Bậc trùng của một cặp ánh xạ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Duy Thúc BẬC TRÙNG CỦA MỘT CẶP ÁNH XẠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Duy Thúc BẬC TRÙNG CỦA MỘT CẶP ÁNH XẠ Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Bích Huy. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người đã tận tình chu đáo và động viên tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập cũng như quá trình hoàn thành luận văn. Tôi xin cảm ơn tất cả các Thầy Cô, các cán bộ trong khoa Toán – Tin của trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt là các Thầy trong tổ Giải Tích đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Xin cảm ơn các bạn học viên nghành toán đã động viên giúp đỡ tôi và có nhiều ý kiến đóng góp trong quá trình hoàn thành luận văn. Do trình độ và thời gian có hạn nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo và góp ý của các Thầy Cô và các Bạn. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2014 Tác giả MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU ................................................................................................................... 1 Chương 1. BẬC TRÙNG CỦA MỘT CẶP ÁNH XẠ ĐƠN TRỊ .......................... 3 1.1. Ánh xạ fredholm ............................................................................................... 3 1.2. Bậc trùng cho ánh xạ L -compact .................................................................. 10 1.3. Định lí tồn tại nghiệm cho những phương trình toán tử ................................. 18 Chương 2. BẬC TRÙNG CHO ÁNH XẠ ĐA TRỊ .............................................. 23 2.1. Bậc cho trường vectơ compact trù mật đa trị ................................................. 23 2.2. Bậc trùng cho ánh xạ đa trị ............................................................................. 34 2.3. Các tính chất cơ bản của bậc trùng ................................................................. 46 KẾT LUẬN .............................................................................................................. 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 63 1 MỞ ĐẦU Phần lớn các phương trình vi phân,tích phân xuất phát từ khoa học tự nhiên và xã hội đưa đến việc giải phương trình dạng ( )x = A x hay bài toán điểm bất động.Bậc tôpô của một ánh xạ là công cụ quan trọng bậc nhất trong nghiên cứa sự tồn tại và cấu trúc của điểm bất động. Bậc tôpô của ánh xạ liên tục trong không gian hữu hạn chiều được xây dựng trong những năm 1910 và ban đầu được xây dựng trong Giải tích phức,trong Lí thuyết đường và mặt.Năm 1934 Leray-Schauder đã xây dựng bậc tôpô cho ánh xạ hoàn toàn liên tục,tác động trong không gian Banach và ứng dụng nó để nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng. Từ đó bậc tôpô được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu có hệ thống và đã mở rộng cho nhiều lớp ánh xạ mới xuất hiện trong khoa học,kĩ thuật. Trong những năm 1960-1970, bậc tôpô đã được xây dựng cho ánh xạ dương trong không gian Banach có thứ tự, cho ánh xạ đơn điệu, ánh xạ cô đặc theo một độ đo phi compact và cho ánh xạ đơn trị compact, Một hướng mở rộng khác của bậc tôpô là xây dựng lí thuyết bậc tôpô để nghiên cứu phương trình dạng ( ) ( )L x = N x mà bài toán điểm bất động là trường hợp riêng khi ( )L x = x hoặc L có ánh xạ ngược liên tục.Trong những năm 1970, bậc trùng của cặp ánh xạ L,N đã được J.Mawhin xây dựng như một mở rộng tự nhiên của bậc tôpô. Bậc trùng có nhiều tính chất tương tự bậc tôpô và là công cụ hửu hiệu để nghiên cứu nhiều lớp phương trình vi phân và tích phân. Trong phạm vi luận văn này tôi đi sâu tìm hiểu về bậc trùng của ánh xạ đơn trị và ánh xạ đa trị. Bố cục luận văn chia làm hai chương:  Chương1. Bậc trùng của cặp ánh xạ đơn trị Chương này giới thiệu về lí thuyết bậc của Mawhin cho ánh xạ L -compact. Chương này gồm ba phần chính. Trong phần1.1 giới thiệu về ánh xạ Fredholm và mối hệ của nó với ánh xạ A- proper. 2 Trong phần 1.2 đưa ra định nghĩa về ánh xạ L -compact (ở đây L là ánh xạ Fredholm) và giới thiệu về bậc trùng. Một vài tính chất của bậc trùng cũng được trình bày trong phần này. Trong phần 1.3, trình bày nhiều kết quả của lí thuyết bậc đưa ra trong 1.2.  Chương2. Bậc trùng cho ánh xạ đa trị Trong chương này sẽ trình bày một vài kết quả về lí thuyết bậc. Những kết quả về lí thuyết bậc của Petryshyn và Fitzpatrick (1974), Mawhin (1972), Gaines và Mawhin(1972), Nussbaum (1969 và 1971), và Vainiko và Sadovshii (1968). Chương này gồm ba phần chính. Phần 2.1 trình bày định nghĩa và những tính chất cho bậc trường vectơ compact trù mật đa trị. Phần 2.2 xây dựng định nghĩa bậc trùng của ánh xạ đa trị. Phần 2.3 trình bày những tính chất của bậc được đưa ra trong phần 2.2. 3 Chương 1.BẬC TRÙNG CỦA MỘT CẶP ÁNH XẠ ĐƠN TRỊ 1.1. Ánh xạ fredholm Định nghĩa 1.1.1 Cho X vàY là các không gian định chuẩn và ( ):L D L X Y⊂ → là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó L được gọi là ánh xạ Fredholm nếu: (1) ( )( )dim Ker L < ∞ . (2) ( )Im L là tập đóng và ( )( ) ( )dim ker dim / Im .Co L Y L= < ∞ Mệnh đề 1.1.2 Cho X là không gian Banach và :T X X→ là một ánh xạ tuyến tính bị chặn. Khi đó ( )( )dim Ker T < ∞ và Im( )T là tập đóng nếu và chỉ nếu, cho (0,1)nx B∈ sao cho ,nTx y→ thì 1 ( )n nx ∞ = có dãy con hội tụ. Chứng minh. Để thuận tiện cho việc chứng minh, trước hết xin nhắc lại một kết quả trong không gian định chuẩn và định lí Riesz như sau: ( )1′ Một tập đóng và bị chặn trong không gian hữu hạn chiều là tập compact. ( )2′ Định lí Riesz: Nếu không gian định chuẩn X có quả cầu (0,1)B là tập compact thì ( )dim X < ∞ . Bây giờ ta trở lại phần chứng minh. Điều kiện đủ, ta biết từ giả thuyết đó { }: 0, 1x Tx x= ≤ là tập compact và áp dụng định lí Riesz ta có được ( )Ker T là hữu hạn chiều. Chúng ta có: ( )Ker MX T= ⊕ với M là một tập đóng trong X . Rõ ràng , chúng ta có ( ) Im( )T M T= .Từ : Im( )T M T→ là một đơn ánh thoả: Tx c x≤ , ,x M c o∀ ∈ > Từ đây suy ra ( )T M là tập đóng. Do đó Im( )T là tập đóng. Điều kiện cần, giả sử rằng (0,1)nx B∈ sao cho nTx y→ . Như trước đó 4 Ker(T) MX = ⊕ , vì vậy n n nx z m= + với ( )Ker Tnz ∈ và nm M∈ . Do đó nTm y→ . Tuy nhiên thu hẹp của T trên M vào ( )Im T là đơn ánh liên tục, vì vậy nm m M→ ∈ . Nhắc lại rằng ( )( )dim Ker T < ∞ , và từ ( )1′ dẫn đến { }: 0, 1x Tx x= ≤ là tập compact, vì vậy ( ) 1 n nx ∞ = có dãy con hội tụ. Điều phải chứng minh. Mệnh đề 1.1.3 Cho X là không gian Banach,và :T X X→ là ánh xạ Frelhom tuyến tính bị chặn và :K X X→ là ánh xạ tuyến tính compact. Khi đóT K+ là ánh xạ Fredholm. Chứng minh. Để thuận tiện cho việc chứng minh, trước hết xin nhắc lại một vài kết quả như sau: ( )3′ Cho X và Y là các không gian định chuẩn và :T X Y→ là một ánh xạ tuyến tính liên tục. Khi đó ( ) ( )*Ker ImT T ⊥= và ( ) ( )*Im KerT T ⊥= . ( )4′ Cho X và Y là các không gian Banach và :T X Y→ là một ánh xạ tuyến tính liên tục. Khi đó T là ánh xạ Fredholm nếu và chỉ nếu *T là ánh xạ Fredholm. Bây giờ ta trở lại phần chứng minh. Giả sử rằng (0,1)nx B∈ sao cho ( ) nT K x y+ → do tính compact của K dẫn đến ( ) 1n nKx ∞ = có dãy con ( ) 1kn k Kx ∞ = hội tụ. Vì vậy ( ) 1kn k Tx ∞ = hội tụ, từ mệnh đề 1.1.2 ta suy ra ( ) 1 n nx ∞ = có dãy con hội tụ.Cũng từ mệnh đề 1.1.2 ta có được ( )( )dim Ker T K+ < ∞ và ( )Im T K+ là tập đóng. Vì vậy từ ( )3′ dẫn đến ( ) ( )* *Im KerT K T K ⊥+ = + . Nhưng từ *T là ánh xạ Fredholm và *K là ánh xạ compact. Như trước đó ( )( )* *dim Ker T K+ < ∞ . Vậy ( )( )dim kerCo T K+ < ∞ . Từ đây ta kết luận T K+ là ánh xạ Fredholm. Điều phải chứng minh. Trong phần tiếp theo, nhắc lại rằng nếu L là ánh xạ Fredholm thì chỉ số của nó được cho bởi: ( ) ( )( ) ( )( )dim Ker dim ker .Ind L L Co L= − Bây giờ, giả sử L là ánh xạ Fredholm. Khi đó tồn tại hai phép chiếu tuyến tính liên tục :P X X→ , :Q Y Y→ sao cho: 5 ( )Im Ker( ),P L= ( ) ( )Ker Im .Q L= Bây giờ chúng ta có: ( ) ( )Ker L KerX P= ⊕ , ( ) ( )Im ImY L Q= ⊕ là các tổng trực tiếp đại số. Rõ ràng, thu hẹp PL của L từ ( ) ( )KerD L P∩ vào ( )Im L là đơn ánh và ánh xạ nghịch đảo của nó ( ) ( ) ( ): Im KerPK L D L P→ ∩ được xác định. Chúng ta kí hiệu bởi ( ) ( ): KerPQK Y D L P→ ∩ là ánh xạ nghịch đảo tổng quát của L xác định bởi ( ).PQ PK K I Q= − Để những phần chứng minh phía sau thuận lợi, ở đây ta có một vài nhận xét sau: (1) P là ánh xạ compact và 0,LPx x X= ∀ ∈ hay ( ) ,Lx L I P x x X= − ∀ ∈ . (2) ,PP P QQ Q= = và 0,QLx x X= ∀ ∈ . Mệnh đề 1.1.4 Cho X và Y là các không gian Banach khả li , ( )D L X⊂ là tập trù mật và ( ):L D L Y→ là ánh xạ Fredholm với ( ) 0Ind L m= ≥ . Khi đó tồn tại một dãy không gian con hữu hạn chiều đơn điệu tăng ( ) ( )1n nX D L ∞ = ⊂ sao cho 1n nX∞=∪ trù mật trong X , và cho ( ) 1n nP ∞ = là dãy các phép chiếu tuyến tính liên tục trên X với ( )Im n nP X= mỗi 1n ≥ và ,nP x x x X→ ∀ ∈ khi n →∞ và ( ) 1n nQ ∞ = là dãy các phép chiếu tuyến tính liên tục trên Y với ( )Im n nQ Y= mỗi 1n ≥ sao cho ( ) ( )dim dimn nX Y m− = với mỗi 1.n ≥ Chứng minh. Từ L là ánh xạ Freholm, khi đó tồn tại hai phép chiếu tuyến tính liên tục :P X X→ , :Q Y Y→ sao cho: ( ) ( )Im Ker ,P L= ( ) ( )Ker Im ,Q L= ( ) ( )Ker L KerX P= ⊕ , ( ) ( )Im ImY L Q= ⊕ Bởi giả thuyết ( )D L X⊂ là tập trù mật, chúng ta có thể chọn dãy con đơn điệu tăng ( ) ( )1n nX D L ∞ = ⊂ sao cho 1n nX∞=∪ trù mật trong X và ( )Ker nL X⊂ , một ( ) 1n nP ∞ = là dãy các phép chiếu tuyến tính liên tục trên X với ( )Im n nP X= mỗi 1n ≥ 6 và ,nP x x x X→ ∀ ∈ khi n →∞ . Rõ ràng, ( )( ) ( ), Ker Kern nPP P P P P= ⊂ và ( )( ) ( )KernI P X P− ⊂ . Đặt n n PQQ Q LP K= + khi đó nQ liên tục. Chúng ta có thể kiểm tra được rằng 2 n nQ Q= với mỗi 1.n ≥ Cuối cùng, đặt ( )n nY Q Y= . Khi đó chúng ta có: ( )Im nQ Q⊂ , n nQ Lx LP x= , x X∀ ∈ và ( ) ( )dim dimn nX Y m− = với 1n ≥ . Điều phải chứng minh. Trong phần tiếp, theo chúng ta định nghĩa chương trình xấp xĩ trong phần 1.1.4 bởi { }, , , .m n n n nT X P Y Q= Định nghĩa 1.1.5 Cho X là không gian Banach khả li, G X⊂ là tập khác rổng, n nG G X= ∩ với 1, 2...n = . Một ánh xạ :T G Y→ được gọi là A-proper đối với mT nếu :n n n nT Q T G Y= → là liên tục và nếu k kn nx G∈ sao cho ( ) 1kn kx ∞ = là tập bị chặn và ( ) 0k kn nQ Tx g− → khi k →∞ với một g Y∈ thì tồn tại dãy con ( )k lnx với k ln o x x G→ ∈ sao cho 0Tx g= . Mệnh đề 1.1.6 Cho X và Y là các không gian Banach khả li , ( )D L X⊂ là tập trù mật và ( ):L D L Y→ là ánh xạ Fredholm với ( ) 0Ind L m= > . Khi đó L là A-proper đối với mT . Chứng minh. Cho k kn n x G∈ sao cho ( ) 1kn k x ∞ = là bị chặn và ( ) 0k kn nQ Lx g− → khi k →∞ với một .g Y∈ Chú ý rằng k kn n PQ Q Q LP K= + , vì vậy chúng ta được: ( ) ( )( ) 0k k k k k k kn n n n PQ n n n PQg Q Lx g Q LP K Lx g Lx Qg LP K g= − = + − = − − → . Vì vậy ( )k k kn n PQ nL x P K g g Qg Qg− = + → .Tuy nhiên, ( )Im L là tập đóng, vì vậy dẫn đến ( )ImQg L∈ và do đó 0Qg QQg= = và ( ) 0k kn n PQL x P K g− → . 7 Chú ý rằng ( ) ,Lx L I P x x X= − ∀ ∈ và từ những điều này chúng ta kết luận rằng: ( ) ( )( ) 0k k k kP n n PQ n n PQK L x P K g I P x P K g− = − − → . Bây giờ, do tính compact của P nên ( ) 1kn k x ∞ = có dãy con ( )k lnx sao cho 0k ln x x→ và 0 0PQ PQx K g Px PK g− = − . Từ L là đóng, chúng ta có ( )0 0PQL x K g− = . Do đó 0Lx g= . Điều phải chứng minh. Mệnh đề 1.1.7 Cho X và Y là các không gian Banach, khả li và ( ):L D L Y→ là ánh xạ tuyến tính bị chặn. Khi đó L ánh xạ Freholm với ( ) 0Ind L m= ≥ nếu và chỉ nếu L là A- proper đối với một vài phép chiếu nào đó. Mệnh đề 1.1.8 Cho X và Y là các không gian Banach , ( ):L D L X Y⊂ → là ánh xạ Fredholm với ( ) 0Ind L m= > , một đơn cấu tuyến tính ( ) ( )' : Im KerJ Q L→ và ( ):N D N X Y⊂ → là một ánh xạ. Khi đó Lx Nx y− = nếu và chỉ nếu ' ' .PQ PQx Px J QNx K Nx K y J Qy− − − = + Chứng minh. Nếu Lx Nx y− = , khi đó chúng ta có: ( ) ( ) ( ) ,L I P x QNx I Q Nx Qy I Q y− − − − = + − Vì vậy, QNx Qy− = và ( ) ( ) ( ) ,L I P x I Q Nx I Q y− − − = − tức là, ' 'J QNx J Qy− = và PQ PQx Px K Nx K y− − = .Do đó chúng ta có: ' ' .PQ PQx Px J QNx K Nx K y J Qy− − − = + Mặt khác, nếu: ' ' ,PQ PQx Px J QNx K Nx K y J Qy− − − = + Khi đó, từ: ( ) ( )' Ker ImJ Nx L P∈ = và ( ) ( )KerPQK Nx D L P∈ ∩ Chúng ta có: PQ PQx Px K Nx K y− − = và ' 'J QNx J Qy− = Vì vậy: ( ) ( )Lx I Q Nx I Q y− − = − và QNx Qy− = . Do đó Lx Nx y− = . Điều phải chứng minh. 8 Mệnh đề 1.1.9 Cho X và Y là các không gian Banach khả li, ( )D L X⊂ là tập trù mật và ( ):L D L Y→ là ánh xạ Fredholm với ( ) 0Ind L m= > và mT như trong mệnh đề 1.1.4. Cho XΩ⊂ là tập mở bị chặn và :N YΩ→ là ánh xạ bị chặn. Nếu ' PQI P J QN K N− − − là A-proper đối với { },n nT X P= thì L N− là A-proper đối với mT . Chứng minh. Cho ( ) k kn n x D L X∈Ω∩ ∩ sao cho ( ) 0k k kn n nQ Lx Nx y− − → khi k →∞ với y Y∈ , chúng ta nhớ lại rằng k kn n PQ Q Q LP K= + ,vì vậy chúng ta có: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0, . k k k k k k k k k k n n n n PQ n n n n PQ n n Q Lx Nx y Q LP K Lx Nx y L I P x LP K Nx y Q Nx y khi k − − = + − − = − − + − + → →∞ Do đó chúng ta có: ( ) ( ) 0, 0. k k k k k n n PQ n k n y L I P x LP K Nx y z QNx Qy = − − + → = + → Và do đó: ( ) ( ) 0, w ' ' ' 0. k k k k k p n n PQ n k k n h K y I P x P K Nx y J z J QNx J Qy = = − − + → = = + → Từ những điều này chúng ta có thể kết luận rằng: , ' ' . k k k k k n n n PQ n PQ n x Px P K Nx K y J QNx J Qy − − → → − Dẫn đến: ( )' ' . k kn PQ n PQ P I P J QN K N x K y J Qy− − − → + Vì vậy: ( ) 1kn k x ∞ = có dãy con ( )k lnx với 0k lnx x→ và 0 0 0 0' 'PQ PQx Px J QNx K Nx K y J Qy− − − = + . Bởi mệnh đề 1.1.8 chúng ta có 0 0Lx Nx y− = . Do đó L N− là A-proper đối với 9 mT . Trong phần tiếp theo, giả sử rằng L là ánh xạ Fredholm với ( ) 0Ind L = . Khi đó với bất kì đẳng cấu tuyến tính ( ) ( ): Im KerJ Q L→ , ánh xạ PQJQ K+ là một đẳng cấu ánh từ Y vào ( )D L và ( ) ( )1 1PQJQ K x L J P x − −+ = + với mọi ( ).x D L∈ Thật vậy,nếu y Y∈ , chúng ta có: ( ) ( )PQ PQJQ K y x JQy K y Px I P x+ = ⇔ + = + − ( ) ( ) ( ) 11 PQPQ LK y L I P x I Q y LxK y I P x JQy Px Qy J PxQy J Px −−  = − − = = −  ⇔ ⇔ ⇔   = ==   Dẫn đến: 1y Lx J Px−= + Trong phần tiếp theo là một vài ví dụ cho ánh xạ Fredholm. Để thuận tiện cho việc kiểm tra các ví dụ trước hết xin nhắc lại kết quả sau: ( )5′ Cho X là các không gian Banach, :T X X→ là ánh xạ tuyến tính liên tục với ,T T Iλλ λ∈ = − và ( )Tσ là phổ của T . Khi đó chúng ( ) ( )Ker Im , 0, 0k kX T T kλ λ λ= ⊕ ∀ ≠ > . Trong đó ( )( )dim Ker kTλ < ∞ và ( )Im kTλ là tập đóng trong E . Ví dụ 1.1.10 Cho X là các không gian Banach , :T X X→ là ánh xạ tuyến tính liên tục compact. Khi đó, từ kết quả ( )5′ chúng ta biết rằng ( )( ) ( )( )dim Ker dim dimI T Co I T+ = + < ∞ . Vì vậy I T+ là một ánh xạ Fredholm chỉ số 0. Ví dụ 1.1.11 Cho [ ]: 0,f T → là trong 1L và xem xét bài toán sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0, 0 x t f t t T x x T ′ = ∈ = ( )1.1.1E Chúng ta đặt [ ]( )0, ,X C T=  là không gian của tất cả các hàm liên tục từ [ ]0,T 10 đến  . [ ]( ) ( )( )1 00, , , . ,0Y L T y f= × =  và định nghĩa một ánh xạ :L X Y→ bởi: ( ) ( ) ( ) ( )( ). ' . , 0Lx x x x T= − với mọi ( ) ( )' . .x dom L∈ ( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ){ }1' . 0, , : ' . 0, , .dom L x C T x L T= ∈ ∈  Chúng ta có thể kiểm tra được rằng ( )1.1.1E là tương đương như sau: ( ) 0. .Lx y= Chúng ta có thể thấy rằng: ( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ]{ }Ker . 0, , : , 0, , .L x C T x t c t T c= ∈ = ∈ ∈  ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( )1 0 Im . , , . 0, , . T L f f s ds f L T   = − ∀ ∈    ∫  Rõ ràng, ( )Im L là tập đóng và ( )( ) ( )( )dim Ker dim ker 1L Co L= = . Do đó L là ánh xạ Fredholm với chỉ số 0 . 1.2.Bậc trùng cho ánh xạ L -compact Trong phần này , chúng ta sẽ xác định bậc trùng cho ánh xạ L -compact và trình bày một vài chất của bậc trùng. Định nghĩa 1.2.1 Cho ( ):L D L X Y⊂ → là ánh xạ Fredholm, E là một không gian mêtric và :T E Y→ là một ánh xạ.Chúng ta nói T là L -compact trên E nếu : , :PQQT E Y K T E X→ → là liên tục và ( ) ( ), PQQT E K T E là compact, tất cả các kí hiệu giống như trong phần 1.1. Bây giờ, chúng ta sẽ định nghĩa bậc trùng: Bậc trùng: Cho X và Y là các không gian định chuẩn.Một ánh xạ tuyến tính ( ):L D L X Y⊂ → là ánh xạ Fredholm với chỉ số 0 và Ω là tập mở bị chặn trong .X Giả sử rằng : ( )F L T D L Y= + ∩Ω→ là một ánh xạ và T là L -compact trên .Ω Cũng giả sử rằng ( )0 ( )F D L∉ ∩∂Ω .Cho ( ) ( ): Im KerJ Q L→ là một đẳng cấu tuyến tính. Đặt JPQ PQH JQ K= + . Ta có thể kiểm tra được rằng: 11 ( )( ) ( ) .J JPQ PQ PQ PQ PQH F JQ K L T K L H T I P JQ K T= + + = + = − + + Do đó, ( )0 ( )JPQH F D L∉ ∩∂Ω . Thật vậy, nếu ( )0 ( )JPQH F D L∈ ∩∂Ω , khi đó: ( ) 0PQK Lx Tx JQTx+ + = với ( )x D L∈ ∩∂Ω . Vì vậy 0QTx = và ( )( ) 0I Q Lx Tx− + = . Do đó 0Lx Tx+ = , điều này mâu thuẩn. Bởi tính chất L -compact của T dẫn đến: Bậc Laray Shauder ( )( )deg , ,0PQI P JQ K T− + + Ω là định nghĩa tốt. Bây giờ chúng ta định nghĩa một bậc bởi: ( ) ( )( ), ,0 deg , ,0 .J PQD L T I P JQ K T+ Ω = − + + Ω Biểu thức này được gọi là bậc trùng của L và T− trên ( )D LΩ∩ . Chúng ta có thể kiểm tra được rằng định nghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn ,P Q . Nó thì có nghĩa rằng ( ), ,0JD L T+ Ω là một hằng số đối với một vài J phụ thuộc vào định hướng trên ( )Ker L và ( )Coker L . Định nghĩa đưa ra trên đây phụ thuộc vào .J Nhận xét ( )1 Nếu ( ) ( )dim dimX Y= < +∞và chúng ta lấy 0L = , khi đó với bất kì ánh liên tục T trên Ω là L -compact. Nếu chúng ta lấy P I= và, Q I= , khi đó dẫn đến 0,PQK = vì vậy J PQH F JT= và do đó chúng ta có: ( ) ( ) ( ) ( ), ,0 deg , ,0 si n d et deg , ,0 .JD T JT g J TΩ = Ω = Ω Do đó, nếu chúng ta chỉ chọn những J sao cho det 0J > thì ( ) ( ), ,0 deg , ,0JD T TΩ = Ω là bậc Brouwer. ( )2 Nếu X Y= và chúng ta lấy L I= , khi đó với bất kì ánh xạ liên tục compact T trên Ω là L -compact. Nếu chúng ta lấy 0P Q= = thì: { } { }, 0 : 0 0PQK I J= = → và JPQH F I T= + . Do đó: ( ) ( ), ,0 deg , ,0JD I T I T+ Ω = + Ω gọi là bậc Lary Shauder. Định lí 1.2.2 12 Bậc trùng của L và T− trên Ω có những tính chất sau: ( )1 Nếu 1Ω và 2Ω là các tập con mở rời nhau của Ω sao cho ( ) ( )( )1 20 \F D L∉ ∩Ω Ω ∪Ω thì ( ) ( ) ( )1 2, ,0 , ,0 , ,0 .J J JD L T D L T D L T+ Ω = + Ω + + Ω ( )2 Nếu ( ) [ ], : 0,1H t x Y×Ω→ là L -compact trên [ ]0,1 ×Ω và ( )0 ,Lx H t x≠ + với mọi ( ) [ ], 0,1t x ∈ ×Ω thì ( )( ), , ,0JD L H t x+ Ω không phụ thuộc vào [ ]0,1t∈ ; ( )3 Nếu ( ), ,0 0JD L T+ Ω ≠ thì ( ) ( )( )0 .L T D L∈ + ∩Ω Hệ quả 1.2.3 Nếu 1 2,T T là các ánh xạ L -compact trên Ω và 1 2T x T x= với mọi ( )x D L∈ ∩∂Ω thì: ( ) ( )1 1, ,0 , ,0 .J JD L T D L T+ Ω = + Ω Chứng minh. Chúng ta xét ( ) [ ], : 0,1H t x Y×Ω→ cho bởi: ( ) ( ) ( ) [ ]1 2, 1 , , 0,1 .H t x tT x t T x t x= + − ∀ ∈ ×Ω Khi đó, H là ánh xạ L -compact. Rõ ràng, ( )0 ,Lx H t x≠ + với mọi ( ) [ ], 0,1t x ∈ ×Ω , dẫn đến ( )( ), , ,0JD L H t x+ Ω không phụ thuộc vào [ ]0,1t∈ ; Vì thế, theo tính chất ( )2 của định lí 1.2.2 và bằng việc chọn 1, 0t t= = . Ta có được: ( ) ( )1 1, ,0 , ,0 .J JD L T D L T+ Ω = + Ω Mệnh đề 1.2.4 Cho X và Y là các không gian định chuẩn trên  , ( ):L D L Y→ là ánh xạ Fredholm với ( ) 0Ind L = , 0Y là không gian con hửu hạn chiều của Y thoả mản ( ) 0ImY L