Xử lí tín hiệu số

7CHƯƠNG 1 TÍN HIỆU SỐ VÀ HỆ XỬ LÝ SỐ Chương một TÍN HIỆU SỐ VÀ HỆ XỬ LÝ SỐ Chương một trình bầy các khái niệm cơ bản về tín hiệu và hệ xử lý tín hiệu nói chung, cũng như tín hiệu số và hệ xử lý số nói riêng, các cách biểu diễn tín hiệu số và hệ xử lý số, các phương pháp phân tích hệ xử lý số theo hàm thời gian. 1.1 Khái niệm về tín hiệu và hệ xử lý tín hiệu Để xác định đối tượng và phạm vi nghiên cứu của lĩnh vực xử lý tín hiệu số, trước hết cần nắm được các khái niệm và thuật ngữ cơ bản về tín hiệu và các hệ xử lý tín hiệu. 1.1.1 Khái niệm và phân loại tín hiệu 1.1.1a Khái niệm về tín hiệu : Tín hiệu là một dạng vật chất có một đại lượng vật lý được biến đổi theo quy luật của tin tức. Có nhiều loại tín hiệu khác nhau, ví dụ như các tín hiệu âm thanh, ánh sáng, sóng âm, sóng điện từ, tín hiệu điện ...vv... Mỗi lĩnh vực kỹ thuật thường sử dụng một số loại tín hiệu nhất định. Trong các lĩnh vực có ứng dụng kỹ thuật điện tử, người ta thường sử dụng tín hiệu điện và sóng điện từ, với đại lượng mang tin tức có thể là điện áp, dòng điện, tần số hoặc góc pha. Mỗi loại tín hiệu khác nhau có những tham số đặc trưng riêng, tuy nhiên tất cả các loại tín hiệu đều có các tham số cơ bản là độ lớn (giá trị), năng lượng và công suất, chính các tham số đó nói lên bản chất vật chất của tín hiệu Tín hiệu được biểu diễn dưới dạng hàm của biến thời gian x(t), hoặc hàm của biến tần số X(f) hay X(). 1.1.1b Phân loại tín hiệu Theo dạng của biến thời gian t và giá trị hàm số x(t), người ta phân loại tín hiệu như sau : 1. Tín hiệu liên tục x(t) là tín hiệu có biến thời gian t liên tục. Tín hiệu liên tục xác định liên tục theo thời gian, với giá trị hàm số có thể biến thiên liên tục hoặc được lượng tử hóa, và có thể tồn tại các điểm gián đoạn loại một hoặc loại hai. Trên hình 1.1a là đồ thị của tín hiệu liên tục có giá trị liên tục. Trên hình 1.1b là đồ thị của tín hiệu liên tục có giá trị lượng tử hóa từ tín hiệu trên hình 1.1a. Trên hình 1.1c là đồ thị của tín hiệu liên tục có giá trị gián đoạn loại một. a. Giá trị liên tục. b. Giá trị lượng tử. c. Giá trị gián đoạn. Hình 1.1 : Đồ thị các tín hiệu liên tục. 2. Tín hiệu rời rạc x(nT) là tín hiệu có biến thời gian gián đoạn t = nT. Tín hiệu rời rạc chỉ xác định ở những thời điểm gián đoạn t = nT, không xác định trong các khoảng thời gian ở giữa hai điểm gián đoạn. Có thể biến đổi tín hiệu liên tục x(t) thành tín hiệu rời rạc x(nT), quá trình đó được gọi là rời rạc hóa tín hiệu liên tục. Định lý lấy mẫu là cơ sở để thực hiện rời rạc hóa tín hiệu liên tục mà không làm thay đổi thông tin mang trong nó. Quá trình rời rạc hóa tín hiệu liên tục còn được gọi là quá trình lấy mẫu. t 2 4 0 x(t) t x1(t) x(n) n 8Trên hình 1.2a là đồ thị của tín hiệu rời rạc có giá trị liên tục (có thể nhận giá trị bất kỳ tại mỗi thời điểm rời rạc). Trên hình 1.2b là tín hiệu rời rạc có giá trị được lượng tử hóa từ tín hiệu trên hình 1.2a a. Giá trị liên tục. b. Giá trị được lượng tử hóa. Hình 1.2 : Đồ thị các tín hiệu rời rạc. 3. Tín hiệu lượng tử là tín hiệu chỉ nhận các giá trị xác định bằng số nguyên lần một giá trị cơ sở gọi là giá trị lượng tử. Quá trình làm tròn tín hiệu có giá trị liên tục hoặc gián đoạn thành tín hiệu lượng tử được gọi là quá trình lượng tử hóa. Trên hình 1.1b là tín hiệu liên tục được lượng tử hóa từ tín hiệu trên hình 1.1a. Trên hình 1.2b là tín hiệu rời rạc được lượng tử hóa từ tín hiệu trên hình 1.2a.. 4. Tín hiệu tương tự là tín hiệu liên tục có giá trị liên tục hoặc lượng tử. Nhiều tài liệu gọi tín hiệu tương tự theo tiếng Anh là tín hiệu Analog. Các tín hiệu liên tục trên hình 1.1a và 1.1b là tín hiệu tương tự. 5. Tín hiệu xung là tín hiệu có giá trị hàm số đoạn loại một. Tín hiệu xung có thể là tín hiệu liên tục hoặc rời rạc. Trên hình 1.1c là tín hiệu xung liên tục một cực tính, còn trên hình 1.2 là các tín hiệu xung rời rạc. 6. Tín hiệu số là một nhóm xung được mã hóa theo giá trị lượng tử của tín hiệu tại các thời điểm rời rạc cách đều nhau. Mỗi xung của tín hiệu số biểu thị một bít của từ mã, nó chỉ có hai mức điện áp, mức thấp là giá trị logic “0” , mức cao là giá trị logic “1”. Số xung (số bít) của tín hiệu số là độ dài của từ mã. Tín hiệu số có 8 bít được gọi là một byte, còn tín hiệu số có 16 bít bằng hai byte được gọi là một từ (hoặc gọi theo tiếng Anh là word). Nhiều tài liệu gọi tín hiệu số theo tiếng Anh là tín hiệu Digital. Tín hiệu số thường được mã hóa theo mã nhị phân (Binary Code), mã cơ số tám (Octal Code), mã cơ số mười sáu (Hexadecimal Code), mã nhị thập phân (Binary Coded Decimal), mã ASCII (American Standard Code for Information Interchange) .... Giá trị mã của tín hiệu số được gọi là số liệu (Data), nó chính là thông tin chứa đựng trong tín hiệu. Vậy số liệu là ánh xạ của tín hiệu số, do đó các tác động lên số liệu cũng chính là tác động lên tín hiệu. Trên hình 1.3 là đồ thị của tín hiệu số 4 bít có giá trị mã nhị phân tại thời điểm 0T là 0110 , tại 1T là 0011 , tại 2T là 1011 , .... nT x(nT) x(nT) nT Bít 3 0 0 1 1 0T 1T 2T 3T 4T 5T 6T NT NT NT NT0 0 1 1 Bít 2 Bít 1 Bít 0 9 Hình 1.3 : Đồ thị tín hiệu số bốn bit và mã nhị phân của nó. Như vậy, tín hiệu số là tín hiệu rời rạc, có giá trị lượng tử và được mã hóa. Do đó có thể biến đổi tín hiệu liên tục thành tín hiệu số, quá trình đó được gọi là số hóa tín hiệu liên tục. Quá trình số hóa tín hiệu liên tục được thực hiện qua 3 bước là : - Rời rạc hóa tín hiệu liên tục, hay còn gọi là lấy mẫu. - Lượng tử hóa giá trị các mẫu. - Mã hóa giá trị lượng tử của các mẫu. Trên hình 1.4 mô tả quá trình số hóa các tín hiệu tương tự và tín hiệu xung thành tín hiệu số 4 bít. Khi số hóa tín hiệu tương tự sẽ gây ra sai số lượng tử (xem hình 1.4a), nhưng khi số hóa tín hiệu xung thì ngoài sai số lượng tử còn có sai số về pha (xem hình 1.4b). a. Số hóa tín hiệu tương tự. b. Số hóa tín hiệu xung. Hình 1.4 : Quá trình số hóa tín hiệu liên tục. Cả ba bước của quá trình số hóa tín hiệu liên tục được thực hiện trên bộ biến đổi tương tự số, viết tắt là ADC (Analog Digital Converter). Để biến đổi tín hiệu số thành tín hiệu tương tự, sử dụng bộ biến đổi số tương tự, viết tắt là DAC (Digital Analog Converter). Tín hiệu tương tự ở đầu ra của DAC có giá trị lượng tử như trên hình 1.1b . 1.1.2 Khái niệm và phân loại hệ xử lý tín hiệu 1.1.2a Khái niệm về xử lý tín hiệu và hệ xử lý tín hiệu 1. Xử lý tín hiệu là thực hiện các tác động lên tín hiệu như khuyếch đại, suy giảm, chọn lọc, biến đổi, khôi phục .... giá trị và dạng của tín hiệu. 2. Hệ xử lý tín hiệu là các mạch điện, các thiết bị, các hệ thống dùng để xử lý tín hiệu. t n nT nT nT nT nT Bít 3 Bít 2 Bít 1 Bít 0 2 4 0 2 4 0 2 4 0 t nT nT nT nT nT nT x(t) x(nT) x(nT) Bít 3 Bít 2 Bít 1 Bít 0 2 4 0 2 4 0 2 4 0 x(t) x(nT) x(nT) 0 1 0 0 0 1 1 1 10 Vậy xử lý tín hiệu đồng nghĩa với gia công tín hiệu, và hệ xử lý tín hiệu thực hiện các tác động lên tín hiệu theo một quy luật nhất định. Hệ xử lý tín hiệu có thể chỉ là một mạch điện đơn giản, cũng có thể là những thiết bị hoặc hệ thống phức tạp. Mỗi hệ xử lý tín hiệu cho dù là đơn giản hay phức tạp đều có những đặc thù riêng phụ thuộc vào loại tín hiệu mà nó xử lý. Các loại tín hiệu khác nhau cần có các hệ xử lý tín hiệu khác nhau. Vì thế, việc phân tích và tổng hợp các hệ xử lý tín hiệu luôn gắn liền với việc nghiên cứu và phân tích loại tín hiệu mà nó xử lý. 1.1.2b Phân loại các hệ xử lý tín hiệu Các hệ xử lý tín hiệu được phân loại theo nhiều cách khác nhau, ở đây trình bầy cách phân loại theo tín hiệu mà nó xử lý. 1. Hệ tương tự : (Analog System) Là các mạch, thiết bị và hệ thống để xử lý tín hiệu tương tự. Nhiều tài liệu gọi hệ tương tự theo tiếng Anh là hệ Analog. 2. Hệ xung : (Impulse System) Là các mạch, thiết bị và hệ thống để xử lý tín hiệu xung. Hệ xung còn có thể được gọi là hệ gián đoạn theo thời gian (Discrete-Time System). 3. Hệ số : (Digital System) Là các mạch, thiết bị và hệ thống để xử lý tín hiệu số. Các hệ số không có máy tính hoặc hệ thống vi xử lý, chỉ thực hiện xử lý tín hiệu số bằng mạch phần cứng, thường được gọi là các mạch logic hoặc mạch số. Các hệ số thực hiện xử lý tín hiệu số bằng phần mềm cần có máy tính hoặc hệ thống vi xử lý. Về thực chất, việc xử lý tín hiệu số bằng phần mềm là xử lý các dãy số liệu, tức là xử lý số. Vì thế, có thể coi các chương trình chạy trên máy tính là các hệ xử lý số liệu. Trong lĩnh vực xử lý tín hiệu số, người ta thường sử dụng thuật ngữ “ hệ xử lý tín hiệu số “ (Digital Signal Processing System). hay ngắn gọn là ” hệ xử lý số “ (Digital Processing System). Để ngắn gọn và bao hàm cả hệ xử lý tín hiệu số lẫn hệ xử lý số liệu, trong sách này sử dụng thuật ngữ “ hệ xử lý số “. 4. Hệ xử lý số tín hiệu : (Digital Processing System of Signal) Hệ xử lý số tín hiệu là các mạch, thiết bị và hệ thống để xử lý cả tín hiệu số lẫn tín hiệu tương tự bằng phương pháp số. Như vậy, hệ xử lý số tín hiệu bao gồm cả hệ tương tự và hệ xử lý số. Hình 1.5 : Sơ đồ khối của hệ xử lý số tín hiệu. Sơ đồ khối của hệ xử lý số tín hiệu trên hình 1.5, trong đó phần tương tự 1 để xử lý tín hiệu tương tự. Tín hiệu tương tự sau khi được số hóa bởi ADC trở thành tín hiệu số, và sẽ được xử lý bởi phần xử lý số. DAC thực hiện biến đổi tín hiệu số thành tín hiệu tương tự, và nó được xử lý tiếp bằng phần tương tự 2. Như vậy, ADC và DAC là các phần tử nối ghép giữa phần tương tự và phần số của các hệ xử lý số tín hiệu. Trong nhiều trường hợp, tín hiệu tương tự sau khi đã được xử lý số không cần biến đổi trở về dạng tương tự, hệ xử lý số tín hiệu như vậy sẽ không có bộ biến đổi DAC và phần tương tự 2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của lĩnh vực xử lý tín hiệu số là các hệ xử lý số, cũng như tín hiệu số và các dãy số liệu. 1.2 Dãy số Dãy số được dùng để biểu diễn số liệu và tín hiệu số, cũng như để mô tả hệ xử lý số, do đó trước hết cần nghiên cứu về các dãy số và các phép toán trên chúng. 1.2.1 Các dạng biểu diễn của dãy số Phần tương tự 1 ADC Phần xử lý số DAC Phần tương tự 2 11 Dãy số có thể được biểu diễn dưới các dạng hàm số, bảng số liệu, đồ thị, hoặc dãy số liệu. Dưới dạng hàm số, dãy số x(n) chỉ xác định với đối số là các số nguyên n, dãy số không xác định ở ngoài các giá trị nguyên n của đối số. Ví dụ 1.1 : Dãy số x(n) được biểu diễn bằng hàm số :        300 301 , , )( nKhi nKhi nx - Biểu diễn dãy số x(n) dưới dạng bảng số liệu ở bảng 1.1. Bảng 1.1 Hình 1.6 : Đồ thị dãy x(n) n - ... -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ...  x(n) 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 - Biểu diễn đồ thị của dãy x(n) trên hình 1.6, - Biểu diễn dãy x(n) dưới dạng dãy số liệu :  ...,0,0,1,1,1,1,0,...)(  nx Trong đó ký hiệu  để chỉ số liệu ứng với điểm gốc n = 0. 1.2.2 Phân loại các dãy số 1.2.2a Dãy xác định và dãy ngẫu nhiên  Dãy x(n) xác định là dãy có giá trị biến thiên theo quy luật và có thể biểu diễn được bằng một hàm số toán học.  Dãy x(n) ngẫu nhiên là dãy có giá trị biến thiên ngẫu nhiên và không thể biểu diễn được bằng hàm số toán học. 1.2.2b Dãy tuần hoàn và dãy không tuần hoàn  Dãy xp(n) tuần hoàn là dãy có giá trị lặp lại và thỏa mãn biểu thức : )()( kNnxnx pp  [1.2-1] Trong đó, hệ số k có thể nhận giá trị nguyên bất kỳ, hằng số nguyên N được gọi là chu kỳ. Dãy tuần hoàn xp(n) còn các tham số sau : - Tần số lặp lại : N f 1 [1.2-2] - Tần số góc : N f  22 .  [1.2-3]  Dãy x(n) không tuần hoàn là dãy không tồn tại một số N hữu hạn để giá trị của nó được lặp lại và thỏa mãn biểu thức [1.2-1]. Tuy nhiên, có thể coi dãy không tuần hoàn là dãy tuần hoàn có chu kỳ N = . 1.2.2c Dãy hữu hạn và dãy vô hạn  Dãy x(n) hữu hạn là dãy có số mẫu N <  . Dãy x(n) hữu hạn có N mẫu được ký hiệu là x(n)N.  Dãy x(n) vô hạn là dãy có vô hạn mẫu. Khoảng xác định của dãy vô hạn có thể là n  (-  , ) ; n  (0 , ) ; hoặc n  (-  , 0). 1.2.2d Dãy một phía và dãy hai phía  Dãy x(n) là dãy một phía nếu n  (0 , ) hoặc n  (-  , 0).  Dãy x(n) là dãy hai phía nếu n  (-  , ). Ví dụ 1.2 : - Dãy     1 0 1 2)( N k knx là dãy một phía hữu hạn có độ dài N . - Dãy    N Nk knx 2)(2 là dãy hai phía hữu hạn, độ dài L = 2N + 1. - Dãy     0 3 2)( k knx là dãy một phía vô hạn. - Dãy     k knx 2)(4 là dãy hai phía vô hạn. 1.2.2e Dãy chẵn và dãy lẻ 31 2 1 40-1 x(n) n 12  Dãy x(n) là dãy chẵn nếu x(n) = x(-n) . Dãy chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung, nên còn được gọi là dãy đối xứng.  Dãy x(n) là dãy lẻ nếu x(n) = - x(-n) . Dãy lẻ có đồ thị phản đối xứng qua gốc toạ độ, nên còn được gọi là dãy phản đối xứng. 1.2.2f Dãy thực và dãy phức  Dãy x(n) thực là dãy hàm số thực. Hầu hết các dãy biểu diễn tín hiệu số và hệ xử lý số đều là dãy thực.  Dãy x(n) phức là dãy hàm số phức x(n) = a(n) + j.b(n) Mọi dãy x(n) bất kỳ có thể thuộc một hoặc nhiều nhóm trong các phân loại trên. Ví dụ 1.3 : - Dãy njenx )()(  là dãy phức, hai phía, tuần hoàn, vô hạn. - Dãy x(n) = cos(.n) là dãy thực, hai phía, tuần hoàn, chẵn, vô hạn. - Dãy x(n) = sin(.n) là dãy thực, hai phía, tuần hoàn, lẻ, vô hạn. Hình 1.7 : Đồ thị dãy x(n) của ví dụ 1.4. Ví dụ 1.4 : - Dãy x(n) trên hình 1.7 là dãy xác định, hai phía, chẵn và đối xứng, vô hạn, tuần hoàn với chu kỳ N = 5. - Dãy y(n) trên hình 1.8 là dãy xác định, một phía, không tuần hoàn, có độ dài hữu hạn N = 5. 1.2.3 Các dãy cơ bản Hình 1.8 : Đồ thị dãy y(n) Dưới đây là các dãy cơ bản được sử dụng trong xử lý tín hiệu số. 1.2.3a Dãy xung đơn vị (n) Dãy xung đơn vị (n) đối với hệ xử lý số có vai trò tương đương như hàm xung Dirăc (t) trong hệ tương tự, nhưng dãy (n) đơn giản hơn. Dãy xung đơn vị (n) có hàm số như sau :      00 01 )( nKhi nKhi n [1.2-4] (n) Hình 1.9 : Đồ thị dãy (n) Đồ thị dãy (n) trên hình 1.9. Dãy (n) chỉ có một mẫu tại n = 0 với giá trị bằng 1, nên (n) là dãy hữu hạn có độ dài N = 1. (n - 5) (n + 5) Hình 1.10 : Đồ thị các dãy (n - 5) và (n + 5) 31 2-1 4 5-2-3-4-5-6 0 . . . . . 0,60,6 6 7 8-7-8 . . . . . 1 x(n) n 0,6 -1 0,8 3 0,4 1 0 62 5 0,2 -2 1 4 y(n) n 21 1 -1-2 0 n 11 0-54-1 -2 1 0 3 5 -1-3-42 1 n n 13 Mở rộng có dãy xung đơn vị (n - k) , với k là hằng số dương hoặc âm :      knKhi knKhi kn 0 1 )( [1.2-5] Trên hình 1.10 là đồ thị của các dãy xung đơn vị (n - 5) và (n + 5) 1.2.3b Dãy bậc thang đơn vị u(n) Dãy bậc thang đơn vị u(n) đối với hệ xử lý số có vai trò giống như hàm bậc thang đơn vị 1(t) trong hệ tương tự. Dãy bậc thang đơn vị u(n) có hàm số như sau :      01 00 )( nKhi nKhi nu [1.2-6] Dãy u(n) là dãy một phía, vô hạn, và tuần hoàn với chu kỳ N = 1. Đồ thị của dãy bậc thang đơn vị u(n) trên hình 1.11. Hình 1.11: Đồ thị dãy u(n) Mở rộng có dãy bậc thang đơn vị u(n - k), với k là hằng số dương hoặc âm:      knKhi knKhi knu 1 0 )( [1.2-7] Trên hình 1.12 là đồ thị của các dãy bậc thang đơn vị u(n - 2) và u(n + 2). u(n - 2) u(n + 2) Hình 1.12 : Đồ thị các dãy bậc thang đơn vị u(n - 2) và u(n + 2) Vì dãy (n - k) chỉ có một mẫu với giá trị bằng 1 tại n = k , nên nếu lấy tổng của (n - k) với k chạy từ 0 đến  , sẽ nhận được dãy u(n). Hơn nữa, trong khoảng (0  n < ) tại mọi k luôn có : 1)().()(  kkk nuu  Nên có thể biểu diễn dãy u(n)qua dãy (n) theo biểu thức :       00 )().()()( kk kkk nunnu  [1.2-8] Dãy (n) được biểu diễn qua dãy u(n) theo biểu thức : )()()( 1 nunun [1.2-9] 1.2.3c Dãy chữ nhật rectN(n) Dãy chữ nhật rectN(n) có hàm số như sau :          )(, )(, )( 100 101 N N nKhi nKhi nrectN [1.2-10] 3-1 21 . . . . . . . . 0 1 u(n) n 0 1 2 1 -1 43 5 0 1-3 1 -2 -1 . . . .  . . . . . . . . . . . . n n 14 Dãy chữ nhật rectN(n) là dãy một phía, có độ dài hữu hạn N và xác định trong miền n  [0 , (N-1)], tuần hoàn với chu kỳ bằng 1. Đồ thị của dãy chữ nhật rectN(n) trên hình 1.13. Mở rộng có dãy chữ nhật rectN(n - k) , với k là hằng số dương hoặc âm : rectN(n) Hình 1.13 : Đồ thị dãy rectN(n)        )(, )(, )( 10 11 kNk kNk k nKhi nKhi nrectN [1.2-11] Đồ thị của các dãy chữ nhật rect4(n - 2) và rect4(n + 2) trên hình 1.14 rect4(n - 2) rect4(n + 2) n n Hình 1.14 : Đồ thị các dãy rect4(n - 2) và rect4(n + 2) Có thể biểu diễn dãy rectN(n) qua dãy (n) theo biểu thức :        1 0 1 0 )().()()( N N NN k k kkk nrectnnrect  [1.2-12] Dãy rect(n)N được biểu diễn qua dãy u(n) theo biểu thức : )()()( Nnununrect N  [1.2-13] 1.2.3d Dãy hàm sin và hàm cosin Dãy hàm sin có dạng như sau :  nnnx N 0sinsin)( 2       với N  20  [1.2-14] Dãy sin(0.n) là dãy vô hạn, hai phía, lẻ và phản đối xứng, liên tục, và tuần hoàn với chu kỳ N. Đồ thị của dãy sin(0.n) ở hình 1.15. Dãy hàm cosin có dạng như sau :  nnnx N 0coscos)( 2       với N  20  [1.2-15] Dãy cos(0.n) là dãy vô hạn, hai phía, chẵn và đối xứng, liên tục, và tuần hoàn với chu kỳ N. sin(0.n) n 1 1 650 0-2 -13 32 -3 241 1-4-1 -0,95 -0,59 321 104 0,59 -10 -5 5 0,95 -1 . . . . 1 . . . .210 (N-1) n 15 Hình 1.15 : Đồ thị dãy sin(0.n) với N = 10 1.2.4 Các phép toán đối với các dãy số 1.2.4a Phép dịch tuyến tính Định nghĩa : Dãy y(n) là dịch tuyến tính k mẫu của dãy x(n) nếu : )()( knxny  [1.2-16] - Khi k > 0 là y(n) dich trễ (chậm) k mẫu so với x(n). - Khi k < 0 là y(n) dịch sớm (nhanh) k mẫu so với x(n). Phép dịch tuyến tính dãy x(n) đi k mẫu không làm thay đổi dạng của x(n), mà chỉ đơn giản là giữ chậm hoặc đẩy nhanh nó k mẫu. Phép dịch tuyến tính còn thường được gọi vắn tắt là phép dịch. Trong xử lý tín hiệu số thường chỉ sử dụng phép dịch trễ, và gọi là phép trễ. Phép dịch sớm rất ít khi được sử dụng. Ví dụ 1.5 : Cho dãy )()( nunx  , hãy xác định các dãy : a. )()( 21  nxny b. )()( 22  nxny Giải : a. Vì k = 2 > 0 nên dãy )()()( 221  nunxny là dãy )(nu bị giữ chậm 2 mẫu, đồ thị dãy )()( 21  nuny nhận được bằng cách dịch phải đồ thị dãy )()( nunx  đi 2 mẫu theo trục tung. b. Vì k = - 2 < 0 nên dãy )()()( 222  nunxny là dãy )(nu được đẩy sớm 2 mẫu, đồ thị dãy )()( 22  nuny nhận được bằng cách dịch trái đồ thị dãy )()( nunx  đi 2 mẫu theo trục tung. Đồ thị các dãy u(n), u(n - 2) và u(n + 2) trên các hình 1.11 và 1.12. 1.2.4b Tổng đại số của các dãy Định nghĩa : Tổng đại số của M dãy xi(n) là dãy y(n) có giá trị mỗi mẫu bằng tổng đại số tất cả các mẫu tương ứng của các dãy thành phần. Kí hiệu :    M i i nxny 1 )()( [1.2-17] Ví dụ 1.6 : Cho dãy )()( 41 nrectnx  và dãy )()( 132  nrectnx , hãy xác định dãy )()()( 21 nxnxny  Giải : Có )()()()( 134 nnrectnrectny  Để thấy rõ hơn kết quả trên, xác định y(n) bằng đồ thị như trên hình 1.16. 1.2.4c Phép nhân các dãy Định nghĩa : Tích của M dãy xi(n) là dãy y(n) có giá trị mỗi mẫu bằng tích tất cả các mẫu tương ứng của các dãy thành phần. Kí hiệu :    M i i nxny 1 )()( [1.2- 18] Ví dụ 1.7 : Cho dãy )()(1 nunx  và dãy )()( 252  nrectnx , hãy xác định dãy )().()( 21 nxnxny  . Giải : Theo định nghĩa có : )()().()( 35 2 nrectnrectnuny  Để thấy rõ hơn kết quả trên, có thể giải ví dụ bằng bảng 1.2 dưới đây : Bảng 1.2 rect4(n) rect3(n - 1) y(n) = (n) Hình 1.16 : Đồ thị xác định rect4(n) - rect3(n-1) = (n) n -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x1(n) = u(n) 0 0 0 1 1 1 1 1 x2(n) = rect5(n + 2) 0 1 1 1 1 1 0 0 y(n) = x1(n).x2(n) = rect3(n) 0 0 0 1 1 1 0 0 0 3-1 421 0 3-1 421 0 3-1 421 1 1 1 n n n 16 Từ ví dụ trên có thể thấy rằng, tích của một dãy bất kỳ với dãy u(n) là một dãy bằng chính nó trong miền n  0. 1.2.4d Phép nhân một dãy với hằng số Định nghĩa : Tích của dãy x(n) với hằng số a là dãy y(n) có giá trị mỗi mẫu