Tiểu luận Thiết kế bộ lọc IIR và tính toán các hệ số bộ lọc viết bằng ngôn ngữ Matlab

1 MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU ........................................................................................... 2 Chƣơng I TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ............................................... 3 1.1. TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ ............................................................................................. 3 1.2. CÔNG CỤ TOÁN HỌC ĐỂ THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ. .......................................................... 6 1.2.1. Phép biến đổi z ................................................................................................................. 6 1.2.2. Các tính chất của biến đổi z: ............................................................................................ 7 Chƣơng II: THIẾT KẾ BỘ LỌC IIR ........................................................ 9 2.1. CÁC PHƢƠNG PHÁP TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ IIR TỪ BỘ LỌC TƢƠNG TỰ ............... 9 2.1.1. Phƣơng pháp bất biến xung .............................................................................................. 9 2.1.2. Phƣơng pháp biến đổi song tuyến .................................................................................. 13 2.1.3. Phƣơng pháp tƣơng đƣơng vi phân ................................................................................ 16 2.2. TỔNG HỢP CÁC BỘ LỌC TƢƠNG TỰ THÔNG THẤP .................................................. 17 2.2.1. Bộ lọc tƣơng tự Butterworth: ......................................................................................... 17 2.2.2. Bộ lọc Chebyshev .......................................................................................................... 20 2.2.3. Bộ lọc tƣơng tự Elip (Cauer). ......................................................................................... 28 Chƣơng 3. THIẾT KẾ VÀ MÔ PHỎNG BỘ LỌC SỐ IIR BẰNG CÔNG CỤ SPTOOL ....................................................................................... 30 3.1. GIỚI THIỆU VỀ CÔNG CỤ SPTOOL ................................................................................ 30 3.1.1 Thiết kế bộ lọc số bằng công cụ SPTool: ........................................................................ 30 3.1.2 Phân tích bộ lọc: .............................................................................................................. 33 3.1.3 Thiết kế những bộ lọc bổ sung: ....................................................................................... 33 3.1.4 Thể hiện những bộ lọc trên trong Fvtool (Filter Visualization Tool): ............................ 36 3.1.5 Export bộ lọc từ FDATool: ............................................................................................. 38 3.2. THIẾT KẾ VÀ MÔ PHỎNG BỘ LỌC SỐ IIR BẰNG SPTOOL ........................................ 39 3.2.1 Bài toán: .......................................................................................................................... 39 3.2.2. Các bƣớc thiết kế: .......................................................................................................... 40 3.2.3. Đánh giá các bộ lọc ........................................................................................................ 46 KẾT LUẬN ............................................................................................. 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................... 48 2 LỜI MỞ ĐẦU Tín hiệu xuất hiện hầu nhƣ ở tất cả các ngành khoa học và kĩ thuật; ví nhƣ trong âm học, sinh học, thông tin liên lạc, hệ thống điều khiển, rađa, vật lý học, địa chất học và khí tƣợng học. Có hai dạng tín hiệu đƣợc biết đến. Đó là tín hiệu liên tục theo thời gian và tín hiệu rời rạc theo thời gian. Một tín hiệu rời rạc, cũng nhƣ một tín hiệu liên tục, có thể đƣợc biểu diễn bởi một hàm của tần số và đƣợc biết đến nhƣ là phổ tần của tín hiệu. Lọc số là một quá trình mà ở đó phổ tần của tín hiệu có thể bị thay đổi, biến dạng tuỳ thuộc vào một số đặc tính mong muốn. Nó có thể dẫn đến sự khuếch đại hoặc suy giảm trong một dải tần số, bỏ đi hoặc cô lập một thành phần tần số cụ thể,… Sử dụng bộ lọc số rất nhiều vẻ, ví nhƣ: để loại đi thành phần làm bẩn tín hiệu nhƣ nhiễu, loại bỏ méo xuyên giữa các kênh truyền dẫn hoặc sai lệch trong đo lƣờng, để phân tách hai hoặc nhiều tín hiệu riêng biệt đã đƣợc trộn lẫn theo chủ định nhằm cực đại hoá sự sử dụng kênh truyền, để phân tích các tín hiệu trong các thành phần tần số của chúng, để giải nén tín hiệu, để chuyển tín hiệu rời rạc theo thời gian sang tín hiệu liên tục theo thời gian. Bộ lọc số là một hệ thống số có thể đƣợc sử dụng để lọc các tín hiệu rời rạc theo thời gian. Tiểu luận này trình bày lý thuyết thiết kế bộ lọc IIR và tính toán các hệ số bộ lọc viết bằng ngôn ngữ MATLAB, đƣợc chia thành 3 chƣơng nhỏ: Chƣơng 1. Tổng quan về bộ lọc số: Chƣơng này giới thiệu khái quát về lý thuyết bộ lọc số và cơ sở toán học của bộ lọc số. Chƣơng 2. Thiết kế bộ lọc số IIR.: Chƣơng này trình bày phƣơng pháp tổng hợp bộ lọc số IIR từ bộ lọc tƣơng tự và các phƣơng pháp tổng hợp các bộ lọc tƣơng tự thông thấp. Chƣơng 3. Thiết kế và mô phỏng bộ lọc số IIR bằng công cụ SPTool. Trong chƣơng này trình bày trình tự mô phỏng các bộ lọc số IIR thông thấp và đánh giá so sánh các thông số đáp ứng biên độ của các bộ lọc. 3 Chƣơng I TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ Trong kỹ thuật tƣơng tự (Analog) bộ lọc tín hiệu đóng một vai trò quan trọng. Ngƣời ta chia chúng làm 2 loại cơ bản: Bộ lọc tích cực và bộ lọc thụ động. Song thành phần cơ bản tác động đến biên độ _tần số tín hiệu là các thành phần điện kháng nhƣ : điện cảm L và điện dung C. Chúng đƣợc mắc với nhau theo những cấu trúc riêng nhằm đáp ứng yêu cầu của bộ lọc nhƣ : Bộ lọc thông thấp, thông cao, thông một dải hoặc các bộ chặn tần v.v... Để thiết kế chúng ngƣời ta phải giải các phƣơng trình vi tích phân. Một phƣơng pháp phổ biến nữa là ngƣời ta xây dựng hàm truyền đạt biên độ tần số H(jω), qua đó ta có thể xác định chính xác đáp ứng của tín hiệu đầu ra Y(t) khi đầu vào là hàm X(t) xác định. Khi kỹ thuật số (Digital) bùng nổ, việc xây dựng các bộ lọc số đƣợc xây dựng trên nền tảng là các chƣơng trình, các thuật toán nhằm đáp ứng yêu cầu cho các bộ lọc số. Các chƣơng trình, thuật toán này có thể đựơc thực hiện bằng phần mềm hoặc bằng các kết cấu cứng. Xét một cách tổng quát thì bộ lọc số và bộ lọc tƣơng tự có nhiều nét tƣơng đồng kể cả về chức năng cũng nhƣ phƣơng pháp luận trong việc xây dựng chúng. Trong chƣơng này chúng ta sẽ có cái nhìn tổng quát về các bộ lọc số và công cụ toán học khi nghiên cứu bộ lọc số để làm cơ sở cho việc nghiên cứu các chƣơng tiếp theo. 1.1. TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ Bộ lọc số là một hệ thống dùng để làm biến dạng sự phân bố tần số của các thành phần của tín hiệu theo các chỉ tiêu đã cho. Bộ lọc số là hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian. Thông số vào và ra của hệ thống quan hệ với nhau bằng tổng chập ( ) ( )* ( ) k y n x n h n k     Bộ lọc số đƣợc chia làm hai loại cơ bản là bộ lọc IIR (Infinite-Duration Impulse Response) có đáp xung h(n) vô hạn và bộ lọc FIR (Finite-Duration Impulse Response) có đáp ứng xung hữu hạn.Bộ lọc IIR mang tính tổng quát hơn bộ lọc FIR vì IIR là bộ lọc đệ quy còn bộ lọc FIR là bộ lọc không đệ quy. Để thấy rõ hơn ta xét 4 hệ xử lý số tuyến tính bất biến nhân quả (TTBBNQ) đƣợc mô tả bằng phƣơng trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc N ≥ 1: 0 1 ( ) ( ) ( ) M N k r k r y n b x n k a y n r        (1.1) Hệ xử lý số TTBBNQ có quan hệ vào ra là hệ đệ quy, sơ đồ cấu trúc của nó gồm hai nhóm, nhóm thứ nhất là phần giữ chậm tác động vào x(n), nhóm thứ hai là phần phản hồi giữ chậm phản ứng y(n). Trên hình 1.1 là sơ đồ cấu trúc dạng chẩn tắc 1 của hệ. Hình 1.1: Sơ đồ cấu trúc dạng chuẩn tắc 1 của hệ IIR đệ quy Đối với các hệ xử lý số TTBBNQ, đổi thứ tự của hai khối liên kết nối tiếp không làm thay đổi phản ứng y(n), nên có thể đƣa sơ đồ cấu trúc trên hình 1.1 về dạng chuyển vị trên hình 1.2. Hình 1.2: Sơ đồ cấu trúc chuyển vị của hệ IIR đệ quy 5 Thay hai dãy trễ của sơ đồ cấu trúc ở hình 1.2 bằng một dãy trễ, nhận đƣợc sơ đồ cấu trúc dạng chuẩn tắc 2 trên hình 1.3 với N phần tử trễ ít hơn (khi giả thiết M > N ). Xét phƣơng trình (1.1) khi các hệ số ar =0 thì phƣơng trình trở thành: 0 ( ) ( ) M k k y n b x n k    (1.2) Lúc này hệ là tuyến tính bất biến nhân quả không đệ quy FIR (không còn thành phần phản hồi). Nó có hai dạng cấu trúc nhƣ các hình sau : Hệ xử lý số TTBBNQ có quan hệ vào trên là hệ có số phần tử hữu hạn và không đệ quy, nên sơ đồ cấu trúc của hệ không có phản hồi và có thể thực hiện đƣợc nhƣ trên hình 1.4 Hình 1.3: Sơ đồ cấu trúc dạng chuẩn tắc 2 của hệ IIR đệ quy Khi đổi vị trí các phần tử trễ, nhận đƣợc sơ đồ cấu trúc dạng chuyển vị trên hình 1.4b. Nhƣ vậy bộ lọc FIR chỉ là một dạng đặc biệt của bộ lọc IIR nhƣng nó có ƣu điểm là đơn giản về mặt toán học và tính ổn định của nó cao hơn bộ lọc IIR.Bộ lọc IIR có cấu trúc thƣờng gọn nhẹ hơn và hệ số phẩm chất của nó thƣờng cao hơn so với bộ lọc FIR. 6 Hình 1.4: Sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số FIR không đệ quy 1.2. CÔNG CỤ TOÁN HỌC ĐỂ THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ. Trong nhiều trƣờng hợp, việc giải các bài toán phân tích hệ xử lý số trong miền thời gian là phức tạp và khó khăn. Để giải các bài toán đƣợc dễ dàng hơn, ngƣời ta thƣờng sử dụng các phép biến đổi để chuyển bài toán sang miền biến số khác. Biến đổi Laplace đƣợc dùng để phân tích hệ tƣơng tự, đối với hệ xử lý số sử dụng biến đổi Z. 1.2.1. Phép biến đổi z Phép biến đổi Z đƣợc sử dụng cho các dãy số. Biến đổi Z thuận để chuyển các dãy biến số nguyên n thành hàm biến số phức z, biến đổi Z ngƣợc để chuyển các hàm biến số phức z thành dãy biến số nguyên n. a. Biến đổi Z thuận: * Biến đổi Z hai phía: Biến đổi Z hai phía của dãy x(n) là chuỗi lũy thừa của biến số phức z : ( ) ( ). n n X z x n z      (1.3) Miền xác định của hàm X(z) là các giá trị của z để chuỗi hội tụ. Ký hiệu: ZT[x(n)] = X (z) (1.4) Hay: 7 ( ) ( ) ZTx n X z (1.5) ( ZT là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh : Z - Transform). * Biến đổi Z một phía: Biến đổi Z một phía của dãy x(n) là chuỗi lũy thừa của biến số phức z : 1 0 ( ) ( ). n n X z x n z     (1.6) Miền xác định của hàm 1( )X z là các giá trị của z để chuỗi (1.6) hội tụ. Ký hiệu:  1 1( ) ( )ZT x n X z (1.7) Hay: 1 1( ) ( )ZTx n X z (1.8) b. Biến đổi Z ngược: 11( ) ( ). 2 n C x n X z z dz j    (1.9) Tích phân (1.9) chính là biểu thức của phép biến đổi Z ngƣợc, nó đƣợc ký hiệu nhƣ sau : IZT[X (z)] = x(n) (1.10) Hay: ( ) ( ) IZTX z x n (1.11) (IZT là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh : Invertse Z Transform). 1.2.2. Các tính chất của biến đổi z: Khi phân tích hệ xử lý số qua biến đổi Z, vận dụng các tính chất của biến đổi Z sẽ giúp cho việc giải quyết bài toán đƣợc dễ dàng hơn. 1.2.2.1. Các tính chất của biến đổi Z hai phía * Tính chất tuyến tính : Hàm ảnh Z của tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm ảnh Z thành phần. Nếu  ( ) ( )i iZT x n X z với  ( ) :i i iRC X z R z R   thì : .( ) ( ) . ( ) ( )i i i i i i Y z ZT y n A x n A X z           (1.12) Miền hội tụ của hàm Y(z) là giao miền hội tụ của các hàm Xi(z). * Tính chất đạo hàm Nếu: ZT[x(n)] = X (z) với  ( ) : x xRC X z R z R   thì : 8   ( ) ( ) ( ) . ( ) . dX z Y z ZT y n n x n z dz     (1.13) * Tính chất tích chập : Hàm ảnh Z của tích chập hai dãy bằng tích hai hàm ảnh thành phần. Nếu:  1 1( ) ( )ZT x n X z với  1 1 1( ) :RC X z R z R   Và:  2 2( ) ( )ZT x n X z với  2 2 2( ) :RC X z R z R   Thì:   11 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) . ( ). 2 C z Y z ZT y n x n x n X x X d j            (1.14) Với  ( ) :max[ ] min[ ]i iRC Y z R z R   Miền hội tụ của hàm Y(z) là giao các miền hội tụ của X1(z) và X2(z). Đƣờng cong kín C của tích phân (1.14) phải bao quanh gốc tọa độ và thuộc miền hội tụ của cả X1(z) và X2(z) trong mặt phẳng phức. * Định lý giá trị đầu của dãy nhân quả : Nếu x(n) là dãy nhân quả và X (z) = ZT[x(n)] thì : lim ( ) (0) x X z x   * Hàm ảnh Z của dãy liên hợp phức Nếu : ZT[x(n)] = X (z) với  ( ) : x xRC X z R z R   Thì: [ *( )] *( *)ZT x n X z với  ( ) : x xRC Y z R z R   (1.15) * Biến đổi Z của hàm tƣơng quan rxy(m) Nếu: ZT[x(n)] = X (z) thì 1( ) [ ( )] ( ). ( )x xR z ZT r m X z X z   (1.16) 1.2.2.2. Các tính chất của biến đổi Z một phía Biến đổi Z một phía có hầu hết tất cả các tính chất giống nhƣ biến đổi Z hai phía, trừ tính chất trễ. * Tính chất trễ của biến đổi Z một phía Nếu: 1 1[ ( )] ( )ZT x n X z với 1[ ( )]: xRC X z z R  Thì: với k>0: 1 1 1 ( ) 1 ( ) [ ( )] ( ) ( ). k k i k i Y z ZT x n k z X z x i z        Với 1 1[ ( )] [ ( )]RC Y z RC X z , trừ điểm z=0. * Tính chất vƣợt trƣớc của biến đổi Z một phía 9 Nếu: 1 1[ ( )] ( )ZT x n X z với 1[ ( )]: x xRC X z R z R   Thì với k>0: 1 1 1 1 ( ) 0 ( ) [ ( )] ( ) ( ). k k k m i Y z ZT x n k z X z x m z        (1.17) Với 1 1[ ( )] [ ( )]RC Y z RC X z , trừ điểm z=0. Chƣơng II: THIẾT KẾ BỘ LỌC IIR Để thiết kế bộ lọc số IIR, ta có một số phƣơng pháp nhƣ: thiết kế từ bộ lọc tƣơng tự, chuyển đổi tần số, phƣơng pháp bình phƣơng tối thiểu. Trong đó phổ biến nhất là phƣơng pháp thiết từ bộ lọc tƣơng tự, tức là ta thiết kế một bộ lọc tƣơng tự thỏa mãn các yêu cầu đặt ra, sau đó dùng các phƣơng pháp chuyển đổi từ miền Laplace sang miền Z ta đƣợc bộ lọc số. 2.1. CÁC PHƢƠNG PHÁP TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ IIR TỪ BỘ LỌC TƢƠNG TỰ Tƣơng tự nhƣ bộ lọc số FIR, ngƣời ta thƣờng dùng một số phƣơng pháp tổng hợp bộ lọc số IIR có đáp ứng xung có chiều dài vô hạn. Phƣơng pháp đƣợc đƣa ra ở đây là biến đổi từ bộ lọc tƣơng tự sang bộ lọc số theo các phép ánh xạ. Việc tổng hợp bộ lọc tƣơng tự đã đƣợc giới thiệu ở phần trƣớc, khi tổng hợp bộ lọc số IIR ta sẽ bắt đầu việc tổng hợp bộ lọc trong miền tƣơng tự tức là xác định hàm truyền đạt Ha(s) và sau đó biến đổi sang miền số. Có 3 phƣơng pháp chính để chuyển từ bộ lọc tƣơng tự sang bộ lọc số tƣơng đƣơng: - Phƣơng pháp bất biến xung - Phƣơng pháp biến đổi song tuyến - Phƣơng pháp tƣơng đƣơng vi phân Ngoài ra ta có thể sử dụng phƣơng pháp biến đổi dải tần bộ lọc số thông thấp đã đƣợc thiết kế để thiết kế các bộ lọc thông thấp khác với tần số cắt khác hoặc bộ lọc thông cao, thông dải, chắn dải. 2.1.1. Phƣơng pháp bất biến xung Phƣơng pháp này dựa trên quan hệ cuả đáp ứng xung ha(t) cuả bộ lọc tƣơng tự và dãy h(n) rời rạc đƣợc xác định bởi lấy mẫu ha(t): 10 h(n) = ha(nT) Có nghĩa là dãy đáp ứng xung của bộ lọc rời rạc đƣợc nhận từ việc lấy mẫu đáp ứng xung của bộ lọc tƣơng tự, T là chu kỳ lấy mẫu. Theo trên ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) a a n h n h nT h t t nT      Với hàm ha(t) ta có ảnh Laplace là Ha(t) , ( )t nT  là hàm xung Dirac. Với hàm h(n) ta có ảnh Z là H(z) và biến đổi Fourrier là H(ej ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a n n h n h t t nT h t t nT          Trong miền thời gian liên tục, gọi : - Biến đổi Fourier của ha(t) là ( )a aH  - Biến đổi Fourier của ( ) n t nT    là _ 1 2 ( )a n n T T       Nhƣ vậy gọi biến đổi Fourier của h(n) là ( )jH e  , ta có : _ 1 2 ( ) ( ) ( )j a a a n n H e H T T                 = _ 1 2 ( ) ( )a a a n n H T T         Mà 2 2 2 ( ) ( ) ( ). ( ) ( )a a a a a a a n n n H H d H T T T                  Vậy _ 1 2 ( ) ( )j a a n n H e H T T        (2.1)  Về mối quan hệ giữa 2 tần số ω và ωa ta nhận xét : - Đối với tín hiệu số : x(n) = Acosnω thì n đƣợc hiểu là số nguyên không đơn vị nên ω phải có đơn vị góc là radian, ω gọi là tần số số. 11 Hình 2.1 - Đối với tín hiệu tƣơng tự :x(t)= Acosωat, trong đó ωa là tần số góc ( rad/s), khi lấy mẫu đều ở các thời điểm t=nT ( với T là chu kỳ lấy mẫu ) thì ta đƣợc tín hiệu số : x(n)= AcosωaT. Vậy đối chiếu với tín hiệu số : x(n) = A cos(nω) Ta có mối quan hệ : ω= ωaT  Thiết kế xung bất biến có thể tóm tắt theo các bƣớc sau : - Cần đặt chỉ tiêu cho bộ lọc rời rạc bằng đặc tuyến tần số ( )jH e  , và cần thiết lập chỉ tiêu tƣng tự tƣơng ứng với việc lựa chọn tần số lấy mẫu đúng (ωa≤ 2 s T   hay là fs≥2fa ) fs là tần số lấy mẫu, fa là tần số tín hiệu liên tục vào. - Cần hàm truyền đạt tƣơng tự Ha(s) thỏa mãn các chỉ tiêu tƣơng tự đã đặt ra. Trong nhiều trƣờng hợp Ha(s) coi nhƣ đƣợc cho và chỉ cần thực hiện các bƣớc sau : + Từ hàm Ha(s) với biến đổi ngƣợc Laplace cần xác định hàm đáp ứng xung tƣơng tự Ha(t) + Từ Ha(t) xác định dãy h(n) sau đó xác định ảnh H(z) có thể thực hiện bởi một chuẩn nào đó. Để khai thác hết hiệu quả của phƣơng pháp đáp ứng xung bất biến , ta biểu diễn hàm truyền đạt của mạnh lọc tƣơng tự H(s) dƣới dạng khai triển thành các phân thức tối giản nhƣ sau : 12 1 ( ) N k a k pk A H s s s    với Spk : là các điểm cực đơn của Ha(s). Qua các phép biến đổi Laplace ngƣợc, lấy mẫu với điều kiện hội tụ Spk<0 ta có hàm truyền đạt H(z) của bộ lọc số đƣợc chuyển tƣơng đƣơng theo phƣơng pháp bất biến xung sẽ là : 1 1 ( ) (1 )pk s N k s T k A H z e z    (2.2) Các điểm cực của Ha(s) cũng chính là các điểm cực H(z) : 1 ( ) N k a k pk A H s s s     1 1 ( ) (1 )pk s N k s T k A H z e z    Hay các điểm cực Spk = δ +jω của Ha(s) lọc tƣơng tự đƣợc chuyển thành các điểm cực pk ss T pkZ e c ủa H(z) lọc số : ( ) s sT j T j pk s T j Tpk s sZ e e e e Z e pk        Với sT pkZ e  và sT   Nếu : σ 1pkZ  hay các điểm cực của H(z) sẽ nằm bên trong vòng tròn đơn vị. Nhƣ vậy điều kiện ổn định vẫn đƣợc bảo đảm khi chuyển Ha(s) thành H(z). Ví dụ 1 : Hãy chuyển sang mạch số bằng phƣơng pháp bất biến xung, biết mạch điện tƣơng tự cho nhƣ sau : Giải: 13 Hàm truyền đạt của mạch tƣơng tự : 1 1 1 ( ) ( ) 1( ) ( )( ) r a v p U s ARCH s U s s ss RC     Với 1 1 A RC  ; 1 1 pS RC   Hàm truyền đạt của mạch số tƣơng ứng là : 1 0 1 11 1 1 ( ) (1 )(1 ) (1 ) p s s k S T T RC A bRCH z a ze z e Z         với 0 1 b RC  ; 1 1 sT RCa e     Phƣơng trình sai phân : y(n) + a1y(n-1) = b0x(n)  Sơ đồ thực hiện hệ thống : 2.1.2. Phƣơng pháp biến đổi song tuyến Biến đổi song tuyến tính là công cụ đắc lực nhất của thiết kế bộ lọc IIR. Phép chiếu dùng trong biến đổi song tuyễn tính là phép chiếu dễ dùng nhất, chiếu trục jωa trên mặt phẳng S lên đƣờng tròn đơn vị trong mặt phẳng Z, chiếu nửa mặt phẳng trái bảo đảm ổn định của mặt phẳng S thành bên trong vòng tròn đơn vị bảo đảm ổn định của mặt phẳng Z, chiếu nửa mặt phẳng phải của mặt phẳng S thành bên ngoài của vòng tròn đơn vị của mặt phẳng Z.Phép biến đổi này cho phép ánh xạ các giá trị trên trục jωa lên vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng Z mà không bị chồng chập tần số nhƣ phép biến đổi xung bất biến. - Biến đổi song tuyến tính gắn các hàm truyền đạt tƣơng tự Ha(s) và hàm truyền đạt số H(z) trên cơ sở tích phân các phƣơng trình vi phân và tính tích phân gần đúng bằng phƣơng pháp số. - Để xác định quan hệ, chúng ta bắt đầu từ phƣơng trình vi phân bậc 1 có dạng : 14 1 0 0 ( ) ( ) ( )a a a dy t C C y t D x t dt   (2.3) Hàm truyền tƣơng tự : 0 1 0 (s) ( ) ( ) a a a Y D H s X s SC C    (2.4) Có thể xác định hàm Ya(t) bằng cách lấy tích phân đạo hàm của nó : 0 ( ) ( ) ( ) t a a a to dy t Y t dt Y t dt   Nếu ta