Xử lý tín hiệu không gian - Thời gian

Mở đầu Vấn đề xử lý tín hiệu không gian-thời gian bắt đầu được quan tâm từ năm 1958 và được kết hợp với xử lý thích nghi vào khoảng năm 1970, nhưng việc nghiên cứu đi sâu và hình thành những hệ thống thực hiện hữu hiệu chỉ xuất hiện trong vài năm gần đây nhờ sự tiến bộ của công nghệ máy tính. Xử lý tín hiệu không gian-thời gian thích nghi được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như thông tin liên lạc, hàng không, hàng hải, địa chất, thiên văn, xử lý ảnh... Mục đích của quá trình xử lý tín hiệu không gian-thời gian thích nghi là nhằm tách lọc tín hiệu có ích ra khỏi các tín hiệu không mong muốn khác như can nhiễu, tạp âm từ một tập hợp các tín hiệu thu được. Sự loại bỏ hoàn toàn nhiễu và tạp âm và một công việc lý tưởng, không thể thực hiện được trên thực tế. Thực chất, ta chỉ có thể làm sáng rõ tín hiệu có ích trên nền các tín hiệu không mong muốn khác càng nhiều càng tốt, mà về mặt kỹ thuật được hiểu là làm tăng công suất của tín hiệu có ích trong khi làm giảm công suất của nhiễu và tạp âm. Những vấn đề lý thuyết và thực tế kỹ thuật trên đây là cơ sở chủ yếu để hình thành nội dung đề tài luận án: “Xử lý tín hiệu không gian-thời gian”. Mục tiêu của luận án là đi sâu nghiên cứu vấn đề làm cực đại hoá tỷ số tín hiệu trên nhiễu cộng tạp âm SINR, với đối tượng nghiên cứu là kỹ thuật xử lý tín hiệu không gian- thời gian thích nghi. Nhiệm vụ chính của luận án là đưa ra các kỹ thuật biến đổi không gian con, điển hình là hai phương án bộ xử lý vector riêng phụ và bộ xử lý kênh phụ, đồng thời phân tích các ưu nhược điểm của mỗi loại dựa trên các khái niệm cơ bản. Phạm vi nghiên cứu của luận án không đề cập đến tất cả lĩnh vực áp dụng của xử lý không gian- thời gian, mà chỉ nhấn mạnh về xử lý tín hiệu trong radar, bởi môi trường hoạt động của tín hiệu radar là khốc liệt nhất và điển hình nhất. Phương pháp nghiên cứu của luận án là dựa trên các lập luận giải tích, đồng thời thể hiện và kiểm chứng bằng các mô phỏng máy tính. Do đó kết qủa cuối cùng thường được đánh giá và so sánh thông qua các đồ thị đặc tính. Cấu trúc luận án gồm phần mở đầu, 3 chương và phần kết luận: Chương 1: Tổng quan về xử lý không gian và xử lý thời gian. Các khái niệm cơ bản về tín hiệu không gian và các giả thiết ban đầu. Cách biểu diễn tín hiệu không gian và miền đối ngẫu của nó trong hệ toạ độ cực. Cách biểu diễn tín hiệu không gian và miền đối ngẫu của nó trong hệ toạ độ Decade (Cartesian). Bộ tạo tia (Beamformer) và các cấu trúc cơ bản của bộ tạo tia. Mảng tuyến tính cách đều ULA. Hiệu ứng Doppler và nguyên lý phát hiện mục tiêu trong nhiễu phản xạ qua xử lý Doppler. Bank lọc Doppler. Chương 2: Xử lý tín hiệu không gian thời gian thích nghi Tổng quan về quá trình xử lý tín hiệu không gian- thời gian tối ưu. Phân tích quá trình xử lý không gian- thời gian tối ưu. Mạch lọc không gian- thời gian thích nghi. Các khái niệm và kỹ thuật liên quan trong xử lý tín hiệu không gian- thời gian thích nghi. Chương 3: Giải pháp cải thiện xử lý tín hiệu không gian- thời gian thích nghi. Nguyên lý biến đổi không gian con. Bộ xử lý vector riêng phụ AEP. Bộ xử lý kênh phụ ACP. Phần kết luận: Đánh giá các kết quả nghiên cứu và đề xuất hướng phát triển của đề tài. Chương 1 Tổng quan về xử lý không gian và xử lý thời gian 1.1.Các khái niệm cơ bản về tín hiệu không gian Tín hiệu không gian- thời gian, gọi tắt là tín hiệu không gian, là tín hiệu được mang bởi các sóng truyền lan trong không gian, như sóng điện từ, sóng âm thanh... thuộc loại tín hiệu nhiều chiều vì ngoài biến thời gian còn có các biến độc lập khác mang thông tin về vị trí không gian. Các sóng truyền lan mang tín hiệu không gian có biểu thức nhận được từ nghiệm của các phương trình sóng. Đối với sóng điện từ, phương trình sóng có thể được suy ra từ các phương trình Maxwell. Tín hiệu không gian được mang bởi các sóng truyền lan liên tục, đưa tới cho chúng ta thông tin về các sự kiện xảy ra từ một khoảng cách không gian nhất định. Chúng ta thu nhận và xử lý các tín hiệu đó bởi các hệ thống thụ động hoặc tích cực. Hệ thống thụ động thực hiện thu nhận và xử lý các tín hiệu phát ra từ một nguồn ở cách xa trong không gian (ví dụ như thiết bị thu trong hệ thống thông tin), còn hệ thống tích cực tự phát xạ ra các sóng và các sóng này bị phản xạ từ các đối tượng quay trở lại phần thu của hệ thống, mà ở đó sẽ được phân tích để xử lý tách lọc ra thông tin (ví dụ như các hệ thống radar, siêu âm). Từ đó xử lý tín hiệu không gian có thể hiểu như việc tách lọc thông tin từ các sóng truyền lan. Khái niệm này còn có thể hiểu theo một ý khác nữa là quá trình cố gắng tách biệt tín hiệu có ích khỏi tạp âm, nhiễu hay thậm chí cả các tín hiệu khác nữa. Thông thường điều này thực hiện trên cơ sở là năng lượng tín hiệu có ích có khác biệt so với các tín hiệu khác theo các biến thời gian, tần số, hướng truyền lan. Như vậy có thể áp dụng quá trình lọc số nhiều chiều để thực hiện xử lý tín hiệu không gian vì nó cung cấp một cơ chế để tách riêng tín hiệu với một tập hợp đặc biệt các thông số tiêu chuẩn ra khỏi các tín hiệu khác. 1.2. Các giả thiết ban đầu Hoàn toàn không mất tính tổng quát và để đơn giản trong phân tích, ta có thể đưa ra các giả thiết đối với tín hiệu không gian: 1.2.1. Môi trường truyền dẫn là tổn hao tối thiểu, không phân tán. Đó là môi trường không làm suy yếu tín hiệu truyền lan so với các giá trị lý tưởng nhận được từ các phương trình sóng nói trên và tốc độ truyền lan sẽ không bị thay đổi. Một môi trường phân tán sẽ làm tăng thêm sự phụ thuộc tần số vào quá trình truyền lan của sóng. Khi đó tín hiệu chuyển động đúng nhịp theo thời gian do môi trường không phân tán và có một sự liên quan trực tiếp giữa không gian và thời gian mà chúng ta có thể xác định một thông số quan trọng của tín hiệu, đó là bước sóng l được tính bởi công thức: (1.1) đây chính là quãng đường mà tín hiệu di chuyển được trong thời gian một chu kỳ. 1.2.2. Các tín hiệu truyền lan được giả thiết là sinh ra bởi 1 nguồn điểm Nghĩa là kích thước của nguồn rất nhỏ so với khoảng cách giữa nguồn và các cảm biến đo tín hiệu. Mặt khác ta luôn có giả thiết là các cảm biến đo tín hiệu cũng có kích thước không gian là một điểm (gọi là điểm thu) và đặt ngay tại tâm của hệ toạ độ không gian. Khi đó đường thẳng nối giữa nguồn điểm và điểm thu được gọi là phương truyền lan. Trường hợp có nhiều nguồn điểm và một điểm thu, thì không gian lân cận điểm thu chính là môi trường hoạt động của tín hiệu SOE (Signal Operational Environment) và tại điểm thu sẽ có sự chồng chất của các tín hiệu từ các nguồn điểm khác nhau. 1.2.3. Môi trường truyền lan là đẳng hướng Khi đó việc bức xạ năng lượng từ 1 nguồn điểm tạo thành các mặt sóng truyền lan đồng pha hình cầu. Nếu giả thiết rằng khoảng cách giữa nguồn và các cảm biến đo tín hiệu là rất lớn thì có thể suy ra rằng mặt sóng truyền lan hình cầu xấp xỉ thành mặt sóng truyền lan phẳng gọi là mặt phẳng sóng. Như vậy mặt phẳng sóng luôn vuông góc với phương truyền lan. Sự xấp xỉ này được minh hoạ như hình vẽ 1.1 Nguồn phát xạ Trường gần Trường xa . . . . Hình 1.1 1.3. Tín hiệu không gian trong hệ toạ độ cực 1.3.1. Biểu diễn tín hiệu không gian trong hệ toạ độ cực Trường hợp tổng quát, cách biểu diễn trực quan nhất của tín hiệu không gian là ở hệ toạ độ cực, đó là một hàm theo 3 chiều không gian và 1 chiều thời gian, ký hiệu là s(R,t), trong đó là biến véc tơ không gian chỉ vị trí theo toạ độ cực, với gọi là độ lớn hay khoảng cách tới gốc, là góc phương vị, là góc ngẩng. Như vậy tại một thời điểm ti , tín hiệu không gian được biểu diễn bằng một điểm trong không gian (hình 1.2) Phương truyền lan Tín hiệu tới N N-1 1 2 3 Các cảm biến Hình 1.2 Đối với các sóng truyền lan được phát ra từ một nguồn đặt tại R0 , từ phương trình sóng suy ra một nghiệm là tín hiệu không gian có dạng: (1.2) Trong đó: A – Biên độ phức. Fc – Tần số sóng mang. c – Vận tốc truyền lan của sóng. Trong biểu thức này, ngầm định công nhận một giả thiết đặc biệt về vị trí của nguồn phát sóng tín hiệu là tại vô cùng, nghĩa là , khi đó do tính chất truyền lan cách xa nguồn ta đã loại bỏ được sự phụ thuộc vào góc phương vị và góc ngẩng . Nghĩa là tín hiệu đi theo một đường thẳng từ điểm có toạ độ R0 tới gốc toạ độ (là nơi đặt điểm thu). Như vậy góc phương vị và góc ngẩng không thay đổi mà chỉ thay đổi khoảng cách r0 . Đường thẳng này chính là phương truyền lan và các mặt phẳng vuông góc với phương truyền lan chính là mặt phẳng sóng. Góc lập bởi phương truyền lan và đường thẳng đi qua gốc vuông góc với trục gốc (cùng nằm trong một mặt phẳng với phương truyền lan) được gọi là góc tới . Tất cả các tín hiệu truyền lan có cùng góc tới lập thành một mặt nón (Hình 1.2), đặc trưng bằng góc đỉnh nón và ta có: Mặc dù cách biểu diễn trong hệ toạ độ cực là dễ hình dung nhất, nhưng trong các cách biểu diễn sang miền đối ngẫu bằng các phép biến đổi lại trở nên rất phức tạp. Vì thế, khi thực hiện các phân tích tín hiệu và hệ thống, người ta thường sử dụng cách biểu diễn trong hệ toạ độ Cartesian. 1.3.2 Miền đối ngẫu của tín hiệu không gian trong hệ toạ độ cực Tương tự như định nghĩa về tần số f, đại lượng đối ngẫu của thời gian (là số lần chu kỳ thời gian trong một đơn vị thời gian) là: Trong đó T gọi là chu kỳ thời gian để chỉ thời gian thực hiện một quá trình, ví dụ như quá trình truyền lan của tín hiệu theo dạng sóng. Tần số không gian góc (hay số sóng góc) được đinh nghĩa là: (1.3) Hình 1.3 Trong đó là chu kỳ góc không gian, chính là một góc không gian quay được trong khoảng thời gian 1 chu kỳ thời gian T của chuyển động truyền lan tín hiệu sóng. Tần số không gian góc là đại lượng đối ngẫu của góc không gian và là số lần góc không gian quay được cách quãng nhau theo góc trong một đơn vị góc (Hình 1.3) Như vậy tương ứng với góc phương vị và góc ngẩng trong hệ toạ độ cực, ta cũng có các đại lượng tần số không gian góc phương vị và tần số không gian góc ngẩng . Tần số không gian khoảng cách (số sóng khoảng cách): (1.4) Trong đó R là chu kỳ khoảng cách không gian (theo phương truyền lan của tín hiệu) hay cũng chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng sóng đồng pha liên tiếp. Lúc đó, tần số không gian khoảng cách là đại lượng đối ngẫu của khoảng cách không gian và là số lần dịch chuyển qua các khoảng cách chu kỳ R theo phương truyền lan của tín hiệu sóng trên một đơn vị độ dài không gian. Theo hình 1.4, giả sử phương truyền lan của tín hiệu là trục gốc của toạ độ cực có chu kỳ khoảng cách là (bước sóng của tín hiệu truyền lan) thì tín hiệu có phương truyền lan lập với trục gốc góc tới có chu kỳ khoảng cách không gian là , khi đó tần số không gian khoảng cách của tín hiệu này là: Hình 1.4 (1.5) Như vậy với một tín hiệu truyền lan có sóng mang xác định, nghĩa là bước sóng xác định, thì tương ứng với mỗi tần số không gian khoảng cách là một góc xác định. Hay nói cách khác miền đối ngẫu của chuyển dịch vị trí không gian chính là một góc không gian. Từ các khái niệm trên, đối ngẫu với vector không gian là vector tần số không gian . Kết quả, phổ của tín hiệu không gian được xác định qua biến đổi Fourier: (1.6) và ngược lại, tín hiệu không gian s(R,t) trong (1.6) được xác định thông qua biến đổi Fourier ngược là: (1.7) 1.4. Tín hiệu không gian trong hệ toạ độ Decac 1.4.1. Biểu diễn tín hiệu không gian trong hệ toạ độ Decac (Cartesian) Trong hệ toạ độ Decac, tín hiệu không gian được biểu diễn như một hàm của vị trí không gian X và thời gian t, ký hiệu là s(X,t), trong đó X=(x,y,z) là biến vector không gian chỉ vị trí theo toạ độ Decac. Như vậy tại một thời điểm ti, tín hiệu không gian s(X,ti) được biểu diễn bằng một điểm Xi=(xi, yi, zi) trong không gian (hình 1.5) Hình 1.5 Từ hình 1.5, ta có quan hệ giữa các toạ độ không gian hệ Decac và toạ độ không gian hệ cực là: (1.8) Trong một khoảng thời gian liên tiếp, do sự truyền lan của tín hiệu, các điểm biểu diễn tín hiệu theo thời gian sẽ vạch thành đường truyền trong không gian. Sự truyền lan của tín hiệu và đường truyền tín hiệu là các hàm không gian phức tạp được giải theo các phương trình sóng, phụ thuộc vào môi trường truyền dẫn, thường rất khó phân tích trực tiếp. Mặt khác việc phân tích các hệ thống xử lý tín hiệu trong miền không gian- thời gian cũng rất phức tạp. Vì thế, trên thực tế thường biến đổi sang miền đối ngẫu. 1.4.2. Miền đối ngẫu của tín hiệu không gian trong hệ toạ độ Decac Biến đổi Fourier 4 chiều thuận ngược của tín hiệu không gian dẫn tới khái niệm tương ứng là phổ số sóng- tần số với các quan hệ: (1.9) (1.10) Trong đó: - Tần số góc, là đại lượng đối ngẫu của thời gian t. - Véc tơ số sóng (số lượng các sóng trên một đơn vị khoảng cách không gian, còn có thể gọi là tần số không gian góc) là đại lượng đối ngẫu của vector không gian X. Tương tự như trên, miền đối ngẫu của không gian- thời gian (X,t) là miền số sóng góc- tần số góc . Tần số góc có quan hệ rất quen thuộc với tần số f , đó là : Tương tự (1.5), ta có các tần số khoảng cách fx , fy , fz được xác định như sau: , , (1.11) Xét một tín hiệu điều hoà phức không gian thành phần dạng: (1.12) được gọi là tín hiệu cơ sở thành phần. Phổ của tín hiệu cơ sở thành phần trong miền số sóng- tần số theo (1.9) là một xung Đirac 4 chiều tại điểm và : (1.13) nghĩa là tại mỗi điểm trong miền số sóng- tần số tương ứng với 1 tín hiệu, chính là tín hiệu cơ sở thành phần nói trên, được truyền lan trong miền không gian- thời gian (X,t) với một tần số, tốc độ và hướng xác định riêng. Đó là, bằng cách định nghĩa vector như sau: (1.14) Khi đó có thể viết lại (1.12) thành: (1.15) Vậy là có thể hiểu như một sóng phẳng có tần số , truyền lan theo hướng .Khi đó còn được gọi là véc tơ giữ chậm. 1.5. Mạch lọc và quá trình xử lý tín hiệu không gian 1.5.1. Khái niệm chung Trong quá trình xử lý các tín hiệu không gian, mà các tín hiệu này được xét như một hàm của không gian và thời gian đã nêu trong phần trước, chúng ta thường quan tâm đến việc tách biệt các thành phần tín hiệu theo một tần số nhất định nào đó và theo một tốc độ truyền lan nhất định nào đó (cả vận tốc và hướng). Vấn đề này có thể được giải quyết như một bài toán lọc nhiều chiều, định nghĩa lý thuyết như một quá trình lọc trong không gian số sóng- tần số. Nó cũng tương tự như việc muốn tách biệt các thành phần tần số nhất định của tín hiệu thông thường (1 biến thời gian) bằng cách sử dụng các mạch lọc thông dải. 1.5.2. Đáp ứng xung và đáp ứng số sóng- tần số Tín hiệu không gian s(X, t) có phổ số sóng- tần số nhận được từ (1.9). Thực hiện xử lý tín hiệu không gian này bằng một hệ thống tuyến tính dịch chuyển bất biến 4 chiều, hay cũng chính là một mạch lọc không gian có đáp ứng xung h(X, t). Khi đó nhận được trên đầu ra của hệ thống là tín hiệu không gian f(X, t). Đáp ứng xung h(X, t) của mạch lọc này được thiết kế để cho qua các thành phần của tín hiệu quan tâm và loại bỏ các thành phần của các tín hiệu khác không mong muốn, ví dụ như nhiễu. Khi đó các tín hiệu không gian vào và ra của mạch lọc được xác định qua tích phân chập liên tục 4 chiều: (1.16) Trong miền số sóng- tần số, phổ của tín hiệu đầu ra bằng tích của phổ của tín hiệu đầu vào và đáp ứng số sóng- tần số của mạch lọc: (1.17) với là phổ của tín hiệu đầu ra và là đáp ứng số sóng- tần số của mạch lọc, là biến đổi Fourier 4-D tương ứng của f(X, t) và h(X, t). Như vậy để tách lấy các thành phần tín hiệu mong muốn, phải thiết kế được các mạch lọc có đáp ứng số sóng- tần số sao cho xấp xỉ bằng 1 trong khoảng mong muốn của không gian và xấp xỉ bằng 0 trên khoảng còn lại. Nếu chúng ta muốn chọn lọc lấy các thành phần tín hiệu trên một dải tần số hẹp nào đó xung quanh tần số , không kể tới vận tốc hay hướng truyền lan, thì sẽ có dạng của một đáp ứng tần số thông dải 1 chiều mà nó không phụ thuộc vào . Còn nếu chúng ta muốn chọn lọc lấy các thành phần tín hiệu chỉ theo một số hướng truyền lan hẹp nào đó trong không gian với vận tốc truyền lan nhất định, thì sẽ có dạng của một đáp ứng số sóng thông dải 3 chiều trên miền số sóng mà nó không phụ thuộc vào tần số . Trong trường hợp tổng quát nhất, nếu chúng ta muốn chọn lọc lấy các thành phần tín hiệu với 1 tần số, vận tốc và hướng truyền lân cận một giá trị nhất định nào đó , thì sẽ có dạng của 1 đáp ứng số sóng- tần số thông dải 4 chiều trên miền số sóng- tần số mà tâm dải thông của nó chính là . 1.6. Bộ tạo tia (Beam Former) 1.6.1.Bộ tạo tia- Mạch lọc không gian điển hình Hình 1.6 Bộ tạo tia là một dạng điển hình của mạch lọc không gian, mà nó có thể được áp dụng một cách thích hợp cho tín hiệu mang bởi các sóng truyền lan. Mục đích của một hệ thống tạo tia là nhằm tách các thành phần tín hiệu truyền lan theo một hướng nhất định nào đó. Từ giả thiết môi trường tổn hao tối thiểu, không phân tán, nên các sóng đều truyền lan với cùng một tốc độ c, hay nói cách khác tín hiệu quan tâm nằm trên mặt của hình nón trong không gian . Mặt khác, trong trường hợp lý tưởng bộ tạo tia có đặc tính định hướng theo véc tơ . Như vậy, dải thông của bộ tạo tia là phần giao nhau của mặt nón và mặt phẳng chứa vector hướng như mô tả trên hình 1.6. Thực hiện vật lý bộ tạo tia là một mảng gồm N cảm biến đặt trong không gian để thu nhận và xử lý các tín hiệu không gian. Các cảm biến này trong trường hợp thực tế cụ thể có thể là một chấn tử antenna, micro thu thanh... và nói chung là một thiết bị cảm nhận được tín hiệu mang bởi sóng truyền lan. Cảm biến thứ i đặt tại toạ độ Xi và tín hiệu mà nó cảm nhận được ký hiệu là ri(t). Vì vị trí xác định của các cảm biến, nên chúng thực hiện lấy mẫu của tín hiệu không gian s(X, t). Nếu giả sử rằng quá trình lấy mẫu là lý tưởng thì tín hiệu cảm nhận được trên 1 cảm biến ri(t) là: ri(t)= s(X, t) (1.18) Tín hiệu đầu ra của mỗi cảm biến được nhân với một trọng số dạng: (1.19) Cuối cùng, tín hiệu trên các nhánh được tổng hợp lại thành 1 tín hiệu đầu ra của bộ tạo tia. Do các trọng số là phức, được biểu diễn dưới dạng góc pha và biên độ, nên có thể chia các mạch lọc không gian thành một số cấu trúc cơ bản như sau. 1.6.2. Các cấu trúc cơ bản của bộ tạo tia 1.6.2.1. Cấu trúc trễ- lấy tổng Đây là cấu trúc đơn giản nhất của bộ tạo tia, còn gọi là cấu trúc không phụ thuộc tần số, có dạng như hình 1.7 Hình 1.7 Tín hiệu đầu ra là: (1.20) trong đó: wi – Trọng số. - Thời gian trễ đặt lên tín hiệu nhận được trên cảm biến thứ i. Thời gian trễ có ý nghĩa xác định tâm dải thông không gian của bộ tạo tia. Chúng hướng bộ tạo tia theo một hướng nhất định trong không gian, nên thường hay được gọi là độ trễ lái tia. Như vậy, bộ tạo tia sẽ cho đi qua các mặt phẳng sóng truyền lan theo một hướng nhất định nào đó với vector giữ chậm , khi thời gian trễ trên từng nhánh được xác định theo: (1.21) 1.6.2.2. Cấu trúc lọc – lấy tổng Trong một số trường hợp, các thành phần tín hiệu có thể được xử lý khác nhau theo tần số, khi đó các trọng số sẽ phụ thuộc vào tần số, ký hiệu là và biến đổi ngược Fourier tương ứng là . Các cấu trúc như vậy gọi là cấu trúc lọc- lấy tổng, hay còn gọi là cấu trúc phụ thuộc tần số. Trên cảm biến thứ i, tín hiệu thành phần với tần số có thể viết là , trong đó là biến đổi Fourier của tín hiệu cảm nhận được ri(t). Từ hình 1.11, tương tự như (1.20), ta có tín hiệu đầu ra của bộ tạo tia lọc- lấy tổng tại tần số là: (1.22) Để áp dụng toán tử tạo tia phụ thuộc tần số đối với tất cả các tần số, trong (1.22), thay bằng và lấy tích phân theo tần số, ta có: (1.23) trong đó, để đơn giản, ta đã đặt: (1.24) Nếu áp dụng định lý tổng chập, ta có thể viết là: (1.25) Từ (1.25), tín hiệu được xác định như quá trình lọc tín hiệu thu được bởi một mạch lọc có đáp ứng xung , chính vì thế và từ (1.23), bộ tạo tia trường hợp này có tên gọi là lọc và lấy tổng. 1.6.3. Đáp ứng số sóng- tần số và khái niệm giản đồ hướng 1.6.3.1. Đáp ứng số sóng- tần số của cấu trúc trễ- lấy tổng Khảo sát đáp ứng của bộ tạo tia cấu trúc trễ- lấy tổng đối với một tín hiệu không gian s(X, t) đến từ một phía bất kỳ nào đó theo vector giữ chậm . Sau khi lấy mẫu và làm trễ trên từng nhánh của bộ tạo tia trở thành . áp dụng công thức (1.10), ta có: (1.26) Từ (1