Luận văn Xấp xỉ tuyến tính cho một vài phương trình sóng phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN NGỌC DIỄM XẤP XỈ TUYẾN TÍNH CHO MỘT VÀI PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIẢI TÍCH MÃ SỐ : 1.01.01 THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 10-1998 LUẬN VĂN ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Người Hướng Dẫn : PTS Nguyễn Thành Long Ban Toán _ Tin học Trường Đại Học Đại Cương Thành Phố Hồ Chí Minh Người Nhận Xét 1 : PGS-PTS Dương Minh Đức Khoa Toán Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh Người Nhận Xét 2 : PTS Nguyễn Bích Huy Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Người Thực Hiện : Trần Ngọc Diễm Ban Toán _ Tin học Trường Đại Học Đại Cương Thành Phố Hồ Chí Minh LUẬN VĂN ĐƯỢC BẢO VỆ TẠI HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Lời đầu tiên, tôi xin kính gởi đến Thầy Nguyễn Thành Long, lời cảm ơn sâu sắc về sự tận tình giúp đỡ của thầy đối với tôi trong suốt khóa học và nhất là trong việc hoàn thành luận văn này. Xin chân thành cảm ơn Thầy Dương Minh Đức và Thầy Nguyễn Bích Huy đã đọc và cho những ý kiến quý báu cũng như những lời phê bình bổ ích đối với luận văn. Tôi cũng xin cảm ơn tất cả quý Thầy trong hội đồâng chấm luận văn đã dành cho tôi thời gian quý báu và những góp ý sâu sắc cho buổi bảo vệ luận văn. Xin cảm ơn quý Thầy Cô khoa Toán, Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Trường Đại Học Đại Cương, Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tận tình hướng dẫn và cung cấp cho tôi những tư liệu cần thiết trong suốt thời gian học tập. Xin cảm ơn quý Thầy Cô thuộc Phòng quản lý sau Đại học Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi về thủ tục hành chính trong khóa học. Cảm ơn các Bạn học viên lớp Cao học khóa 6 đã hổ trợ rất nhiều cho tôi về mọi mặt trong thời gian qua. Lời thân thương nhất xin gởi đến gia đình tôi, nơi tạo cho tôi mọi điều kiện thuận tiện để học tập và làm tốt luận văn này. Trần Ngọc Diễm MỤC LỤC Mục lục. trang 0 1. Phần mở đầu. 1 2. Chương 1. Một số không gian hàm và ký hiệu. 6 1. Các ký hiệu về không gian hàm. 6 2. Vài bổ đề quan trọng. 6 3. Chương 2. Khảo sát phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất. 8 1. Mở đầu. 8 2. Sự tồn tại và duy nhất lời giải của bài toán biên hỗn hợp thuần nhất. 9 3. Khai triển tiệm cận của lời giải. 18 4. Chú ý về bài toán với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất. 23 5. Xét một trường hợp cụ thể. 25 4. Chương 3. Phương trình sóng phi tuyến với toán tử Kirchoff-Carrier. 30 1. Mở đầu. 30 2. Sự tồn tại và duy nhất lời giải. 30 5. Kết luận. 39 6. Tài liệu tham khảo. 40 1 PHẦN MỞ ĐẦU Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát một số phương trình sóng phi tuyến một chiều liên kết với điều kiện biên thuần nhất hoặc không thuần nhất. Chúng tôi thu được lời giải bằng cách thiết lập một dãy qui nạp hội tụ mạnh trong các không gian hàm thích hợp. Một số tính chất về lời giải thu được cũng được khảo sát sau đó. Trong luận văn này, chúng tôi tập trung vào việc khảo sát hai bài toán chính nằm ở chương 2 và chương 3. Đối với bài toán thứ nhất chúng tôi xét phương trình sóng phi tuyến sau đây ( )u u f x x t Ttt xx x t− = < < < <,t ,u,u ,u , ,0 1 0 , (0.1) liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u t h u o t g t u t h u t g t x x 0 1 1 0 0 1 1 , , , , , , − = + = (0.2) và điều kiện đầu ( ) ( ) ( ) ( )u x u x u x u xt, ~ , , ~0 00 1= = , (0.3) trong đó h0 , h1 là các hằng số không âm cho trước với h0 + h1 > 0; go , g1 ∈ C3([0,∞)) ; [ ] [ )( )f C R∈ × ∞ ×1 30 1 0, , là các hàm cho trước. Phương trình (0.1) với các dạng khác nhau của f và các điều kiện biên khác nhau đã được khảo sát bởi nhiều tác giả.Cụ thể là một số trường hợp sau: Trong [8]. Ficken và Fleishman đã thiết lập sự tồn tại và duy nhất lời giải toàn cục và tính ổn định của lời giải này cho phương trình u u u u u btt xx t− − = + > - 2 , 1α α ε ε2 3 0 bé. (0.4) Rabinowitz [19]đã chứng minh sự tồn tại của lời giải tuần hoàn cho phương trình ( )u u u f u u u x ttt xx t x t− = + 2 1α ε , , , , , (0.5) trong đó ε là tham số bé và f tuần hoàn theo thời gian. Trong [2] Caughey và Ellison đã gộp lại các trường hợp trước đó để bàn về sự tồn tại,duy nhất và ổn định tiệm cận của các lời giải cổ điển cho một lớp các hệ động lực liên tục phi tuyến. Trong [4], Alain Phạm Ngọc Định đã chứng minh sự tồn tại và duy nhất của một lời giải yếu của bài toán (0.1), (0.3) liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất ( ) ( )u t u t0 1 0, ,= = , (0.6) 2 với số hạng phi tuyến trong (0.1) có dạng ( )f f t= ε ,u . (0.7) Bằng sự tổng quát của [4], Alain Phạm Ngọc Định và Nguyễn Thành Long đã xét bài toán (0.1), (0.3), (0.6) với số hạng phi tuyến có dạng ( )f f t u ut= , , . (0.8) Trong [13], [14],Nguyễn Thành Long và Alain Phạm Ngọc Định đã nghiên cứu bài toán (0.1), (0.3) với số hạng phi tuyến có dạng ( )f f u ut= , . (0.9) Trong [13], các tác giả đã xét bài toán với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất ( ) ( ) ( ) ( )u t hu t g t u tx 0 0 1 0, , ,= + =, , (0.10) trong đó h>0 là hằng số cho trước ; trong [14] với điều kiện biên được xét tổng quát hơn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u t g t hu t k t s u s ds u tx t 0 0 0 1 0 0 , , , ,= + − − =∫ , . (0.11) Trong [15] chúng tôi xét bài toán (0.1), (0.2), (0.3) với trường hợp ( ) ( )g t g t0 1 0= = . (0.12) Chúng tôi liên kết vơiù phương trình (0.1) một dãy qui nạp tuyến tính liên hệ với một bất phương trình tích phân Volterra phi tuyến và dãy này bị chận trong một không gian hàm thích hợp.Sự tồn tại lời giải của (0.1), (0.2), (0.3), (0.12) được chứng minh bằng phương pháp Galerkin và compact yếu.Chú ý rằng phương pháp tuyến tính hóa trong các bài báo[5], [15] không dùng được trong các bài báo [13], [14]. Nếu các hàm số [ ] [ )( )f C R0 2 30 1 0∈ × ∞ ×, , và [ ] [ )( )f C R1 1 30 1 0∈ × ∞ ×, , thì một khai triển tiệm cận đến cấp 2 theo ε của lời giải bài toán (0.1), (0.2), (0.3), (0.12) thu được với vế phải của (0.1) có dạng ( ) ( ) ( )f x t u u u f x t u u u f x t u u ux t x t x t, , , , , , , , , , , ,= +0 1ε , (0.13) vớiε đủ nhỏ.Kết quả này đã tổng quát hóa tương đối của[1], [5]và đã được công bố trong [15]. Bài toán thứ hai trong luận văn này được xét với phương trình sóng phi tuyến sau đây chứa toán tử Kirchoff-Carrier ( )( ) ( ) ( ) ( )u b B u u f u F x t x t Ttt − + ∇ + = ∈ = < <0 2 0 1 0Δ Ω, , , , , (0.14) liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất ( ) ( )u t u t0 1 0, ,= = , (0.15) 3 và điều kiện đầu ( )u x,0 = ( ) ( ) ( )~ , ~u x u x u xt0 0 , 1= , (0.16) trong đó b T0 0 0> > , là các hằng số cho trước ;B , f, F, ~u0 , ~u 1 là các hàm cho trước. Các giả thiết về các hàm này sẽ được chỉ rõ sau đó. Trong phương trình (0.14) hàm B ( )∇u 2 phụ thuộc vào tích phân ( )∇ = ∫u uy y t dy2 2∂ ∂ ,Ω . (0.17) Phương trình (0.14) liên quan đến một phương trình dao động phi tuyến sau đây của một sợi dây đàn hồi [3] : ( )ρ ∂∂hu P Eh L u y y t dy u x L t Ttt L xx= +⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ < < < <∫0 2 0 2 0, , , 0 . (0.18) Ở đây u là độ võng, ρ là mật độ khối lượng (khối lượng riêng), h là thiết diện, L là chiều dài ban đầu, E là suất Young và P0 là lực căng ban đầu của dây. Khi f= 0, bài toán Cauchy hay hỗn hợp cho (0.14) đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả; chẳng hạn như Ebihara, Medeiros và Miranda [7], Pohozaev [18],Yamada [21] và các tác giả xuất hiện trong tài liệu tham khảo ở đó. Trong [17] Medeiros đã nghiên cứu bài toán (0.14), (0.15), (0.16) với ( )f u bu= 2 ,trong đó b là hăøng số dương cho trước, Ω là một tập mở bị chận của R3 . Trong [9] Hosoya và Yamada đã xét bài toán (0.14), (0.15), (0.16) với ( )f u = δ αu u , trong đó δ α> ≥0 0, là các hằng số cho trước . Trong [16] Nguyễn Thành Long và các đồng tác giả đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất lời giải cho phương trình sau ( ) ( ) ( )u u B u u u u F x t x t Ttt t t+ − ∇ + = ∈ = < <−λΔ ε α2 2 1 0 1 0Δ Ω, , , , , (0.19) trong đó λ > 0 , ε > 0 , 0 1< <α là các hằng số cho trước . Trong [10] Ikehata và Okazawa đã xét bài toán (0.14), (0.15), (0.16) như một phương trình tiến hóa cấp hai á tuyến tính theo thời gian trong một không gian Hilbert thực H vơiù giả thiết sau đây trên hàm f, trong trường hợp của chúng tôi cụ thể ra thì điều kiện đó là: ( ) ( ) ( )f u f v L u v u v u v HL H H H− ≤ + − ∀ ∈2 01 01 01 01 , , , (0.20) trong đó [ )( )L C∈ +∞0, là một hàm không giảm. Ở trường hợp của chúng tôi thì ′f bị chận bởi một hàm không giảm L ( ) ( )f x L x' ≤ ∀ ∈ , x R , (0.21) 4 do đó (0.20) sẽ được thỏa mãn . Trong bài toán thứ hai này, chúng tôi liên kết bài toán (0.14), (0.15), (0.16) một thuật giải qui nạp tuyến tính mà sự tồn tại duy nhất lời giải địa phương được chứng minh bằng phương pháp compact yếu liên kết với bất phương trình tích phân Volterra. Thuật giải này cho phép chúng ta sử dụng được một số thuật giải tính số hiệu quả để giải bài toán (0.14), (0.15), (0.16). Kết quả thu được đã tổng quát tương đối các kết quả [7], [9], [10], [16], [17], [18] và sẽ được công bố trong [6]. Toàn bộ luận văn này sẽ chia thành các chương sau đây: _Chương mở đầu là phần giới thiệu tổng quát về các bài toán và điểm qua các kết quả trước đó, đồng thời giới thiệu tóm tắt các chương tiếp theo . _Chương 1 là phần giới thiệu một số ký hiệu và các không gian hàm thông dụng . Một số kết quảvề phép nhúng cũng được nhắc đến ở đây. _Chương 2 đi vào việc khảo sát bài toán thứ nhất (0.1) -(0.3), kết quả chính của chương này là chứng minh một định lý tồn tại và duy nhất lời giải yếu trong trường hợp [ ] [ )( ) [ )( )f C R u H u H g g C∈ × ∞ × ∈ ∈ ∈ ∞1 3 0 2 1 1 0 1 30 1 0 0, , ~ ~ , , , , , ,các hằng số không âm h h0 1, thỏa h h0 1 0+ > . Phương pháp sử dụng là xây dựng một dãy qui nạp tuyến tính hội tụ mạnh. Kết quả này đã tổng quát nhẹ nhàng kết quả [15] của chúng tôi và chứa trường hợp g g0 1 0= ≡ như là một trường hợp riêng. Vẫn trong chương này, chúng tôi cũng thu được các kết quả về khai triển tiệm cận theo một tham số béε đến cấp i của lời giải bài toán (0.1), (0.2), (0.3) với số hạng phi tuyến f có dạng sau : ( ) ( ) ( )f x t u u u f x t u u u f x t u u ux t x t x t, , , , , , , , , , , ,= +0 1ε , trong đó [ ] [ )( ) [ ] [ )( ) f C R i f C R i 0 3 1 1 3 0 1 0 1 2 0 1 0 ∈ × ∞ × = ∈ × ∞ × . , , . , , . Kết quả này cũng đã tổng quát các kết quả đã có [1], [5], [15]. Một số khai triển tiệm cận cũng được khảo sát trong một số trường hợp cụ thể của số hạng phi tuyến. _ Chương 3 là phần khảo sát bài toán thứ hai (0.14), (0.15), (0.16). Kết quả chính là bằng cách tuyến tính hóa các số hạng phi tuyến ( )f u và ( )B u∇ 2 , chúng tôi chứng minh sự tồn tại duy nhất của một lời giải yếu của bài toán (0.14), (0.15), (0.16) trong trường hợp ( ) [ )( )f C R B C B∈ ∈ ∞ ≥1 1 0 0 , , , 5 và một số điều kiện phụ sau đó. Kết quả đã tổng quát hóa tương đối các kết quả trước đó và sẽ được công bố trong [6]. _ Chương cuối cùng là phần kết luận về các kết quả thu lượm được trong luận văn. Sau cùng là phần tài liệu tham khảo. 6 Chương 1 MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM VÀ KÝ HIỆU 1. Các ký hiệu về không gian hàm Chúng ta bỏ qua định nghĩa các không gian hàm thông dụng và sử dụng các ký hiệu gọn lại như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ω Ω Ω Ω Ω = = × > = = = 0 1 0 0 0 0 , , . , , , , , Q T T L L H H H H T p p m m m m Các ký hiệu . ,. và . dùng để chỉ tích vô hướng và chuẩn sinh bởi tích vô hướng tương ứng trên L2 . Ký hiệu . ,. cũng dùng để chỉ cặp tích đối ngẫu giữa phiếm hàm tuyến tính liên tục và một phần tử trong không gian hàm nào đó nằm trong L2 . Ta ký hiệu . X là chuẩn trên không gian Banach X. Gọi ′X là đối ngẫu của X. Ta viết u(t) , ( )&u t , ( )&&u t , ux = ∇u , u uxx = Δ thay cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x t u t x t u t x t u x x t u x x t, , , , , , , , ,∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 theo thứ tự. Ta ký hiệu ( )L T X pp 0 1, , , ,≤ ≤ ∞ là không gian Banach các hàm đo được ( )f T X : 0, → sao cho ( ) ( )f f t dtL T X XpT pp 0 0 1 , ; = ∫⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ < ∞ , 1≤ < ∞p và ( ) ( )f ess f tL T X t T X∞ < < =0 0 , ; sup . 2. Vài bổ đề quan trọng Cho ba không gian Banach B0, B, B1 với B0⊂B⊂B1; B0, B1 phản xạ, (1.1) B0⊂ B với phép nhúng compact. (1.2) Ta định nghĩa : ( ) ( )W v L T B v dvdt L T Bp p= ∈ ′ = ∈⎧⎨⎩ ⎫⎬⎭ 0 10 00 1, ; , ; : trong đó T pi< ∞ < < ∞,1 , i = 0,1. Trang bị trên W một chuẩn như sau 7 ( ) ( )v v vW L T B L T Bp p= + ′0 0 1 10 0, ; , ; Khi đó W là không gian Banach. Hiển nhiên ( )W L T Bp⊂ 0 0, ; . Ta có kết quả sau : Bổ đề 1.1 (Bổ đề về tính compact của J.L Lions, xem [11], trang 57) Dưới giả thiết (1.1), (1.2) và nếu 1 < < ∞pi , i=0,1, phép nhúng ( )W L T Bp⊂ 0 0, ; là compact. Bổ đề 1.2 (xem[11] trang 12) Cho O là mở bị chận của RN, g, gm∈ ( )Lq O , 1< < ∞q thỏa (i) ( )g C mm Lq O ≤ ∀, , (ii) g gm → hầu hết trong O. Khi đó g gm → trong ( )Lq O yếu. 8 Chương 2 KHẢO SÁT PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN LIÊN KẾT VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP 1. Mở đầu Trong chương 2, chúng tôi xét bài toán giá trị biên và giá trị ban đầu sau đây ( )u u f x t u u u x t Ttt xx x t− = ∈ < <, , , , , ,Ω 0 , (2.1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u t h u t g t u t h u t g tx x0 0 1 10 0 1 1, , , ,− = + =, , 0 < <t T , (2.2) ( ) ( ) ( ) ( )u x u x u x u xt, ~ , ~0 00 1= =, , x∈Ω , (2.3) với h0, h1 là các hằng số không âm cho trước, số hạng phi tuyến f cũng là hàm cho trước thuộc lớp [ ] [ )( )C R1 30 1 0, ,× ∞ × . Trong chương này, ta sẽ thiết lập một định lý tồn tại và duy nhất lời giải yếu của bài toán (2.1)-(2.3) bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với phương pháp Galerkin và phương pháp compact yếu. Sau đó chúng tôi khảo sát vấn đề khai triển tiệm cận của lời giải bài toán (2.1)-(2.3) theo tham số bé ε khi số hạng phi tuyến f trong (2.1) được thay bởi ( ) ( )f x t u u u g x t u u ux t x t, , , , , , , ,+ ε . Ta thành lập các giả thiết sau ( ) ( ) ( ) [ ] [ )( ) ( ) [ )( ) H , , H , , H , 1 2 3 h h u H u H f C R H g g C 0 1 0 2 1 1 1 3 4 0 1 3 0 0 0 1 0 0 > ≥ ∈ ∈ ∈ × ∞ × ∈ ∞ ~ ~ , , , , . Xét hàm số phụ ( ) ( ) ( ) ( )[ ]ϕ x t h h g t e g t eh x h x, = + −− −10 1 1 1 00 1 . (2.4) Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) B v v t h v t B v v t h v t x x 0 0 1 1 0 0 1 1 = − = + ⎧⎨⎩ , , , , , 0 < <t T . (2.5) Khi đó, với phép đổi biến ( ) ( ) ( )w x t u x t x t x t T, , ,= − ∈ < <ϕ , ,Ω 0 , (2.6) thì w thỏa mãn phương trình 9 ( )w w f x t w w w x t Ttt xx x t− = ∈ < <~ , , , , , , Ω 0 , (2.7) với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất B w B w 0 1 0 0 = = ⎧⎨⎩ , 0 < <t T , (2.8) và điều kiện đầu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) w x u x x w x w x u x x w x x t t , ~ , ~ , , ~ , ~ , 0 0 0 0 0 0 1 1 = − = = − = ⎧⎨⎩ ∈ ϕ ϕ Ω (2.9) trong đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ , , , , , , , , , , ~ ~ , ~ ~ , f x t w w w f x t w w w x t x t w x u x x w x u x x x t x x t t tt xx t = + + + − + = − = − ⎧⎨⎩ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ , , ,0 0 1 10 0 (2.10) thỏa [ )( )~ , ~ ~f C R w H w H∈ × ∞ × ∈ ∈1 3 0 2 1 10Ω , , . (2.11) Như vậy từ bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất (2.1)-(2.3) với phép biến đổi (2.6) sẽ tương đương với bài toán biên hỗn hợp thuần nhất (2.7)-(2.9). Do đó, không làm mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng g ii = 0 0 1, = , . (2.12) 2. Sự tồn tại và duy nhất lời giải của bài toán biên hỗn hợp thuần nhất Trên H1 ta sử dụng một chuẩn tương đương sau : ( ) ( )v v v x dxH1 2 2 0 1 1 2 0= + ′⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟∫ . (2.13) Trong chương này, ta định nghĩa dạng song tuyến tính trên H 1 như sau : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a u v u x v x dx h u v h u v u v H, ' ' ,= + + ∀ ∈∫ 0 1 0 1 10 0 1 1 , (2.14) Khi đó ta có các bổ đề sau Bổ đề 2.1 Phép nhúng ( )H C1 0⊂ Ω là compact và ( )v v v HC H0 1 12Ω ≤ ∀ ∈, . Bổ đề 2.1 là một kết quả quen thuộc mà chứng minh của nó có thể tìm thấy trong nhiều tài liệu liên quan đến lý thuyết về không gian Sobolev, chẳng hạn [20]. Bổ đề 2.2 Với giả thiết ( )H1 , dạng song tuyến tính đối xứng định nghĩa bởi (2.14) liên tục, cưỡng bức trên H H1 1× , nghĩa là: 10 ( ) ( ) ( ) ( ) i a u v C u v u v H ii a u u C u u H H H H , , , , , , . ≤ ∀ ∈ ≥ ∀ ∈ 1 1 0 2 1 1 1 1 với { } { }C h C h h0 0 1 0 11 1 2= =min , , max , , . Chứng minh : Sử dụng bất đẳng thức Schwartz và bổ đề 2.1 ta có (i) đúng . Chứng minh (ii) thì dễ dàng nên ta bỏ qua . Bổ đề 2.3 Tồn tại một cơ sở Hilbert trực chuẩn { }wj của L2 gồm các vector riêng wj ứng với trị riêng λ j sao cho 0 1 2 < ≤ ≤ ≤ ≤ = ∞ →∞ λ λ λ λ , ,L L j j j lim (2.15) ( )a w v w vj j j, ,= λ , với mọi v H j∈ =1 1 2, , ,L . (2.16) Hơn nữa dãy { }wj jλ cũng là cơ sở trực chuẩn Hilbert của H 1 tương ứng với tích vô hướng ( )a .,. . Mặt khác, chúng ta cũng có hàm wj thỏa mãn bài toán giá trị biên sau: − =Δw wj j jλ , trong Ω , (2.17) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )′ − = ′ + = ∈ ∞w h w w h w w Cj j j j j0 0 1 1 00 1 , Ω . (2.18) Chứng minh bổ đề 2.3 có thể tìm trong [20] (định lý 6.2.1, p.137, với V H H L= =1 2, và ( )a .,. định nghĩa như (2.14)). Với M T> >0 0, ta đặt ( ) ( )wvutxffTMKK ,,,,sup,,00 == , (2.19) ( ) ( )( ).,,,,sup,,11 wvutxffffffTMKK wvutx ′+′+′+′+′== (2.20) sup trong (2.19), (2.20) được lấy trên miền 0 1 0≤ ≤ ≤ ≤x t T, , , ,u v w M≤ 2 . ( ) ( ) ( ) ( ){ ( ) ( ) ( ) } W M T v L T H v L T H v L T L M M ML T H L T H L T L , , ; & , ; && , ; & && ., ; , ; , ; = ∈ ∈ ∈ ≤ ≤ ≤ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ : , ; v , v , v 0 0 02 1 2 0 2 0 1 0 2 (2.21) Tiếp theo, ta xây dựng dãy { }um trong ( )