Tóm tắt Luận án Nghiên cứu phát triển một số thuật toán điều khiển rô bốt di động có tính đến ảnh hưởng của trượt bánh xe

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ----------------------------- Nguyễn Văn Tính NGHIÊN CỨU PHÁT TRIỂN MỘT SỐ THUẬT TOÁN ĐIỀU KHIỂN RÔ BỐT DI ĐỘNG CÓ TÍNH ĐẾN ẢNH HƯỞNG CỦA TRƯỢT BÁNH XE LUẬN ÁN KỸ THUẬT ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA Chuyên ngành: Kỹ thuật điều khiển và tự động hóa Mã số: 9.52.02.16 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT Hà Nội – 2018 2 Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Người hướng dẫn khoa học: TS. Phạm Minh Tuấn Phản biện 1:... . Phản biện 2:... . Phản biện 3:... . Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp nhà nước họp tại: .. .. Vào hồi giờ ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: .. 3 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết của đề tài Có một sự thật không thể phủ nhận rằng các rô bốt di động có khả năng làm việc trong một phạm vi rộng và có thể thao tác tự động một cách thông minh mà không cần bất cứ sự tác động nào từ con người. Do vậy, đề tài này tập trung nghiên cứu các bài toán thiết kế các luật điều khiển cho rô bốt di động kiểu bánh xe. Các vấn đề nghiên cứu của luận án Tác giả tập trung nghiên cứu các phương pháp điều khiển mới để bù trượt cho rô bốt di động khi tồn tại trượt bánh xe, bất định mô hình, và nhiễu ngoài. Đối tượng nghiên cứu Để dễ dàng kiểm chứng tính đúng đắn và hiệu năng của các luật điều khiển được đề xuất, rô bốt di động 03 bánh xe được lựa chọn làm đối tượng nghiên cứu. Cụ thể, rô bốt di động kiểu 03 bánh xe này bao gồm 02 bánh chủ động điều khiển vi phân, 01 bánh thụ động được dùng để làm điểm tựa tạo thế cân bằng trọng lực. Mục đích nghiên cứu Đề xuất một số phương pháp điều khiển mới để bù ảnh hưởng tiêu cực của bất định mô hình, nhiễu ngoài, và trượt bánh xe. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu được thể hiện qua trình tự công việc như sau:  Phân tích và xây dựng mô hình động học và động lực học của rô bốt di động khi tồn tại các bất định mô hình, nhiễu ngoài, và trượt bánh xe.  Nghiên cứu, phân tích các phương pháp điều khiển tiên tiến trong và ngoài nước cho rô bốt di động trong sự hiện diện của bất định mô hình, nhiễu ngoài, và trượt bánh xe. Sau đó, đề xuất các phương pháp điều khiển mới.  Chứng minh tính đúng đắn và hiệu quả của các phương pháp điều khiển mới bằng tiêu chuẩn ổn định Lyapunov và bổ đề Barbalat.  Tiến hành kiểm chứng các phương pháp điều khiển nói trên băng công cụ Matlab/Simulink. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Ý nghĩa khoa học: Xây dựng các phương pháp điều khiển mới cho rô bốt di động để bù ảnh hưởng tiêu cực của bất định mô hình, nhiễu ngoài, và trượt bánh xe. Ý nghĩa thực tiễn: Các phương pháp điều khiển được đề xuất trong luận án này có thể được triển khai ứng dụng cho các rô bốt di động trong nhà kho với mặt sàn trơn hoặc có thể được triển khai ứng dụng cho các xe tự hành trong các nông trường với nền đất ẩm ướt dễ trơn trượt. Bố cục của luận án Chương 1: Trình bày tổng quan các nghiên cứu trong và ngoài nước trong những năm gần đây, và sau đó trình bầy mô hình động học và động lực học của rô bốt di động trong điều kiện tồn tại bất định mô hình, nhiễu ngoài, và trượt bánh xe. Chương 2: Thiết kế luật điều khiển bám thích nghi dựa trên một mạng nơ ron ba lớp. Chương 3: Thiết kế luật điều khiển backstepping bền vững thích nghi dựa trên mạng sóng Gaussian. Chương 4: Thiết kế luật điều khiển backstepping hội tụ hữu hạn ở cấp động lực học. 4 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VÀ MÔ HÌNH TOÁN HỌC 1.1. Đặt vấn đề Bài toán điều khiển chuyển động cực kỳ quan trọng trong lĩnh vực rô bốt di động, bởi vì hiệu năng của các luật điều khiển ảnh hưởng trực tiếp đến hiệu quả của các ứng dụng rô bốt di động trong sản xuất và đời sống. Do vậy, bài toán này được lựa chọn làm mục tiêu nghiên cứu của luận án này. Trong những thập kỷ gần đây, bài toán điều khiển chuyển động cho rô bốt di động kiểu bánh xe đã thu hút sự chú ý của các nhà khoa học trên khắp thế giới. Hiển nhiên, rô bốt di động là một trong số các hệ thống chịu ràng buộc nonholonomic [1]. Hơn nữa, nó lại là một hệ thống phi tuyến nhiều vào- nhiều ra [2]. Nhờ có sự tiến bộ của lý thuyết cũng như kỹ thuật điều khiển, đã có rất nhiều phương pháp điều khiển khác nhau được áp dụng để thiết kế các luật điều khiển cho rô bốt di động như: điều khiển trượt [3, 4], điều khiển bền vững [5], Các luật điều khiển này đã được thiết kế với giả thiết “bánh xe chỉ lăn mà không trượt”. Tuy nhiên, trong thực tiễn ứng dụng, điều kiện các bánh xe chỉ lăn mà không trượt lại có thể thường xuyên bị vi phạm. Tức là đã xảy ra hiện tượng trượt bánh xe [12-13]. Trượt bánh xe là một trong số các nhân tố chính gây ra sự giảm sút hiệu năng điều khiển nghiêm trọng. Do vậy, trong các tình huống như vậy, nếu muốn cải thiện hiệu năng điều khiển, thì cần phải thiết kế một bộ điều khiển có khả năng bù trượt bánh xe. 1.2. Tình hình nghiên cứu trong nước Ở Việt Nam, đến nay, đã có rất nhiều nghiên cứu về xe tự hành như nhóm tác giả ở Đại học Giao Thông Vận Tải nghiên cứu về rô bốt di động di chuyển kiểu bầy đàn [14-15]. Một nhóm nghiên cứu ở Đại học Bách Khoa Hà Nội đã nghiên cứu về xây dựng mô hình cho một ô tô điện 04 bánh khi có tính đến tương tác bánh xe - mặt đường [18]. Tuy nhiên, chưa có nhiều kết quả nghiên cứu về điều khiển bù trượt bánh xe cho rô bốt di động được công bố. 1.3. Tình hình nghiên cứu ngoài nước Trên thế giới, đã có rất nhiều báo cáo nghiên cứu về điều khiển bù trượt bánh xe cho rô bốt di động. Bởi vì trượt bánh xe có thể làm hệ thống mất ổn định hoặc giảm hiệu năng điều khiển nghiêm trọng nên nó phải được ngăn chặn. Thông thường, để điều khiển bù trượt bánh xe, các thông tin đo lực ma sát và tốc độ trượt phải luôn được cập nhật theo thời gian thực và chính xác. Cụ thể, trong [12] các tác giả đã bù trượt bánh xe bằng cách bù tỷ số trượt bánh xe. Các gia tốc kế đã được sử dụng trong [13, 19] để bù trượt bánh xe trong thời gian thực. Nghiên cứu trong [20] đã phát triển một bộ điều khiển bền vững xử lý cả tốc độ trượt lẫn gia tốc trượt bằng cách sử dụng hệ tọa độ của độ phẳng vi phân. 1.4. Mô hình động học Xét một rô bốt di động kiểu bánh xe chịu ràng buộc nonholonomic như Hình 1.3. Cụ thể, G(xG, yG) là vị trí của tâm khối của phần cứng rô bốt di động. M(xM, yM) là trung điểm của đoạn trục thẳng nối hai bánh xe. F1, F2 là các ma sát dọc giữa bánh phải và bánh trái với mặt sàn. F3 là tổng lực ma sát tác động theo hướng ngang ở hai điểm tiếp xúc của hai bánh xe với mặt sàn. Khi không tồn tại trượt bánh xe, vận tốc tịnh tiến  và vận tốc góc  lần lượt được tính như sau [21]:     R L R L 2 2 r r b               (1.1) 5 trong đó R L,  lần lượt là tọa độ góc của bánh phải và bánh trái. Bởi vậy, động học của rô bốt di động này được biểu diễn như sau [4]: M M cos sin x y            (1.2) Ràng buộc nonholonomic của rô bốt di động đảm bảo hai yếu tố như sau:  Hướng của chuyển động tịnh tiến luôn vuông góc với trục nối hai bánh xe chủ động.  Cả chuyển động tịnh tiến lẫn chuyển động quay đều hoàn toàn phụ thuộc vào chuyển động lăn của hai bánh xe chủ động. Cụ thể, ràng buộc này có thể được biểu diễn toán học như sau [32] R M M0 cos sinr x y b        (1.3) L M M0 cos sinr x y b        (1.4) M M0 sin cosx y    (1.5) Mặt khác, khi tồn tại trượt bánh xe, vận tốc tịnh tiến theo hướng dọc được tính như sau: R L 2     (1.6) trong đó R L,  lần lượt là các tọa độ trượt dọc của bánh phải và bánh trái. Tiếp theo, vận tốc góc thực của nó được tính như sau: R L 2b        (1.7) Ta định nghĩa  là tọa độ của trượt ngang dọc theo trục bánh xe (xem Hình 1.1). Mô hình động học của rô bốt di động trong tình huống này là [30]: M M cos sin sin cos x y                 (1.8) Vì hiện tượng trượt, các ràng buộc nonholonomic bị biến dạng như sau [32]: R R M Mcos sinr x y b         (1.9) L L M Mcos sinr x y b         (1.10) M Msin cosx y     (1.11) 1.5. Mô hình động lực học Mô hình động lực học của rô bốt di động chịu ảnh hưởng của trượt bánh xe, bất định mô hình, và nhiễu ngoài được biểu diễn bởi d       Mv Bv Bv Qγ C G τ τ (1.23) Đặc điểm 1: Ma trận M có tính khả nghịch và xác định dương và thỏa mãn bất phương trình sau: 2 2T 1 2M M x x Mx x với M1 và M2 lần lượt là giá trị chặn trên và chặn dưới của ma trận M và thỏa mãn 2 1M M 0  . Đặc điểm 2: Ma trận  2  M B v là một ma trận có tính đối xứng lệch, tức là  T 2 0   x M B v x với 2 1 x R . 6  Hình 1.3. Một rô bốt di động và hiện tượng trượt bánh xe. 1.6. Kết luận chương 1 Đã có rất nhiều nhà khoa học trên khắp thế giới đã dành thời gian nghiên cứu và giải quyết vấn đề này. Tuy nhiên, phần lớn các nghiên cứu được thực hiện dưới giả thiết rằng góc trượt [36-39] và hệ số ma sát giữa bánh xe và mặt đường [29] luôn được đo chính xác trong thời gian thực. Hiển nhiên, các đại lượng gồm gia tốc tịnh tiến, gia tốc góc, vận tốc tịnh tiến, vận tốc góc đều có thể được đo trực tiếp một cách dễ dàng qua các cảm biến rẻ tiền, nhưng góc trượt và hệ số ma sát lại rất khó để đo [40]. Các phương pháp điều khiển được đề xuất trong luận án sẽ hướng tới không sử dụng các cảm biến đo góc trượt và hệ số ma sát. Thay vào đó, ảnh hưởng tiêu cực từ trượt bánh xe lên hiệu năng điều khiển bám sẽ được bù một cách gián tiếp trong các bộ điều khiển. Ở chương này, mô hình động học và động lực học của rô bốt 3 bánh xe chịu tác động nhiễu ngoài, trượt bánh xe đã được xây dựng thành công. Các mô hình này sẽ được sử dụng để thiết kế các luật điều khiển bù trượt bánh xe, bất định mô hình, và nhiễu ngoài ở các chương sau. Nội dung của Chương này được trích dẫn từ tài liệu công bố số 3. CHƯƠNG 2. THIẾT KẾ LUẬT ĐIỀU KHIỂN BÁM THÍCH NGHI DỰA TRÊN MẠNG NƠ RON BA LỚP 2.1. Đặt vấn đề Vì lý do luật điều khiển trong [33] được thiết kế trong hệ tọa độ toàn cục OXY nên nó yêu cầu phải đo các vận tốc trong hệ toàn cục này. Nhiệm vụ đo vận tốc này đã được giải quyết bằng bộ quan sát supper- twisting. Kết quả ước lượng từ bộ quan sát này có thể chứa sai lệch tích lũy trong quá trình vận hành rô bốt. Nên khả năng triển khai ứng dụng của phương pháp điều khiển trong [33] vẫn bị hạn chế. Để tránh nhược điểm này, bộ điều khiển mới được đề xuất ở đây được thiết kế trong hệ tọa độ thân rô bốt MXY. Khi đó, các biến vận tốc của rô bốt có thể được đo trực tiếp thông qua các cảm biến rẻ tiền nhưng có độ tin cậy cao. Bên cạnh đó, các vận tốc và gia tốc của trượt bánh xe đều không cần phải đo. Thay vào đó, các ảnh hưởng tiêu cực của chúng sẽ được bù bằng một luật điều khiển có sử dụng mạng nơ ron ba lớp. F2 F1 F3  Bánh trái Bánh phải Bánh thụ động a 2b F4   L  R Trục bánh xe G M Phần cứng θ 7 2.2. Cấu trúc mạng nơ ron ba lớp Hiển nhiên rằng các mạng nơ ron nhân tạo có khả năng xấp xỉ các hàm phi tuyến đủ trơn với một độ chính xác tùy ý [8]. Trong tiểu mục này, một mạng nơ ron nhân tạo 3 lớp được giới thiệu khái quát. Như được minh họa trong Hình 4.1, đầu ra của của mạng nơ ron này được tính như sau   3 T 1 2, , ,..., Ny y y   y W V  T T W σ V x trong đó 1 T 1 21, , ,..., Nx x x   x là véc tơ đầu vào, ijw   W và ijv    V lần lượt là các ma trận trọng số mạng nơ ron kết nối từ lớp đầu vào tới lớp ẩn và từ lớp ẩn tới lớp đầu ra (xem Hình 4.1). Xét một hàm liên tục   31 NN: f x R R . Tồn tại các ma trận trọng số lý tưởng, *W và V , sao cho    T T*  f x W σ V x ε (2.3) trong đó ε là véc tơ của các sai lệch xấp xỉ tối ưu. Giả sử 2.1: ε là bị chặn [8]. Cụ thể, bε với b là một hằng số dương hữu hạn nào đó. Coi    T Tˆ ˆ ˆ ˆ, , f x W V W σ V x là một ước lượng của f(x). Trong đó Wˆ và Vˆ lần lượt là các ma trận ước lượng của *W và V ; chúng đều được cập nhật online bởi các thuật toán điều chỉnh trọng số online. Để thuận tiện, ta ký hiệu  T*σ σ V x và  Tˆˆ ˆσ σ V x . Véc tơ sai số xấp xỉ hàm được tính như sau:        T T T T*ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,     f f x f x W V W σ V x ε W σ V x (2.4) 2.3. Phát biểu bài toán Gọi D(xD, yD) là mục tiêu đang di chuyển theo một quỹ đạo mong muốn với một vận tốc tịnh tiến được định nghĩa trước (xem Hình 2.2). Không mất tính tổng quát, phương trình chuyển động của D được mô tả như sau: D 0 D 0 . cos( . ) . sin( . ) D D x T t R t x y T t R t y           (2.5) trong đó , TD, R, , x0, y0 là các hằng số biểu diễn tham số của phương trình chuyển động của mục tiêu. Chú ý 2.1: trong Hình 2.2, ta ký hiệu (xP, yP) là vị trí của điểm P, (xP, yP, ) là một véc tơ mô tả cả vị trí và hướng thực của rô bốt di động. Sự hiện diện của trượt bánh xe (cả trượt dọc và trượt ngang) khiến cho bài toán điều khiển rô bốt di động sao cho cả vị trí và hướng thực (xP, yP, ) bám theo vị trí và hướng mong muốn (xPd, yPd, d) không thể được giải quyết với một hiệu năng có thể chấp nhận được [32]. Nhưng, nếu ta điều khiển rô bốt sao cho vị trí thực (xP, yP) bám theo mục tiêu D(xD, yD) thì bài toán điều khiển hoàn toàn có thể được giải quyết mặc dù tồn tại cả trượt dọc và trượt ngang [32]. 2.4. Mô tả véc tơ FTE (sai lệch bám được lọc – filtered tracking errors) Một véc tơ của các biến đầu ra được mô tả trong hệ tọa độ M-XY như sau: 1 D M 2 D M cos sin sin cos x x y y                       ζ (2.6) Đạo hàm bậc nhất của (2.6) được tính như sau: D D cos sin sin cos x y                ζ hv χ (2.7) 8 Hình 2.2. Tọa độ của mục tiêu trong hệ tọa độ gắn thân rô bốt M-XY. trong đó R L          v , 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 r r b b r r b b                           h , 2 1 2 2 R L R L b                       χ . Đạo hàm bậc hai của (2.6) được biểu diễn như sau: 1 2   ζ hv Ψ Ψ (2.8) trong đó D D D D1 D D D D cos sin sin cos sin cos cos sin x y x y x y x y                         Ψ hv , D D2 D D sin cos cos sin x y x y                     Ψ . Chú ý 2.2: Nếu 1 0  , thì h là một ma trận khả nghịch. Gọi dζ là véc tơ mong muốn của ζ . Dựa vào yêu cầu bài toán điều khiển bám nói trên và Hình 2.2, hoàn toàn có thể tính được   T d 0Cζ . Một véc tơ sai lệch bám vị trí được định nghĩa như sau:   T 1 2 de e e = ζ - ζ (2.9) Một véc tơ FTE (filtered tracking errors) được định nghĩa như sau: φ = e+Λe (2.10) trong đó Λ là một ma trận đường chéo, hằng, xác định dương, và có thể được lựa chọn tùy ý. 2.5. Cấu trúc bộ điều khiển 2Ψ trong (3.3) phụ thuộc trực tiếp vào vận tốc và gia tốc trượt bánh xe, nên nó là bất định. Vì thế, một biến phụ được đề xuất như sau:  1 d 1   κ = h ζ Λe Ψ (2.14) Mặt khác, ta có thể viết lại (1.23) như sau: 1 2 xD yD Trục OY C xM D (mục tiêu) P M Trục OX yM x P O Trục MY Trục MX y P 9 d   Mv τ Bv d τ (2.15) trong đó     d Qγ C G Bv . Tiếp theo, ta có thể chọn một luật điều khiển bằng phương pháp tính mô men như sau:  1 ˆˆ ˆ ˆ, ,     τ Mh Kφ f x W V (2.19) trong đó K là một ma trận 22 hằng, đường chéo, và xác định dương và được lựa chọn tùy ý.  ˆ ˆ ˆ, ,f x W V là đầu ra của mạng nơ ron để xấp xỉ  f x như được mô tả trong (2.4). Trong Chương này, luật cập nhật trọng số mạng nơ ron được đề xuất như sau:  T T T1ˆ ˆ ˆˆ   W H σφ σV xφ φ W (2.24)  T T2ˆ ˆ ˆ V H xφ W σ φ V (2.25) trong đó 1H là một ma trận hằng  2 3N 1 N  , xác định dương, 2H là một ma trận hằng  1 21N N  , xác định dương,  là một hằng số dương. Tất cả 1H , 2H , và  đều có thể được lựa chọn tùy ý. Hình 2.1. Cấu trúc của mạng nơ ron 3 lớp. Hình 2.2. Sơ đồ khối của toàn bộ hệ thống điều khiển vòng kín. 2.6. Phân tích tính ổn định Định lý 2.1: Đối với một rô bốt di động chịu ảnh hưởng của trượt bánh xe như được minh họa bởi mô hình động học (1.8) và mô hình động lực học (1.23), nếu luật điều khiển được mô tả bởi Hình 2.2 với tín hiệu đầu vào điều khiển được lựa chọn bởi (2.19) và các luật cập nhật trọng số mạng nơ ron được lựa chọn bởi (2.24) và (2.25), thì theo tiêu chuẩn Lyapunov và đinh lý LaSalle mở rộng [8], tín ổn định của toàn bộ hệ thống điều khiển vòng kín được đảm bảo để đạt được một hiệu năng bám mong muốn mà ở đó véc tơ sai lệch bám vị ∑ ∑ Lớp đầu vào Lớp ẩn Lớp đầu ra x1 x2 y1 y2 1  yN3 wN2N3  v1  v2  vN2  w1  w2  wN3 x N1 v 11 Bộ điều khiển WMR chịu trượt bánh xe Mục tiêu (xD, yD) e + - Phương trình (2.6) Mạng nơ ron ba lớp v  Phương trình (2.14) 10 trí lọc φ sẽ hội tụ về một lân cận nhỏ tùy ý của không trong khi tất cả các tín hiệu trong hệ thống điều khiển đều bị chặn kiểu UUB. 2.7. Kết quả mô phỏng Để minh họa tính đúng đắn của luật điều khiển trong chương này, các mô phỏng máy tính bằng phần mềm Matlab/Simulink đã được thực hiện. Rô bốt di động được mô tả bởi các tham số trong Bảng 3.1. Hơn nữa, vì mục đích so sánh, phương pháp trong Chương 3 cũng được mô phỏng trong cùng một điều kiện, cụ thể là tồn tại các bất định mô hình và nhiễu ngoài (tức d τ 0 ; M 0 ), hơn nữa các tốc độ trượt bánh xe không được đo. Không mất tính tổng quát, giả sử rằng     T d 3 sin 0,5 2,5 cos 0,4t t     τ và ˆ 0,7M M , và vận tốc trượt bánh xe   TT 2sin 1,5cos0,5 0,5R L t t       (m/s) đối với t > 0 (s). Ở thời điểm ban đầu, vị trí và hướng được giả lập trong hệ O-XY là M 0x  (m), M 0y  (m), và / 6   (rad). Đối với mạng nơ ron, để đơn giản trong xây dựng mô hình mạng nơ ron mà không giảm đi ý nghĩa xấp xỉ hàm phi tuyến bất định, lớp ẩn được lựa chọn có 10 nơ ron, bởi vậy các ma trận hệ số được lựa chọn như sau  1 11 210 H diag ,  2 5 108 H diag và 0,5  . Dưới đây là 2 ví dụ mô phỏng đã được thực hiện bằng công cụ Matlab/Simulink. Hình 2.4. Đồ thị của các tốc độ trượt theo thời gian. Bảng 2.1. Các tham số của rô bốt di động [21]. Tên biến Ý nghĩa Giá trị r Bán kính bánh xe 0,065 (m) b Một nửa trục nối hai bánh xe chủ động 0,375 (m) IG Hệ số mô men quán tính của phần cứng rô bốt di động quanh trục thẳng đứng đi qua G. 15,625 (kg.m2) IW Mô men quán tính của bánh xe xung quanh trục bánh xe 0,0025 (kg.m2) ID Mô men quán tính của mỗi bánh xe quanh trục thẳng đứng đi qua tâm bánh xe 0,005 (kg.m2) mG Khối lượng phần cứng 30 kg mW Khối lượng mỗi bánh xe 1 kg C Khoảng cách giữa M và P 0,5 m a Khoảng cách giữa M và G 0,3 m 11 Các giá trị ban đầu của các ma trận trọng số nơ ron được khởi tạo là các số ngẫu nhiên trong khoảng (0; 1) như sau  0 11 2 ˆ 0;1rand     W và  0 5 10 ˆ 0;1rand     V . Dưới đây là một ví dụ mô phỏng đã được thực hiện bằng công cụ Matlab/Simulink. Ví dụ 2.1: Mục tiêu D di chuyển theo một đường tròn với phương trình chuyển động được mô tả như sau: 2 3cos(0,2 ) 0,5 3sin(0,2 ) D D x t y t      (2.36) Các kết quả mô phỏng cho Ví dụ này được minh họa trong các Hình 2.5, 2.6, 2.7 và 2.8. Trong Hình 2.5, chúng ta có thể dễ dàng thấy rằng phương pháp được đề xuất trong Chương 2 này tỏ ra hiệu quả hơn phương pháp điều khiển của Hoang Ngoc Bach trong [33] trong việc bám quỹ đạo khi tồn tại trượt bánh xe và bất định mô hình. Hình 2.5. So sánh hiệu năng bám giữa hai phương pháp trong Ví dụ 4.1. Hình 2.6. So sánh các sai lệch bám vị trí trong Ví dụ 4.1. Để tiện việc so sánh, sai lệch bám vị trí trong [33] được quy đổi từ hệ tọa độ toàn cục OXY sang hệ t