Tính khung phẳng có nút nửa cứng chịu tải trọng nhiệt

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010 69 TÍNH KHUNG PHẲNG CÓ NÚT NỬA CỨNG CHỊU TẢI TRỌNG NHIỆT ANALYSING THE PLANAR FRAME WITH SEMI-RIGID CONNECTIONS UNDER THERMAL LOADS Đỗ Minh Đức Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng TÓM TẮT Với yêu cầu tính toán kết cấu ngày càng phản ảnh chính xác hơn các phản ứng thực tế của nó, báo cáo này trình bày cách tính khung phẳng có nút nửa cứng chịu tải trọng nhiệt bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Các ma trận độ cứng, vec tơ tải trọng, vec tơ tải trọng nhiệt của phần tử thanh phẳng có liên kết góc quay đàn hồi tuyến tính tại hai đầu được thiết lập. Để áp dụng, tác giả ứng dụng phần mềm Matlab lập trình, phân tích và đánh giá nội lực và chuyển vị cho một khung phẳng cụ thể có xét đến sự thay đổi của nhiệt độ và độ cứng của nút. Kết quả đạt được góp phần bổ sung thêm vào thư viện các phần tử mẫu của phương pháp phần tử hữu hạn và có thể phục vụ cho tính toán thiết kế cũng như nghiên cứu kết cấu khung có nút nửa cứng chịu tải trọng nhiệt. ABSTRACT The calculation of structural requirements has increasingly reflected more accurately its real responses. This article presents the calculation of the planar frames with semi-rigid connections by means of a finite element method. The stiffness matrix, the load vector and the thermal load vector for a planar frame member in reference to the two linear elastic rotational springs at both ends are established. For application, the author has used the Matlab Software to programme, analyse and assess the internal force and displacement of a planar frame with a change of temperatures and hardness of the join. The results obtained can contribute to the addition of sample elements library of the finite element method and the application of the design as well as the study of frame structures with semi-rigid connections under thermal loads. 1. Mở đầu Trước đây, khi tính toán kết cấu thường sử dụng giả thiết các nút của khung là tuyệt đối cứng. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp thực tế, ví dụ như khung bê tông cốt thép lắp ghép hoặc bán lắp ghép, khung thép... Các kết cấu này có nút liên kết với độ đàn hồi nhất định - còn được gọi là nút nửa cứng, sẽ ảnh hưởng đến kết quả tính toán nội lực và biến dạng theo quan điểm trên. Hiện nay, đã có nhiều đề tài quan tâm nghiên cứu giải bài toán kết cấu có xét đến độ đàn hồi của nút, như: + Trong [1] và [2], các tác giả tập trung nghiên cứu để giải bài toán bằng phương pháp lực, phương pháp chuyển vị chịu tải trọng và áp dụng kết quả đạt được để phân tích đánh giá một số kết cấu cụ thể. + Trong [7], các tác giả xây dựng cách giải bài toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn và áp dụng các tiêu chuẩn vào thực tế thiết kế xây dựng. TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010 70 + Trong [9], các tác giả đi sâu vào việc mô hình hóa tính đàn hồi của nút từ các số liệu thí nghiệm thực tế cũng như xây dựng các sơ đồ cơ học cho các liên kết. + Trong [3], [5] và [6], các tác giả nghiên cứu hệ chịu tải trọng tác dụng động và đánh giá ảnh hưởng tính đàn hồi của nút đến sự làm việc thực tế của kết cấu. Nhìn chung, các đề tài đã đi sâu và giải quyết được cho nhiều trường hợp của hệ với các đặc điểm liên kết và các hình thức tải trọng tác dụng khác nhau. Còn với tải trọng nhiệt độ, tác giả nhận thấy có rất ít các nghiên cứu và chỉ dẫn để có thể áp dụng cho hệ thanh nói chung và hệ thanh có nút nửa cứng nói riêng theo phương pháp phần tử hữu hạn. Để góp một phần vào việc nghiên cứu kết cấu có nút nửa cứng, trong bài báo này, tác giả trình bày kết quả nghiên cứu xác định ma trận độ cứng, vec tơ tải trọng và vec tơ tải trọng nhiệt độ của phần tử thanh phẳng có xét đến tính quay đàn hồi của nút theo phương pháp phần tử hữu hạn. Từ đó ứng dụng phần mềm Matlab [10] và [13] để lập trình tính toán, đánh giá cho một khung phẳng cụ thể. Kết quả nghiên cứu có thể được áp dụng vào việc phân tích các khung phẳng có nút nửa cứng chịu tải trọng nhiệt. 2. Cơ sở lý thuyết Phương trình cân bằng tổng quát của hệ kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn mô hình chuyển vị [4]: [ ]{ } [ ]FuK = (2 - 1) Trong đó: [ ]K là ma trận độ cứng, [ ]F là vec tơ tải trọng. Các ma trận này được lắp ghép từ các ma trận độ cứng và tải trọng phần tử. Giải phương trình (2 - 1) sẽ xác định được chuyển vị và từ đó xác định được nội lực trong hệ. 2.1. Ma trận độ cứng phần tử thanh phẳng: Dùng phương pháp chuyển vị đơn vị, tác giả lập được ma trận độ cứng của phần tử trên hình 1. Kết quả được biểu diễn ở biểu thức (2 - 2). [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 66 56 65 55 63 53 62 52 36353332 26252322 0 0 0 0 0000 00 00 0000 k k k k k k k k l EA l EA kkkk kkkk l EA l EA K e (2 -2) Hình 1. Phần tử thanh có liên kết quay đàn hồi EAEJ 4 5 1 2 l r1 r2 3 6 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010 71 Trong đó: 21 2121 322 4 12 rr )rrrr( l EJk − ++= ; 21 21 23223 4 26 rr )r(r l EJkk − +== ; 225225 kkk −== 21 12 26226 4 26 rr )r(r l EJkk − +== ; 21 1 33 4 34 rr r l EJk −= ; 235335 kkk −== 21 21 6336 4 32 rr rr l EJkk −== ; 2255 kk = ; 266556 kkk −== ; 21 2 66 4 34 rr r l EJk −= Theo [7], r là hệ số ngàm đàn hồi (end-fixity factor), r biến thiên trong đoạn [0,1]; r = 0 ứng với liên kết khớp; r = 1 ứng với liên kết tuyệt đối cứng; r là đại lượng không thứ nguyên. Ma trận độ cứng được thiết lập là trùng khớp với kết quả trong [7]. 2.2. Vec tơ tải trọng do lực phân bố tác dụng lên phần tử Dựa vào ý nghĩa vật lý, tác giả lập được vec tơ tải trọng cho phần tử trên hình 2 [ ] [ ]'654321 ,,,,, PPPPPPP e = (2 – 3) Trong đó: 041 == PP ; ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +− −= 1 42 21 21 2 rr rrqlP ; ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −−= 21 21 2 3 4 )2(3 12 rr rrqlP ; ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +− −= 1 412 21 12 5 rr rrqlP ; ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −= 21 12 2 6 4 )2(3 12 rr rrqlP ; 2.3. Vec tơ tải trọng do nhiệt độ tác dụng lên phần tử Cũng dựa vào ý nghĩa vật lý, tác giả lập được vec tơ tải trọng nhiệt độ cho phần tử trên hình 3 [ ] [ ]'654321 ,,,,, TTTTTTT e = (2 – 4) Trong đó: Hình 2. Phần tử chịu tải trọng phân bố đều l q 6 41 r1 r2 5 3 2 r2 r1 l 2 1 3 5 4 6 Hình 3. Phần tử chịu tải trọng nhiệt t2 t1 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010 72 EAttEAtT c 2 21 1 +−=−= αα ; 14 TT −= ; 21 12 122 4 )(6 rr rr ttEJ h T − −−= α ; 21 21 123 4 )2(3 )( rr rr ttEJ h T − −−= α ; 21 21 125 4 )(6 rr rr ttEJ h T − −−= α ; 21 12 126 4 )2(3 )( rr rr ttEJ h T − −−−= α . Với α là hệ số giãn nở vì nhiệt, h là chiều cao của tiết diện phần tử. Kiểm tra cho thấy ứng với trường hợp r1 = r2 = 0 và r1 = r2 = 1, các biểu thức (2 - 2) và (2 - 3) cho kết quả trùng khớp với trường hợp phần tử có hai đầu khớp lý tưởng và tuyệt đối cứng trong thư viện phần tử mẫu phương pháp phần tử hữu hạn. 3. Áp dụng tính khung phẳng chịu tải trong nhiệt 3.1. Số liệu bài toán Xét 1 khung phẳng 3 tầng có nút nửa cứng như trên hình 4. Khung có cấu tạo như sau: - Vật liệu có E = 2,1.106(kN/cm2), α = 1.10-5(oC-1) - Tiết diện cột (20.30)(cm); tiết diện dầm (20.40)(cm) - t1 = 30(oC); q = 0,02(kN/cm); l = 600(cm); - h = 360(cm). - Giả thiết r1 = r2 = r. 3.2. Phân tích Để xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ và độ cứng của nút, bài toán được phân tích với các giá trị khác nhau của t2 [30; 50; 100; 150; 200; 300; 400; 500; 600; 700; 800; 900; 1000] (oC) và r [0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1]. q t2 t1 q r1 r2 r2 r1 r2 r1 Hình 4. Mô hình khung l h h h q Hình 5 . Đồ thị chuyển vị đứng tại giữa nhịp tầng 1 ứng với các giá trị r và theo t2 -12.0 -10.0 -8.0 -6.0 -4.0 -2.0 0.0 2.0 4.0 30 50 100 150 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Chuyển vị (cm) r = 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 t2(0C) TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010 73 Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn với các ma trận độ cứng, vec tơ tải trọng phần tử thiết lập ở trên kết hợp lập chương trình tính toán với sự hỗ trợ bằng phần mềm Matlab [10] và [13], giải được nội lực và chuyển vị trong hệ. Sự thay đổi của nội lực và chuyển vị tại một số tiết diện theo t2 và r được thể hiện trên hình 5, hình 6 và hình 7. 3.3. Đánh giá kết quả Kết quả phân tích cho thấy các giá trị của nội lực và chuyển vị thay đổi đáng kể khi nhiệt độ t2 và r thay đổi. Tốc độ thay đổi tăng nhanh khi t2 tăng. Với r = 0,8 thì so với nhiệt độ t2 = 30oC, ở nhiệt độ t2 = 500oC, chuyển vị đứng nhịp tầng 1 tăng -0,002 lên 0,408 (cm); mômen nhịp tầng 1 tăng 2,14 lên -2833,7(kN.m); mômen tại chân cột trái giảm -38,08 xuống -35,16(kN.m) Khi r tăng – độ cứng của nút tăng, xét trường hợp r =1 (nút tuyệt đối cứng) và r trung bình là 0,8 [7], ở tại thời điểm t2 = 500oC thì chuyển vị đứng nhịp tầng 1 tăng 0,408 lên 1,473(cm); mômen nhịp tăng -2833,7 lên -3363,90(kN.m); mômen chân cột trái tăng -35,16 lên 170,83(kN.m) r = 900 1000 t2(0C) M (kN.m) 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Hình 6 . Đồ thị mômen giữa nhịp tầng 1 ứng với các giá trị r và theo t2 -8000 -7000 -6000 -5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 30 50 100 150 200 300 400 500 600 700 800 Hình 7 . Đồ thị mômen tại chân trái cột tầng 1 ứng với các giá trị r và theo t2 -1000.0 -800.0 -600.0 -400.0 -200.0 0.0 200.0 400.0 600.0 30 50 100 150 200 300 400 500 600 700 800 900 M (kN.m) r = 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 t2(0C) TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010 74 4. Kết luận Kết quả nghiên cứu đã lập được ma trận độ cứng [K]e, véc tơ tải trọng phần tử [P]e và [T]e phần tử thanh phẳng có xét đến tính quay đàn hồi của nút dưới dạng tường minh, góp phần bổ sung thêm vào thư viện các phần tử mẫu của phương pháp phần tử hữu hạn. Kết quả nghiên cứu có thể sử dụng để phân tích kết cấu khung phẳng có nút nửa cứng chịu tải trọng và tải trọng nhiệt. Kết quả nghiên cứu cho thấy, nội lực và chuyển vị nói chung tăng khá nhanh khi nhiệt độ tăng. Và khi độ cứng của nút khác nhau thì kết quả thu được cũng có sự thay đổi đáng kể. Cần xét đến ảnh hưởng độ cứng của nút và tải trọng nhiệt khi phân tích kết cấu để kết quả đạt được tin cậy hơn. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Ngô Thanh Dũng, Tính khung phẳng có kể đến độ đàn hồi của nút khung, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật, Hà Nội, 2004. [2] Bùi Anh Ngọc, Đỗ Minh Đức, Tính khung phẳng có kể đến độ đàn hồi của nút khung bằng phương pháp chuyển vị, Tuyển tập Báo cáo khoa học Hội nghị sinh viên nghiên cứu khoa học Đại học Đà Nẵng, 2008. [3] Nguyễn Hồng Sơn, Phân tích kết cấu khung thép phẳng có liên kết nửa cứng phi tuyến, Luận án tiến sĩ kỹ thuật, Hà Nội, 2007. [4] Võ Như Cầu, Tính kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất bản Xây dựng, Hà Nội, 2006. [5] Đỗ Minh Đức, Tần số dao động riêng của khung thép có nút nửa cứng, Tạp chí khoa học và công nghệ – Đại học Đà Nẵng, Đà Nẵng, 2008. [6] P S Joana, Prof GM Samuel Knight, Dynamic response of steel beam with semi – rigid connection, IE (I) Journal – CV, 2005. [7] W Chen, Practical Analysis for semi – rigid Frame design, Pubished World Scienticfic Pulishing Co Pte.Ttd, Singapore, 2000. [8] S.L Chan & P.T.T Chui, Non – linear static and cyclic analysic of steel freams with semi – rigid connections, Pubisher Elsevier 2000. [9] C.Faella, V.Piluso and G.Rizzano, Structural steel semirigid connections, Published by CRC Press LLC, 2000. [10] Young W. Kwon, Hyochoong Bang, The Finite Element Method Using Matlab, second edition, CRC Press LLC, 2000. [11] M. Soares Filho, M. J. R. Guimaraes, C. L. Sahlit and J. L. V. Brito, Wind Pressures in Frame Structures with Semi-rigid Connections, 2004. [12] M. A. Bradford, K. T. Luu, A. Heidarpour, Numerical studies of a steel beam in a frame sub-assembly at elevated temperatures, 2007. [13] Matlab, Version 7.0, Mathworks, Inc, 2004.