Tóm tắt luận án Khai phá dữ liệu chuỗi thời gian dựa vào rút trích đặc trưng bằng phương pháp điểm giữa và kỹ thuật xén

i ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA NGUYỄN THÀNH SƠN KHAI PHÁ DỮ LIỆU CHUỖI THỜI GIAN DỰA VÀO RÚT TRÍCH ĐẶC TRƢNG BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐIỂM GIỮA VÀ KỸ THUẬT XÉN (TIME SERIES DATA MINING BASED ON FEATURE EXTRACTION WITH MIDDLE POINTS AND CLIPPING METHOD) LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH ii TP. HỒ CHÍ MINH, NĂM 2014 iii Công trình được hoàn thành tại khoa Khoa học và Kỹ thuật Máy tính trường Đại học Bách khoa, ĐHQG TP. HCM. Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS Dương Tuấn Anh Phản biện 1: PGS. TS. Nguyễn Thị Kim Anh Phản biện 2: PGS. TS. Đỗ Phúc Phản biện 3: PGS. TS. Quản Thành Thơ Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp trường họp tại .......................................................................... ................................................................................................. Vào hồi giờ ngày tháng năm 2014. Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện trường Đại học Bách khoa, ĐHQG TP. HCM iv MỤC LỤC 1. Giới thiệu. ............................................................................1 1.1. Tổng quan về đề tài......................................................1 1.2. Động cơ, mục tiêu, đối tượng và phạm vi nghiên cứu. 1 1.3. Nhiệm vụ và hướng tiếp cận của luận án. ....................2 2. Cơ sở lý thuyết và các công trình liên quan. .......................2 2.1. Các độ đo tương tự. .....................................................2 2.2. Thu giảm số chiều chuỗi thời gian. ..............................2 2.3. Rời rạc hóa chuỗi thời gian. .........................................3 2.4. Cấu trúc chỉ mục. .........................................................3 2.5. Tìm kiếm tương tự trên chuỗi thời gian. ......................3 2.6. Tìm kiếm tương tự trên chuỗi thời gian dạng luồng. ...4 2.7. Phát hiện motif trên chuỗi thời gian. ...........................4 2.8. Gom cụm dữ liệu chuỗi thời gian. ...............................4 3. Thu giảm số chiều chuỗi thời gian bằng phương pháp MP_C. .................................................................................5 3.1. Phương pháp MP_C (Middle Points_Clipping). .........5 3.2. Độ đo tương tự trong không gian MP_C. ....................6 3.3. Vùng bao MP_C (MP_C_BR). ....................................7 3.4. Hàm tính khoảng cách giữa chuỗi truy vấn Q và MP_C_BR. ..................................................................8 3.5. Cấu trúc chỉ mục đường chân trời cho phương pháp biểu diễn MP_C. ..........................................................8 3.6. Tìm kiếm tương tự trên chuỗi thời gian dạng luồng dựa vào MP_C và chỉ mục đường chân trời. ...............8 3.7. Kết quả thực nghiệm. .................................................10 4. Phát hiện motif dựa vào cấu trúc chỉ mục đa chiều hoặc chỉ mục đường chân trời. .........................................................12 4.1. Phát hiện motif dựa vào cấu trúc chỉ mục đa chiều và ý tưởng từ bỏ sớm. ........................................................12 v 4.2. Phát hiện motif xấp xỉ dự trên phương pháp MP_C với sự hỗ trợ của chỉ mục đường chân trời. ..................... 14 4.3. Kết quả thực nghiệm. ................................................ 15 5. Gom cụm chuỗi thời gian được thu giảm theo phương pháp MP_C bằng giải thuật I-k-Means. ..................................... 16 5.1. Biểu diễn chuỗi thời gian ở nhiều mức xấp xỉ theo phương pháp MP_C .................................................. 16 5.2. Dùng kd-tree tạo trung tâm các cụm cho thuật toán I- k-Means. .................................................................... 17 5.3. Dùng cây đặc trưng cụm để tạo các trung tâm cụm khởi động cho thuật toán I-k-Means.......................... 18 5.4. Thực nghiệm về bài toán gom cụm ........................... 19 6. Dự báo dữ liệu chuỗi thời gian có tính xu hướng hoặc mùa bằng phương pháp so trùng mẫu. ...................................... 20 7. Kết luận và hướng phát triển. ............................................ 23 7.1. Các đóng góp chính của luận án. ............................... 23 7.2. Hạn chế của luận án. .................................................. 23 7.3. Hướng phát triển. ....................................................... 24 CÁC TÀI LIỆU CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ ........................ 25 1 1. Giới thiệu. 1.1. Tổng quan về đề tài. Một chuỗi thời gian (time series) là một chuỗi các điểm dữ liệu được đo theo từng khoảng thời gian liền nhau theo một tần suất thời gian thống nhất. Một chuỗi thời gian dạng luồng (streaming time series) C là một chuỗi các giá trị thực c1, c2, , trong đó các giá trị mới tới một cách liên tục và được nối vào cuối chuỗi C theo thứ tự thời gian. Những khó khăn và thách thức khi nghiên cứu về dữ liệu chuỗi thời gian: (1) dữ liệu thường rất lớn, (2) phụ thuộc nhiều vào yếu tố chủ quan của người dùng và tập dữ liệu khi đánh giá mức độ tương tự giữa các chuỗi, (3) dữ liệu không đồng nhất. 1.2. Động cơ, mục tiêu, đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu. Dữ liệu chuỗi thời gian được sử dụng phổ biến trong rất nhiều lĩnh vực. Kết quả khảo sát nêu trong bài báo của Yang và Wu (2006) “10 challenging problems in Data Mining Research” cho thấy hướng nghiên cứu về khai phá dữ liệu chuỗi thời gian là một trong 10 hướng nghiên cứu sẽ là quan trọng và thách thức nhất. Vì dữ liệu chuỗi thời gian thường rất lớn, những giải thuật khai phá chuỗi thời gian phải thỏa mãn hai tính chất: chúng phải hữu hiệu (tức có độ phức tạp tính toán thấp) và đảm bảo đưa lại kết quả đúng. Đây là một thách thức đã thúc đẩy chúng tôi thực hiện nghiên cứu về lĩnh vực này. Mục tiêu của luận án là đề xuất cách tiếp cận mới cho một số bài toán khai phá dữ liệu chuỗi thời gian. Đối tượng nghiên cứu là dữ liệu chuỗi thời gian với chuỗi thời gian được định nghĩa là một chuỗi các số thực X = x1, x2, x3,.. xn, trong đó xi là giá trị đo được ở thời điểm thứ i. Phạm vi nghiên cứu của luận án bao gồm nghiên cứu bốn bài toán quan trọng trong khai phá dữ liệu chuỗi thời gian, đó là: tìm kiếm tương tự, gom cụm, phát hiện motif và dự báo trên dữ liệu chuỗi thời gian, trong đó tìm kiếm tương tự là bài toán nền tảng. 2 1.3. Nhiệm vụ và hƣớng tiếp cận của luận án. Hướng tiếp cận chung thường được sử dụng cho các bài toán trong khai phá dữ liệu chuỗi thời gian là thực hiện chúng trong không gian thu giảm (không gian đặc trưng) của dữ liệu. Các nội dung nghiên cứu trong luận án cũng được định hướng đi theo cách tiếp cận này. Nhiệm vụ của luận án là: (1) đề xuất một phương pháp thu giảm số chiều mới thỏa điều kiện chặn dưới và có thể kết hợp với một cấu trúc chỉ mục đa chiều hỗ trợ việc tìm kiếm tương tự hữu hiệu, (2) ứng dụng phương pháp đề xuất vào bài toán phát hiện motif theo hướng tiếp cận xấp xỉ, (3) ứng dụng phương pháp đề xuất vào bài toán gom cụm theo phương pháp gom cụm có thời gian thưc thi tùy chọn, (4) ứng dụng phương pháp đề xuất vào bài toán tìm kiếm tương tự trên chuỗi thời gian dạng luồng và (5) ứng dụng phương pháp thu giảm số chiều đã đề xuất vào bài toán dự báo dữ liệu chuỗi thời gian có tính xu hướng hoặc mùa. 2. Cơ sở lý thuyết và các công trình liên quan. 2.1. Các độ đo tƣơng tự. Trong các bài toán về khai phá dữ liệu chuỗi thời gian, để so sánh hai chuỗi người ta sử dụng các độ đo tương tự. Hai độ đo tương tự thường được sử dụng trong lĩnh vực này là độ đo Euclid và xoắn thời gian động (Dynamic Time Warping). 2.2. Thu giảm số chiều chuỗi thời gian. Thu giảm số chiều là phương pháp biểu diễn chuỗi thời gian n chiều X = {x1, x2, , xn} thành chuỗi thời gian có N chiều Y = {y1, y2, , yN} với N << n, sao cho vẫn giữ được các đặc trưng cần quan tâm của chuỗi thời gian ban đầu. Do khi thu giảm số chiều dữ liệu sẽ gây ra mất mát thông tin, nên khi thực hiện trên dữ liệu xấp xỉ có thể xảy ra lỗi tìm sót và/hoặc lỗi tìm sai. Để đảm bảo có kết quả chính xác, lỗi tìm sót không được phép xảy ra. Để đảm bảo điều này, độ đo tương tự trong không gian thu giảm phải là chặn dưới của độ đo tương tự trong không gian gốc (điều kiện chặn dưới). Để việc tìm kiếm trong không gian đặc trưng đạt hiệu quả, phương pháp thu 3 giảm số chiều cần có tính khả chỉ mục và chi phí hậu kiểm thấp. Để chi phí hậu kiểm thấp, lỗi tìm sai phải càng ít càng tốt. Nhiều phương pháp thu giảm số chiều dựa vào rút trích đặc trưng đã được đề xuất và sử dụng. Tuy nhiên có không ít phương pháp thu giảm số chiều mắc phải hai nhược điểm quan trọng: một số phương pháp thu giảm số chiều không chứng minh được bằng toán học thỏa mãn điều kiện chặn dưới (ví dụ như các phương pháp dựa vào điểm quan trọng) và một số phương pháp khác không đề xuất được cấu trúc chỉ mục thích hợp đi kèm để hỗ trợ việc tìm kiếm tương tự hữu hiệu (ví dụ như phương pháp xén dữ liệu). 2.3. Rời rạc hóa chuỗi thời gian. Rời rạc hóa (discretization) chuỗi thời gian là quá trình biến đổi chuỗi thời gian thành một chuỗi các ký tự. Phương pháp rời rạc hóa tiêu biểu là phương pháp xấp xỉ gộp ký hiệu hóa (Symbolic Aggregate approXimation - SAX) và các biến thể của nó như phương pháp xấp xỉ gộp ký hiệu hóa mở rộng (Extended SAX - ESAX), phương pháp xấp xỉ gộp ký hiệu có thể được lập chỉ mục (Indexable SAX - ISAX). 2.4. Cấu trúc chỉ mục. Việc sử dụng cấu trúc lập chỉ mục cho phép chúng ta tìm kiếm các chuỗi con một cách nhanh chóng và hiệu quả. Các cấu trúc chỉ mục đa chiều tiêu biểu như: R-tree và các biến thể của nó, chỉ mục đường chân trời (Skyline). Chỉ mục đường chân trời sử dụng vùng bao đường chân trời. Bằng thực nghiệm, các tác giả đã cho thấy vùng bao đường chân trời biểu diễn các chuỗi thời gian chính xác hơn so với vùng bao chữ nhật nhỏ nhất và không xảy ra tình trạng phủ lấp (overlap). 2.5. Tìm kiếm tƣơng tự trên chuỗi thời gian. Bài toán tìm kiếm tương tự trên dữ liệu chuỗi thời gian được phân làm hai loại: so trùng toàn chuỗi và so trùng chuỗi con. Trong so trùng toàn chuỗi, các chuỗi thời gian được giả 4 định là có chiều dài bằng nhau. Bài toán so trùng chuỗi con là tìm các chuỗi con trong một chuỗi thời gian tương tự với chuỗi truy vấn. Đây là bài toán cơ bản và là một thành phần quan trọng của nhiều bài toán khác trong khai phá dữ liệu chuỗi thời gian. 2.6. Tìm kiếm tƣơng tự trên chuỗi thời gian dạng luồng. Trong bài toán này, các luồng dữ liệu liên tục được cập nhật khi có các điểm dữ liệu mới tới theo thời gian thực. Đó là một thách thức khi nghiên cứu về bài toán này do chi phí tính toán lại thu giảm số chiều và cập nhật chỉ mục tăng. Thời gian qua, nhiều phương pháp đã được đề xuất cho bài toán này như: các phương pháp dựa trên dự báo, phương pháp dựa trên độ đo có trọng số, phương pháp dựa trên cách tính gia tăng và cập nhật chỉ mục trì hoãn. 2.7. Phát hiện motif trên chuỗi thời gian. Motif trong chuỗi thời gian là mẫu xuất hiện với tần suất cao nhất. Từ khi được hình thức hóa vào năm 2002, phát hiện motif trong dữ liệu chuỗi thời gian đã và đang được dùng để giải quyết các bài toán trong nhiều lĩnh vực ứng dụng khác nhau. Trong số nhiều giải thuật đã được giới thiệu, phép chiếu ngẫu nhiên đã được sử dụng rộng rãi để phát hiện motif trong chuỗi thời gian từ khi nó được giới thiệu và có thể được dùng để phát hiện tất cả motif với xác xuất cao sau một số lần lặp thích hợp ngay cả trong trường hợp có nhiễu. 2.8. Gom cụm dữ liệu chuỗi thời gian. Gom cụm là sự phân chia các đối tượng dữ liệu vào các nhóm sao cho độ đo tương tự giữa các đối tượng trong cùng nhóm là nhỏ nhất và giữa các đối tượng trong các nhóm khác nhau là lớn nhất. Mỗi nhóm được gọi là một cụm (cluster). Mặc dù đã có nhiều công trình nghiên cứu về gom cụm dữ liệu thường, hầu hết các giải thuật gom cụm đã có trong lĩnh vực khai phá dữ liệu và học máy đã không làm việc hiệu quả với dữ liệu chuỗi thời gian do những tính chất đặc thù của loại dữ liệu này. Những tính chất đặc thù đó là (i) số chiều khá cao, 5 (ii) tính tương quan cao của các đặc trưng được rút trích từ dữ liệu và (iii) dữ liệu có thể bị nhiễu. Những tính chất này đặt ra một thách thức cho việc gom cụm dữ liệu chuỗi thời gian. Hai giải thuật thường được sử dụng để gom cụm dữ liệu chuỗi thời gian là k-Means và I-k-Means. 3. Thu giảm số chiều chuỗi thời gian bằng phƣơng pháp MP_C. 3.1. Phƣơng pháp MP_C (Middle Points_Clipping). Do tính chất đặc thù của dữ liệu chuỗi thời gian, định nghĩa một phương pháp thu giảm số chiều đúng đắn và hữu hiệu vẫn là một vấn đề thời sự trong lĩnh vực khai phá dữ liệu chuỗi thời gian. Từ những ưu điểm của phương pháp xấp xỉ gộp từng đoạn (PAA), các phương pháp dựa vào điểm quan trọng và phương pháp xén, chúng tôi tiến hành kết hợp ý tưởng của các phương pháp này để hình thành một phương pháp thu giảm số chiều mới, gọi là MP_C, nhằm tận dụng những ưu điểm của các phương pháp trên, đồng thời khắc phục nhược điểm còn tồn tại của chúng. Cho một cơ sở dữ liệu S gồm k chuỗi thời gian S = {C1, , Ck} và một chuỗi truy vấn Q = q1, , qn. Không mất tính tổng quát, giả sử các chuỗi trong cơ sở dữ liệu S cũng có chiều dài n và mỗi chuỗi coi như một đoạn. Chia đoạn Ci= {c1, ,cn} thành l đoạn con bằng nhau (l ≤ n), chọn ra các điểm giữa của l đoạn con và tính trung bình của đoạn. Để giảm thiểu dung lượng bộ nhớ cần lưu các đặc trưng cho mỗi đoạn, phương pháp MP_C lưu các điểm giữa được chọn dưới dạng chuỗi bit b theo công thức sau: trong đó,  là giá trị trung bình của đoạn và ct là giá trị điểm giữa của đoạn con t, với t = 1, , l. Để tăng độ chính xác của biểu diễn xấp xỉ theo phương pháp này, chúng ta có thể chia mỗi chuỗi thời gian thành N (N << n) đoạn có độ dài w và thực hiện biến đổi như trên cho mỗi     0 1 tb nếu ct >  ngược lại 6 đoạn. Như vậy, với mỗi chuỗi ta chỉ cần lưu N giá trị trung bình và l * N bits. Hình 3.1 minh họa trực quan phương pháp này với số đoạn N = 3 và số điểm giữa được chọn trong mỗi đoạn l = 4. Trong ví dụ này ta sẽ lưu 1 và 1100 ; 2 và 1100; 3 và 1100. Hình 3.1 Minh họa phương pháp MP_C. 3.2. Độ đo tƣơng tự trong không gian MP_C. Cho một chuỗi truy vấn Q và một chuỗi thời gian C (có chiều dài n). C và Q được chia thành N đoạn (N << n). Giả sử mỗi đoạn có chiều dài w. Cho C’, Q’ là biểu diễn MP_C của C, Q. Độ đo khoảng cách giữa Q’ và C’ trong không gian MP_C, DMP_C (Q’,C’), được định nghĩa như sau.  Định nghĩa 1. Trong đó dj(qji, bji) được tính theo công thức sau: với - µqi là giá trị trung bình của đoạn i trong chuỗi Q. - µci là giá trị trung bình của đoạn i trong chuỗi C. - q’ji = qji - µqj, trong đó qji là giá trị điểm thứ i được chọn trong đoạn thứ j của chuỗi thời gian Q. (3.3) (3.1) (3.2)       0 ' ),( ji jijij q bqd nếu (qji’ > 0 và bji = 0) hoặc (qji’ ≤ 0 và bji = 1) các trường hợp khác )','()','()','( 21_ CQDCQDCQD CMP     N i ciqi wCQD 1 2 1 )()','(  2 1 12 )),(()','(    N j l i jijij bqdCQD Các đường trung bình đoạn µ1 µ2 µ3 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 7 - l là số điểm được chọn trong đoạn (l ≤ w) - bji là bit thứ i trong chuỗi biểu diễn nhị phân (bj) của các điểm giữa được chọn trong đoạn j của chuỗi thời gian C. - D1(Q’, C’) là độ đo khoảng cách giữa hai chuỗi giá trị trung bình trong biểu diễn MP_C của hai chuỗi, D2(Q’, C’) là độ đo khoảng cách giữa các điểm giữa được chọn trong hai chuỗi, dj(qji, bji) là độ đo khoảng cách của cặp điểm giữa i trong đoạn j của hai chuỗi tương ứng. Trong luận án này, độ đo DMP_C(Q’, C’) đã được chứng minh thỏa các tính chất không âm, đối xứng và bất đẳng thức tam giác. Ngoài ra, DMP_C(Q’, C’) còn được chứng minh thỏa điều kiện chặn dưới (nghĩa là đảm bảo không xảy ra lỗi tìm sót) và độ phức tạp của giải thuật để thu giảm số chiều một chuỗi theo phương pháp MP_C là O(n). 3.3. Vùng bao MP_C (MP_C_BR). Hình 3.2 Ví dụ minh họa về MP_C_BR. (a) Hai chuỗi thời gian C1, C2 và biểu diễn xấp xỉ MP_C của chúng trong không gian bốn chiều. (b) MP_C_BR của hai chuỗi MP_C C’1 và C’2. C’max={c’11, c’21, c’32, c’42} và C’min = {c’12, c’22, c’31, c’41}  Định nghĩa 2 (Vùng bao MP_C). Cho một nhóm C’ gồm k chuỗi MP_C trong không gian đặc trưng N chiều. R = (C’max, C’min) được gọi là vùng bao MP_C (ký hiệu MP_C_BR), với C’max={c’1max,c’2max,,c’Nmax} và C’min={c’1min,c’2min,, c’Nmin}, trong đó c’imax = max{c’i1, , c’ik} và c’imin = min{c’i1, , c’ik}, 1 ≤ i ≤ N với c’ij là giá trị trung bình của đoạn thứ i của chuỗi MP_C thứ j trong C’. C’1 C’2 c’11 c’21 c’32 c’42 c’12 c’22 c’31 c’41 (b) C 1 C 2 (a) B c1 = 010100010101 B c2 = 010101010100 8 Hình 3.2 minh họa một ví dụ về MP_C_BR. Trong ví dụ này Bci là chuỗi bit biểu diễn các điểm được chọn trong chuỗi thời gian Ci (số điểm được chọn trong mỗi đoạn là 3). 3.4. Hàm tính khoảng cách giữa chuỗi truy vấn Q và MP_C_BR. Cho Q là chuỗi truy vấn, Q’ là biểu diễn MP_C xấp xỉ của Q trong không gian N chiều. Hàm tính khoảng cách Dregion(Q’, R) giữa chuỗi truy vấn Q’ so với một MP_C_BR R được cho bởi công thức sau: trong đó, w là chiều dài của các đoạn. µqi là giá trị trung bình của đoạn i trong chuỗi truy vấn Q. Trong luận án, hàm Dregion(Q’, R) đã được chứng minh thỏa tính chất chặn dưới của nhóm (nghĩa là đảm bảo không xảy ra lỗi tìm sót khi sử dụng phương pháp MP_C kết hợp với chỉ mục đường chân trời). 3.5. Cấu trúc chỉ mục đƣờng chân trời cho phƣơng pháp biểu diễn MP_C. Các chuỗi MP_C có thể được lập chỉ mục bằng chỉ mục đường chân trời được xây dựng dựa trên một cấu trúc chỉ mục đa chiều như R*-tree. Trong cấu trúc này, mỗi phần tử trong nút lá chứa một chuỗi MP_C và một con trỏ chỉ tới chuỗi gốc tương ứng trong cơ sở dữ liệu. MP_C_BR kết hợp với một nút không phải lá là vùng bao nhỏ nhất chứa các MP_C_BR kết hợp với các nút con trực tiếp của nó. 3.6. Tìm kiếm tƣơng tự trên chuỗi thời gian dạng luồng dựa vào MP_C và chỉ mục đƣờng chân trời. Thông thường, mỗi khi một giá trị mới của dữ liệu dạng luồng tới ta phải tính lại giá trị của chuỗi trong không gian thu   N i iregionregion RQdwRQD i1 ),'(),'( (3.4) (3.6) (3.5)          0 )'( )'( ),'( 2max 2 min iqi qii iregion c c RQd i   Nếu µqi < c’imin Nếu µqi > c’imax Các trường hợp khác 9 giảm dựa trên W giá trị cuối cùng của luồng dữ liệu và chuỗi dữ liệu dạng luồng phải được cập nhật vào cấu trúc chỉ mục. Điều này dẫn tới chi phí tính toán thu giảm số chiều cao và chi phí cập nhật chỉ mục sẽ cao vì phải thực hiện thao tác xóa và chèn liên tục trong cấu trúc chỉ mục. Để khắc phục điều này, chúng tôi sử dụng cách tính toán gia tăng theo phương pháp MP_C và chính sách cập nhật chỉ mục trì hoãn được giới thiệu bởi Kontaki và các cộng sự.  Tính toán gia tăng theo phƣơng pháp MP_C. Cho C = (c0, c1, , cn-1) là một chuỗi dữ liệu dạng luồng có chiều dài n. Giả sử C’ = (c’0, c’1, , c’N-1) và chuỗi bit b biểu diễn nhị phân các điểm giữa của mỗi đoạn là biểu diễn MP_C của C. Khi một giá trị mới cn của dữ liệu dạng luồng này tới ta có chuỗi mới S = (s1,s2, ,sn), trong đó ci = si với i = 1,.., n-1 và sn = cn là giá trị mới. Chuỗi thu giảm S’= (s’0, s’1, , s’N-1) của S được tính theo phương pháp MP_C dựa vào chuỗi thu giảm C’ theo công thức sau. )1( ''   i N n i N nii c n N c n N cs Và các điểm giữa của mỗi đoạn được lấy tại các vị trí có tọa độ:        N n i N n 2 với i = 0, , N-1  Chính sách cập nhật chỉ mục trì hoãn: Giả sử C là chuỗi thời gian dạng luồng và C1[n-w+1:n] là w giá trị cuối của chuỗi C, với n là vị trí giá trị cuối cùng của chuỗi. C’1 là chuỗi thu giảm c