Luận văn K - Lý thuyết đối với không gian phân lá của phân lá Reeb và một vài MD - Phân lá

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hiếu Thảo Chuyên ngành : Hình học và tôpô Mã số : 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. LÊ ANH VŨ Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU A B hợp rời của A và B Ab phạm trù các nhóm aben A hoặc A   đại số bổ sung đơn vị của   đại số A A A H  tích xiên của A và H bởi tác động  ( )C X   đại số các hàm phức liên tục trên X ( , )C V F   đại số liên kết với phân lá ( , )V F ( , )cC H A các hàm phức liên tục có giá compact từ H vào A 0 ( , )C A   đại số các hàm liên tục từ  vào A triệt tiêu ở vô cùng 0( )C X   đại số các hàm phức liên tục trên X triệt tiêu ở vô cùng ( , )Ext B J KK nhóm của Kasparov S không gian đối ngẫu của không gian S  không gian Hilbert Index A chỉ số của *  đại số A ( )k    đại số các toán tử compact trên  ( )iK A iK  nhóm của   đại số A ( )  các toán tử tuyến tính bị chặn trên  2 ( )L  không gian các hàm thực bình phương khả tích ( )nM A đại số các ma trận vuông cấp n trên đại số A 2 xuyến hai chiều ( , )V F phân lá F trên đa tạp V Xˆ compact hóa một điểm của không gian X MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Đa tạp phân lá là một nhánh tương đối mới mẻ thuộc lĩnh vực Hình học vi phân. Mặc dù ở địa phương, mọi phân lá k chiều trên một đa tạp vi phân n chiều đều hoàn toàn giống nhau cụ thể là chúng luôn có “dáng điệu” của phân lá tầm thường nhưng trên toàn cục thì chúng có thể rất khác nhau. Bởi thế, khi nghiên cứu phân lá, ta chỉ quan tâm đến các vấn đề toàn cục, tức là nghiên cứu những yếu tố bất biến qua các phép tương đương tôpô. Chẳng hạn như tìm hiểu số các lá đóng, lá tuần hoàn, lá trù mật hay lá compact, ... của từng kiểu phân lá. Một yếu tố phản ánh khá tốt thông tin của phân lá ( , )V F là không gian lá V F của phân lá đó. Tuy nhiên, dù các đa tạp phân lá có tôpô tốt (do có cấu trúc vi phân), nhưng không gian lá của nó thường lại rất xấu, có thể không Hausdorff, thậm chí là không nửa tách. Mà ta đã biết, khi tính K  lý thuyết hình học của một không gian tôpô X , ta hay thay X bởi một   đại số 0 ( )C X . Với tôpô xấu của V F thì cách thay thế này không còn phù hợp vì 0 ( )C V F không cho ta thông tin cần thiết về phân lá ( , )V F . Đây là một cản trở lớn trong nghiên cứu tôpô phân lá. Để khắc phục nhược điểm trên, Alain Connes đã liên kết chính tắc một phân lá ( , )V F với một   đại số ( , )C V F nhưng vẫn cho ta thông tin cần thiết về phân lá ( , )V F . Cần chú ý rằng trong trường hợp phân lá cho bởi phân thớ :p V B (có không gian lá là B với tôpô tốt) thì K  lý thuyết của ( , )C V F chính là K  lý thuyết hình học của không gian lá V F B như thông thường. Khái niệm   đại số có nguồn gốc vật lý và do Gelfand – Naimark đưa ra năm 1943. Việc mô tả các   đại số cũng hết sức khó khăn. Một trong những phương pháp mô tả hiệu quả các   đại số là phương pháp K  hàm tử do Đỗ Ngọc Diệp đưa ra vào năm 1974. Nhờ phương pháp này các nhà toán học đã mô tả được khá nhiều các   đại số. Việc dùng phương pháp K  hàm tử để mô tả   đại số liên kết của một phân lá gọi là K  lý thuyết của phân lá đó. Ta đã biết K  lý thuyết của một số phân lá đơn giản đã được giải quyết. Năm 1980, Pimsner và Veiculeseu đã tính K  lý thuyết của phân lá Kronecker. Ngay sau đó,   đại số liên kết của phân lá Reeb trên 3S cũng được mô tả. Năm 1984, A. M. Torpe đã giải quyết cho các phân lá Reeb trên 2 . Đến năm 1990, Lê Anh Vũ cũng thành công trong trường hợp phân lá tạo bởi các K  quĩ đạo chiều cực đại của lớp nhóm Lie 4MD . Sau khi tìm hiểu và nhìn nhận vấn đề, chúng tôi thấy thú vị với việc mô tả   đại số tương ứng của phân lá bằng phương pháp K  hàm tử và nó vẫn là việc làm mở đối với nhiều phân lá. Vì vậy, với luận văn tốt nghiệp này, chúng tôi quyết định tìm hiểu công việc trên và đã chọn đề tài “ K  Lý thuyết đối với không gian phân lá của phân lá Reeb và một vài MD  phân lá”. 2. Nội dung và phương pháp nghiên cứu Nội dung chính của luận văn là tìm hiểu kĩ thuật tính K  lý thuyết của Torpe cho một số phân lá đơn giản trên trụ 1[0,1] S và trên xuyến 2 . Ngoài ra, vì các phân lá này đều nhận được bởi tác động của nhóm Lie  và khi tính K  lý thuyết thì các   đại số liên kết với chúng đều nhúng được chính tắc vào một mở rộng một tầng. Nên chúng tôi đã mở rộng hơn phạm vi các phân lá bởi việc tìm hiểu công trình của Lê Anh Vũ về K  lý thuyết của phân lá kim cương thực. Phân lá này là một MD  phân lá được cho bởi tác động của 2 và   đại số của nó không nhúng được vào một mở rộng đơn mà phải dùng đến dãy mở rộng lặp hai tầng. Về phương pháp nghiên cứu, trước tiên chúng tôi phân tích một số công trình nghiên cứu có liên quan để khái quát được con đường chung của quá trình tính K  lý thuyết của một phân lá. Sau đó chúng tôi cố gắng cụ thể hóa quy trình chung đó cho một số phân lá cụ thể để từ đó vấn đề được sáng tỏ hơn. 3. Ý nghĩa khoa học của luận văn Đến nay số lượng công trình về tính K  lý thuyết của phân lá còn khá khiêm tốn, K  lý thuyết của rất nhiều phân lá vẫn chưa được nghiên cứu. Do vậy, luận văn ít nhiều cung cấp được các kiến chuẩn bị hữu ích cho những độc giả mới bắt đầu tìm hiểu K  lý thuyết của phân lá. Đồng thời với việc mô tả các   đại số bằng phương pháp K  hàm tử, ở gốc độ nào đó luận văn tiếp cận được một số vấn đề của đại số toán tử. 4. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, 3 chương nội dung và phần kết luận. Phần mở đầu: Khái quát lịch sử và nội dung vấn đề, cũng như phạm vi và phương pháp nghiên cứu đề tài. Chương 1: Gồm một số vấn đề cơ bản về   đại số và K –lý thuyết của chúng. Ở đây chúng tôi chỉ trình bày các vấn đề và tính toán cần thiết cho chương 3. Chương 2: Gồm một số vấn đề về tôpô phân lá và K –lý thuyết của phân lá. Chương này cũng đóng vai trò cung cấp các kiến thức chuẩn bị cho chương 3. Chương 3: Chương này chứa nội dung chính của luận văn, trình bày K –lý thuyết của các thành phần Reeb, vài phân lá trên xuyến 2 và phân lá kim cương thực. Phần kết luận: Chúng tôi khái quát lại các vấn đề đã làm trong luận văn và nêu lên hướng nghiên cứu mà chúng tôi sẽ tiếp tục sau khi hoàn thành luận văn này. 5. Ký hiệu trong luận văn Các ký hiệu được dùng trong luận văn này hoặc là các ký hiệu thông dụng có liệt kê trong Danh mục các ký hiệu hoặc sẽ được giải thích khi dùng lần đầu. Để trích dẫn một kết quả hay tài liệu tham khảo, chúng tôi cũng viết theo các quy cách chung. Chẳng hạn, nếu ghi “2.1.3” có nghĩa là tiểu mục 3 trong mục 1 ở chương 2, còn nếu ghi “[1, tr.44 45]” tức là chỉ từ trang 44 đến trang 45 của tài liệu tham khảo số 1. Chương 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ KLÝ THUYẾT CỦA   ĐẠI SỐ Trong chương này, phần đầu chúng tôi trình bày tóm tắt một số kiến thức chuẩn bị về   đại số cần thiết cho các tính toán ở các chương 2 và 3. Bên cạnh đó, cùng với việc xây dựng các K  nhóm và các dãy khớp K  nhóm, chúng tôi có tính chi tiết các K  nhóm của một vài   đại số như  , 1( )C S , 0 ( )C  hay ( )nM  . Đây chính là xuất phát điểm để chúng tôi tính toán các K  nhóm được đề cập đến trong phần chính của luận văn. Một trình bày đầy đủ hơn về nội dung của chương này, độc giả quan tâm có thể tham khảo trong [4], [5], [10] và [12]. 1.1 Một số vấn đề về   đại số Mục tiêu của phần này là cung cấp cho độc giả các ví dụ kinh điển về   đại số cùng với hai dạng tích thớ và tích xiên của nó. Các   đại số liên kết của các phân lá được xét đến trong luận văn của chúng tôi đều có một trong hai dạng này. 1.1.1 Định nghĩa (xem [10, tr.35 37]) Một   đại số A là một đại số Banach trên trường số phức  cùng với ánh xạ đối hợp : A A, x x   thỏa mãn các tính chất sau: (i) Với x, y A,  , ta có: ( )x y x y     , ( )xy y x   , ( )x x   và ( )x x   . (ii) Thỏa   đồng nhất 2*x x x (điều này tương đương với 2*x x x ). Một ánh xạ tuyến tính bị chặn : A B  giữa các   đại số được gọi là một đồng cấu nếu với x, y A  , ta có ( ) ( ) ( )xy x y   và ( ) ( )x x   . Từ   đồng nhất ta suy ra  bị chặn với chuẩn 1 . 1.1.2 Các ví dụ (i) Đại số ( )nM  là một   đại số nếu xét các ma trận như là các toán tử trên không gian Euclide n , và dùng chuẩn toán tử  sup ( ) : , 1nf f v v v   cho các ma trận. Còn ánh xạ đối hợp chính là phép chuyển vị và liên hợp : A A  . (ii) Không gian ( )  các toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert  là một   đại số với ánh xạ đối hợp : x x  là toán tử phụ hợp của toán tử x :   . (iii) Xét không gian Hausdorff compact địa phương X , không gian 0( )C X các hàm liên tục nhận giá trị phức trên X triệt tiêu ở vô cùng làm thành một   đại số giao hoán với phép nhân, phép cộng và phép đối hợp theo từng điểm. 0( )C X có đơn vị nhân khi và chỉ khi X compact. Tuy nhiên trường hợp X Hausdorff compact địa phương thì 0 ( )C X vẫn có phần tử đơn vị xấp xỉ như sau: Xét tập định hướng các tập con compact của X , với mỗi tập compact K ta ký hiệu Kf là hàm đồng nhất 1 trên K . Các hàm như vậy tồn tại theo định lí mở rộng Tietze và X luôn được phủ bởi các tập compact K như thế, ta gọi { }K Kf là phần tử đơn vị xấp xỉ của   đại số 0( )C X . Ta có kết quả quan trọng về các   đại số như sau: Định lí GelfandNaimark. A là một   đại số giao hoán có đơn vị nếu và chỉ nếu ( )A C X ,   đại số các hàm phức liên tục trên không gian Hausdorff compact X . Và A là một   đại số nếu và chỉ nếu A đẳng cấu với một đại số con đóng của ( )  ,   đại số các toán tử bị chặn trên một không gian Hilbert  . (iv) Xét  là không gian Hilbert vô hạn chiều khả tách. Đại số ( )k  các toán tử compact trên  là một đại số con đóng với chuẩn của   đại số ( )  . ( )k  cũng đóng với phép đối hợp nên nó cũng là một   đại số. 1.1.3 Tích xiên (xem [4, tr.175 177]) Cho A là một   đại số, H là nhóm Lie compact địa phương và : H AutA  là một tác động liên tục của H lên A . Tức là với mỗi h H , h AutA  là một  tự đẳng cấu của A và với mỗi a A , ánh xạ ( )hh a liên tục theo chuẩn. Khi đó, ta xác định một   đại số A A H  gọi là tích xiên của A và H bởi tác động  như sau: Xét không gian véctơ ( , )cC H A (các hàm phức liên tục có giá compact từ H vào A) với phép nhân và phép đối hợp như sau ( dh là độ đo Haar trái trên H ):  1 11 2 1 1 2 1 1. ( ) ( ). ( )hf f h f h f h h dh   , với 1 2, ( , ),cf f C H A h H  ,  1 1( ) ( ) . ( )hf h h f h     , với đồng cấu * 1: , ( ) ( ). ( )H d h h d h   . Khi đó ( , )cC H A là một đại số. Ta sẽ xây dựng một chuẩn trên ( , )cC H A . Một biểu diễn hiệp biến  của ( , )A  là một cặp gồm một biểu diễn unita A của A và một biểu diễn H của H trên một không gian Hilbert sao cho:  1( ). ( ). ( ) ( ) , ,H A H A hh a h a h H a A          Với mỗi  ta định nghĩa một biểu diễn đối hợp  của ( , )cC H A như sau:  ( ) ( ) . ( ) , ( , )A H cf f h h dh f C H A     Khi đó ta định nghĩa A là   đại số bổ sung của đại số ( , )cC H A bởi chuẩn  sup ( ) :f f   (với  là biểu diễn hiệp biến của ( , )A  ). Tính chất của tích xiên: (i) Nếu f : A B là một đồng cấu H  đẳng biến giữa các   đại số, thì nó sẽ cảm sinh một đồng cấu đối ngẫu  fˆ : A B xác định bởi công thức:    ˆ ( ) ( ) ( )f a h f a h , với ( , ),ca C H A h H    . (ii) Nếu 0 0jJ A B    là một dãy khớp ngắn (chẻ ra) H  đẳng biến ( H tác động liên tục lên các   đại số J ,A,B ), thì dãy các tích xiên sau đây cũng khớp (chẻ ra) 0 0ˆ ˆjJ H A H B H      . 1.1.4 Tích thớ Cho 1 2A ,A ,A' là các   đại số, : ' ( 1,2)i iA A i   là các đồng cấu.   đại số A và cặp đồng cấu : ( 1,2)i ip A A i  được gọi là tích thớ (hay còn gọi là sơ đồ kéo lại) của cặp 1 2( , )  nếu thỏa 2 điều kiện sau: (i) Có sơ đồ giao hoán: 1 2 1 2 1 2 p p A A A A'       (ii) Bộ ba 1 2( , , )A p p có tính chất phổ dụng, tức là với mọi bộ ba 1 2( , , )B q q có tính chất tương tự và làm cho sơ đồ sau giao hoán: 1 2 1 2 1 2 q q B A A A'       Thì tồn tại duy nhất một đồng cấu : B A  sao cho ( 1,2)i ip q i   . 1.2 Một số vấn đề về K lý thuyết K  lý thuyết đại số là một lý thuyết đồng điều suy rộng và việc tìm hiểu K  lý thuyết là một vấn đề không hề dễ dàng. Tuy nhiên, vì mục tiêu của luận văn, ở đây chúng tôi chỉ trình bày một cách đơn giản nhất việc xây dựng K  lý thuyết cho một   đại số. Các ví dụ trong phần này đều là các kết quả cần thiết cho việc tính toán K  lý thuyết của các phân lá trong chương 3. 1.2.1 Phân thớ véctơ (xem [5, tr.4 9]) Một phân thớ véctơ n chiều trên không gian Hausdorff compact X là cặp ( , )E p gồm không gian tôpô E và ánh xạ liên tục p : E X thỏa các điều kiện sau: (i) Mỗi x X , thớ 1( )xE x  trên X có cấu trúc của một không gian véctơ n chiều. (ii) Tất cả các thớ được “buộc” với nhau một cách liên tục bởi các tầm thường địa phương. Các ví dụ cơ bản của phân thớ véctơ là phân thớ tiếp xúc TM và phân thớ đối tiếp xúc TM  trên một đa tạp compact M , ví dụ 1 1{( , ) : . 0}n n nTS x v S x v     . Trong luận văn này chúng ta chỉ xét các phân thớ véctơ phức. Nếu ( , )E p là một phân thớ véctơ trên X , một nhát cắt của E là một hàm liên tục f : X E sao cho ( ) ,xs x E x X   . Tập ( )E các nhát cắt của E có cấu trúc không gian véctơ một cách tự nhiên với ( )( ) ( ) ( )s t x s x t x      , trong đó tổ hợp tuyến tính trong vế phải được thực hiện trong không gian véctơ xE . Thực ra ( )E là một môđun trên ( )C X theo cách tự nhiên với ( . )( ) ( ). ( )f s x f x s x . Định lí Serre Swan. Nếu ( , )E p là một phân thớ véctơ trên không gian Hausdorff compact X , thì ( )E là một môđun xạ ảnh hữu hạn sinh trên ( )C X (tức là tồn tại 1 2, ,..., ( )ns s s E sao cho 1( ) ( ).n iiE C X s   ). Ngược lại, mọi môđun xạ ảnh hữu hạn sinh trên ( )C X đều có dạng này. 1.2.2 Xây dựng các Knhóm (xem [12, tr.144 154]) Xét A là một   đại số có đơn vị, thì một cách tự nhiên ( )nM A cũng là một   đại số có đơn vị, các phép toán đại số là các phép toán thông thường và chuẩn trên ( )nM A cũng thu được một cách tự nhiên. Do đó, nếu nhúng ( )A   (   đại số các toán tử bị chặn trên không gian Hilbert  ), thì ta có thể nhúng  ( ) ( ) ( ... )n nM A M        ( n lần), ta sẽ đồng nhất ( )nM A với “góc Tây Bắc” của 1( )nM A bởi 00 0 x x     . Ta ký hiệu  ( ) ( )n nP A P M A và  ( ) ( )n nU A U M A trong đó ( )P B (tương ứng ( )U B ) ký hiệu tập hợp các phép chiếu 2{ : }p B p p p   (tương ứng các phần tử unita { : 1}u B u u uu    ) trong một   đại số B bất kì. Xem ( )nP A và ( )nU A theo thứ tự bao hàm trong 1( )nP A và 1( )nU A qua phép đồng nhất 0 0 0 p p     và 0 0 1 u u     , ta lần lượt ký hiệu các tập 1( ) ( )nnP A P A    , 1( ) ( )nnM A M A    và 1( ) ( )nnU A U A  . Mọi Amôđun xạ ảnh hữu hạn sinh đều có dạng 1{ ( ) : }p nV M A p     với ( )np P A và số nguyên dương n , ở đây hiển nhiên A tác động lên pV theo quy tắc ( . )i ia a  . Với , ( )p q P A , thì ( ( ) : , )p qV V u M A u u p uu q       , khi đó ta viết p q . Mệnh đề. Tập thương 0( ) ( )A P A K có cấu trúc một vị nhóm aben với phép cộng [ ] [ ] [ ]p q p q   và có đơn vị là [0]. Ta đã biết, nếu S là một vị nhóm aben, thì tập { : , }a b a b S  các hiệu hình thức trong S , trong đó ( ) ( ),a b c d a d f c b f f S          , làm thành một nhóm, gọi là nhóm Grothendieck của S . Định nghĩa. Nếu A là một   đại số có đơn vị, ta định nghĩa: (i) 0 ( )K A là nhóm Grothendieck của vị nhóm aben 0( )AK . (ii) 1( )K A là nhóm thương của nhóm ( )U A trên nhóm con chuẩn tắc (0)( )U A (thành phần liên thông của phần tử đơn vị trong ( )U A ). Khi đó 1( )K A cũng là một nhóm aben với phép toán như sau: 0 1 0 [ ] [ ][ ] [ ], , ( ) 0 1 0 u uv u v u v u v U A v                         Một số tính chất của các K nhóm: (i) ( 0,1)iK i  là các hàm tử hiệp biến từ phạm trù các   đại số đến phạm trù Ab các nhóm aben, tức là nếu ( , )Hom A B  là một đồng cấu giữa các   đại số, thì tồn tại các đồng cấu nhóm *( ) : ( ) ( ) ( 0,1)i i iK K A K B i    thỏa mãn các điều kiện của hàm tử. (ii) Một môđun xạ ảnh hữu hạn sinh trên  (vành chính) đều được đặc trưng bởi số phần tử sinh của nó, do đó 0( )  K , nên ta có 0( )K   . Ta cũng có ( )U  liên thông đường vì một ma trận unita bất kì trong ( )nM  đều biến đổi được về ma trận đơn vị nI bằng các phép biến đổi sơ cấp (tức nối được với nI ). Do đó, (0)( ) ( )n nU U  hay 1( ) {0}K  . (iii) Nếu 0: ( ), ( ) 0 0n a A M A a        , thì  * : ( ) ( )i i nK A K M A  là đẳng cấu nhóm. (iv) Bất biến đồng luân. Nếu { : [0,1]}t t  là một họ liên tục các đồng cấu từ A đến B (tức là tồn tại một đồng cấu  ( ) ([0,1], )ta t a C B   ), thì 0 1( ) ( )   . Từ điều này ta suy ra, nếu X ,Y là hai không gian Hausdorff compact đồng luân, thì hai   đại số của chúng đẳng cấu, ( ) ( )C X C Y , nên    ( ) ( )i iK C X K C Y . (v) Đẳng cấu ThomConnes. Nếu n (nhóm Lie trung bình hóa) tác động liên tục  lên   đại số A , thì ta có các đẳng cấu nhóm : ( ) ( )i ni i nK A K A    . Trường hợp 1n  , ta có 1: ( ) ( ).i i iK A K A    Ví dụ. Nếu X là không gian co rút được thì  ( ) ( )i iK C X K  . Thật vậy, ta gọi { : [0,1]}th t là phép đồng luân với 1 0 0, ( ) , .Xh id h x x X x X     Xét    : ( ) ( ), ( ) ( ) ( )t t tC X C X f x f h x   , thì 1 ( )C Xid  và 0( )f là hàm hằng 0( ), ( )f x f C X  . Nếu ta xét ánh xạ nhúng : ( ), ( )j C X j  là hàm hằng nhận giá trị bằng  , và ký hiệu 0 0 0: ( ) , ( ) ( )ev C X ev f f x  , thì ta có các biểu đồ giao hoán sau: 0 0 0 ( ) ( ) ev evj id C X C X     và    0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i ev evj id i i K C X K C X K K          Vì 0 1( ) ( ) id    , nên từ sơ đồ thứ hai ta thấy ngay j là đẳng cấu và 1 0( ) ( )j ev    . Bây giờ ta xét các   đại số không có đơn vị A (tương ứng với việc xét các phân thớ véctơ trên các không gian Hausdorff compact địa phương không compact). Nếu A là một   đại số, thì A A   là một   đại số có đơn vị với phép nhân và chuẩn như sau: ( , ).( , ) ( , )x y xy y x       và  ( , ) sup : , 1x xa a a A a     Với phép cộng và phép đối hợp theo từng thành phần và đơn vị là (0,1) . Hơn nữa ánh xạ : , ( , )A x      là một đồng cấu giữa các *  đại số có đơn vị và ker A.  Ví dụ. Xét 0 ( )A C X là đại số các hàm liên tục triệt tiêu ở vô cùng trên một không gian Hausdorff compact địa phương X , thì A chính là ˆ ˆ( ), { }C X X X   là không gian compact hóa một điểm của X , và ( ) ( )f f   . Với   đại số không có đơn vị A , ta định nghĩa ( ) keriK A  trong đó : ( ) ( ) ( 0,1)i iK A K i    . 1.2.3 Dãy khớp 6 thành phần trong K lý thuyết Nếu 0 0jJ A B    (1.1) là dãy khớp ngắn các   đại số, thì tồn tại một dãy khớp 6 thành phần các K  nhóm liên kết với dãy khớp ngắn trên: 0 1 1 1 1 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j j K J K A K B K B K A K J               (1.2) Trong đó, ( 0,1)i i  được gọi là các đồng cấu nối. Trường hợp đặc biệt khi dãy khớp trên chẻ ra (tức là tồn tại một đồng cấu s : B A sao cho Bs id  ) thì  cũng là một toàn cấu, và khi đó cả 2 đồng cấu nối đều là đồng cấu không. Do đó dãy khớp 6 thành ph