Bất đẳng thức và phương trình toán lớp 10

BÀI TẬP NHÓM Bất đẳng thức và phương trình toán lớp 10 1 LỜI NÓI ĐẦU Bất đẳng thức, bất phương trình là một chủ đề trọng tâm trong chương trình toán phổ thông. Trong tài liệu này nhóm trình bày phân loại các mục tiêu trong giáo dục toán ở chương “Bất đẳng thức và bất phương trình” (sách Đại số 10-nâng cao) với các nội dung: -Nhận biết -Thông hiểu -Vận dụng -Những khả năng bậc cao Thông qua các ví dụ cụ thể nhóm phân tích và làm rõ những nội dung phân loại các mục tiêu giáo dục. Do thời gian ngắn nên các kết quả của nhóm còn hạn chế, nội dung còn nhiều thiếu sót. Nhóm mong nhận được sự góp ý của Thầy hướng dẫn và các bạn trong lớp. Huế, ngày 20 tháng 11 năm 2010. Nhóm 10-Toán 4A 2 A. NHẬN BIẾT Là một mục tiêu trong giáo dục toán học, giúp học sinh định hình được dạng bài tập, bài toán cần làm, cần thực hiện. Để làm rõ hơn về vấn đề này, chúng ta đi cụ thể vào vấn đề giải bất đắng thức và bất phương trình. Cụ thể, trong chương bất đẳng thức và bất phương trình học sinh cần nhận biết được hai bất đẳng thức quen thuộc là bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức bunhiacopxki, các bất đẳng thức, bất phương trình thường gặp như bất phương trình chưa trị tuyệt đối, bất phương trình chứa căn. Và cách vận dụng của chúng. Ngoài ra chương bất đẳng thức và bất phương trình còn yêu cầu học sinh biết được khái niệm hệ bất phương trình, bất đẳng thức có điều kiện. I. Bất đắng thức VD1. Chứng minh rằng Học sinh nhận biết đây là bất đẳng thức có dạng trị tuyệt đổi. VD2: cho thỏa mãn Chứng minh rằng Học sinh nhận biết bất đẳng thức đã cho có dạng bất đẳng thức Bunhiacopsky nếu nhận ra VD3: chứng minh rằng: x2 + y2 ≥ 2xy, với mọi số thực x, y Học sinh nhận biết đây là bất đẳng thức Cauchy. II. Bất phương trình VD1. Giải bất phương trình 3 Học sinh nhận biết đây là bất phương trình tích của các nhị thức bậc nhất, từ đó nhận định giải bất phương trình trên bằng cách xét dấu nhị thức bậc nhất. VD2. Giải bất phương trình Học sinh nhận biết đây là bất phương trình bậc hai một ấn, từ đó nhận định giải bất phương trình bằng cách mở dấu trị tuyệt đối để đưa về các bất phương trình đơn giản. VD3. Giải bất phương trình. Học sinh nhận biết đây là bất phương trình chứa căn thức, từ đó nhận định giải bất phương trình bằng cách bình phương hai vế để làm mất dấu căn thức. VD4. Giải bất phương trình: Học sinh nhận biết đây là bất phương trình mũ, nếu logarit cơ số 2 hai vế của bất phương trình thì có thể đưa về bất phương trình đơn giản. B. THÔNG HIỂU Yêu cầu học sinh nắm được ý nghĩa của tài liệu, khả năng giải thích hay suy ra ý nghĩa của các dữ liệu, mở rộng lập luận và giải các bài toán mà ở đó sự lựa chọn các phép toán là cần thiết. Mục tiêu giáo dục toán trong phạm trù thông hiểu bao gồm 3 loại : chuyển đổi, giải thích và ngoại suy. Trong chương bất đẳng thức và bất phương trình, quá trình chuyển đổi đòi hỏi học sinh biết chuyển đổi ý tưởng thành các dạng song song. Giải thích chính là sự phân tích một bài tập thành những giả thiết cụ thể, lập luận với những giả thiết đó rồi đi đến cách giải bài toán Ngoại suy gắn liền với khả năng của học sinh nhằm mở rộng bài toán, tức là học sinh nắm được những ứng dụng cụ thể, hệ quả hay tác dụng của bài toán 4 VD1. Tìm m để hệ sau có nghiệm (1) Giải Khi đó, trên cùng một hệ trục tọa độ ta có đồ thị của hai hàm số Đồ thị và Bài toán đưa đến tìm sao cho có một phần đồ thị của hàm số nằm trên đồ thị hàm số và nằm dưới đồ thị hàm số . Căn cứ vào đồ thị của hai hàm số đó học sinh đi đến kết luận thỏa mãn bài toán. Đây là quá trình trí tuệ về sự chuyển đổi ý tướng từ dạng ngôn ngữ bất phương trình thành dạng ngôn ngữ đồ thị. Nếu không chuyển đổi được như vậy học sinh sẽ không có cách giải bài toán này 5 VD2. Cho 2 số . Chứng minh rằng (2) Chứng minh ≥ (đúng theo bất đẳng thưc Cauchy). Trong ví dụ này, học sinh phải phân tích được giá thiết bài toán thật cụ thể.  a,b > 0 nhằm áp dụng bất đẳng thức Cauchy.  + = ) theo hằng đẳng thức.  Như vậy hai vế của bất đẳng thức sẽ nhóm được chung, rồi giản ước vì .  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta chứng minh được bài toán Kiến thức cơ bản mà học sinh cần phải hiểu trong ví dụ này vẫn là bất đẳng thức Cauchy. ≥ 2ab với a,b>0. Từ đó, học sinh có thể ứng dụng nó để mở rộng thành những bài toán khác như : . VD3: cho , . Chứng minh rằng: Chứng minh: 6 Thông hiểu trong bài toán được thẻ hiện ở chỗ học sinh phải phân tích giả thiết bài toán cho là để làm gì ? Học sinh biết nhân vào vế trái với sau đó áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky. Vấn đề là phải hiểu một cách chắc chắn về bất đẳng thức này. Trong bài toán, thông hiểu còn được thể hiện ở chỗ học sinh có thể chuyển đối ý tưởng giải bài toán bằng bất đẳng thức Bunhiacopsky thành ý tưởng giải bằng bất đẳng thức Cauchy + + = ( + + )(a + b + c) 3 = 9. VD4. Giải bất phương trình sau. (3) Giải điều kiện: ≠ 0 hoặc Bài toán yêu cầu học sinh nắm chắc về cách xét dấu của tam thức bậc hai. Đồng thời phải hiểu được kiến thức cũ Khi đó, phân tích bài toán ra hai trường hợp, giải từng trường hợp rồi lấy nghiệm. Không chỉ yêu cầu học sinh thong hiểu kiến thức về tam thức bậc hai mà còn đòi hỏi gợi lại suy nghĩ của học sinh một hệ thống kiến thức cũ khi kết hợp nghiệm. 7 Trên cơ sở đó, học sinh có thể ứng dụng bài toán trên để có ngững kết quả khác : ( C. VẬN DỤNG Là quá trình sử dụng ý tưởng, quy tắc, phương pháp chung vào các tình huống mới. các câu hỏi yêu cầu học sinh phải áp dụng các khái niệm quen thuộc vào các tình huống không quenn thuộc, có nghĩa là phải áp dụng kiến thức vào việc hiểu các kỷ năng về các tình huống mới hoặc những tình huống được trình bày theo một dạng mới VD1: Cho Chứng minh rằng: Học sinh vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky để giải bài này, cụ thể là: Ta có + + ( bất đẳng thức Bunhiacopsky) ≤ 13 - Do vai trò bình đẳng của a, b, c, d suy ra điều phải chứng minh VD2. Cho . Chứng minh rằng Học sinh vận dụng bất đẳng thức cói và các bất đẳng thức cơ bản đả học từ trước để giải, cụ thể 8 Theo bất đẳng thức Cauchy Tương tự ; (a) Mặt khác ta có (b) Từ (a) và (b) suy ra điều phải chứng minh VD3. Chứng minh rằng + ≥ Học sinh vận dụng bất đẳng thức vectơ vào để giải bài toán đã cho, cụ thể; Chọn , Ta có : , 9 Mà => đpcm VD4 : giải bất phương trình : (4) Học sinh áp dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về phương trình bậc hai và sau đó áp dụng phương pháp xét dấu tam thức bậc hai để giải bất phương trình, cụ thể Đặt . Khi đó (1) Trở thành VD5 : cho và Chứng minh rằng: Ở đây, học sinh nhận biết bất đẳng thức đã cho có dạng bất đắng thức Cauchy nếu nhận ra VD5. Giải bất phương trình Học sinh nhận biết từ đó đưa biểu thức ra ngoài dấu căn lớn và giải. 10 D. NHỮNG KHẢ NĂNG BẬC CAO Là một phạm trù rộng, bao gồm các phạm trù con, phân tích, tổng hợp, đánh giá. Là việc giải quyết vấn đề hay đưa ra những phán xét dựa trên kết quả của lời giải. bằng việc phân tích bài toán, học sinh phải nhận ra công thức hoặc quy luật mà trước đó học sinh chưa thấy rõ rang hoặc chưa phát hiện ra. VD1: cho ba số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng: Giải: = : Đpcm. Thông qua những vấn đề của bài toán và lời giải học sinh đặt ra những thắc mắc: + Vì sao tử số có liệu giả thiết có phải sử dụng đây không + Vì sao lại cộng . , vào mà không phải là lượng khác 11 Qua việc phân tích giả thiết học sinh mới nhận ra (hoặc được sử dụng hưởng dẫn của giáo viên) về sơ đồ điểm rơi. Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi để khử dưởi mẫu Ta mới cộng vào , Ta có Nên rồi áp dụng bất đẳng thức Cauchy suy ra Đpcm. VD2: tìm , với Giải Mặc dù là dùng sơ đồ điểm rơi, nhưng không phải khi nào cũng suy đoán theo kiểu đối xứng: thì sẽ không giải được bài toán. Hai ví dụ trên yêu cầu sự chia nhỏ thông tin thành những phần phù hợp và tổ chức chúng lại cho các mối quan hệ trong một bài toán những khả năng bậc cao của học sinh còn dược thẻ hiện ở chổ học sinh biết phân biệt các sự kiện từ giả thiết và khẳng định giả thiết nào có thể phải tạo nên để minh chứng cho những quy tắc nào đó. Hay cụ thể hơn, là việc phân tích kiểm định lời giải của một bài toán là đúng hay sai VD3 : Hỏi lời giải sau đây là đúng hay sai : 12 (5) Điều kiện : (*) + ≤ (**) + ≤ (*** ) ≤ 0 Đối chiếu điều kiện suy ra là nghiệm của bất phương trình Như vậy, chỉ khi học sinh nắm chắc kiến thức chương trình về bất phương trình, và kiến thức từ trước thì học sinh mới đủ lập luận, chứng cứ để có thể phát hiện ra những bước giải sai lầm. Cụ thể : Với điều kiện thì bước biến đổi (*) (**) không đúng vì = không đúng trong trường hợp Tương tự cho và Bước biến đổi (**) (***) là sai vì còn sót trường hợp , dẫn đến sót nghiệm Những khả năng bậc cao còn được thể hiện ở chổ học sinh có khả năng sang tạo, xây dựng được những cách giải mới, dể hiểu hơn, thực dụng hơn là đi theo lý thuyết đã học 13 VD4. Giải bất phương trình : (6) Theo lý thuyết, học sinh sẽ xét dấu các biểu thức trong dấu trị tuyệt đối, để mở dấu trị tuyệt đối đó, rồi giải theo 3 trường hợp , , và đưa ra đáp số là tập nghiệm của bất phương trình. Tuy nhiên, nếu học sinh có khả năng tư duy tốt thì có thể phát hiện cách giải mới hay hơn. Ví dụ : (6) ≥ Ngoài ra, mục tiêu của phạm trù các khả năng bậc cao còn được thể hiện ở chổ đòi hỏi học sinh. + Phân biệt một kết luận từ các mệnh đề hỗ trợ nó; + Có được các khám phá toán học và tổng quát hóa từ nhiều kết quả; + Đưa ra được một kế hoạch hay phát triển một quy tắc giải toán; + Trừu tượng hóa, kí hiệu hóa và tổng quát hóa (trong cùng một bài toán); + Có thể giải các bài toán quy nạp. 14 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Đại số 10-nâng cao,NXB Giáo dục 2007. 2. Tài liệu đánh giá trong giáo dục Toán, Nguyễn Đăng Minh Phúc. 3. Phương pháp giải Toán Đại số,Lê Hồng Đức –Lê Bích Ngọc-Lê Hữu Trí, NXB Hà Nội 2005. 4. Chuyên đề bất đẳng thức, Võ Giang Giai, NXB ĐHQGHN 2002.