Bài tập cơ học tập hai: động lực học

BÀI TẬP CƠ HỌC Tập Hai: ĐỘNG LỰC HỌC • • GVHD: PGS. TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN Chương I: ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐiỂM BÀI TẬP 1.2: trang 31 (SGK) Một xe goòng có khối lượng là 700 kg đang chạy xuống dốc dọc theo đưòng ray thẳng và nghiêng với mặt ngang một góc 150. Để giữ cho xe chạy đều, ta dùng dây cáp song song với mặt dốc. Vận tốc chạy đều của xe là 1,6 m/s. Xác định lực căng của dây cáp lúc xe chạy đều và lúc nó bị hãm dừng lại trong 4 giây. Hệ số cản chuyển động tổng cộng là f = 0,015 và lúc cản ta coi rằng xe chạy chậm dần đều.  y N  T  x v  Fc 150  P hình 1.2  Dùng tiên đề 2 động lực học điểm:  4      m.a Fk  P T N  Fc  1 k1  Trường hợp 1:    Xe chuyển động thẳng đều nên a  0       Tiên đề 2 trở thành: 0P  T N  Fc  2  Chiếu phương trình (2) lên trục y. 0 P cos  N N  P.cos  m .g .cos   Ta có: Fc  f. N  f . m . g .cos  Chiếu (2) lên trục x: 0 P .sin T  Fc T  P.sin  Fc  m . g .sin   f . m . g .cos  T  m. g . sin  f .cos   700.9,81 sin15  0,15.cos15 1677,8  N   Trường hợp 2:  Xe chuyển động thẳng chậm dần đều a const v1 a. t  v 0 Ta có: v1 0 m s ; t  4 s v0 1,6 m s v 1,6 a  0    0,4 m s2  0 t 4  Chiếu (1) lên trục x,y: m. a  P .sin T  Fc   0 P .cos  N  Fc f. N  f . m . g .cos  T m. a  P .sin  Fc  m.a gsin  f .cos    700 0,4  9,81 sin15  0,015.cos15  1957,8  N  Bài tập 1: Cho: k,0 , m , x 0. Bỏ qua lực cản của không khí và khối lượng lò xo. Xác định qui luật chuyển động của vật A. k  0 O t A x0 P x hình 1 Bài sửa  Chọn trục Ox có gốc tại vị trí cân bằng của vật A, có phương thẳng đứng và chiều dương hướng xuống.  Xác định luợng giãn lò xo khi hệ cân bằng (độ giãn tĩnh)  F P F  0 1 Fs  jx s   Fs  P  m. g Mà: F k.  s t P F m. g  s  hình 1.1 t k k  Chọn t  0 s lúc đó lò xo bị giãn thêm một lượng x 0 :  v00 m s  x 0   x t0  x0  Khảo sát chuyển động của vật A tại một vị trí bất kỳ:  Áp dụng tiên đề 2 động lực học:  2    m. a Fk  P  F S  2 k1  Chiếu (2) lên trục Ox: m. x P  Fs  m . g  k . m. x  m . g  kt  x   k . x m. x  k . x  0 x  2. x  0 3 k Với:   m Dạng nghiệm tổng quát: x A.sin  t  0  A và  0 được tìm từ các điều kiện ban đầu: x x  A.sin t  0s : 0 0 x0 A. .cos  t  0  t  0 A. .cos 0  0  cos  0    0 0 2 A  x0   Vậy vật dao động điều hoà: x x0.sin  t   2  Bài 1.5 trang 31 Một ô tô chở hàng có khối lượng là 6 tấn chạy xuống một chiếc phà với tốc độ là 21,6 km/giờ. Từ lúc xuống phà đến lúc dừng hẳn xe phải chạy thêm một quãng đường là 10 m, cho rằng khi ấy ôtô chuyển động chậm dần đều. Tính lực căng mỗi dây cáp (có hai dây cáp) buộc giữ phà, coi rằng dây cáp luôn luôn căng.   a v  2T  P s10 m hình 1.5 Bài sửa  Khảo sát chuyển động của xe:   a  v 1 y 1 N1 x  F  ms P hình 1.5.1  Sử dụng tiên đề 2 động lực học:    m1 a 1  P N1  Fms 1  Chiếu (1) lên x , y : m1 a1  Fms 2   0 P  N1  3 3 N1  P 2 2  Ta có: v v0  2 a 1 s 0  36  2a1 .10 2 a1  1,8 m s  0  Thay a1,8 m s2 vào  2 : Fmst  m1 a 1  6000.1,8 10800  N   Khảo sát sự cân bằng của phà:  N y   1  N 2.T Fms x  Q hình 1.5.2 *  Fjx 2 T  F mst  0 5 F * 10800 T mst   5400  N  2 2 Chương II: ĐỘNG LỰC HỌC CƠ HỆ. Bài tập 2. Cho 1 thanh thẳng, mảnh, đồng chất tiết diện đều AB. Khối lượng của toàn thanh là m, chiều dài . Thanh AB z z cắt trục tại điểm gốc O và hợp trục một góc  như hình vẽ. Cho biết: m ,  ,  , OA  a , OB  b . Hãy xác định z moment quán tính của thanh AB đối với trục x, y, và tâm O z (thanh ABz nằm trong mặt phẳng Oy ). z B B u z du dk K y dky O O u y x  x  A A Hình II.2a Hình II.2b Bài sửa z z  Dựng hệ trục Oxy sao cho thanh nằm trong Oy . Dựng trục Ou có phương trùng AB và có chiều như hình vẽ.  Khối lượng riêng của thanh: m   , kg m   Khảo sát một chất điểm K trên thanh: dkz  u.sin  Chiều dài: du  dky  u.cos  Khối lượng điểm K: mk  . du d u  kx z  Moment quán tính của toàn thanh đối với trục :  b b 2 2 2 2 2 Jz m. d z  . du . u .sin    sin  u du  k k     k 1 a  a 3 m2 ub m 2 3 3 Jz sin .  sin   b  a  3a 3  m sin2 a  b a 2  ab  b 2   3   m a2  ab  b 2sin 2  3  Moment quán tính của toàn thanh đối với trục y:  b J m. d2   . du . u 2 .cos 2  y  k ky     k1 a b  cos2   u 2 du a 3 m2 ub m 2 3 3 Jy cos .  cos   b  a  3a 3  m cos2 a  b a 2  ab  b 2   3   m a2  ab  b 2cos 2  3  Moment quán tính của toàn thanh đối với trục x:  b b J m. d2  . du . u 2   u 2 du x  k kx     k1 a  a 3 b u  3 3 2 2     b  a 3  ( a  b )( a  ab  b ) 3 a 3 m (a2  ab  b 2 ) 3  Moment quán tính của toàn thanh đối với tâm O: 1 m 2 2 JO  Jx  J y  Jz  a  ab  b  2  3 Vậy: JO = Jx . Bài tập 3. Cho một cơ hệ gồm 2 vật rắn có dạng hình lăng trụ tiết diện tam giác vuông đặt chồng lên nhau với vị trí ban đầu như hình vẽ. Tiết diện của 2 vật là 2 tam giác vuông đồng dạng. Khối lượng của 2 vật lần lượt là mA, mB. Vật B tựa không ma sát trên mặt nghiêng của mặt A. Vật A tựa không ma sát đối với mặt ngang cố định. Các cạnh của 2 vật song song với bề mặt cố định là a, b (a > b). Ban đầu toàn hệ đứng yên. Hãy xác định đoạn đường chuyển động của vật A khi vật B trượt hết mặt nghiêng của vật A (lúc B vừa chạm đất). b B A a b Hình II.3 Bài sửa y b x 0 CB C0  B N 0 CA C A CB  O x 0 x CA  PB b a P 3 a / 3 A sA x CA x CB Hình II.3.1  Dựng hệ trục Oxy như hình vẽ.  Gọi:  Khối tâm của vật A, vật B và toàn hệ: CA, CB, C  Đoạn đường chuyển động của vật A khi B chạm mặt phẳng cố định: sA  Tọa độ x của các khối tâm: x; x ; x ; x 0 0 CA C B CA C B  Ta có: a 2 x= ; x = b ; C0 C 0 A3 B 3 a b x= s ; x = s  a  CA A3 C B A 3  Ban đầu toàn hệ đứng yên. x = 0 m   C0    A s v 0 = 0   CA m y 0 = 0  CA  s x = 0 m   C0    B s v 0 = 0   CB m y 0 = 0  CB  s  Khảo sát chuyển động toàn hệ (2 vật).  Hệ ngoại lực tác động lên hệ:    PA; P B ; N  Dùng định lý chuyển động khối tâm. 3      e M. aC = F j = P A P B  N ; 1 j=1  Chiếu (1) lên trục x: M. x = 0  x = 0 m C C  s2   x C = const  x= x  C C0  Theo định nghĩa khối tâm hệ, ta có: 2 m. x  k k m. x m . x  k=1 A CA B C B x C = = M mA m B do đó : m. x m . x  m. x m . x  AC0 B C 0 A CA B C B= A B = 0 mA m B m A  m B  x C = 0  x =const = x C C0 m .x m . x m. x m. x AC0 B C 0  A CA B C B = A B mA m B mA  mB m.x  m .x = m .x  m .x ACA BCB A 0 B 0 CA CB   a b  a  2   m.s    m .s a  = m .  m . b AA  B A  A B    3   3  3  3    mB sA = b  a  0 mA m B Vì sA < 0 nên vật A chuyển động về phía bên trái. Bài tập 4. Cho con lăn O là vành tròn, đồng chất, bán kinh r lăn không trượt lên mặt phẳng nghiêng một góc  cố định như hình vẽ. Trọng lượng của con lăn P và hệ số trượt tĩnh giữa con lăn O và mặt phẳng ngang cố định là ft, bỏ qua ma sát lăn. Cho P, M = const, r, , ft. Hệ ban đầu đứng yên. a. Phân tích chuyển động của vành và của tâm O vành. Thiết lập các mối quan hệ động học giữa các đặc trưng chuyển động của toàn vật với các đặc trưng chuyển động của tâm O vật. b. Xác định gia tốc góc của con lăn O dưới dạng hàm của r, , M , và P. Tìm điều kiện của moment M để con lăn O lăn lên. c. Xác định phản lực tại tiếp điểm A. d. Tìm điều kiện của ft để con lăn O lăn không trượt trên mặt phẳng nghiêng cố định. M  r  O   P A  Hình II.4 Bài giải y   M 0    v N s 0  r 0 O    a x R 0  qt  P  Fmst qt A MO  Hình II.4.1 a.  Phân tích chuyển động.  Của vành: vành lăn không trượt, nhanh dần, lên trên mặt nghiêng cố định. Đây là 1 dạng chuyển động song phẳng với tâm vận tốc tức thời P là điểm tiếp xúc A.  Của tâm O: chuyển động thẳng theo phương của mặt nghiêng, nhanh dần, hướng lên.  Quan hệ động học.  Do vành lăn không trượt nên ta có các quan hệ sau đây: s v a 0    0 0    0  0 r r r Với  là góc quay,  là vận tốc góc,  là gia tốc góc của vành. b. Tính động năng hệ hê 12 1 2 T  m. v  J . 20 2 O P m   g   2P 2 Vôùi JO  mr.  r  do vaät laø vaønh  g v r.  0  hê 1P2 2 1 P 2 2 P 2 2 T . . r .  . r .   r .  2g 2 g g  Tính tổng công các tải    A A P  A N  A Fmst   AM    Vôùi: AN  0, (vì N vuoâng goùc vôùi be àmaët tieáp xuùc vaø vì ñieåm A co áñònh)   s0 A Fmst 0   h0  AM   M . O  Hình II.4.2 A P   P. h0   P . r .sin .  Vì h0 s 0.sin  r .  .sin   A  M - P.r.sin.   Áp dụng định lý biến thiên động năng: hê hê T T   A 1 0  ban ñaàu heä ñöùng yeân hê T0 = 0 P .r2 . 2 M  P . r .sin  .  g  Đạo hàm 2 vế theo thời gian t: P .r2  2. .  M  P . r .sin  .  g M - P.r.sin    g 2.P . r 2 M  P. r .sin  a. r  . g 0 2.P . r  Điều kiện của M để vành lăn lên: 0 M P . r .sin   0 chieàu ñaõ choïn laø ñuùng M  P. r .sin c. Sử dụng nguyên lý D’Alembert.  Tác động thêm lên vành 2 thành phần cơ bản của hệ lực quán tính đặt tại O.  Vector chính của hệ lực quán tính.   Rqt  m. a O   R  a  qt O   P M Pr. .sin  Rqt m. a O  . .g  g 2P .r M  P. r .sin  R  qt 2r  Moment chính của hệ lực quán tính đối với tâm O. qt MO  J O. Mqt    O   qt P 2  M Pr. .sin  MOJ O.   .r  .2  .g  g  2P .r  1 Mqt  M - P.r.sin  O 2  Khảo sát sự cân bằng của vành:  Fjx  P.sin  R qt  F mst  0 1  Fjy  N  Pcos  0 2 Giải hệ (1), (2) ta thu được: N P.cos  3 Fmst P.sin  R qt M  P. r .sin P.sin  2r M + P.r.sin F  4 mst 2r d. Điều kiện để vành lăn không trượt: Fmst F msgh  f t . N  5  Thay (3), (4) vào 2 vế của (5) ta nhận được: M  P. r .sin  f. P .cos 2r t M  P. r .sin f  t 2P . r .cos Bài tập 5. Cho 1 cơ hệ gồm 2 vật có khối lượng M1 và M2 có liên kết và chịu tải như hình vẽ. Hệ số ma sát trượt tĩnh giữa 2 vật là ft, bỏ qua ma sát giữa vật có khối lượng M2 với sàn cố định. Ban đầu khi chưa chịu tác dụng của hệ lực F hệ cân bằng. Tìm điều kiện của giá trị lực F để hai vật cùng chuyển động tịnh tiến thẳng theo phương ngang như nhau (không trượt đối với nhau). M ft 1 M2  F Hình II.5 Bài giải  Gọi C1, C2, C lần lượt là khối tâm của vật 1, vật 2 và của toàn hệ.     Gọi a, a , a lần lượt là gia tốc của C , C , C. C1 C 2 C 1 2  Vì vật 1 không bị trượt đối với vật 2 nên:      a a  a  a N C1 C 2 C  Khảo sát chuyển c M1 ft 1  động của toàn hệ.  a P c y 1 c   Hệ ngoại lực tác 2 M2 F động lên hệ:      x P P ,P ,F , N 2 1 2 O Hình II.5.1  Dùng định lý chuyển động khối tâm cho hệ. 4       e Ma.c F j  P1  P 2  F  N  1 j1  Chiếu (1) lên trục x: F F Ma.  F a   2 M M1 M 2  Ta khảo sát chuyển động của vật 1 (có lợi hơn khảo sát vật 2 vì vật 1 có ít ngoại lực tác động hơn so với vật 2).  Hệ ngoại lực tác động lên vật 1:     N1 M1 P ,F , N y  1 mst 1 a c1  Dùng định lý chuyển x động khối tâm cho vật 1: O   F P1 mst Hình II.5.2  3     M. a Fe  P  F  N 3 1C1  j 1 mst 1   j1  Chiếu (3) lên 2 trục x,y: Ox: M1 . a Fmst  4 Oy: 0  P1  N 1  5  Thay (2) vào (4), ta có: M1 Fmst  . F  6 M1 M 2  Từ (5) ta tính đựơc: N1 P 1  M 1. g  7  Điều kiện để vật (1) không trượt trên vật (2): Fmst F msgh  f t . N1  8  Thay (6), (7) vào (8): M1 .F ft . M1 . g M1 M 2 F  ft  M1  M 2 . g Bài tập 6. Cho một đĩa tròn,đặc, đồng chất có bán kính R và khối lượng m, bị đẩy lăn không trượt trên mặt nghiêng với vận tốc ban đầu của tâm A đĩa ở chân dốc 0 là vA. Biết mặt nghiêng cố định nghiêng một góc  đối với phương ngang và chiều dài mặt nghiêng là . Cho 0 biết: bán kính R,m, vA , , f t , fđ , . a) Hãy phân tích chuyển động của đĩa và tâm A đĩa. Tìm mối quan hệ động học giữa chuyển động của đĩa và tâm A đĩa. b) Tính động năng cho đĩa và tổng công tác động lên đĩa. c) Tính vận tốc và gia tốc của tâm A đĩa. Cho nhận xét hai kết quả này. 0 d) Tìm điều kiện về giá trị vA để đĩa có thể lăn lên được hết dốc. e) Xác định các thành phần phản lực tại điểm tiếp xúc I. f) Tìm điều kiện của góc nghiêng  để đĩa lăn không trượt trên mặt nghiêng. g. Cho tg   3 f t : g1. phân tích lại chuyển động của đĩa. Xác địnhdofhê và chọn các tọa độ suy rộng.  g2. xác định các lực suy rộng tương ứng g3. thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động cho hệ.   ,  sA, v A R A I   Hình II.6 Bài sửa  lA  Rqt y   x sA, v A  ,  N  A A  F (vì vật lăn không trượt) qt a A mst M A A I  A P  Hình II.6.1 a).  Phân tích chuyển động của đĩa: Đĩa chuyển động lăn không trượt trên mặt nghiêng cố định. Đây là trường hợp đặc biệt của chuyển động song phẳng với tâm vận tốc tức thời là điểm tiếp xúc I.  Phân tích chuyển động của khối tâm A đĩa: tâm A đĩa chuyển động thẳng với quỹ đạo là đường thẳng  A  song song với mặt nghiêng cố định và cách mặt nghiêng ấy một khoảng bằng bán kính đĩa.   Do đó: vA A; a A    A   Quan hệ động học giữa chuyển động của đĩa và chuyển động của tâm A đĩa khi đĩa lăn không trượt: s v a   A   A   A A R A R A R b.  Động năng của hệ: hê 12 1 2 T  m v  J  2A A 2 A A 2 1P2 1 1 P 2  vA vA   R  2 2g 2 2 g  R 3 P  v2 4 g A  Tổng công các tải:     A A P  A Fmst   A N   A Fmst   0 : vì vật không trượt.  A N   0 : vì vuông góc và điểm I đứng yên tức thời.  độ cao hướng  A A P   P. hA   P .sin  s A ; lên  công âm c. Vận tốc của tâm A: Dùng định lý biến thiên động năng: hê hê T1 T 0    A 3P 3 P 2 v2  v 0   Psin  s  4gA 4 g  A A  const 2 0 4   vA  v A   g.sin  s A 3   Đạo hàm 2 vế  theo thời gian t: 3 1 2v a  sin  v 4 g A A A 2a 2.g .sin a   g.sin  0   A    0 A3 A R 3. R  Tâm A chuyển động thẳng, chậm dần và đĩa lăn chậm dần. O d. Điều kiện tối thiểu của vA để đĩa lăn hết dốc: v0 m / s tai s   A A 2 4 v0  g.sin .  0  A  3 2 3 2 3 v0  g. .sin  v 0  g .  .sin  A3 A 3 e. Xác định các thành phần phản lực: Theo nguyên lý D’Alembert, ta sẽ bổ sung vào đĩa hai thành phần cơ bản của hệ lực quán tính:   R qt  qt M A thì đĩa sẽ ở trong trạng thái cân bằng.   Rqt   m A. a A 2 R  m. a  . P .sin ; (do tính độ lớn nên bỏ (-)) qt A A 3 qt MA   J A. A qt 1P2  aA 1 P 2 1 MA R   Rg.sin  P . R .sin  2g  R 2 g 3 3  Viết các phương trình cân bằng:    Fjx   P.sin Fmst  Rqt  0   Fjy   P.cos N  0  Giải hệ , : N P.cos  Fmst P.sin  R qt 2 P.sin  P .sin  3 1 F  P.sin  0  mst 3 f. Điều kiện của  để đĩa lăn không trượt:  Fms tFmsgh  f t .N Thay ,  vào : 1 P.sin f . P .cos  3 t  tan  3 ft g. g1.  Do tg  3 ft nên đĩa vừa lăn vừa trượt trên dốc. Đây cũng là trường hợp đặc biệt của chuyển động song phẳng với tâm vận tốc tức thời không phải là điểm tiếp xúc I.  Bậc tự do của hệ: dofhË  2  Chọn 2 tọa độ suy rộng: x ,  . (hình 3.1) x   A N I  F  msđ P  Hình II.6.2 g2.  Xác định lực suy rộng Q 1  Q x tương ứng với tọa độ suy rộng q 1  x :  Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt:  q1  x 0, q2    0 (đĩa chỉ trượt mà không lăn vì   0 )  Tổng công khả dĩ của các tải:     A  A P   A Fmsđ   AN  ; N  0  P. h Fmsđ .  x  P.sin .  x  fđ N .  x  P.sin  fđ P .cos   x A  Psin   fđ .cos   x  x  h A  Hình II.6.3  x  0  N   0 A  N  0 : vì khi chiếu lên I phương trượt  F  phương của lực msđ P nâng N vuông góc  so với phương trượt. Hình II.6.4 Lực suy rộng:   A Q Q   sin  f cos   P 1 x  x đ  sin  fđ cos  M . g  Xác định lực suy rộng Q 2  Q  tương ứng với tọa độ suy rộng q2    Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt: q1  x 0 ,  q 2    0 (đĩa quay quanh tâm A cố định hay đĩa trượt không lăn)  Tổng công khả dĩ của các tải:     A A P  A Fmsđ   A N   Fmsđ. s I   fđ N . r .  A   fđ . P . r .cos  .   Lực suy rộng:  A Q Q    f. P . r .cos 2   đ  x  0  N   0 A  sI  r.  F  msđ P  Hình II.6.5  Q2  Q   fđ . M . g . r .cos g3. Dùng phương trình Lagrange 2: d T   T    Qi , i  1,2 dt qi   q i  Xác định động năng hệ: hê 12 1 2 T  M. v  J  2A 2 A 12 1 1 2  2 M. x   M . r  2 2 2  T  T   0 (không có x chỉ có đạo hàm của x) q1  x d T  d  T       M. x dt q1  dt  x   T  T   0 (không có ) q2  d T  d  T  1 2      M. r . dt q2  dt    2 Do đó: M.x  sin  f cos   M . g  đ  1 2  M.r .   fđ M .r .cos  . g  2  x sin  f cos   g  đ   2fđ cos . g     r Bài tập 7. Cho cơ hệ như hình vẽ. Biết bán kính r, P, M = const, Q, ròng rọc là vành tròn đồng chất. Dây mềm, nhẹ, không giãn, không trượt trên ròng rọc, luôn căng. Ban đầu hệ đứng yên. a) Hãy phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ. Thiết lập quan hệ động học giữa các vật. b) Xác định động năng cho toàn hệ và tổng công của các tải tác động lên hệ. c) Xác định gia tốc của vật A và gia tốc góc của ròng rọc B. d) Tính lực căng dây nối vật A. e) Tìm điều kiện của moment M để nhánh dây nối vật A bị chùng. Xác định lại gia tốc của A và gia tốc góc của ròng rọc B. M r B B,  B ,  B  Q A     sA, v A , a A P Hình II.7 a) Phân tích chuyển động:  Vật A: chuyển động tịnh tiến thẳng đứng, nhanh dần, có chiều hướng xuống.  Ròng rọc B: chuyển động quay nhanh dần, cùng chiều kim đồng hồ quanh trục vuông góc với mặt phẳng hình vẽ và đi qua tâm B cố định (tâm B cố định).  Thiết lập quan hệ động học giữa các vật: sA r. B vA r. B aA r. B b).  Động năng của hệ: hê A B T  T  T 1 P Vật A chuyển động tịnh tiến: T v2 A2 g A 1 Vật B chuyển động quay: T J  2 B2 B B (JB là moment quán tính của vật B đối với trục cố định thẳng góc với mặt phẳng hình vẽ qua B) Q J r 2 B g hê 1P2 1 Q 2 2 T  v  r  2gA 2 g B 12 2 1 2 P. vA  Q . v A  P  Q v A 2g 2 g  Tổng công các tải:   A A(M )  A ( P ) M  Với: A(M ) M .  s ; A( P )  Ph  Ps B r A A A M   A  P  sA r  c).  Gia tốc của A và gia tốc góc của ròng rọc B:  Áp dụng định lý biến thiên động năng: hê hê T1 T 0    A 1 2 M  P  Q vA   P  s A 2g r  Đạo hàm 2 vế 1 M  theo t: 