng ma trận: Đặt: Ma trận được gọi là ma trận của thiết diện conic và M δ được gọi là biệt số của thiết diện conic. Nếu δ = 0 thì thiết diện conic là 1 parabol. Nếu δ < 0 thì nó là 1 hypebol và là 1 hypebol đều nếu δ < 0 và A1 = -A2. Và nếu δ > 0 thì nó là 1 elip.( Nó là 1 đường tròn nếu δ > 0 và A1 = A2 ). Dịch từ trang web: 6 SVTH: Nguyễn Thị Bích Hoa. Mối quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lớp 10. III. Nói về Parabol: Thuật ngữ “parabol” xuất phát từ từ “parabole” của tiếng Hy Lạp. Parabol có thể được xem như là elip với 1 tiêu điểm ở vô cực. Điều này có nghĩa là các tia sáng song song cùng chiếu vào 1 chiếc gương hình parabol sẽ gặp nhau tại 1 điểm. Người ta kể rằng: Archimedes đã sử dụng gương hình parabol trong chiến tranh. Suốt thời kỳ bao vây thành phố Syracuse (214 - 212 năm trước Công nguyên) bởi những người La Mã, Archimedes đã xây dựng sự phản chiếu những tấm kim loại theo hình dạng của parabol. Những tấm kim loại được dùng để hội tụ những tia nắng mặt trời vào tàu của người La Mã, và làm chúng bốc cháy. Menaechmus tìm thấy parabol trong khi đang thử tìm 1 hình lập phương có diện tích bằng hai lần diện tích của hình lập phương đã cho. Thực tế là ông đã cố giải phương trình x3 = 2. Menaechmus đã giải phương trình như sự tương giao của 2 parabol y =x2 và x=1/2y2. Euclid đã viết về parabol và Apollonius (200 năm trước Công nguyên) đã đưa ra đường cong này cùng với tên của nó. Pascal đã xem đường cong này là hình chiếu của 1 hình tròn. Luca Valerio (người Ý) đã xác định diện tích của 1 parabol vào năm 1606; được gọi là phép cầu phương của parabol. Nhưng Archimedes là người đầu tiên tìm ra giá trị của diện tích này trong tác phẩm "Quadrature of a Parabola" của ông. Cuối thời Trung cổ, súng đại bác được dùng ở chiến trường. Bởi vậy, việc dự đoán vị trí chính xác đích của những viên đạn bắn ra là rất quan trọng. Nhiều nhà khoa học cố tìm câu trả lời cho câu hỏi này, và Galileo Galilei là người đầu tiên tìm ra mối quan hệ. Đó là quỹ đạo của đạn bắn ra (bỏ qua hiệu ứng của sự ma sát) có dạng của 1 parabol. Dịch từ trang web: Một parabol có thể được vẽ trên hệ trục tọa độ Oxy dựa vào phương trình của nó. Parabol là 1 trong những đường cong conic được tạo nên bởi việc giao của 1 hình nón tròn xoay và 1 mặt phẳng. Parabol được tạo nên khi mặt phẳng song song với 1 7 SVTH: Nguyễn Thị Bích Hoa. Mối quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lớp 10. đường thẳng được vẽ trên bề mặt xiên của hình nón từ đỉnh của hình nón tới đáy của nó. Hình vẽ từ trang web: Một parabol là tập hợp của tất cả những điểm (x,y) mà khoảng cách tới 1 đường thẳng cố định (được gọi là đường chuẩn) và 1 điểm cố định – không nằm trên đường chuẩn – (được gọi là tiêu điểm) là bằng nhau. Còn một vài thuật ngữ khác tồn tại trong mối quan hệ với parabol. Điểm thuộc parabol, nằm giữa tiêu điểm và đường chuẩn của parabol được gọi là đỉnh và đường thẳng đi qua tiêu điểm và đỉnh được gọi là trục của parabol. (Tương tự như trục lớn của elip và trục thực của hypebol). Bây giờ, chúng ta thay đổi phương trình chính tắc của parabol và chú ý 4 loại parabol sinh ra từ sự thay đổi đó. Khi xem xét 4 loại parabol đó, chúng ta hãy chú ý tới sự khác biệt giữa các phương trình liên hệ với sự khác nhau giữa 4 parabol đó. Phương trình chính tắc của parabol với đỉnh tại (0,0) với tiêu điểm nằm cách d đơn vị so với đỉnh sẽ có dạng 2 4=x dy ( xem FIGURE P3) nếu trục của parabol thằng đứng và có dạng ( xem FIGURE P4) nếu trục của parabol nằm ngang. 2 4=y dx 8 SVTH: Nguyễn Thị Bích Hoa. Mối quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lớp 10. Chú ý: Ở đây, chúng ta giả sử rằng: 0d > Trong trường hợp d là số âm xem FIGURE P5 và P6. Vì vậy, chúng ta thấy rằng có 4 hướng khác nhau của parabol, chúng phụ thuộc vào: ƒ Biến nào là biến bậc hai (x hay y). ƒ d là số âm hay số dương. Đối với parabol có trục ngang làm đường chuẩn và đỉnh tại (h, k), phương trình sẽ là (x – h)2 = 2p(y – k), trong đó: p là khoảng cách giữa tiêu điểm và đường chuẩn. Ngược lại, phương trình của 1 parabol với trục thẳng đứng làm đường chuẩn là (y – k)2 = 2p(x – h). Dịch từ trang web: http:// www.Krelinst.org/UCES/archive/resources/conics/node51.html IV. Khái quát về kiến thức Parabol trong Đại số 10 và Hình học 10: Qua tìm hiểu lịch sử và những vấn đề liên quan đến parabol, chúng ta đã có 1 cái nhìn khái quát về parabol. Dưới quan điểm Đại số và Hình học, parabol đã được đưa vào sách giáo khoa THPT . Nếu như trong SGK Đại số 10 parabol được xem xét dưới góc độ đồ thị của 1 hàm số bậc hai, xác định các yếu tố của parabol như đỉnh, trục đối xứng gắn với các hệ số của hàm số bậc hai tương ứng. Tuy nhiên, SGK Đại số cũng chỉ dừng lại ở các parabol nhận trục tung hoặc các đường thẳng song song với trục tung làm trục đối 9 SVTH: Nguyễn Thị Bích Hoa. Mối quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lớp 10. xứng còn trường hợp nhận trục hoành hoặc các đường thằng song song với trục hoành thì chưa được đề cập đến. “ Sự hạn chế này là hợp lý vì học sinh chỉ mới bắt đầu làm quen với parabol từ lớp 9, lên lớp 10 là sự củng cố lại và tiếp tục khái quát một phần hình ảnh parabol của lớp 9, nên sự khái quát này không phải là “toàn bộ”, mà phải mang tính chất “từng bước”, nội dung “vừa đủ” để học sinh lĩnh hội và phải sát với những gì học sinh được học ở lớp 9 để học sinh có thể “ thấy mối liên quan giữa parabol ở học sinh lớp 9 và lớp 10” (Trích tiểu luận “Khái niệm parabol trong thể chế dạy học ở trường THPT” của Nguyễn Thị Thu Thùy). Thì trong Hình học 10, học sinh chủ yếu được học các tính chất “hình học” và “giải tích” của parabol bằng định nghĩa theo kiểu mô tả parabol qua các yếu tố rất quen thuộc và cơ bản của hình học như điểm, đường thằng, khoảng cách, thiết lập phương trình chính tắc. Sách Hình học còn đưa vào phần chú ý như sự giải thích tại sao trong Đại số lại thừa nhận đồ thị của hàm số bậc hai là parabol. Như vậy, với việc đại số hóa Hình học – sự ra đời của hình học giải tích, các mô hình Hình học được mang “hình dáng” Đại số trở nên dễ khảo sát hơn đồng thời nối liền Hình học với Đại số. Như đã nói ở trên, Đại số 10 không đưa đầy đủ các dạng của parabol, Hình học 10 đã bổ sung thêm dưới dạng phương trình chính tắc nhưng vấn đề là học sinh sẽ tiếp thu điều này thế nào bởi học sinh được học trong Đại số “hàm số bậc hai có dạng y = ax2+bx+c (a ≠0) là parabol” trong khi trong Hình học thì “phương trình chính tắc của parabol lại là y2 = 2px, trong đó p > 0”. Và với 1 bài toán về parabol sẽ phải vận dụng kiến thức về Hình học hay Đại số để giải. Trong 2 tiết dạy bài Parabol trong phần Hình học, chúng ta sẽ phải cung cấp cho học sinh khái niệm parabol theo Hình học, phương trình chính tắc và các yếu tố liên quan đồng thời giúp các em hiểu về parabol theo 2 quan điểm Đại số và Hình học 1 cách rõ ràng và biết cách áp dụng chúng khi có 1 bài toán về parabol. Để làm được điều đó, chúng ta phải làm sáng tỏ: ƒ Phương trình chính tắc của parabol là 1dạng của hàm số bậc hai nhưng biến bậc hai là y, không phải là hàm số bậc hai theo biến x như hàm y= ax2+bx+c (a ≠0) trong Đại số. 10 SVTH: Nguyễn Thị Bích Hoa. Mối quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lớp 10. o Nếu là hàm số bậc hai theo biến x thì trục đối xứng sẽ là trục tung hoặc những đường thẳng song song với trục tung. o Nếu là hàm số bậc hai theo biến y thì trục đối xứng là trục hoành hoặc những đường thẳng song song với trục hoành. ƒ Làm rõ phần chú ý. ƒ Đưa ra một số bài tập để áp dụng kiến thức đã học trong Đại số và Hình học. Do đó, khái niệm parabol trong Đại số và Hình học 10 có sự nối kết với nhau nhất định “đồ thị hàm số bậc hai là một parabol, xem đồ thị như một công cụ để xây dựng bảng biến thiên, tính cực trị của hàm số; ngược lại, phương trình chính tắc của một parabol có dạng là hàm số bậc hai và lấy dạng chính tắc này để khảo sát.” (Trích tiểu luận “Mối liên hệ giữa đại số và hình học xét riêng giữa hàm số bậc hai và parabol” của Hoàng Minh Trị). V. Xây dựng tình huống dạy học bài parabol trong Hình học 10: 1. Mục đích xây dựng tình huống: Hình thành biểu tượng trực quan về parabol trước khi bước vào định nghĩa parabol theo quan điểm Hình học. Việc hình thành biểu tượng cho học sinh được xây dựng dựa trên thực nghiệm để học sinh quan sát, phán đoán để từ đó rút ra được kết luận cần thiết cho bài học. Cách tiếp cận này giúp học sinh dễ dàng hiểu được bản chất của khái niệm parabol. Tổ chức để học sinh từng bước tìm ra phương trình chính tắc của parabol. Giáo viên sẽ dẫn dắt học sinh đi tìm phương trình chính tắc của parabol qua 1 hệ thống câu hỏi có tính chất dẫn dắt, gợi mở vấn đề. Làm như vậy có tác dụng gắn kết một cách tự nhiên biểu tượng trực quan về parabol vừa hình thành ở học sinh thông qua hoạt động với việc thiết lập phương trình chính tắc. Nêu vấn đề và giải quyết vấn đề nhằm tìm ra mối quan hệ giữa kiến thức về parabol trong Đại số và Hình học. 11 SVTH: Nguyễn Thị Bích Hoa. Mối quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lớp 10. 2. Tình huống dạy học. ( Nộp kèm theo file word này là 1 giáo án điện tử bài ”Parabol” Hình học lớp 10 dựa trên cở sở xây dựng tình huống dưới đây) a) Mục đích yêu cầu: (i) Kiến thức: ƒ Học sinh nắm vững định nghĩa của parabol, phương trình chính tắc và các khái niệm: tiêu điểm, đường chuẩn, tham số tiêu của parabol. ƒ Biết được lý do hàm số bậc hai trong Đại số là parabol theo định nghĩa vừa học. (ii) Kỹ năng: ƒ Viết được phương trình chính tắc của parabol khi biết các yếu tố xác định parabol và xác định được tiêu điểm, đường chuẩn của parabol khi biết phương trình chính tắc của parabol. ƒ Biết áp dụng kiến thức đã học khi gặp 1 bài toán liên quan đến parabol. ƒ Rèn luyện học sinh các thao tác tư duy: phân tích, so sánh, tổng hợp. b) Phương pháp – Phương tiện dạy học: ƒ Phương pháp: Vấn đáp, gợi mở kết hợp với phương pháp nêu và giải quyết vấn đề. ƒ Phương tiện dạy học: êke tam giác vuông, tấm ván, đoạn dây không đàn hồi, bút chì, máy chiếu hoặc bảng phụ. c) Chuẩn bị của học sinh và giáo viên: (i) Học sinh (HS): Trước tiết học, giáo viên sẽ chia nhóm, mỗi nhóm từ 5 đến 6 học sinh. Mỗi nhóm sẽ chuẩn bị dụng cụ theo yêu cầu của giáo viên: • 1 tấm ván phẳng, mỏng, hình chữ nhật kích thước tối thiểu 30(cm) x 20(cm).