Tìm hiểu bước đầu về phương trình monge-Ampere phức trên đa tạp compact kahler

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Nhật Nguyên TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE PHỨC TRÊN ĐA TẠP COMPACT KAHLER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Nhật Nguyên TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE PHỨC TRÊN ĐA TẠP COMPACT KAHLER Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN VĂN ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CAM ĐOAN Học viên xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng học viên. Luận văn được hoàn thành bởi cá nhân dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Đông. Các tài liệu tham khảo, các định lí, bổ đề và các kết quả trích dẫn, sử dụng trong luận văn đều được nêu đầy đủ nguồn gốc cụ thể, rõ ràng. TP. Hồ Chí Minh, ngày 14 tháng 9 năm 2014 Học viên thực hiện Lê Nhật Nguyên MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Mục lục MỞ ĐẦU ................................................................................................................... 1 Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................... 3 1.1. Phép tính vi phân trên đa tạp khả vi .................................................................... 3 1.2. Dòng trên các đa tạp khả vi ................................................................................. 7 1.3. Phép tính vi phân phức ........................................................................................ 9 1.4. Hàm đa điều hòa dưới ........................................................................................ 15 1.5. Đa tạp Stein ....................................................................................................... 17 1.6. Đa tạp Hecmit và đa tạp Kahler ......................................................................... 19 1.7. Một số kết quả về dung lượng tương đối và hàm cực trị tương đối .................. 20 1.8. Bài toán Dirichlet cho phương trình Monge-Ampere trong miền giả lồi ngặt ....... 24 Chương 2. DÒNG DƯƠNG ĐÓNG VÀ TOÁN TỬ MONGE-AMPERE TRÊN ĐA TẠP PHỨC ......................................................................... 27 2.1. Dòng dương đóng .............................................................................................. 27 2.2. Toán tử Monge-Ampere .................................................................................... 33 Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE PHỨC TRÊN ĐA TẠP COMPACT KAHLER ................................................................ 43 3.1. Mở đầu ............................................................................................................... 44 3.2. Nguyên lý so sánh .............................................................................................. 47 3.3. Ước lượng L ................................................................................................... 49 3.4. Sự duy nhất và ổn định của nghiệm ................................................................... 55 KẾT LUẬN ............................................................................................................. 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 61 1 MỞ ĐẦU Một nhánh trong giải tích phức nhiều biến phát triển mạnh mẽ trong vòng 30 năm trở lại đây là lý thuyết đa thế vị. Nhiều kết quả quan trọng của lý thuyết này được người ta biết đến từ khá sớm trước những năm 80 của thế kỉ trước. Các kết quả đặc sắc của E.Berford và B.A.Taylor năm 1982 là việc xây dựng thành công toán tử Monge – Ampere phức cho lớp hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương, tìm ra nghiệm đa điều hòa dưới của bài toán Dirichlet cho phương trình Monge – Ampere phức và đưa ra khái niệm dung lượng của một tập Borel trong một tập mở trong n . Có thể xem đây như là một công cụ hữu hiệu cho việc phát triển lý thuyết đa thế vị cho đến nay. Trong những năm gần đây bài toán Dirichlet đối với phương trình Monge-Ampere phức: ( ) ,ncdd u dµ= u ϕ= trên biên được giải với một lớp rộng rãi các độ đo khác nhau. Việc đưa ra các điều kiện để phương trình có nghiệm liên tục cũng như mô tả các độ đo này để phương trình có các nghiệm thuộc lớp rộng hơn các hàm đa điều hòa dưới được sự quan tâm của các nhà toán học trên thế giới. Phương trình Monge-Ampere cũng được nghiên cứu gắn với hình học các đa tạp Kahler. Ở đây nghiệm của phương trình sinh ra một mê tric Kahler với độ cong Ricci cho trước. Vào những năm 70 Yau giải phương trình Monge-Ampere trên các đa tạp compact Kahler với dữ liệu trơn suy biến, chứng minh một phỏng đoán lừng danh của Calabi là đúng. Trong chứng minh ông sử dụng phương pháp liên tục cùng với phương pháp đánh giá tiên nghiệm đối với đạo hàm của nghiệm. Theo cách tương tự phương trình cũng được nghiên cứu trên miền giả lồi ngặt bởi Caffarelli. Kohn, Nirenberg và Spruck. Khi đó ngoài việc chỉ ra sự tồn tại nghiệm, Aubin, G.Tian còn chỉ ra tính chính quy của nghiệm với các giả thiết phù hợp. Năm 1998, S.Kolodziej đã khái quát định lý của Yau với dữ liệu không trơn, suy biến. Đặc biệt, ông chỉ ra sự tồn tại của nghiệm của phương trình Monge-Ampere trên đa tạp Kahler compact với vế phải thuộc lớp , 1pL p > . 2 Với mong muốn tìm hiểu một số kết quả của lý thuyết đa thế vị và phương trình Monge – Ampere phức trên đa tạp Kahler compact nên tôi chọn nội dung “Tìm hiểu bước đầu về phương trình Monge-Ampere phức trên đa tạp compact Kahler” làm đề tài luận văn của mình. Nội dung chính của luận văn này trình bày về sự tồn tại, tính duy nhất và ổn định của các nghiệm của phương trình Monge-Ampere phức trên một đa tạp Kahler compact bằng cách áp dụng các phương pháp của lý thuyết đa thế vị. Luận văn gồm 3 chương: Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị. Chương 2 trình bày về dòng dương đóng và toán tử Monge – Ampere trên đa tạp phức. Chương 3 trình bày về phương trình Monge- Ampere phức trên đa tạp compact Kahler. Phương pháp nghiên cứu luận văn chủ yếu là tổng hợp, so sánh, tham khảo các tài liệu, trình bày lại các kết quả. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Đông. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã tận tình chu đáo và động viên tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập cũng như quá trình hoàn thành luận văn. Tôi xin cảm ơn tất cả các thầy đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Xin cảm ơn các bạn học viên ngành toán đã động viên giúp đỡ tôi và có nhiều ý kiến đóng góp trong quá trình hoàn thành luận văn. Do trình độ và thời gian có hạn nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo và góp ý của các thầy cô và các bạn. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2014 Tác giả 3 Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Phép tính vi phân trên đa tạp khả vi 1.1.1. Đa tạp khả vi Cho m và { }k∈ ∪ ∞ . Ta ký hiệu lớp các hàm khả vi k lần v ới các đạo hàm liên tục là kC . Một đa tạp khả vi m chiều thực thu ộc lớp kC là một không gian tôpô X Hausdorff, khả ly, nghĩa là có một cơ sở đếm được, được trang bị một atlas lớp kC với giá trị trong m . Một atlas lớp kC m chiều trên X là họ ( ){ }, AA Uα α αϕ ∈= thỏa mãn: i) Uα là tập con mở khác rỗng của X với mọi Aα ∈ . ii) :U Vα α αϕ → là đồng phôi từ Uα lên một tập mở Vα trong m  với mọi Aα ∈ . iii) AU X   . iv) ( ) ( )1 : U U U Uβα β α α α β β α βφ ϕ ϕ ϕ ϕ−= →   là một vi phôi lớp kC với mọi , Aα β ∈ . + ( ),Uα αϕ được gọi là bản đồ địa phương. + Uα được gọi là miền tọa độ hay mảnh tọa độ của bản đồ địa phương đó. + Các thành phần của ( ) ( )1 2, ,..., nx x x xα α ααϕ = được gọi là hệ tọa độ địa phương trên Uα xác định bởi αϕ . + 1       được gọi là phép biến đổi tọa độ (phép chuyển dịch). Ta có mối liên hệ ( )x xα βαβφ= Nếu k = ∞ ta nói X là đa tạp trơn m chiều. Nếu Ω là tập con mở của X và { } ,0s s k∈ ∪ ∞ ≤ ≤ ta ký hiệu ( , )sC   là tập hợp các hàm thuộc lớp sC trên Ω , nghĩa là 1f    thuộc lớp sC trên ( )Uα αϕ Ω . 4 Nếu Ω không là tập con mở của X thì ( , )sC   là tập hợp các hàm có mở rộng thuộc lớp sC trên một lân cận nào đó của Ω , + Một vec-tơ tiếp xúc ξ tại điểm a X∈ được định nghĩa là một toán tử vi phân tác động lên các hàm, có dạng: 1 . ( ) m j j j ff f a x      với 1( , )f C   trong hệ tọa độ địa phương bất kỳ 1( ,.., )mx x trên tập mở Ω chứa a. Khi đó ta viết 1 m j j jx ξ ξ = ∂ = ∂∑ . Với mọi a∈Ω bộ 1j j m x ≤ ≤  ∂   ∂  là cơ sở của không gian tiếp xúc của không gian X tại a, ký hiệu là ,X aT Vi phân của hàm f tại a là dạng tuyến tính trên không gian ,X aT được định nghĩa bởi: , 1 ( ) . ( ) , m a j X a j j fdf f a T x ξ ξ ξ ξ = ∂ = = ∀ ∈ ∂∑ Đặc biệt ( )j jdx ξ ξ= nên ta có thể viết 1 m j j j fdf dx x= ∂ = ∂∑ . Như vậy 1( ,.., )mdx dx là cơ sở đối ngẫu của 1j j m x ≤ ≤  ∂   ∂  trong không gian đối tiếp xúc *,X aT . Các hợp ,X X x x X T T    và * * ,X X x x X T T    được gọi là phân thớ tiếp xúc và phân thớ đối tiếp xúc của X. Ta nói ξ là một trường vec-tơ thuộc lớp sC trên Ω nếu nó là một ánh xạ ,( ) X xx x T  sao cho 1 ( ) ( ) m j j j x x x ξ ξ = ∂ = ∂∑ có các hệ số thuộc lớp sC . 1.1.2. Các dạng vi phân trên đa tạp khả vi Một dạng vi phân bậc p, hay vắn tắt một p- dạng trên X là một ánh xạ trên X lấy giá trị *,( ) p X xu x T∈Λ . Trong một tập mở tọa độ Ω⊂X, một p-dạng vi phân có thể được viết là: ( ) ( )I I I p u x u x dx = = ∑ 5 trong đó 1( ,.., )pI i i= là một đa chỉ số với các thành phần là các số nguyên 1 .. pi i< < và 1 : ... pI i i dx dx dx= ∧ ∧ . Ký hiệu I là số các thành phần của I, đọc là độ dài của I. Với mọi số nguyên 0,1,...,p m= và { }s∈ ∪ ∞ , s k≤ , ta ký hiệu *( , )s p XC X TΛ là không gian các p-dạng vi phân thuộc lớp sC , nghĩa là với các hệ số Iu thuộc lớp sC . Các phép toán trên dạng vi phân cũng được định nghĩa một cách tự nhiên. Tích ngoài. Nếu ( ) ( )I I I p u x u x dx = = ∑ là một p-dạng vi phân và ( ) ( )J J J q v x v x dx = = ∑ là một q-dạng vi phân, tích ngoài của u và v là một dạng p+q được xác định bởi: , ( ) ( ) ( )I J I J I p J q u v x u x v x dx dx      Đạo hàm ngoài. Đạo hàm ngoài của một p- dạng vi phân thuộc lớp sC là toán tử vi phân: * 1 1 *: ( , ) ( , )s p s pX Xd C X T C X T     được xác định trong hệ tọa độ địa phương bởi: ,1 I k I I p k m k udu dx dx x      (1.1) Thuận lợi của công thức (1.1) là nó không phụ thuộc vào việc chọn các tọa độ. Hai tính chất cơ bản của đạo hàm ngoài là: deg( ) ( 1) ud u v du v u dv∧ = ∧ + − ∧ 2 0d = Một dạng u được gọi là đóng nếu 0du = và được gọi là khớp nếu có thể viết u dv= với v là một dạng nào đó. Kéo ngược. Nếu : 'F X X→ là một ánh xạ khả vi từ đa tạp X đến đa tạp X’, dim ' 'X m=  và nếu ( ) ( )J Jv y v y dy=∑ là một p dạng vi phân trên X’, thì kéo ngược *F v là một p- dạng vi phân trên X nhận được bằng cách thay ( )y F x= vào v, nghĩa là: 1 * ( ) ( ( )) .. pI i i F v x v F x dF dF= ∧ ∧∑ 6 Nếu ta có ánh xạ thứ hai : ' ''G X X→ và nếu w là dạng vi phân trên X’’ thì *( * )F G w nhận được bằng các thay thế ( ), ( )z G y y F x= = do đó: *( * ) ( )*F G w G f w  Hơn nữa ta luôn có ( * ) *( )d F v F dv= . Điều này dẫn đến kéo ngược F* là đóng nếu v đóng và là khớp nếu v khớp. Tích phân của các dạng vi phân. Một đa tạp X được gọi là được định hướng nếu và chỉ nếu tồn tại một atlas ( ),Uα αϕ sao cho các αβφ bảo tồn hướng, nghĩa là có định thức Jacobi dương. Giả sử X được định hướng. Nếu 1 1( ) ( ,..., ) ..m mu x f x x dx dx= ∧ ∧ là một dạng liên tục với bậc cực đại m = dim X  , với giá compact trong một tập mở tọa độ Ω , ta đặt: 1 1( ,..., ) .. m m m X u f x x dx dx= ∧ ∧∫ ∫  Qua phép đổi biến, kết quả độc lập với việc chọn các tọa độ nên chúng ta chỉ xét các tọa độ tương ứng với định hướng đã cho. Khi u là một dạng tùy ý với giá compact, định nghĩa của X u∫ được mở rộng bằng phép phân hoạch đơn vị tương ứng với các tập mở tọa độ phủ suppu. Cho : 'F X X→ là một vi phôi giữa các đa tạp có định hướng và v là dạng thể tích trên X’. Công thức đổi biến: ' * X X F v v= ±∫ ∫ phụ thuộc vào F có bảo toàn hướng hay không . Cho K là một tập con compact của X với biên khả vi liên tục từng khúc. Với giả thiết này chúng ta hiểu rằng với mỗi a K∈∂ có các tọa độ 1 2( , ,..., )mx x x trên một lân cận V của a , tâm a , sao cho: { }1: 0,..., 0lK V x V x x∩ = ∈ ≤ ≤ với chỉ số l nào đó 1l ≥ . Khi đó K V∂ ∩ là một hợp của các siêu mặt trơn với các biên khả vi liên tục từng khúc: { }11 : 0,..., 0,..., 0j lj lK V U x V x x x≤ ≤∂ ∩ = ∈ ≤ = ≤ 7 Tại các điểm thuộc K∂ mà 0jx = thì 1( ,..., ,..., )j mx x x xác định các tọa độ trên K∂ Chúng ta lấy một định hướng của K∂ được cho bởi các tọa độ hoặc bởi tọa độ đối tùy thuộc và dấu 1( 1) j−− . Mọi dạng u thuộc lớp 1C bậc 1m − trên X ta có: K K u du ∂ =∫ ∫ (Công thức Stokes) 1.2. Dòng trên các đa tạp khả vi Cho X là một đa tạp khả vi có định hướng lớp , dimC m X∞ =  . Trước hết ta giới thiệu một tô-pô trên không gian các dạng vi phân *( , )s p XC X TΛ . Cho XΩ⊂ là một tập mở tọa độ và u là một p − dạng trên X, được viết là ( ) ( )Iu x u x dx= ∑ trên Ω . Đối với mọi tập con compact L ⊂ Ω và mọi số nguyên s ta xét nửa chuẩn: , ( ) sup max ( )sL II p sx L P u D u xα α= ≤∈ = với 1( ,..., )mα α α= chạy khắp m  và 1 1 ... mm D x x α α αα ∂ = ∂ ∂ là một đạo hàm cấp 1 ... mα α α= + + . 1.2.1. Định nghĩa a) Ta ký hiệu ( )P Xε (tướng ứng ( )s P X ) là không gian *( , )P XC X T∞ Λ (tướng ứng *( , )s P XC X TΛ ), được trang bị tô pô xác định bởi các nửa chuẩn sLP khi , ,s L Ω thay đổi (tương ứng khi ,L Ω thay đổi). b) Nếu K X⊂ là một tập compact ta ký hiệu ( )PD K là không gian con của ( )P Xε với các phần tử ( )Pu Xε∈ có giá compact trong K , cùng với tô pô cảm sinh ; ( )PD X ký hiệu tập hợp tất cả các phần tử với giá compact, nghĩa là ( ) : ( )P P K D X U D K= c) Các không gian của các sC − dạng ( )s PD K và ( )s PD X được định nghĩa tương tự. Vì các đa tạp được ta giả thiết là khả ly nên tô pô của ( )P Xε được xác định bởi họ đếm được các nửa chuẩn sLP và do đó ( ) P Xε (cũng như ( )s P Xε ) là một không gian Frechet. Tô pô của ( )s PD K được sinh bởi mọi tập hữu hạn các nửa chuẩn sKjP sao cho các tập compact jK phủ K . Do đó ( ) s PD K là một không gian Banach. Tuy nhiên, 8 ( )PD X không là một không gian Frechet, ( )PD X trù mật trong ( )P Xε . Không gian các dòng được định nghĩa như là đối ngẫu của các không gian trên, tương tự như định nghĩa thông thường về các phân bố. 1.2.2. Định nghĩa Không gian các dòng chiều p (hay bậc m p− ) trên X là không gian ' ( )pD X các dạng tuyến tính T trên ( )PD X sao cho hạn chế của T lên mọi không gian ( )PD K , K X là ánh xạ liên tục. Bậc được chỉ ra bằng các chỉ số mũ do đó ta đặt : ' '( ) ( ) :m p pD X D X − = = ( ( )) ',PD X trong đó ( ( )) 'PD X là đối ngẫu tôpô của ( )PD X Không gian ' '( ) ( ) : ( ( )) 's m p s s ppD X D X D X− = = được định nghĩa tương tự và được gọi là không gian dòng cấp s trên X. Ta đặt ,T u〈 〉 là cặp giữa một dòng T và một dạng thử ( )Pu D X∈ . Rõ ràng ' ( )s pD X được đồng nhất như là một không gian con các dòng ' ( )pT D X∈ mà liên tục với các nửa chuẩn sKP trên ( ) PD K với mọi tập compact K nằm trong một mảnh tọa độ Ω . Giá của T, ký hiệu suppT , là tập con đóng nhỏ nhất A X⊂ sao cho hạn chế của T lên ( \ )PD X A bằng 0. Đối ngẫu tô pô ' ( )p Xε được đồng nhất với tập các dòng của ' ( )pD X với giá compact. 1.2.3. Đạo hàm ngoài và tích ngoài của dòng trên đa tạp khả vi Nhiều phép toán trên các dạng vi phân có thể được mở rộng cho các dòng bằng các lí luận đối ngẫu. Cho ' '( ) ( )s q s m qT D X D X−∈ = . Đạo hàm ngoài 1 ' 1 1 ' 1( ) ( )s q s m qdT D X D X+ + + − −∈ = được định nghĩa bởi : 1 1 1, ( 1) , , ( )q s m qdT u T du u D X+ + − −= − ∈ Tính liên tục của dạng tuyến tính dT trên 1 1( )s m qD X+ − − được suy ra từ tính liên tục của ánh xạ 1 1: ( ) ( )s m q s m qd D K D K+ − − −→ . + Với ' ( )s qT D X∈ và ( )s rg Xε∈ tích ngoài ' ( )s q rT g D X+∧ ∈ xác định bởi: , , , ( )s m q rT g u T g u u D X− −∧ = ∧ ∈ 1.2.4. Mệnh đề 9 Cho 1( ,..., )mx x là hệ tọa độ trên một tập con mở XΩ⊂ . Mọi dòng ' ( )s qT D X∈ bậc q có thể được viết dưới dạng duy nhất : I I I q T T dx = = ∑ trên Ω ở đây IT là các hàm phân bố cấp s trên Ω , được xem như là các dòng bậc 0. Dòng bậc 0 trên X có thể xem như một dạng vi phân với hệ số là độ đo. Để hợp nhất các ký hiệu liên quan đến các dạng và dòng, ta đặt: , X T u T u= ∧∫ Khi ' '( ) ( )s s m PPT D X D X−∈ = và ( ) s Pu Xε∈ sao cho suppT suppu∩ là tập compact. Tô pô yếu trên ' ( )PD X là tô pô được xác định bởi họ nửa chuẩn : , , ( )PT T f f D X  Tích ten xơ. Nếu S,T là các dòng trên các đa tạp , 'X X có duy nhất một dòng trên 'X X× , ký hiệu S T⊗ và được định nghĩa tương tự như tích ten xơ các phân bố, sao cho với mọi ( )u D X∈  và ( ')v D X∈  deg deg, ( 1) , ,T uS T u v S u T v⊗ ∧ = − Ta có thể kiểm tra được deg( ) ( 1) sd S T dS T S dT⊗ = ⊗ + − ⊗ 1.3. Phép tính vi phân phức 1.3.1. Đa tạp phức Cho n . Một đa tạp phức n chiều (phức) X là một không gian tôpô Hausdorff cùng với một atlas phức ( ){ }, AUα α αϕ ∈=A thỏa mãn: i. Uα là tập con mở khác rỗng của X với mọi α ∈A . ii. : nU   là đồng phôi từ Uα lên một tập mở trong n  với mọi α ∈A . iii. AU X   . iv. ( ) ( )1 : U U U Uβ α α α β β α βϕ ϕ ϕ ϕ− →   chỉnh hình với mọi ,α β ∈A . + ( ),Uα αϕ được gọi là bản đồ địa phương. 10 + Uα được gọi là miền tọa độ hay mảnh tọa độ của bản đồ địa phương đó. + Các thành phần của ( ) ( )1 2, ,..., nz z z zα α ααϕ = được gọi là hệ tọa độ địa phương trên Uα xác định bởi αϕ . + 1     được gọi là phép đổi tọa độ (phép chuyển dịch). Nhận xét. Một đa tạp phức với chiều phức n là một đa tạp khả vi được trang bị atlas chỉnh hình với giá trị trong n , các phép chuyển dịch là các ánh xạ chỉnh hình. Định nghĩa. Một tập con M của đa tạp phức n chiều X được gọi là đa tạp con m chiều ( )m n≤ nếu với mỗi Mξ ∈ , có một bản đồ địa phương ( ),U ϕ trên X sao cho Uξ ∈ và ( ){ }( )1 1 2 1 2, ,..., : ... 0nn m m nM U z z z z z z zϕ− + += = ∈ = = = =  . Số n m− được gọi là đối chiều của M . Ký hiệu: codim M n m= − . Định nghĩa a. Giả sử ( ),U α là một bản đồ địa phương với hệ tọa độ ( )1 2, ,..., nz z z và f là hàm giá trị phức xác định trên U . Khi đó ta có thể xem f như một hàm n biến phức ( )1 2, ,..., nz z z xác định bởi: ( ) ( )11 2 1 2, ,..., , ,...,n nz z z f z z zϕ−  . b. Cho tập mở XΩ⊂ và số tự nhiên { }k∈ ∞ . Hàm :f  được gọi là thuộc lớp kC trên Ω nếu ( )( )1 kf C Uα α αϕ ϕ− ∈ Ω  với mọi Aα ∈ mà U  . Ký hiệu tập tất cả các hàm (phức) thuộc lớp kC trên Ω là ( ),kC Ω  . Cho tập mở XΩ⊂ , hàm :f  được gọi là chỉnh hình trên Ω nếu với mỗi p∈Ω tồn tại một bản đồ địa phương ( ),U ϕ với p U∈ sao cho ( )1 :f Uϕ ϕ− Ω →   là chỉnh hình. Tập tất cả các hàm chỉnh hình trên Ω ký hiệu là: ( )O Ω . Nếu ( )1 2, ,..., nz z z là hệ tọa độ địa phương ứng với ( ),U ϕ thì ( ) ( )11 2 1 2, ,..., , ,...,n nz z z f z z zϕ−  là hàm chỉnh hình theo nghĩa thông thường. Định nghĩa chỉnh hình là độc lập với cách chọn hệ tọa độ địa phương. 11 1.3.2. Dạng vi phân trên đa tạp phức Cho X là một đa tạp phức n chiều. Xét xV T X= là không gian tiếp xúc của X tại x X , ( )1 2, ,..., nz z z là các tọa độ trên V , 1 ,..., nz z          là một cơ sở trên V , ( )1,..., ndz dz là cơ