Tóm tắt Luận án Dạy học một số nguyên lí của toán rời rạc trong chương trình bồi dưỡng học sinh khá và giỏi ở trường trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ----- ----- NGUYỄN THỊ NGỌC ÁNH DẠY HỌC MỘT SỐ NGUYÊN LÍ CỦA TOÁN RỜI RẠC TRONG CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH KHÁ VÀ GIỎI Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành : Lí luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán Mã số : 62.14.01.11 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC HÀ NỘI - 2015 Công trình được hoàn thành tại: Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: 1. TS. Bùi Duy Hưng 2. TS. Lê Tuấn Anh Phản biện 1: PGS.TS. Trần Kiều – Viện KHGD Việt Nam. Phản biện 2: TS Nguyễn Văn Thuận – Trường Đại học Vinh. Phản biện 3: PGS.TS. Vũ Quốc Chung – Trường ĐHSP Hà Nội. Luận án sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận án cấp trường họp tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Vào hồi.......giờ.......ngày........tháng........năm Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: - Thư viện Quốc Gia Việt nam - Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Có thể nói những nội dung sơ khai về Toán rời rạc (TRR) ra đời từ rất sớm. Lý thuyết TRR đã được hình thành như một ngành toán học mới vào thế kỷ 17. Đến nay, với sự hỗ trợ đắc lực của máy tính, TRR đã phát triển mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng có ích cho con người. Nhiều nhà nghiên cứu đã khẳng định vai trò của TRR trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông: + TRR khuyến khích một cách tiếp cận khám phá trong giảng dạy (Burghes, 1985; DeBellis và Rosenstein, 2004; Dossey, 1991) + TRR được áp dụng cho tình huống hàng ngày (Glidden, 1990; Perham & Perham, 1995) + TRR giúp giáo viên (GV) có cái nhìn mới so với toán học truyền thống (DeBellis và Rosenstein, 2004; Kenney, 1996) + TRR cung cấp các vấn đề toán học tương đối khó nhưng dễ tiếp cận cho những HS yêu toán (DeBellis và Rosenstein, 2004, Kenney, 1996) + TRR là một công cụ tuyệt vời cho phát triển tư duy và kỹ năng giải toán (Burghes, 1985; Hart và cộng sự, 1990; Kenney & Hirsch, 1991; Rosenstein và cộng sự, 1997). Nhiều nhà giáo dục học tin tưởng rằng việc đưa TRR vào chương trình giảng dạy ở trường phổ thông là có thể thực hiện được. Kenney (1996), Monaghan & Orton (1994), Rosenstein, Franzbalu & Roberts (1997) đã khẳng định TRR có thể giảng dạy cho tất cả học sinh (HS) các bậc học. TS. Trần Nam Dũng trong các bài viết của mình cũng cho rằng, ở Việt Nam, TRR có thể dạy ngay từ bậc trung học cơ sở. Nhận thức được vai trò của lý thuyết TRR đối với đời sống hiện đại, nội dung TRR đã được đưa vào chương trình học phổ thông và chiếm một phần quan trọng trong các kỳ thi toán quốc gia và quốc tế. Nhiều GV phổ thông trong và ngoài nước đã từng bước tích hợp TRR vào trong các giờ dạy của mình. Tuy nhiên chưa có tài liệu nào hướng dẫn cụ thể cho họ phải dạy những nội dung gì của TRR và dạy như thế nào cho đối tượng HS phổ thông, đặc biệt là cho đối tượng HS khá và giỏi. Hơn nữa, ở nước ta, tài liệu viết bằng tiếng Việt về TRR chưa nhiều. Những kiến thức về TRR 2 hiện có trong sách giáo khoa phổ thông nước ta hiện nay còn ít, chưa đủ đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng kiến thức TRR cho HS khá và giỏi. Với những lí do nêu trên, chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu: “Dạy học một số nguyên lí của TRR trong chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT”. 2. Mục đích nghiên cứu Luận án nhằm khẳng định được sự cần thiết phải đưa thêm nội dung TRR vào chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT; đề xuất được nội dung và một số biện pháp vận dụng trong dạy học những nguyên lí của TRR cho HS THPT khá và giỏi nhằm nâng cao hiệu quả, chất lượng dạy và học chủ đề này ở trường phổ thông. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt được mục đích trên, những nhiệm vụ nghiên cứu đặt ra như sau: + Nghiên cứu lí luận và thực tiễn nhằm khẳng định cần thiết dạy và có thể dạy được một số nguyên lí của TRR trong chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT Việt Nam. + Nghiên cứu nội dung một số nguyên lí của TRR cần thiết và có thể dạy học ở trường THPT. + Đề xuất một số biện pháp dạy học những nguyên lí của TRR trong chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT. + Thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của những biện pháp sư phạm được đề xuất trong luận án. 4. Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu những tài liệu về Lí luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán ở trường phổ thông; Nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến TRR; Nghiên cứu chương trình và sách giáo khoa môn Toán ở trường phổ thông. + Phương pháp điều tra quan sát: - Điều tra thông qua sử dụng phiếu thăm dò ý kiến đối với GV và HS về: Sự cần thiết phải đưa thêm nội dung TRR vào chương trình môn Toán dành cho HS khá và giỏi ở trường THPT; Những nguyên lí cần đưa thêm vào chương trình và cách thức tổ chức dạy học những nguyên lí đó; Những khó khăn và mong muốn của GV, HS trong quá trình dạy và học chủ đề TRR ở trường phổ thông. 3 - Điều tra kết quả IMO những năm gần đây. - Phỏng vấn các chuyên gia, GV và HS THPT. - Điều tra, xử lí các số liệu trước và sau thực nghiệm. + Phương pháp nghiên cứu trường hợp: - Chọn năm HS của lớp chuyên Toán khóa 25, trường THPT Chuyên tỉnh Thái Nguyên làm đối tượng nghiên cứu trường hợp. Theo dõi sự tiến bộ của các em trong quá trình thực nghiệm. + Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Triển khai thực nghiệm sư phạm trong dạy học những nguyên lí của TRR ở một số lớp thuộc trường chuyên nhằm kiểm định tính khả thi và hiệu quả của đề tài. 5. Giả thuyết khoa học Nếu tiến hành dạy học những nguyên lí của TRR trong chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT theo những nội dung và biện pháp đề xuất trong luận án thì sẽ nâng cao được chất lượng dạy và học chủ đề này ở trường phổ thông. 6. Những vấn đề đưa ra bảo vệ + Nhu cầu và sự cần thiết phải đưa thêm nội dung một số nguyên lí của TRR vào chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT, đặc biệt là ở các trường THPT chuyên. + Những nội dung và biện pháp dạy học những nguyên lí của TRR cho đối tượng HS khá và giỏi ở trường THPT đã đề xuất trong luận án có tính khoa học và thực tiễn. + Các biện pháp đề xuất trong luận án có tính khả thi và hiệu quả. 7. Những đóng góp của luận án + Luận án đã làm rõ được nhu cầu cần thiết và khả năng có thể dạy học được một số nguyên lí của TRR trong chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường phổ thông hiện nay. + Luận án đã đề xuất được nội dung và một số biện pháp dạy học những nguyên lí của TRR cho đối tượng HS khá và giỏi ở trường THPT. + Các thực nghiệm sư phạm đã khẳng định tính khả thi và hiệu quả của các giải pháp mà luận án đã đề xuất. 4 8. Cấu trúc của luận án Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận án bao gồm 4 chương: Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn. Chương 2: Mục tiêu, nội dung dạy học những nguyên lí của TRR trong chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT. Chương 3: Một số biện pháp dạy học những nguyên lí của TRR trong chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT. Chương 4: Thực nghiệm sư phạm. Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Tổng quan về vấn đề nghiên cứu 1.1.1. Những nghiên cứu về việc đưa TRR vào chương trình môn Toán ở trường phổ thông một số nước trên thế giới Năm 1989, Hội đồng Quốc gia giáo viên Toán học (NCTM) của Mỹ đã công bố Chương trình giảng dạy và các tiêu chuẩn đánh giá cho môn Toán. Tài liệu này công nhận tầm quan trọng của chủ đề TRR trong chương trình trung học. Đây là mốc quan trọng cho việc khuyến khích đưa TRR vào các trường tiểu học và trung học tại Hoa Kỳ. Sau khi tài liệu này được công bố, nhiều nghiên cứu về TRR đã khẳng định tầm quan trọng của việc giảng dạy TRR và mô tả nội dung của môn TRR trong các trường phổ thông. Ngoài ra, một số chương trình đã được xây dụng để chuẩn bị cho GV trong giảng dạy TRR và thu hút họ lồng ghép TRR trong các lớp học. Năm 2000, NCTM phát hành bản sửa đổi của Chương trình giảng dạy và tiêu chuẩn đánh giá môn Toán thành Nguyên tắc và chuẩn cho toán trường học [PSSM], trong đó không có tiêu chuẩn TRR riêng biệt như đã có trong bản trước mà chủ đề của TRR được phân bố trên các chuẩn, từ mẫu giáo đến lớp 12. Tuy nhiên, nhiều nhà nghiên cứu đang nỗ lực tích hợp TRR vào giáo trình, sách giáo khoa trung học. Nhiều tác giả đã khẳng định: TRR không chỉ là một tập hợp các chủ đề toán thú vị và mới; Quan trọng hơn, TRR như là một phương tiện cung cấp cho giáo viên cách nghĩ mới về các chủ đề toán và các chiến lược mới để thu hút học sinh của mình học toán. 5 1.1.2. Một số công trình nghiên cứu đề cập tới những nguyên lí trong TRR a. Ở nước ngoài b. Ở Việt Nam Thông qua việc thống kê những nguyên lí (NL) được đề cập tới trong nhiều tài liệu, chúng tôi nhận thấy có sáu NL được đề cập nhiều nhất trong các tài liệu là : NL cộng, NL nhân, NL Dirichlet, NL bù trừ, NL quy nạp toán học và NL bất biến. Đây là một trong những cơ sở cho chúng tôi khi lựa chọn nguyên lí nào để chuyển dịch trong chương sau. 1.2. TRR và vai trò của nó trong toán học và trong thực tiễn 1.2.1. Lịch sử hình thành và phát triển chuyên ngành TRR “Toán rời rạc (tiếng Anh: discrete mathematics) là tên chung của nhiều ngành toán học có đối tượng nghiên cứu là các tập hợp rời rạc, các ngành này được tập hợp lại từ khi xuất hiện khoa học máy tính làm thành cơ sở toán học của khoa học máy tính. Nó còn được gọi là toán học dành cho máy tính. Người ta thường kể đến trong toán học rời rạc lý thuyết tổ hợp, lý thuyết đồ thị, lý thuyết độ phức tạp, đại số Boole. Rosenstein, Franzblau và Roberts (1997) đã khẳng định: Trong những năm qua, TRR đã hình thành và phát triển nhanh chóng. TRR trở thành một lĩnh vực quan trọng của toán học. Càng ngày, TRR là toán được sử dụng trong nhiều ngành nghề. TRR là ngôn ngữ của những bộ phận khoa học lớn. 1.2.2. Vai trò của TRR trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông Qua các tài liệu chúng ta thấy vai trò của TRR trong chương trình môn Toán ở phổ thông thể hiện ở những điểm cơ bản sau: TRR có thể giảng dạy cho HS các bậc học; TRR khuyến khích một cách tiếp cận khám phá trong giảng dạy; TRR có thể áp dụng được cho những tình huống hàng ngày; TRR giúp GV có cái nhìn mới so với toán học truyền thống; TRR cung cấp các vấn đề toán học tương đối khó nhưng dễ tiếp cận cho những HS yêu toán; TRR là một công cụ tuyệt vời cho phát triển tư duy và kỹ năng giải toán. 1.2.3. Vai trò của những nguyên lí của TRR trong thực tiễn TRR nói chung và những NL trong TRR nói riêng đã góp phần tạo ra nhiều thành tựu khoa học mới. Những thành tựu này có tính ứng dụng cao trong các lĩnh vực của cuộc sống như viễn thông, giao thông, sản xuất công nghiệp và phân phối năng lượng 6 1.4. Thực trạng dạy học Toán rời rạc ở trường phổ thông Việt Nam 1.4.1. Phương pháp, cách thức điều tra thực trạng a. TRR trong chương trình môn Toán của Việt Nam b. Tiến hành điều tra thông qua ý kiến những nhà chuyên môn Chúng tôi đã tiến hành ba lần điều tra thông qua sử dụng phiếu xin ý kiến nhằm thu thập thông tin từ phiếu. - Điều tra lần một vào tháng 8/2012, trong đợt tập huấn chuyên môn cho các giáo viên cốt cán môn Toán trên toàn quốc. Đối tượng điều tra là 70 giáo viên các trường THPT Chuyên và chuyên viên môn Toán của các Sở Giáo dục và Đào tạo của các tỉnh trong cả nước. - Điều tra lần hai vào tháng 12/2013 tại Hải Phòng. Chúng tôi thăm dò ý kiến của 40 giáo viên cốt cán môn Toán của các trường, Sở Giáo dục và Đào tạo của 14 tỉnh phía Bắc. - Điều tra lần ba tại Trại hè Hùng Vương các trường THPT Chuyên khu vực trung du và miền núi phía Bắc tổ chức tại tỉnh Quảng Ninh. Đối tượng điều tra là những GV và HS giỏi môn Toán của trường THPT Vùng Cao Việt Bắc và 16 trường THPT Chuyên khu vực trung du và miền núi phía Bắc. Kết quả thu được như sau: * 100% giáo viên được hỏi nhất trí với 2 nội dung sau: + Nội dung TRR hiện có trong sách giáo khoa môn Toán và Tài liệu giáo khoa chuyên Toán chưa đủ dùng làm tài liệu để bồi dưỡng cho HS khá và giỏi. + Cần thiết phải đưa một số nguyên lí của TRR vào chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT. * Hơn 90% GV đồng ý nên dạy chủ đề TRR cho HS khá và giỏi ở trường THPT theo trình tự như sau: +Lớp 10: Dạy những nội dung cơ bản: NL cộng, NL nhân, Tổ hợp, Chỉnh hợp, Hoán vị, Nhị thức Niu-tơn, NL Dirichlet, NL bù trừ, NL quy nạp toán học. + Lớp 11: Dạy cơ bản nguyên lí bất biến. Dạy nâng cao các chủ đề của TRR đã học. + Lớp 12: Dạy nâng cao các chủ đề của TRR. 7 * Số tiết giảng dạy những NL của TRR được các thầy cô đề xuất trong khoảng từ 15 đến 50 tiết. * Kết quả điều tra cho thấy GV, HS còn gặp nhiều khó khăn trong dạy và học chủ đề TRR ở trường phổ thông. Họ mong muốn có những biện pháp khắc phục những khó khăn đó. Kết quả điều tra cũng định hướng cho chúng tôi đề xuất biện pháp dạy học những NL của TRR ở chương ba của luận án. c. Thống kê kết quả các bài thi có nội dung TRR của đội tuyển thi Toán quốc tế (IMO) Việt Nam và một số nước trên thế giới. Thống kê nhằm so sánh trình độ của HS trong đội tuyển IMO nước ta những năm gần đây về lĩnh vực TRR với HS các nước tiên tiến trên thế giới và một số nước trong khu vực. 1.4.2. Đánh giá kết quả điều tra thực trạng dạy học chuyên đề TRR ở trường phổ thông Qua kết quả điều tra trên chúng ta có thể khẳng định: - Nội dung TRR trong SGK phổ thông và trong các tài liệu tham khảo bằng tiếng Việt hiện có ở nước ta chưa đủ để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng HS khá và giỏi. - Trình độ của HS nước ta những năm gần đây về lĩnh vực TRR so với HS các nước tiên tiến trên thế giới và một số nước trong khu vực còn hạn chế. - Cần thiết phải đưa thêm nội dung TRR vào chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT. Bước đầu của công việc này là đưa nội dung của những nguyên lí trong TRR vào chương trình. Cần phải đề xuất nội dung và các biện pháp dạy học những nguyên lí này cho HS khá và giỏi ở trường THPT. Chương 2 MỤC TIÊU, NỘI DUNG DẠY HỌC NHỮNG NGUYÊN LÍ CỦA TRR TRONG CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HS KHÁ VÀ GIỎI Ở TRƯỜNG THPT 2.1. Mục tiêu dạy học những nguyên lí của TRR trong chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT 2.1.1. Những đặc điểm cơ bản của HS khá và giỏi ở trường THPT 2.2.2. Mục tiêu dạy học những nguyên lí của TRR trong chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT 8 + Dạy cách suy luận toán học và những kỹ thuật chứng minh cho HS trong quá trình dạy học những nguyên lí. Phát triển tư duy sáng tạo, tư duy phản biện, tư duy logic cho HS. + Hình thành một số năng lực cho HS như: năng lực giải quyết vấn đề, năng lực sáng tạo, năng lực tự học, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng lực tính toán, năng lực sử dụng ngôn ngữ + Bổ sung những nội dung toán học gắn liền với thực tiễn vào chương trình môn Toán dành cho HS khá và giỏi ở trường THPT. Kích thích sự say mê nghiên cứu toán học của các em thông qua những chủ đề thú vị của TRR. Bồi dưỡng và phát triển tri thức TRR của học sinh khá và giỏi THPT Việt Nam. Trang bị kiến thức chuẩn bị cho các em có thể tiếp cận được với khoa học kỹ thuật hiện đại của thế giới. 2.2. Chuyển dịch sư phạm 2.2.1. Khái niệm chuyển dịch sư phạm Trong giáo dục, chuyển dịch kiến thức được coi là hòn đá tảng triết học của người thầy. Hiện tượng chuyển giao có lẽ là quan trọng nhất, nhưng lại ít được biết nhất trong quy trình dạy – học. Theo quan điểm được chấp nhận, chuyển dịch kiến thức được coi là ứng dụng một giải pháp đã biết cho một tình huống chưa biết từ trước tới lúc đó. Chuyển dich dựa trên cơ sở năng khiếu tổng quát hóa và khả năng trừu tượng hóa. Trong tâm lí học, chuyển dịch: hành vi trong đó một tình cảm đối với một con người, một đồ vật được lan truyền tới người khác. Theo tác giả Nguyễn Bá Kim trong cuốn PPDH môn Toán, trang 201: Về thành phần tri thức, trong lí luận dạy học, Yves Chevallard đã phân tích lần đầu tiên quá trình tổng quát của sự biến đổi từ tri thức khoa học thành tri thức dạy học và gọi là sự chuyển hóa sư phạm ( Chevallard 1985 và Verret 1975). Trong quá trình này tri thức được xét theo 3 cấp độ: tri thức khoa học, tri thức chương trình và tri thức dạy học. Tri thức khoa học: Là tri thức do nhà nghiên cứu tìm ra. Sau khi đã phi hoàn cảnh hóa, phi thời gian hóa, phi cá nhân hóa, nhà khoa học công bố dưới một dạng tổng quát nhất có thể được, theo những quy tắc diễn đạt hiện hành trong cộng đồng khoa học. Tri thức chương trình: là tri thức khoa học sau khi đã được sàng lọc, định mức độ yêu cầu và cách thức diễn đạt phù hợp với mục tiêu và điều 9 kiện của xã hội để đảm bảo sự tương hợp của hệ thống dạy học với môi trường của nó. Tri thức dạy học: Ở cấp độ lớp học, ta nói tới tri thức dạy học. Để đạt được mục tiêu dạy học, thầy giáo phải tổ chức lại tri thức qui định trong chương trình, SGK và biến thành tri thức dạy học theo khả năng sư phạm của mình, với sự ràng buộc của lớp, phù hợp với trình độ học sinh và những điều kiện học tập khác. Theo didactic Toán, tri thức chương trình còn được gọi là tri thức cần dạy, tri thức dạy học còn được gọi là tri thức được dạy. Chuyển dịch sư phạm hay chuyển hóa sư phạm (transposition didactique) là một quá trình bao gồm hai giai đoạn: chuyển hóa từ tri thức khoa học thành tri thức chương trình và từ tri thức chương trình thành tri thức dạy học. Các giai đoạn chủ yếu của quá trình chuyển hóa sư phạm là: Trong luận án này chúng tôi chú trọng nhiều đến giai đoạn 2 là chuyển hóa từ tri thức chương trình thành tri thức dạy học. 2.2.2. Sự cần thiết phải chuyển dịch sư phạm từ tri thức khoa học thành tri thức dạy học môn Toán ở trường phổ thông Thời đại ngày càng phát triển, để theo kịp sự phát triển của khoa học công nghệ thì kiến thức môn Toán dành cho học sinh phổ thông phải thay đổi: lược bỏ những phần cũ, lạc hậu, thêm vào những phần mới, cần thiết, phù hợp với yêu cầu cuộc sống thực tại. Do đó, chúng ta phải lựa chọn một số nội dung của tri thức khoa học phù hợp với học sinh phổ thông, sau đó thiết kế cách thức tổ chức dạy học nội dung đó cho học sinh phổ thông. Sự chuyển dịch này là một quy luật tất yếu, đã, đang và sẽ xảy ra trong hoạt động giáo dục phổ thông. 2.3. Nội dung dạy học một số nguyên lí trong Toán rời rạc trong chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT Định hướng xây dựng nội dung dạy học một số nguyên lí trong Toán rời rạc trong chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT Tri thức khoa học ( thể chế tạo tri thức) Tri thức chương trình ( thể chế chuyển đổi) đổich uyển Tri thức dạy học ( thể chế dạy học) họcch uyển 10 (1) Nội dung đề xuất phải bao gồm các vấn đề lí thuyết cơ bản, các câu hỏi và bài tập với mức độ phức tạp khác nhau. Hệ thống phải bao gồm những dạng toán cơ bản, được phân bậc từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp phù hợp với đối tượng HS khá và giỏi ở trường THPT. (2) Hệ thống lí thuyết và bài tập phải góp phần phát triển tư duy toán học, hình thành các năng lực chung cho HS và là cơ sở thuận lợi cho việc tiến hành các biện pháp dạy học được nêu trong chương 3. (3) Các bài tập đề xuất phải có hướng dẫn hoặc lời giải chi tiết. 2.3.1. Nguyên lí cộng và nguyên lí nhân 2.3.1.1. Nội dung nguyên lí cộng và nguyên lí nhân 2.3.1.2. Bài tập áp dụng 2.3.2. Nguyên lí Dirichlet 2.3.2.1. Nội dung nguyên lí Dirichlet 2.3.2.2. Bài tập vận dụng 2.3.3. Nguyên lí bù trừ 2.3.3.1. Nội dung nguyên lí bù trừ 2.3.3.2. Bài tập vận dụng 2.3.4. Nguyên lí quy nạp toán học 2.3.4.1. Nội dung nguyên lí quy nạp toán học 2.3.4.2. Bài tập vận dụng 2.3.5. Nguyên lí bất biến 2.3.5. 1. Nội dung nguyên lí bất biến 2.3.5.2. Bài tập vận dụng Nội dung đề xuất ở trên có thể là cơ sở cho các nhà giáo dục, các nhà chuyên môn và