Bài thu hoạch môn: Số học hiện đại
“Sốhọc hiện đại” là một nghành khoa học tựnhiên ra đời cùng với sựra đời của nghành toán học.SốHọc ra đơi tưrất sớm trong lịch sửphát triên nghành toán và có vai trò quan trọng trong các nghành khoa học khác cũng nhưtrong cuộc sống thực tế.Trong nền toán học hiện đại Sốhọc có vai trò quan trọng,là nền tảng cho các nghanh toán đó. Tuy vậy khi tiếp cận với Sốhọc hiện đại người học sẽgặp rất nhiều khó khăn vì tính trừu tương và độtưduy rất cao của nghành học.Đểkhắc phục vấn đề đó tôi đưa ra một sốít những gì mình đã học trong chương I và III của giáo trình “Sốhọc hiện đại” của thầy Nguyễn Thành Quang.Thông qua một sốkết quảvà một sốví dụ đểminh họa cho sựquan trọng đó và sự tương tựtrong các nghiên cứu đó. Từ định lý Mason, người ta dễdàng thu được định lý cuối cùng Fermat đối với đa thức trên hệthức giữa các đa thức. Chẳng hạn một trong những hệquả đó là định lý Davenport mà khẳng định tương tựcủa nó đối với sốnguyên là giảthuyết Hall hoặc Giảthuyết “ABC” vẫn còn chưa được chứng minh.Số nguyên tố và số giả nguyên tố cùng những ứng dụng của nó trong khoa học và trong thực tiễn của cuộc sống. Cuối cùng tôi xin cám ơn Thầy giáo Nguyễn Thành Quang đã tận tình dạy bảo va giúp đỡtôi trong quá trình học tập.Vì khảnăng còn nhiêu hạn chếchắc chắn sẽcòn rất nhiều hạn chếvà thiếu sót,vì vậy rất mong được sự góp ý chỉdẫn của các thầy,cô và các bạn
Bạn đang xem nội dung tài liệu Bài thu hoạch môn: Số học hiện đại, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Bài thu ho ch môn: S h c hi n i. L p 17A3 Cao h c toán - i h c Vinh
Lời M ở Đầ u
“S ố h ọc hi ện đạ i” là m t nghành khoa h c t nhiên ra i cùng v i
s ra i c a nghành toán h c.S H c ra ơi t ư r t s m trong l ch s phát
triên nghành toán và có vai trò quan tr ng trong các nghành khoa h c khác
c ng nh ư trong cu c s ng th c t .Trong n n toán h c hi n i S h c có vai
trò quan tr ng,là n n t ng cho các nghanh toán ó.
Tuy v y khi ti p c n v i S h c hi n i ng ư i h c s g p r t nhi u
khó kh n vì tính tr u t ươ ng và t ư duy r t cao c a nghành h c. kh c
ph c v n ó tôi ư a ra m t s ít nh ng gì mình ã h c trong ch ươ ng I và
III c a giáo trình “S ố h ọc hi ện đạ i” c a th y Nguy n Thành Quang .Thông
qua m t s k t qu và m t s ví d minh h a cho s quan tr ng ó và s
tươ ng t trong các nghiên c u ó. T nh lý Mason, ngư i ta d dàng thu
ư c nh lý cu i cùng Fermat i v i a th c trên h th c gi a các a th c.
Ch ng h n m t trong nh ng h qu ó là nh lý Davenport mà kh ng nh
tươ ng t c a nó i v i s nguyên là gi thuy t Hall ho c Gi thuy t “ABC”
v n còn ch ưa ư c ch ng minh.S nguyên t và s gi nguyên t cùng
nh ng ng d ng c a nó trong khoa h c và trong th c ti n c a cu c s ng.
Cu i cùng tôi xin cám ơn Th y giáo Nguy n Thành Quang ã t n tình
d y b o va giúp tôi trong quá trình h c t p.Vì kh n ng còn nhiêu h n
ch ch c ch n s còn r t nhi u h n ch và thi u sót,vì v y r t mong ư c s
góp ý ch d n c a các th y,cô và các b n
Tôi Xin Chân Thành Cám n!
Vinh,tháng 5 n m 2010
H c viên: Tr n Thanh H i – Chuyên ngành: Gi i tích 1
Bài thu ho ch môn: S h c hi n i. L p 17A3 Cao h c toán - i h c Vinh
I.Trường đị nh chu ẩn
I.1 Định ngh ĩa: Môt tr ư ng nh chu n n u trên K ã xác nh m t ánh x : ϕ : K → R ,
th a mãn các i u ki n sau:
i.ϕ(a ) là s th c , ∀a ∈ K ,
ii. ϕ )0( = 0; ϕ(a ) > 0; v i 0≠ a ∈ K ,
iii.ϕ(ab ) = ϕ(a ) ϕ(b) ,
iv. ϕ(a + b) ≤ max (ϕ(a),ϕ(b));∀a,b ∈ K .
I.2 Ví d ụ: V tr ư ng nh chu n (K,ϕ)
Gi s Q là tr ư ng các s h u t , p là m t s nguyên t c nh nào ó. Khi ó
s
v i m i 0≠ a ∈ Q , ta có th vi t m t cách duy nh t a = p n , (n ∈ Ζ)
t
−n
Trong ó các s nguyên s,t không chia h t cho p.Ta t ϕ p (0) = ;0 ϕ p (a) = p .Khi ó
trên Q s xác nh cho ta m t s nh chu n.Chu n này ư c g i là chu n p_adic .
s s
V i a p n ⇒ a p n p −n . a Q;n Z .
= p = = (∈ ∈ )
t t p
1 1 1 1
Ch ng h n: = ⋅ = ⋅ 7 −1 = .7
35 7 5 7 7 5 7
1 1 1
= ⋅1 = ⋅ 20 = 20 = .1
35 2 35 2 35
Nh ận xét : V i p,q là hai s nguyên t phân bi t thì chu n p_adic va chu n q_adic không
tươ ng ươ ng nhau trên tr ư ng các s h u t Q.
I.3 Định chu ẩn không Ácsimet .
M t chu n ϕ trên tr ư ng K là m t nh chu n không Ácsimet n u
ϕ(a + b) ≤ Max (ϕ(a),ϕ(b));∀a,b ∈ K .
II. Định lý Mason .
II.1 Định lý : Cho K la m t tr ư ng óng i s c s không.Gi s a(t),b(t),c(t) là các a
th c khác h ng s v i h s trong K, nguyên t cùng nhau sao cho a + b = c .Khi ó n u
kí hi u n0 ( f ) là s nghi m phân bi t c a a th c f thì ta có:
Max(deg(a) ,deg(b), deg(c)) ≤ n0 (abc )−1.
II.2 Định lý Fermat
T nh lí trên ta suy ra ư c h qu sau: (T ươ ng t c a nh lí cu i cùng c a
Fermat trên a th c) : Không t n t i các a th c a,b,c v i h t trong m t tr ư ng óng
i s c s không, khác h ng s , nguyên t cùng nhau và thõa mãn ph ươ ng trình:
a n + b n = c n , v i n ≥ .3
Ch ứng minh :
H c viên: Tr n Thanh H i – Chuyên ngành: Gi i tích 2
Bài thu ho ch môn: S h c hi n i. L p 17A3 Cao h c toán - i h c Vinh
Gi s các a th c a, b, c tho mãn ph ươ ng trình nói trên. Rõ ràng s nghi m phân
bi t c a a th c a nbncn không v ư t quá deg(a) + deg(b) + deg(c). Áp d ng nh lý
Mason, ta có:
n n n n
deg(a ) = ndega ≤ n o(a b c ) – 1
≤ n o(abc) – 1
≤ deg(abc) – 1
= deg(a) + deg(b) + deg(c) - 1.
Nên
deg(a n) = ndega ≤ deg(a) + deg(b) + deg(c) – 1
deg(b n) = ndegb ≤ deg(a) + deg(b) + deg(c) – 1
deg(c n) = ndegc ≤ deg(a) + deg(b) + deg(c) – 1
C ng t ng v các b t ph ươ ng trìng trên, ta có
n(dega + degb + degc) ≤ 3(dega + degb + degc) – 3.
Ta có mâu thu n vì n ≥ 3.
II.3 Định lý Davenport
c bi t m t trong nh ng h qu c a nh lí Mason là nh lý sau ây. nh lý
Davenport:
Gi s f,g là các a th c trên tr ư ng K, nguyên t cùng nhau sao cho
1
f 3 ≠ g 2 .Khi ó ta có: deg (f3 − g 2 )≥ deg f +1 .
2
Ch ứng minh: Ta dùng nh lý Mason v i.
a = g 2, b = f 3 – g 2, c = g=f 3.
Khi ó a, b, c nguyên t cùng nhau và tho mãn ph ươ ng trình a + b = c. Theo nh lý
Mason ta có dega ≤ n o(abc) – 1
2 3 2 3
≤ n o(g (f – g )f ) – 1
3 4
≤ n o(g(f - g )f) – 1
= deg(g(f 3 - g 4)f) – 1
= degg + deg(f 3 – g 2) + degf – 1
⇒ 2degg ≤ degg + deg(f 3 – g 2) +deg(f) – 1 (1)
Tươ ng t :
⇒ 3degf ≤ degg + deg(f 3 – g 2) +deg(f) – 1 (2)
C ng t ng v các b t ph ươ ng trìng (1) và (2) trên, ta có:
H c viên: Tr n Thanh H i – Chuyên ngành: Gi i tích 3
Bài thu ho ch môn: S h c hi n i. L p 17A3 Cao h c toán - i h c Vinh
2degg + 3degf ≤ 2degg + 2deg(f 3 – g 2) + 2deg(f) – 2.
⇒ deg(f) ≤ 2deg(f 3 – g 2) - 2.
1
⇒ deg(f 3 – g 2) ≥ deg(f) + 1. Suy ra pcm
2
II.4.H ệ qu ả:
II.4.1.H ệ qu ả 1 . (T ưong t nh lý Davenport)
Gi s f, g là các a th c khác h ng s trên tr ư ng óng i s , c s không K,
5
nguyên t cùng nhau, sao cho f 3 ≠ g4. Khi ó ta có: deg(f 3 – g 4) ≥ degf + 1 (*)
4
Ch ứng minh:
+) N u 3deg(f) > 4deg(g) ⇒ deg(f 3 - g 4) = deg(f 3) = 3deg(f). Khi ó hi n nhiên ta có
(*),v i chú ý r ng deg(f) ≥ 1.
+) N u 3deg(f) < 4deg(g) ⇒ deg(f 3 - g 4) = deg(g 4) = 4deg(g) khi ó ta c ng có (*), vì:
5
deg(f 3 - g 4) = 4deg(g) > 3deg(f) > degf + 1
4
+) N u 3deg(f) = 4deg(g)
S d ng nh lý Mason v i: a = f 3, b = g 4 - f 3, c = g 4.
Khi ó a, b, c nguyên t cùng nhau và tho mãn ph ươ ng trình a + b = c. Theo nh lý
Mason ta có dega ≤ n o(abc) – 1
4 3 4 3
Hay: 3deg(f) ≤ n o(g (f - g )f ) – 1.
3 4
Suy ra 3deg(f) ≤ n o(g(f - g )f) – 1.
Do ó ta có 3deg(f) ≤ deg(g) + deg(f 3 - g 4) + deg(f) – 1.
⇒ deg(f 3 - g 4) ≥ 2deg(f) – deg(g) + 1
3
⇒ deg(f 3 - g 4) ≥ 2deg(f) – deg(f) + 1
4
5
⇒ deg(f 3 - g 4) ≥ deg(g) + 1
4
II.4.2. Tổng quát c ủa đị nh ký Davenport
Gi s f,g là các a th c khác h ng trên tr ư ng óng i s c s không K,
nguyên t cùng nhau , sao cho f n ≠ gm. Khi ó ta có
nm − n − m
deg(f n - g m) ≥ degf + 1 (**)
m
H c viên: Tr n Thanh H i – Chuyên ngành: Gi i tích 4
Bài thu ho ch môn: S h c hi n i. L p 17A3 Cao h c toán - i h c Vinh
Ch ứng minh:
+) N u ndeg(f) > mdeg(g) ⇒ deg(f n - g m) = deg(f n)= ndeg(f). Khi ó hi n nhiên ta có
(**),v ơi chú ý r ng deg(f) ≥ 1.
+) N u ndeg(f) < mdeg(g) ⇒ deg(f n - g m) = deg(g m)= mdeg(g). Khi ó hi n nhiên ta có
nm − n − m
(**),v i deg(f n - g m) = mdeg(g) > n deg(f) > deg(f) + 1.
m
+) N u ndeg(f) = mdeg(g)
S d ng nh lý Mason v i: a = f n, b = g m – f n, c = g m.
Khi ó a, b, c nguyên t cùng nhau và tho mãn ph ươ ng trình a + b = c. Theo nh lý
Mason ta có dega ≤ n o(abc) – 1.
m n m n
Hay: ndeg(f) ≤ n o(g (f – g )f ) – 1.
n m
Suy ra ndeg(f) ≤ n o(g(f – g )f) – 1.
Do ó ta có ndeg(f) ≤ deg(g) + deg(f n – g m) + deg(f) – 1.
⇒ deg(f n – g m) ≥ (n-1)deg(f) – deg(g) + 1
n
⇒ deg(f n – g m) ≥ (n-1)deg(f) – deg(f) + 1
m
nm − n − m
⇒ deg(f n – g m) ≥ degf + 1.
m
Ngoài nh lí Mason ta còn có các gi thuy t: Hall, ’abc’, Fermat suy r ộng, Pilai,
Erdos_Mollon_Walsh.
Ta có s liên h gi a nh lí Mason v i các gi thuy t và các nh lí khác nh ư sau:
Fermat Th eorem Hall C onjecture
Analog of Fermat Mason Th eorem Davenport
Th eorem (n ≥ 3) Th eorem
‘abc ? Fermat Th eorem
Conjecture
(n ≥ n0 )
H c viên: Tr n Thanh H i – Chuyên ngành: Gi i tích 5
Bài thu ho ch môn: S h c hi n i. L p 17A3 Cao h c toán - i h c Vinh
III. S ố nguyên t ố.
III.1. Định ngh ĩa:
S nguyên t là s nguyên l n h ơn 1.Không chia h t cho s nguyên d ươ ng nào
ngoài 1 và chính nó (không có ư c th c s ).M t s nguyên l n h ơn 1 không ph i là s
nguyên t ư c g i là h p s .
Vd: 3,5,7,11,13,...... là s nguyên t
III.2.S ố hoàn ch ỉnh ( The perfect number )
S hoàn ch nh là s nguyên d ươ ng mà t ng các ư c s d ươ ng th c s c a nó b ng
chính nó.
Ta có k t qu sau:”M t s nguyên d ươ ng ch n n là s hoàn ch nh n u và ch n u:
n = 2m−1 (2m −1).
Trong ó m ≥ 2 là s nguyên d ươ ng sao cho 2m −1 là s nguyên t .
Vd:
28 = 7.4 = 22 (2. 3 −1) = 23−1 (2. 3 −1):
496 = 16 31. = 24 (2. 5 −1) = 25−1 (2. 5 −1) ;
8128 = 64 .127 = 26 (2. 7 −1) = 27−1 (2. 7 −1) , là các s hoàn ch nh.
III.3. S ố nguyên t ố Mersenner:
Nh ư ta ã th y, ta có m t s hoàn ch nh ch n khi có m t s nguyên t d ng
2m −1. Các s nguyên t nh ư v y g i là s nguyên t Mersenner.
Trong vd v s hoàn ch nh ta th y các s 7,31,127 là các s nguyên t
Mersenner.
S nguyên t Mersenner có vai tro quan tr ng trong c lý thuy t và ng d ng.
Ch ng h n v n tìm ra các s nguyên t l n h ơn xây d ng h m t mã công khai.
III.4. S ố nguyên t ố Fermat
2n
Fermat ã chi ra r ng,các s t nhiên Fn = 2 + 1, n=0,1,2,... là s nguyên t .
Các s nguyên t Fn ư c g i là s nguyên t Fermat.
III.5. Định lý:( đị nh lý c ơ b ản c ủa s ố h ọc)
M i s t nhiên l ơn h ơn 1 u phân tích ư c m t cách duy nh t thành tích các
th a s nguyên t , trong ó các th a s ư c vi t v i th t không gi m.S nguyên t
ư c coi nh ư là “tích” ch g m m t th a s là chính nó.
III.6. S ố nguyên t ố sánh đôi.
Định ngh ĩa: N u 1 là ư c chung l n nh t ( ƯCLN ) c a các s nguyên
a1 ,a2 ,...., an thì các s a1 ,a2 ,...., an ư c g i là nguyên t cùng nhau.N u ta còn có 1 là
CLN c a m i c p s phân bi t ai ,a j 1, ≤ i ≠ j ≤ n, thì các s nguyên a1 ,a2 ,...., an ư c
g i là nguyên t cùng nhau t ng ôi m t,hay nguyên t sánh ôi.
Ch ng h n dãy s 3,5,17,257,65537,... là dãy s nguyên t Fermat thõa mãn i u
ki n là dãy s nguyên t sánh ôi.
III.7. S ố gi ả nguyên t ố.
Gi s b là m t s nguyên d ươ ng cho tr ư c.N u n là h p s nguyên d ươ ng và
b n ≡ b(mod n),thì n ư c g i là s nguyên t c ơ s b.
Trong tr ư ng h p (n,b)=1 , ta th ươ ng dùng nh ngh a t ươ ng ươ ng sau:
b n−1 ≡ 1(mod n).
Vd : S nguyên 561 là s gi nguyên t c ơ s 2.
H c viên: Tr n Thanh H i – Chuyên ngành: Gi i tích 6
Bài thu ho ch môn: S h c hi n i. L p 17A3 Cao h c toán - i h c Vinh
Th ật v ậy: Ta có 561=3.11. 17 và (3,2)=(11,2)=(17,2)=1, do ó áp d ng nh lý
Fermat, ta có:
280
2260 = (22 ) ≡ 1(mod 3 )
56
2560 = (210 ) ≡ 1(mod 11 )
35
2560 = (216 ) ≡ 1(mod 17 )
T ó suy ra 2560 ≡ 1(mod 561 ) hay 2561 ≡ 2(mod 561 ).Do ó 561 là s gi
nguyên t c ơ s 2.
III.8. S ố Carmichael.
H p s n th a mãn ng d ư th c b n−1 ≡ 1(mod n) v i m i s nguyên d ươ ng b sao
cho (n,b)=1 ư c g i là s Carmichael.
Vd: S nguyên 561 là m t s Carmichael.
Th t v y:
Do 561=3.11.17 nên 561 là h p s
V i m i s nguyên d ươ ng n thõa mãn: (b,n)= 1,ta th y (b,3)= (b,11)= (b,17)= 1.
280
2 b560 = b 2 ≡ 1(mod )3
b ≡ 1(mod 3) ( )
56
Theo nh lý Fermat bé, ta có: b10 ≡ 1(mod 11 ) ⇔ b560 ≡ (b10 ) = 1(mod 11 )
b16 ≡ 1(mod 17 ) 560 16 35
b = (b ) ≡ 1(mod 17 )
⇒ b560 ≡ 1(mod 561 ) ⇒ 561 là s carmichael.
M t cách khác ta nh n bi t m t s có ph i là s Carmichael hay không nh vào
nh lý sau:” S t nhiên n là s Carmichael khi và ch khi n = q1q2 ... qk , trong ó
q j ,( j = 2,1 ,... k),là các s nguyên t khác nhau th a mãn q j − 1 là ư c c a n-1.
H c viên: Tr n Thanh H i – Chuyên ngành: Gi i tích 7
