Luận văn Một số bài tập lý thuyết nhóm

Trong chương trình, chúng em đã được học môn “ Lý Thuyết Nhóm”. Nhưng do thời gian trên lớp có hạn nên ở học phần này chúng em chỉ nghiên cứu một số nhóm và làm một số bài tập. Đối với em, lý thuyết nhóm là một môn rất hay và tạo cho em nhiều hứng thú khi học, điều này gợi cho em muốn học hỏi , biết nhiều hơn về lý thuyết nhóm. Được sự gợi ý của giáo viên hướng dẫn, em đã mạnh dạn chọn đề tài “ Một số bài tập lý thuyết nhóm” với mong muốn được hiểu nhiều hơn về lý thuyết nhóm.

doc88 trang | Chia sẻ: ngtr9097 | Ngày: 11/06/2013 | Lượt xem: 1912 | Lượt tải: 5download
Tóm tắt tài liệu Luận văn Một số bài tập lý thuyết nhóm, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN TOÁN LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: MỘT SỐ BÀI TẬP LÝ THUYẾT NHÓM Giáo viên hướng dẫn Sinh viên: Lê Thị Đồ ThS.Nguyễn Hoàng Xinh MSSV: 1050023 Lớp: Sư phạmToán 01-K31 CẦN THƠ 2009 NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Ngày….. tháng…năm 2009 Giáo viên hướng dẫn NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Ngày….. tháng…năm 2009 Giáo viên phản biện Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn này, ngoài sự cố gắng của bản thân, em cần trang bị một lượng kiến thức nhất định, và sự động viên, giúp đỡ trong suốt quá trình làm việc. Em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến toàn thể thầy cô trong bộ môn Toán đã tận tình giảng dạy trong bốn năm đại học, để em có được nhiều kiến thức bổ ích phục vụ cho luận văn. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hoàng Xinh đã tận tình hướng dẫn em thực hiện đề tài trong thời gian qua. Nhân đây cho em gửi lời cảm ơn đến các bạn của mình đã động viên, giúp đỡ em hoàn thành luận văn. Mặc dù đã cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi sai sót, em rất mong nhận được sự nhận xét, đóng góp để hoàn thiện luận văn của mình. Một lần nữa cho phép em gửi lời cảm ơn đến toàn thể thầy cô, bạn bè và người thân đã giúp đỡ, động viên em hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Người viết Lê thị Đồ MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I. NHÓM VÀ NHÓM CON 1 A. Lý thuyết 1 B. Các phương pháp chứng minh thường gặp 2 C. Một số bài tập có lời giải 3 D. Một số bài tập rèn luyện 10 CHƯƠNG II. NHÓM HỮU HẠN SINH 11 A. Lý thuyết 11 B. Các phương pháp chứng minh thường gặp 12 C. Một số bài tập có lời giải 12 D. Một số bài tập rèn luyện 21 CHƯƠNG III. ĐỒNG CẤU NHÓM 23 A. Lý thuyết 23 B. Các phương pháp chứng minh thường gặp 24 C. Một số bài tập có lời giải 24 D. Một số bài tập rèn luyện 32 CHƯƠNG IV. ĐỊNH LÝ LAGRANGE VÀ NHÓM GIẢI ĐƯỢC……………………………………………………… 34 A. Lý thuyết 34 B. Các phương pháp chứng minh thường gặp 36 C. Một số bài tập có lời giải 37 D. Một số bài tập rèn luyện 43 CHƯƠNG V. NHÓM LŨY LINH 44 A. Lý thuyết 44 B. Các phương pháp chứng minh thường gặp 47 C. Một số bài tập có lời giải 47 D. Một số bài tập rèn luyện 55 CHƯƠNG VI. NHÓM SIÊU GIẢI ĐƯỢC 56 A. Lý thuyết 56 B. Các phương pháp chứng minh thường gặp 56 C. Một số bài tập có lời giải 56 D. Một số bài tập rèn luyện 66 CHƯƠNG VII. NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH 67 A. Lý thuyết 67 B. Các phương pháp chứng minh thường gặp 67 C. Một số bài tập có lời giải 68 D. Một số bài tập rèn luyện 75 PHẦN KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM THẢO PHẦN MỞ DẦU 1. Lí do chọn đề tài Trong chương trình, chúng em đã được học môn “ Lý Thuyết Nhóm”. Nhưng do thời gian trên lớp có hạn nên ở học phần này chúng em chỉ nghiên cứu một số nhóm và làm một số bài tập. Đối với em, lý thuyết nhóm là một môn rất hay và tạo cho em nhiều hứng thú khi học, điều này gợi cho em muốn học hỏi , biết nhiều hơn về lý thuyết nhóm. Được sự gợi ý của giáo viên hướng dẫn, em đã mạnh dạn chọn đề tài “ Một số bài tập lý thuyết nhóm” với mong muốn được hiểu nhiều hơn về lý thuyết nhóm. 2. Mục đích nghiên cứu Thực hiện đề tài “Một số bài tập lý thuyết nhóm”, em hướng đến mục đích là rèn luyện kỹ năng tiếp cận, tìm hiểu và nghiên cứu một vấn đề Toán học còn khá mới với bản thân. Đây cũng là dịp để em có thể nhìn lại tổng quan về kiến thức đại số mà đặc biệt là về lý thuyết nhóm – một chủ đề lớn trong lĩnh vực đại số nói riêng và trong toán học nói chung. Việc nghiên cứu này cũng giúp em có thêm nhiều kiến thức chuẩn bị cho các kỳ thi sau này. 3. Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp được sử dụng trong quá trình nghiên cứu: tổng hợp, phân tích, khái quát hóa. Tổng hợp các kiến thức từ các nguồn tài liệu khác nhau. Phân tích một số bài tập và khái quát hóa dựa trên sự phân tích đó. 4. Nội dung luận văn Chương I. Nhóm và nhóm con. Chương II. Nhóm hữu hạn sinh. Chương III. Đồng cấu nhóm. Chương IV. Định lý Lagrange và nhóm giải được Chương V. Nhóm lũy linh. Chương VI. Nhóm siêu giải được. Chương VII. Nhóm Abel hữu hạn sinh. PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I. NHÓM VÀ NHÓM CON A. LÝ THUYẾT 1. Nhóm 1.1.Định nghĩa Cho tập X khác rỗng, * là phép toán hai ngôi trong X. (X,*) được gọi là nhóm nếu: i) Mọi a,b,c X, ta có a*(b*c)= (a*b)*c ii) Tồn tại phần tử sao cho , ta có e*x = x*e = x iii) Mọi phần tử luôn tồn tại sao cho Nếu (X,*) có tính giao hoán thì X được gọi là nhóm giao hoán hay nhóm Abel. 1.2. Định lý ( về điều kiện tương đương với nhóm) Cho X là tập khác rỗng, * là phép toán hai ngôi thỏa: (a*b)*c=a*(b*c), mọi . Khi đó các phát biểu sau là tương đương: i) X là nhóm ii) Các phương trình a*x=b và x*a=b có nghiệm trong X, mọi a, b iii)Trong X có phần tử đơn vị trái và mọi phần tử trong X đều có nghịch đảo trái iv) Trong X có phần tử đơn vị phải và mọi phần tử trong X đều có nghịch đảo phải 1.3. Định lý Cho (X,.) là một nhóm thì ta có các khẳng định sau: i) Mỗi phần tử của X chỉ có một phần tử nghịch đảo ii) Nếu xy = xz ( yx = zx) thì y = z (luật giản ước) iii) Với mọi x, y , ta có (xy) iv) ( x)-1 = x , với mọi 2. Nhóm con 2.1. Định nghĩa Cho G là nhóm, H là một tập con khác rỗng của G. Ta nói rằng H là nhóm con của G nếu H với phép toán cảm sinh của phép toán trong G là một nhóm. Kí hiệu . Dễ thấy tập hợp chỉ gồm một phần tử đơn vị của nhóm G lập thành một nhóm và được gọi là nhóm đơn vị . Kí hiệu là 1 hoặc {e} Nếu , , thì H được gọi là nhóm con thực sự của G. Kí hiệu 2.2. Định lý ( về điều kiện tương đương với nhóm con) Cho , Ø. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: i) ii) Mọi thì xy và x iii) Mọi ta có xy 2.3. Định nghĩa Cho G là nhóm, i) H được gọi là nhóm con tối đại của G nếu không tồn tại sao cho . ii) H được gọi là nhóm con tối tiểu của G nếu và không tồn tại sao cho . 3. Nhóm con chuẩn tắc 3.1. Định nghĩa Cho G là một nhóm và . Ta nói rằng H là nhóm con chuẩn tắc của G hay H là ước chuẩn của G nếu mọi ta có Hx = xH. Kí hiệu H 3.2. Một số tính chất i) Mọi nhóm con của nhóm Abel đều là nhóm con chuẩn tắc ii)Cho , khi đó H khi và chỉ khi hoặc ,với mọi , với mọi . iii) G là nhóm, H, thì iv) Giao một họ tùy ý khác rỗng các nhóm con chuẩn tắc của nhóm G là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G v) Cho G là nhóm, H và . Khi đó KH là nhóm con nhỏ nhất của G chứa H và K ( theo nghĩa bao hàm ) và KH = HK vi) Cho là các nhóm con chuẩn tắc của nhóm G. Khi đó . 4. Nhóm thương Nếu A là một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm X thì X/A = { xA} cùng với phép toán xAyA = xyA là một nhóm, gọi là nhóm thương của X trên A B. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH THƯỜNG GẶP Bài toán 1. Chứng minh tập khác rỗng X cùng một phép toán hai ngôi ( . ) lập thành một nhóm. Phương pháp giải: Cách 1. Ta tiến hành kiểm tra các tính chất sau: (i) Với mọi , có (xy)z = x(yz) (ii) Tồn tại phần tử (đơn vị ) sao ch xe = ex = x, với mọi (iii) Với mọi tồn tại x sao cho Cách 2. Ta chứng minh ( X, . ) là một nhóm con của nhóm ( Y, . ), trong đó ( Y, . ) là nhóm đã biết Bài toán 2. Chứng minh tập H là nhóm con của nhóm ( X, .) Phương pháp giải: Cách 1. Ta tiến hành kiểm tra các tính chất sau: (i) Ø (ii) Mọi, ta có và Cách 2. Ta tiến hành kiểm tra các tính chất sau: (i) Ø (ii) Mọi , ta có Bài toán 3. Chứng minh tập H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm ( X, .) Phương pháp giải: Cách 1. Ta tiến hành kiểm tra các tính chất sau: (i) (ii) Mọi , mọi , ta có hoặc Cách 2. Ta tiến hành kiểm tra các tính chất sau: (i) (ii) Mọi , ta có xH = Hx Cách 3. Ta chứng minh H = Kerf với là một đồng cấu nào đó C. MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI Bài 1. Trong tập Q, ta định nghĩa phép toán (*) : a*b = a + b + ab, mọi Q Hỏi ( Q,*) có lập thành nhóm không ? Tại sao ? Chứng minh rằng nếu a, bQ\{-1} thì a*b Q\{-1} Chứng minh rằng ( Q\{-1},*) lập thành một nhóm. Giải. a) Dễ thấy 0 là phần tử đơn vị của ( Q,*). Giả sử ( Q,*) lập thành nhóm. Suy ra -1( Q,*) luôn có phần tử nghịch đảo là b. Khi đó 0 = (-1) * b = (-1) + b + (-1)b = -1. Điều này vô lý . Nên ( Q,*) không lập thành nhóm. b) Gọi a, bQ\{-1}. Giả sử a * b = -1, khi đó a + b + ab =1 ( trái giả thiết a, b-1). Nên a * b-1. Vậy a * bQ\{-1}. c) Gọi a, b, cQ\{-1}, ta có : (a*b)*c = ( a + b + ab ) * c = a + b + ab + c + ac + bc + abc a*( b*c ) = a*( b+ c + bc ) = a + b + c + bc + ab + ac + abc. Suy ra ( a*b ) * c = a*( b*c ). Nên phép toán có tính kết hợp. Với aQ\{-1} phần tử nghịch đảo của a là b vì Tương tự b*a = 0 Vậy ( Q\{-1},*) là một nhóm. Bài 2. Trong tập Q+, ta định nghĩa phép toán (*): , mọi a, bQ+ Chứng minh rằng (Q+, *) lập thành nhóm Abel. Giải. • Ta có Q+ Ø, Q+ ổn định đối với phép toán (*) • Mọi Q+, ta có: và Suy ra . Suy ra Q+ có tính kết hợp. • Dễ thấy phần tử đơn vị e = 2009. Vì với mọi a Q+, ta có: và Vậy Q+ có phần tử đơn vị là e = 2009 • Với aQ+ có phần tử nghịch đảo là . Vì Do đó mọi Q+ có nghịch đảo Vậy (Q+,*) lập thành một nhóm. • Mặt khác mọi Q+ , ta có Suy ra (Q+,*) lập thành nhóm giao hoán. Bài 3. Cho X = Q Chứng minh rằng X lập thành một nhóm với phép nhân các ma trận. Giải. • Ta có nên X Ø • Giả sử A = , Q và B = , Q Ta có AB = = ( do y +xQ ).Và A-1 = . Thật vậy =. Mà . Vậy X là nhóm con của GL3(R). Do đó ( X, .) lập thành một nhóm. Bài 4. Trong nhóm GL2 ( R ), xét tập con H = R. Chứng minh rằng H là nhóm con của GL2 ( R ). Giải. Ta có H Ø vì . Giả sử và . Ta có ( vì aR, bR nên a + bR ) và . Thật vậy . Mà ( do aR nên -aR ). Vậy H là nhóm con của GL2 ( R ). Bài 5. Trong nhóm GL3(R), xét tập con H = GL3(R)}. Chứng minh rằng H là nhóm con chuẩn tắc của GL3(R). Giải. Ta có H Ø vì I3 H và H GL3(R). Giả sử A, B H, khi đó det A = 1, det B = 1. Ta có det (AB) = det A.det B = 1.1 = 1. Suy ra ABH Ta có det A = 1 nên tồn tại và det A-1 = . Suy ra A-1 H Vậy H GL3(R). Giả sử C GL3(R), khi đó det C = 1 và det C -1 = 1 Ta có det ( CAC-1 ) = det C. det A. det C -1 =1. Suy ra CAC-1H Vậy H GL3(R). Bài 6. a) Chứng minh rằng giao của một họ bất kỳ những nhóm con của nhóm X là một nhóm con của nhóm X. b) Hỏi hợp của các nhóm con của nhóm X có phải là nhóm con của nhóm X không ? Tại sao ? Giải. a) Giả sử là một họ nhóm con của ( X, .) Đặt A = , vì e, với mọi nên . Vậy Ø Với x, y , thì x, y , với mọi nên xy với mọi .Do đó xy Vậy A là nhóm con cuả X. b) Hợp của hai nhóm con có thể không là nhóm con.Chẳng hạn X là tập các hàm số thực trên R. Khi đó ( X, +) lập thành một nhóm Abel, trong đó phép ( +) là cộng hai hàm số thực. Gọi là tập các hàm số lẻ và chẵn trên R. Dễ dàng kiểm tra được ( là các nhóm con của ( X, +). Tuy nhiên không là nhóm. Thật vậy, f( x = nhưng Do đó không là nhóm. Bài 7. Chứng minh rằng trong một nhóm có 2n phần tử, ngoài phần tử đơn vị còn có một phần tử là nghịch đảo cuả chính nó. Giải. Giả sử nhóm A có 2n phần tử A= Nhận xét nếu đều có nghịch đảo là thì = Do đó nếu A không có phần tử nào là nghịch đảo cuả chính nó ( ngoài e) thì 2n-2 phần tử tạo thành (n-1) cặp ( trong đó là nghịch đảo của nhau. Mỗi phần tử ở cặp này khác với mỗi phần tử ở cặp kia. Nên trong A còn có một phần tử không có phần tử nào là nghịch đảo của nó. Điều này mâu thuẫn. Do đó trong A ngoài e, còn có một phần tử khác là nghịch đảo của chính nó. Bài 8. Cho A là một bộ phận khác rỗng của nhóm X. Chứng minh rằng A là nhóm con của X khi và chỉ khi . Giải. Ta có = {}. Khi A là nhóm con của X thì Vì nên Mặt khác, mọi ta có nên . Vậy Giả sử . Do đó, mọi , ta có . Suy ra A là nhóm con của nhóm X. Bài 9. Cho A, B là nhóm con của nhóm X. Chứng minh rằng là nhóm con của X khi và chỉ khi hoặc . Giải. Giả sử hoặc . Khi đó hoặc . Do đó là nhóm con của nhóm X Giả sử và . Khi đó Ø và Ø nên tồn tại Vì là nhóm con của X nên Điều này vô lý vì Vậy ta phải có hoặc . Bài 10. Cho X là nhóm và . Chứng minh rằng nếu abc = e thì bca = e, cab = e ( với e là phần tử đơn vị của X ). Hơn nữa khi và chỉ khi ab = ba Giải. Ta có và = c(abc)ab = cab cab = e. Hơn nữa, nếu (ab)-1 = a-1b-1 thì (ab)-1 (ab) = e (ba)-1 (ba) = e = (ab)-1 (ba) ( do (ba)-1 = a-1b-1 = (ab)-1 ). Suy ra . Do đó ab=ba ( luật giản ước). Ngược lại nếu ab = ba, với mọi a, bX thì (ab)-1 = (ba)-1 nên Bài 11. Cho X là nhóm, . Chứng minh rằng khi và chỉ khi ab = ba. Giải. Ta có , mà nên ( luật giản ước ) Ta có , mà nên Bài 12. Cho X là một nhóm với phần tử đơn vị e. Chứng minh rằng nếu mọi có thì X là một nhóm Abel Giải. Ta có mọi ,. Do đó Mà thì ( theo bài 11). Vậy X là nhóm Abel. Bài 13. Cho H, K là các nhóm con của nhóm X. Chứng minh rằng HK=KH khi và chỉ khi HK là nhóm con của X, trong đó và Giải. Giả sử , . Ta xét , do nên tồn tại , sao cho . Nên . Mặt khác mọi , ta có , Lấy . Ta có Vậy HK là nhóm. Mọi . Khi đó . Do đó . Mặt khác, giả sử . Lấy ( HK là nhóm). Ta có. Do đó . Vì thế HK = KH Bài 14. Giả sử A là nhóm Abel, với mỗi số tự nhiên n> 1, ta đặt . Chứng minh rằng: a) là nhóm con của A b) Nếu (m, n) = 1 thì Giải. a) Mọi thì Ta có () ( do A là nhóm Abel), nên . Hiển nhiên e nên Ø Vậy là nhóm con của nhóm A. b) Vì ( m, n) =1 nên tồn tại Z sao cho mu+nv=1. Gọi , suy ra , khi đó Vậy Bài 15. Chứng minh rằng tập con khác rỗng A của nhóm cộng các số nguyên Z là nhóm con của Z khi và chỉ khi A = mZ, với Z Giải. Hiển nhiên A = =mZ = { mkZ } là nhóm con của Z Giả sử A là nhóm con của nhóm ( Z, +) Nếu thì A= 0Z Nếu thì A chứa những số dương. Suy ra tồn tại m là số nguyên dương nhỏ nhất thuộc A. Ta chứng minh A = mZ . Thật vậy, vì và A là nhóm nên mZ Với , thì (0 Do đó r =a- mp ( p, r Z ). Điều này mâu thuẫn với m là số nguyên dương nhỏ nhất thuộc A nên r = 0 a = mp mZ Vậy A= mZ Bài 16. Cho một họ những nhóm mà các phép toán ký hiệu bằng dấu nhân. Chứng minh tập hợp tích Descartes với phép toán xác định như sau: là một nhóm Giải. Đặt Giả sử thuộc X. Ta xét = Suy ra phép nhân có tính kết hợp Gọi là đơn vị của nhóm với mọi . Dễ thấy phần tử là phần tử đơn vị của X vì Giả sử , khi đó , với là nghịch đảo của trong thỏa Vậy X là một nhóm. Bài 17. Cho X là tập tùy ý. Kí hiệu Map(X, X) là tập hợp các ánh xạ từ X đến X. Với phép nhân ánh xạ Map(X, X) có lập thành nhóm hay không ? Tại sao ? Chứng minh rằng bộ phận S(X) của Map(X, X) gồm các song ánh từ X đến X là một nhóm với phép nhân các ánh xạ. Hãy tìm số phần tử của S(X) trong trường hợp X có n phần tử ( nN, n 1 ) Giải. • Ta có phép nhân các ánh xạ có tính kết hợp và ánh xạ đồng nhất là phần tử đơn vị. Nếu X = {0, 1, 2} và f: Khi đó f Map(X, X). Nếu Map( X, X) là nhóm thì f phải có phần tử nghịch đảo, giả sử đó là g Map(X, X), khi đó fg = 1X, điều này không thể vì fg(1) = f(g(1)) = 0 1X(1) = 1. Do đó f không có phần tử nghịch đảo. Vậy Map(X, X) không lập thành một nhóm • Ta có tích hai song ánh từ X đến X là một song ánh từ X đến X , phép nhân ánh xạ có tính kết hợp, ánh xạ đồng nhất của X là một song ánh nên Nếu thì f là một song ánh do đó f có ánh xạ ngược và Vậy S(X) là một nhóm với phép nhân ánh xạ. • Giả sử . Với mỗi hoán vị của X ta có một song ánh f : xác định bởi: , . Đảo lại, với mỗi song ánh , cho ta một hoán vị của X. Vậy số phần tử của S(X) bằng số hoán vị n phần tử đó là ! Bài 18. Cho Y là một bộ phận của tập hợp X. Chứng minh rằng bộ phận S( X,Y) của S (X) gồm các song ánh sao cho f(Y) = Y là một nhóm con của S(X) . Tìm số phần tử của S (X,Y) trong trường hợp X có n phần tử, Y có một phần tử. Giải. Ta có 1X(Y) = Y nên Ø. Giả sử . Khi đó f(Y) = Y, g(Y) = Y, do đó gf(Y) = g(f(Y)) = g(Y) = Y. Nên . Mặt khác Vậy nên S(X,Y) là nhóm con của S(X). Nếu X có n phần tử và Y có một phần tử thì S(X,Y) có (n-1) ! phần tử, nó ứng với số các hoán vị của n-1 phần tử của tập X\Y. Tổng quát số phần tử của S(X,Y) trong trường hợp X có n phần tử, Y có phần tử là k!(n- k) ! D. MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1) Cho X = R, trên X ta xây dựng phép toán (*): x*y = x+2xy+y (x, y) Chứng minh rằng (X, *) lập thành một nhóm Abel. 2) Trong X = Z Z, ta xây dựng phép toán (*): . Chứng minh rằng (X, *) lập thành một nhóm , không Abel. 3) Trong GL2(R), cho tập con Chứng minh rằng H là nhóm con của GL2(R). 4) a) Cho . Tính . b) CMR: là nhóm con giao hoán của nhóm S4. Nhóm này gọi là nhóm Klein. 5) Giả sử a, b là các phần tử của nửa nhóm X ( tức Ø và đóng kín đối với phép toán trên X ) sao cho ab=ba. Chứng minh , với mọi số tự nhiên . 6) a) Chứng minh rằng ( Z, . ) lập thành nhóm giao hoán , với p là nguyên tố b) Tìm phần tử nghịch đảo của trong Z11 7) Các mệnh đề sau đúng hay sai: a) Cho G là nhóm, , nếu HK=KH thì b) Với e là phần tử đơn vị của G. Nếu y2=e với mọi thì G là nhóm Abel. c) X là nhóm, Ø. Nếu thì AA-1=A. d) Cho (G, .) là một nhóm, với . Nếu xy = xz thì y = z. e) Cho G là nhóm, nếu H là tập con của G, Ø có chứa phần tử đơn vị và các phần tử của H đều có phần tử nghịch đảo thuộc H thì H là nhóm con của G. f) Trong một nhóm có 100 phần tử, ngoài phần tử đơn vị, không có phần tử nào là nghịch đảo của chính nó CHƯƠNG II. NHÓM HỮU HẠN SINH A. LÝ THUYẾT 1. Tâm giao hoán 1.1. Định nghĩa Cho G là một nhóm và Ø. Khi đó tập: được gọi là tâm của tập A. Trường hợp đặc biệt thì C(A) được kí hiệu là Ca và được gọi là tâm của phần tử a Trường hợp A = G thì C(A) được gọi là tâm của G và kí hiệu là Z(G). Tức là Z(G)= 1.2. Tính chất Cho G là nhóm. Khi đó i) C(A) ii) Z(G) 2. Định nghĩa Cho G là nhóm , với ta gọi là một hoán tử của G Nhóm con sinh bởi tập tất cả các hoán tử của G được kí hiệu là . Nếu G là nhóm thì 3. Định nghĩa Cho G là nhóm, i) Nhóm con nhỏ nhất của G chứa S được gọi là nhóm con sinh bởi tập S và kí hiệu là ii) Với . Ta nói nhóm con H được sinh bởi S hay S là tập sinh của H. Đặc biệt H = G, ta nói G là nhóm sinh bởi tập S hay S là tập sinh của G. iii) Nếu G có một tập sinh hữu hạn thì G được gọi là nhóm hữu hạn sinh. Đặc biệt, nếu G có tập sinh chỉ gồm một phần tử thì G được gọi là nhóm xiclic. iv) Nếu thì 4. Định nghĩa Một nhóm