Tóm tắt Luận án Đa tạp quán tính và tính chất định tính nghiệm của các phương trình vi phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ ANH MINH ĐA TẠP QUÁN TÍNH VÀ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH NGHIỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chuyên ngành : Phương trình vi phân và tích phân Mã số : 62.46.01.03 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2019 Công trình được hoàn thành tại: Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học quốc gia Hà nội. Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS. TSKH. Nguyễn Thiệu Huy 2. PGS. TS. Đặng Đình Châu. Phản biện 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phản biện 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phản biện 3: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm luận án tiến sĩ họp tại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vào hồi giờ ngày tháng năm 20... Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội Hà Nội - 2019 MỞ ĐẦU Mục tiêu chính của luận án "Đa tạp quán tính và tính chất định tính nghiệm của các phương trình vi phân" là phát biểu và chỉ ra điều kiện tồn tại đa tạp quán tính (đa tạp quán tính chấp nhận được) cho một số lớp các phương trình vi phân: phương trình vi phân với trễ hữu hạn, phương trình vi phân trung tính, phương trình vi phân cấp hai theo thời gian, phương trình vi phân ngẫu nhiên. Cụ thể, luận án ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình liên quan đến luận án, tài liệu tham khảo, gồm có 05 chương sau: • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm và chứng minh chi tiết các kết quả bổ trợ sử dụng trong các chương còn lại của luận án: sơ lược về phổ của toán tử và không gian hàm Banach. • Chương 2. Đa tạp quán tính chấp nhận được của một số lớp phương trình vi phân hàm với trễ hữu hạn. Trong chương này, chúng tôi định nghĩa khái niệm đa tạp quán tính chấp nhận được và xét sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của lớp các phương trình vi phân với trễ hữu hạn có dạng du dt + Au = f(t, ut), t > s, t, s ∈ R; us(·) = φ(·) ∈ Cβ (1) trong đó A là toán tử thỏa mãn Giả thiết 1; f : R× Cβ → X là một toán tử phi tuyến ϕ - Lipschit. • Chương 3. Đa tạp quán tính chấp nhận được của một lớp các phương trình đạo hàm riêng trung tính. Trong chương này, chúng tôi xét sự tồn tại đa tạp quán tính 1 chấp nhận được của lớp các phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính dạng d dt (Fut) + A(Fut) = f(t, ut), t > s, us = φ, s ∈ R, (2) trong đó A là toán tử thỏa mãn Giả thiết 1; F : Cβ → X là một toán tử tuyến tính bị chặn được gọi là toán tử sai phân, f : R × Cβ → X là một toán tử phi tuyến liên tục hay là toán tử trễ ϕ - Lipschitz • Chương 4. Đa tạp quán tính châp nhận được của phương trình vi phân cấp hai theo biến thời gian Trong chương này, chúng tôi xét sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của lớp các phương trình vi phân cấp hai theo biến thời gian, có dạng  x¨(t) + 2εx˙(t) + Ax(t) = f(t, x(t)), t > s, s ∈ R, ε > 0, x(s) = xs,0, s ∈ R, x˙(s) = xs,1, (3) trong đó A là toán tử thỏa mãn Giả thiết 1; f : R×Xβ → X là toán tử phi tuyến liên tục và 0 6 β 6 1/2. • Chương 5. Đa tạp quán tính của phương trình vi phân ngẫu nhiên trên không gian hàm chấp nhận được Trong chương này, chúng tôi xét sự tồn tại đa tạp quán tính của lớp các phương trình vi phân ngẫu nhiên trên không gian hàm chấp nhận được, có dạng du dt + Au = f(t, u) + u ◦ W˙ (4) trong đó A là toán tử thỏa mãn Giả thiết 1; f là hàm ϕ - Lipschitz; và u ◦ W˙ là phần nhiễu. 2 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Sơ lược về lý thuyết phổ của toán tử Trong luận án này chúng ta sử dụng giả thiết sau: Giả thiết 1. A là toán tử tự liên hợp, xác định dương có phổ rời rạc, 0 < λ1 6 λ2 6 ..., mỗi giá trị có bội hữu hạn và lim k→∞ λk =∞. Hơn nữa, {ek}∞k=1 lập thành một cơ sở trực giao trong X bao gồm các hàm riêng tương ứng của A (tức là, Aek = λkek). Với N ∈ N∗, ta xây dựng phép chiếu trực giao PN lên không gian con span {ek : k = 1, 2, ..., N}, bởi công thức PNx = N∑ k=1 〈x, ek〉ek. (1.1) Để đơn giản, từ đây ta viết P thay cho PN . Lúc này, ta có các đánh giá nhị phân sau∥∥e−tAP∥∥ 6MeλN |t| với t ∈ R∥∥Aβe−tAP∥∥ 6 λβNMeλN |t|, t ∈ R,∥∥e−tA (I − P )∥∥ 6Me−λN+1t, t > 0,∥∥Aβe−tA (I − P )∥∥ 6M [(β t )β + λβN+1 ] e−λN+1t, t > 0. (1.2) 3 ở đây, M > 1 là một hằng số nào đó. Hơn nữa, ta có thể xây dựng hàm Green G(t, τ) :=  e−(t−τ)A[I − P ] với t > τ, −e−(t−τ)AP với t 6 τ. (1.3) Dễ thấy G(t, τ) từ X vào Xβ. Mặt khác, theo các đánh giá nhị phân (1.2), với γ = λN + λN+1 2 ta có∣∣∣eγ(t−τ)AβG(t, τ)∣∣∣ 6 K(t, τ)e−µ|t−τ | với mọi t 6= τ, (1.4) trong đó µ = λN+1 − λN 2 và K(t, τ) =  ( β t− τ )β + λβN+1 nếu t > τ, λβN nếu t 6 τ. 1.2 Không gian hàm Banach Để nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp quán tính chấp nhận được, trong các Chương 2 và Chương 3 ta giả sử EI là một không gian hàm chấp nhận được nào đó và E ′I là không gian liên kết của nó thỏa mãn Giả thiết 2. (i) Không gian hàm Banach EI và không gian liên kết của nó E ′I là các không gian chấp nhận đưược. (ii) Không gian hàm EβI := {u ∈ EI | |u| 1+β 1−β ∈ EI} cũng là một không gian hàm Banach chấp nhận được với chuẩn ‖u‖β := max { ‖u‖EI, ‖|u| 1+β 1−β ‖ 1−β 1+β EI } . (iii) E′I chứa hàm EI - bất biến ν - mũ, tức là: với hàm ϕ > 0, ν > 0 cố định, các hàm hν và Θν hν(t) := ∥∥∥e−ν|t−·|ϕ(·)∥∥∥ E′I 4 Θν(t) := ∥∥∥e−ν 1+β1−β |t−·|ϕ 1+β1−β (·)∥∥∥ 1−β1+β E′I , với t ∈ I, thuộc EI. Bên cạnh đó, để nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp quán tính chấp nhận được cho các phương trình tiến hóa cấp hai theo biến thời gian, trong Chương 4 ta giả sử EI là một không gian hàm chấp nhận được nào đó và E ′I là không gian liên kết của nó thỏa mãn Giả thiết 3. (i) Không gian hàm Banach EI và không gian liên kết của nó E ′I là các không gian chấp nhận đưược. (ii) Với ϕ ∈ E ′I và ν > 0 cố định, hàm hν cho bởi hν(t) := ∥∥∥e−ν|t−·|ϕ(·)∥∥∥ E′I khi t ∈ I thuộc vào EI. Cuối cùng, để nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp quán tính cho lớp các phương trình vi phân ngẫu nhiên trên không gian hàm chấp nhận được, trong Chương 5, ta giả sử EI là một không gian hàm chấp nhận được nào đó và E′I là không gian liên kết của nó thỏa mãn Giả thiết 4. Không gian hàm Banach EI và không gian liên kết của nó E ′I là các không gian chấp nhận được. Kết luận chương 1 Chương này, chúng tôi tổng hợp những kiến thức cơ bản về lý thuyết phổ của toán tử, không gian hàm Banach và đề xuất một số giả thiết về các không gian hàm Banach sử dụng ở từng chương cụ thể của luận án. 5 Chương 2 ĐA TẠP QUÁN TÍNH CHẤP NHẬN ĐƯỢC CỦA MỘT LỚP CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI TRỄ HỮU HẠN 2.1 Phát biểu bài toán Cho X là một không gian Hilbert tách được nào đó, A là toán tử thỏa mãn Giả thiết 1, r > 0, 0 6 β < 1 là các hằng số, ta ký hiệu Cβ = C ([−r, 0];Xβ)) (2.1) là không gian các hàm liên tục mạnh trên [−r, 0] nhận giá trị trên Xβ. Khi đó, Cβ là một không gian Banach với chuẩn ‖v‖Cβ = sup θ∈[−r,0] ‖Aβv(θ)‖, ∀v ∈ Cβ. Trong chương này, chúng ta nghiên cứu sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một lớp các phương trình vi phân với trễ hữu hạn có dạng du dt + Au = f(t, ut), t > s, t, s ∈ R; us(·) = φ(·) ∈ Cβ (2.2) trong đó ; f : R× Cβ → X là một toán tử phi tuyến và r > 0 là hằng số trễ; ut là hàm lịch sử xác định bởi ut(θ) = u(t+ θ) với mọi −r 6 θ 6 0. Ta đặt EI = E(I,Cβ) := { h : I→ Cβ | h đo được mạnh và ‖h(·)‖Cβ ∈ EI } . 6 Khi đó, EI là một không gian Banach với chuẩn ‖h‖EI := ∥∥∥‖h(·)‖Cβ∥∥∥EI . và là không gian hàm Banach tương ứng với không gian hàm chấp nhận được EI. Hơn nữa, ta giả sử f là hàm ϕ - Lipschitz như trong Định nghĩa sau: Định nghĩa 2.1. Cho E là một không gian hàm Banach chấp nhận được và ϕ là một hàm giá trị dương thuộc vào E. Hàm f : R × Cβ → X gọi là ϕ - Lipschitz nếu f thỏa mãn (i) ‖f(t, 0)‖ 6 ϕ(t) với mọil t ∈ R, (ii) ‖f(t, φ1)− f(t, φ2)‖ 6 ϕ(t)‖φ1 − φ2‖Cβ với mọi t ∈ R và mọi φ1, φ2 ∈ Cβ. Nhận thấy rằng, nếu f(t, φ) là ϕ - Lipschitz thì ‖f(t, φ)‖ 6 ϕ(t)(1 + ‖φ‖Cβ) với mọi φ ∈ Cβ và t ∈ R. Định nghĩa 2.2. Một hàm u(·) là nghiệm đủ tốt của phương trình (2.2) trên [s − r, T ] nếu us(θ) = φ(θ) với θ ∈ [−r, 0] và u(t) = e−(t−s)Au(s) + t∫ s e−(t−τ)Af(τ, uτ )dτ (2.3) với mọi t ∈ [s, T ]. 2.2 Đa tạp quán tính chấp nhận được Lúc này, trên Cβ, ta có thể định nghĩa toán tử chiếu Pˆ bởi công thức (Pˆ φ)(θ) = e−θAPφ(0) với φ ∈ Cβ. (2.4) Khi đó, ta có thể định nghĩa khái niệm về "đa tạp quán tính chấp nhận được" như sau Định nghĩa 2.3. Một đa tạp quán tính chấp nhận được lớp E của phương trình (2.3) là một tập các mặt LipschitzM = (Mt)t∈R trong Cβ có dạng Mt = {pˆ+ Φt(pˆ(0)) | pˆ ∈ PˆCβ} ⊂ Cβ 7 trong đó Φt : PX → (I − Pˆ )Cβ là một ánh xạ Lipschitz. Hơn nữa, các điều kiện sau được thỏa mãn (i) Các hằng số Lipschitz của Φt không phụ thuộc t. Nói cách khác, tồn tại một hằng số C không chứa t sao cho ‖Φt(x1)− Φt(x2)‖Cβ 6 C ∥∥Aβ(x1 − x2)∥∥ ∀ x1, x2 ∈ Xβ; t ∈ R. (ii) Tồn tại γ > 0 để với mỗi φ ∈Mt0 có duy nhất một nghiệm u(·) của phương trình (2.3) trên (−∞, t0] thỏa mãn ut0 = φ và hàm t 7→ e−γ(t0−t)‖ut‖Cβ , t 6 t0 thuộc E(−∞,t0] với mỗi t0 ∈ R. (iii) M là bất biến dương đối với phương trình (2.3). Nghĩa là, nếu u(t) là một nghiệm của phương trình (2.3) thỏa us = φ ∈Ms, thì với mọi t > s ta có ut ∈Mt. (iv) M hút tất cả các nghiệm của phương trình (2.3) với cấp độ mũ. Tức là, với u(·) là nghiệm tùy ý của phương trình (2.3), và với s ∈ R cố định nào đó, tồn tại một hằng số dương H và một nghiệm u∗t thuộcM sao cho ‖ut − u∗t‖Cβ 6 He−γ(t−s) với t > s. (2.5) Định lý sau là kết quả chính của chương này, chỉ ra sự tồn tại của đa tạp quán tính chấp nhận được của phương trình (2.3) Định lý 2.1. Cho A thỏa mãn Giả thiết 1. Hơn nữa, cho E, E′ và ϕ ∈ E ′ thỏa mãn Giả thiết 2. Ký hiệu eµ là hàm số eµ(t) = e −µ|t| với mọi t ∈ R, đặt } := ‖Λ1ϕ‖∞ 1− e−µ ( N1N2e 3rµλ2βN ‖eµ‖‖m‖β 1− ‖m‖β + e γr ( N1β β +N1λ β N+1 +N2λ β N )) + β ( 2 1− β ) 2β 1+β ∥∥∥Λ1ϕ 1+β1−β∥∥∥ 1−β1+β∞ . (2.6) Giả sử f là ϕ - Lipschitz và hơn nữa max {‖m(·)‖β, }} < 1 (2.7) 8 trong đó hàm m được định nghĩa ở (2.8), λN < λN+1 là hai giá trị riêng liên tiếp của A, và µ = λN+1 − λN 2 . Khi đó, phương trình (2.3) có đa tạp quán tính chấp nhận được lớp E . Trong đó, m(t) = ββeµr(1 + λβN+1 + λ β N) × ( ‖e−µ|t−·|ϕ(·)‖E′ + ( 2 1− β ) 2β 1+β ‖e−µ 1+β1−β |t−·|ϕ 1+β1−β (·)‖ 1−β 1+β E′ ) (2.8) 2.3 Đa tạp quán tính chấp nhận được của phương trình Fisher - Kolmogorov Trong mục này, ta áp dụng kết quả ở trên cho phương trình Fisher - Kolmogorov có trễ có dạng ∂w(t, x) ∂t = ∂2w(t, x) ∂x2 + aw(t, x) ( 1− a K(t) w(t− r, x) ) t > s, 0 < x < pi w(t, 0) = w(t, pi) = 0, t ∈ R w(x, t) = φ(x, t), 0 6 x 6 pi,−r 6 t 6 0 (2.9) với w(t, x) biểu thị cho mật độ dân số tại vị trí x và thời gian t; r là một hằng số dương, a > 0 là hệ số tái sinh tuyến tính và K(t) > 0 là sức chứa của môi trường tại thời điểm t, ϕ là một hàm cho trước. Kết luận chương 2 Chương này, chúng tôi định nghĩa và chứng minh sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một lớp các phương trình vi phân hàm với trễ hữu hạn và sử dụng kết quả thu được chỉ ra sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của phương trình Fisher - Kolmogorov. Kết quả chính của chương này dựa vào bài báo [1] trong Danh mục công trình khoa học liên quan đến luận án. 9 Chương 3 ĐA TẠP QUÁN TÍNH CHẤP NHẬN ĐƯỢC CỦA MỘT LỚP CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRUNG TÍNH 3.1 Phát biểu bài toán Trong chương này, chúng ta xét các phương trình vi phân trung tính dạng d dt (Fut) + A(Fut) = f(t, ut), t > s, us = φ, s ∈ R, (3.1) trong đó A là một toán tử tuyến tính không bị chặn trên một không gian Hilbert tách được X nào đó; F : Cβ → X là một toán tử tuyến tính bị chặn được gọi là toán tử sai phân, f : R × Cβ → X là một toán tử phi tuyến liên tục hay là toán tử trễ, và ut là hàm lịch sử xác định bởi ut(θ) := u(t+ θ) với mọi θ ∈ [−r, 0]. Ta sẽ chứng minh sự tồn tại của đa tạp quán tính chấp nhận được trong trường hợp f là ϕ-Lipschitz (như trong Định nghĩa 2.1). Tương tự như Chương 2, ta đặt EI = E (I, Cβ) := { h : I→ Cβ | h đo được mạnh và ‖h(·)‖Cβ ∈ EI } . Khi đó, EI là một không gian Banach với chuẩn ‖h‖EI := ∥∥∥‖h(·)‖Cβ∥∥∥EI . và là không gian hàm Banach tương ứng với không gian hàm chấp nhận được EI. Hơn nữa, ta cũng cần giả thiết sau về toán tử sai phân F : 10 Giả thiết 5. Cho X là một không gian Hilbert tách được. Toán tử sai phân F : Cβ → X có dạng F = δ0 − Ψ với δ0 : Cβ → X là hàm Delta Dirac tập trung tại 0 (tức là, δ0ϕ = ϕ(0)), và Ψ : Cβ → Xβ là một toán tử tuyến tính bị chặn thỏa mãn ‖Ψ‖ < 1. Định nghĩa 3.1. Một hàm u ∈ C([s − r, T ];Xβ) là một nghiệm đủ tốt của (3.1) trên đoạn [s− r, T ] nếu us = φ với giá trị ban đầu φ ∈ Cβ và Fut = e −(t−s)AFφ+ t∫ s e−(t−τ)Af(τ, uτ )dτ (3.2) với mọi t ∈ [s, T ]. 3.2 Đa tạp quán tính chấp nhận được Lúc này, trên Cβ, tương tự như Chương 2, ta định nghĩa phép chiếu Pˆ bởi (Pˆ φ)(θ) = e−θAPφ(0) với φ ∈ Cβ. Khi đó, ta định nghĩa đa tạp quán tính chấp nhận được cho (3.2) như sau Định nghĩa 3.2. Một đa tạp quán tính chấp nhận được lớp E của (3.2) là một họ các mặt LipschitzM = (Mt)t∈R trong Cβ có dạng Mt = {pˆ+ Φt(pˆ(0))|pˆ ∈ PˆCβ} ⊂ Cβ trong đó Φt : PX → QˆCβ (Qˆ = IdCβ − Pˆ ) và các điều kiện sau được thỏa mãn (i) Hằng số Lipschitz của Φt không phụ thuộc t, tức là, tồn tại một hằng số C không chứa t sao cho ‖Φt(p1)− Φt(p2)‖Cβ 6 C ∥∥Aβ(p1 − p2)∥∥ , ∀ p1, p2 ∈ Xβ;∀t ∈ R. (ii) Tồn tại γ > 0 sao cho với mỗi φ ∈ Ms tồn tại tương ứng một và chỉ một nghiệm u(t) của (3.2) trên (−∞, s] sao cho us = φ và hàm n(t) = e−γ(s−t)‖ut‖Cβ , t 6 s thuộc E(−∞,s] với mỗi s ∈ R. 11 (iii) M là F - bất biến dương dưới tác động của (3.2), tức là, nếu u(t) là một nghiệm của (3.2), hàm u˜s định nghĩa bởi u˜s(θ) = Fus+θ ∀θ ∈ [−r, 0] (3.3) và u˜s ∈Ms thì u˜t0 ∈Mt0 với mọi t0 > s. Ở đây, u˜t0 là hàm định nghĩa trong (3.3) khi s thay bởi t0. (iv) M hút tất cả các nghiệm của(3.2) với cấp độ F -mũ, tức là, với nghiệm bất kỳ u(·) của (3.2) và với s ∈ R cố định, tồn tại một hằng số dương H, một nghiệm u∗(·) sao cho u˜∗t ∈Mt và ‖ut − u∗t‖Cβ 6 He−γ(t−s) với t > s (3.4) trong đó u˜∗t xác định trong (3.3). Định lý sau là kết quả chính của chương này, chỉ ra sự tồn tại của đa tạp quán tính chấp nhận được của phương trình (3.2) Định lý 3.1. Cho A thỏa mãn Giả thiết 1; E,E ′ và ϕ ∈ E ′ thỏa mãn Giả thiết 2. Hơn nữa, cho F thỏa mãn Giả thiết 5 và f là ϕ-Lipschitz sao cho max {||m||β, }} < 1− ‖Ψ‖ . (3.5) Khi đó, phương trình (3.2) có một đa tạp quán tính chấp nhận được lớp E . Trong đó } = ||Λ1ϕ||∞ 1− e−µ ( N1N2e 3rµλ2βN ||eµ||||m||β 1− ||m||β + e γr ( N1β β +N1λ β N+1 +N2λ β N )) + β ( 2 1− β ) 2β 1+β ∥∥∥Λ1ϕ 1+β1−β∥∥∥ 1−β1+β∞ , (3.6) ở đây eµ(t) = e −µ|t|, và m(·) được định nghĩa như trong (2.8). 12 3.3 Đa tạp quán tính chấp nhận được của phương trình truyền nhiệt của vật liệu nhớ có trễ Kết quả của chương được áp dụng cho bài toán ∂ ∂t u(t, x) = ∂2 ∂x2 [ u(t, x) + t∫ t−1 (t− s)(t− s− 1)u(s, x)ds ] + t∫ t−1 [−2(t− s) + 1]u(s, x)ds+ a(t) t∫ t−1 ln (1 + |u(s, x)|) ds, u(0, t) = u(pi, t) = 0, t > s us(x, θ) = u(x, s+ θ) = φ(x, θ), x ∈ [0, pi], θ ∈ [−1, 0] . (3.7) trong đó a(t) xác định bởi a(t) =  n nếu t ∈ [ n− 1 2n+c , n+ 1 2n+c ] với n = 1, 2, .... 0 trường hợp còn lại. (3.8) Kết luận chương 3 Qua chương này, chúng ta xây dựng khái niệm đa tạp quán tính chấp nhận được và chứng minh sự tồn tại của nó một lớp các phương trình vi phân trung tính và sử dụng kết quả thu được chỉ ra sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của phương trình truyền nhiệt của vật liệu có nhớ, trễ. Các kết quả ở chương này, có thể được xem như là kết quả mở rộng của chương 2. Kết quả chính của chương này dựa vào bài báo [2] trong Danh mục công trình khoa học liên quan đến luận án. 13 Chương 4 ĐA TẠP QUÁN TÍNH CHẤP NHẬN ĐƯỢC CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA CẤP HAI THEO BIẾN THỜI GIAN 4.1 Phát biểu bài toán Trong chương này, chúng ta chỉ ra sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được cho một lớp các phương trình tiến hóa cấp hai theo biến thời gian có dạng x¨(t) + 2εx˙(t) + Ax(t) = f(t, x(t)), t > s, s ∈ R, ε > 0, x(s) = xs,0, s ∈ R, x˙(s) = xs,1, (4.1) trong đó A là toán tử thỏa mãn Giả thiết 1; f : R×Xβ → X là toán tử phi tuyến liên tục và Xβ := D(A β) với 0 6 β 6 1/2. Đặt H = D(A1/2) ×X. Ta có H là một không gian Hilbert tách được với tích vô hướng (U, V ) = (Ax0, y0) + (x1, y1), trong đó U = (x0, x1), V = (y0, y1) ∈ H . Lúc này, trên H bài toán (4.1) có thể được viết lại dưới dạng hệ cấp một như sau dU(t) dt +AU(t) = F(t, U(t)), t > s, U(s) = Us, (4.2) với U(t) := (x(t), x˙(t)) và Us = (xs,0, xs,1). 14 Trong đó, toán tử tuyến tính A và ánh xạ F được định nghĩa bởi các công thức AU = (−x1, Ax0 + 2εx1) với tập xác định D(A) = D(A)× D(A1/2), F(t, U(t)) = (0, f(t, x0(t))) với U = (x0, x1). Ta có thể kiểm tra được các giá trị riêng và vectơ riêng của toán tử A có dạng µ±N = ε± √ ε2 − λN , g±N = (eN ,−µ±NeN) với mọi N = 1, 2, · · · với λN và eN là các giá trị riêng và vectơ riêng của toán tử A. Hơn nữa, ta đặt EI = { h : I→ H | h đo được mạnh và ‖h(·)‖ ∈ EI } . Khi đó, EI là một không gian Banach với chuẩn ‖h‖EI := ‖‖h(·)‖‖EI . và là không gian hàm Banach tương ứng với không gian hàm chấp nhận được EI. Giả sử tồn tại số tự nhiên N sao cho ε2 > λN+1. Ta phân tích H dưới dạng tổng trực giao H = H1 ⊕H2 với H1 = span{(ek, 0), (0, ek) : k = 1, · · · , N}, H2 = span{(ek, 0), (0, ek) : k > N + 1} Trên H1 và H2, ta trang bị các tích vô hướng sau 〈U, V 〉1 = ε2(x0, y0)− (Ax0, y0) + (εx0 + x1, εy0 + y1), 〈U, V 〉2 = (Ax0, y0)− (ε2 − 2µN+1)(x0, y0) + (εx0 + x1, εy0 + y1). Trong đó, U = (x0, x1) và V = (y0, y1) là các phần tử lần lượt thuộc H1 và H2. Khi đó, ta có thể định nghĩa tích vô hướng và chuẩn trong H như sau 〈U, V 〉 = 〈U1, V1〉1 + 〈U2, V2〉2, |U | = 〈U,U〉1/2. 15 với U = U1 + U2 và V = V1 + V2, trong đó Vi, Ui ∈ Hi, i = 1, 2. Ta cố định N , và xét các không gian con H ±1 := span{g±k : k 6 N}. Ta có H1 = H+1 ⊕H −1 và ký hiệu PHi là các phép chiếu trực giao lên các không gian con Hi trong H , i = 1, 2. Đặt P ≡ PH−1 và Q := I − P = PH+1 + PH2. Ta có các đánh giá∣∣etAP ∣∣ 6 eµ−N |t|, t ∈ R,∣∣e−tA(I − P )∣∣ 6 e−µ−N+1t, t > 0. Hơn nữa, ta định nghĩa hàm Green như sau G(t, τ) =  e−(t−τ)A[I − P ] với mọi t > τ, −e−(t−τ)AP với mọi t 6 τ. (4.3) Khi đó G(t, τ) từ H vào H và eγ(t−τ)|G(t, τ)| 6 e−α|t−τ | với mọi t, τ ∈ R (4.4) trong đó α := µ−N+1 − µ−N 2 và γ := µ−N+1 + µ − N 2 . Nhận xét 4.1. Trong trường hợp không gian pha vô hạn chiều, thay cho (4.2), ta xét phương trình tích phân U(t) = e−(t−s)AU(s) + ∫ t s e−(t−ξ)AF(ξ, U(ξ))dξ với hầu hết t > s. (4.5) Lúc này, một nghiệm của phương trình (4.5) được hiểu là một hàm U(·) đo được mạnh xác định trên một khoảng J nào đó, nhận giá trị trongH và thỏa mãn (4.5) với t, s ∈ J. Lưu ý rằng, một nghiệm U của phương trình (4.5) được gọi là một nghiệm đủ tốt của phương trình (4.2). Tiếp theo, ta định nghĩa tính chất ϕ-Lipschitz của phần phi tuyến f như sau 16 Định nghĩa 4.1. Cho E là một không gian hàm Banach chấp nhận được trên R và ϕ là một hàm dương thuộc E. Khi đó, hàm f : R ×Xβ → X gọi là ϕ-Lipschitz nếu f thỏa mãn (i) ‖f(t, x)‖ 6 ϕ(t) (1 + ∥∥Aβx∥∥) với hầu hết t ∈ R và với mọi x ∈ Xβ, (ii) ‖f(t, x1)−f(t, x2)‖ 6 ϕ(t) ∥∥Aβ(x1 − x2)∥∥ với hầu hết t ∈ R và với mọi x1, x2 ∈ Xβ. Theo cách xác định của F , ta có Mệnh đề 4.1. Nếu f là ϕ-Lipschitz, thì |F(t, U)| 6 ϕ(t) + ψ(t)|U |, (4.6) |F(t, U)−F(t, V )| 6 ψ(t)|U − V |, (4.7) với ψ(t) = ϕ(t)λβN+1δ −1 N,ε = ϕ(t)λ β− 12 N+1δ −1 N,ε max { 1, √ λN+1 ε2 − λN+1 } . Nhận xét 4.2. Để đơn giản, với mọi t ∈ R t