Chuyên đề Dạy khái niệm số phức trong chương trình phổ thông lớp 12

DẠY KHÁI NIỆM SỐ PHỨC TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG LỚP 12. I.Lý do chọn đề tài : Trong tất cả các tập hợp số, tập số phức là tập lớn nhất và trừu tượng, nên để giảng dạy cho học sinh PTTH người giáo viên phải nắm rõ về nó thì mới có thể giảng dạy một cách hiệu quả. Qua đó giúp học sinh nắm rõ hơn về tập số phức và ý nghĩa của nó trong việc giải các phương trình bậc 3 trở lên. Mặt khác, tập số phức cũng là tập hợp số mà chỉ trong chương trình phân ban thí điểm hoặc các tài liệu chuyên toán mới có trong chương trình. số phức thường xuất hiện trong các kì thi học kỳ, tốt nghiệp, đại học, cao đẳng của học sinh phân ban thí điểm. Học tốt tập số phức ở lớp 12 sẽ giúp cho học sinh học tốt các môn toán cao cấp ở đại học. II. Mục đích nghiên cứu: Tìm hiểu lịch sử về số phức nhằm nắm rõ sự hình thành khái niệm số phức để phục vụ cho việc giảng dạy cho học sinh. Phân tích cách trình bày khái niệm của sách giáo khoa, để đưa ra cách giảng dạy khái niệm số một cách hiệu quả nhất. Tìm hiểu về phép khai căn bậc hai của số âm, để giải phương trình bậc hai, bậc ba có biệt số âm. Soạn bài giảng về dạy khái niệm số phức và phép khai căn bậc hai của số âm để giải phương trình bậc hai và bậc ba. III. Hệ thống câu hỏi nghiên cứu: Dạy khái niệm số phức cho học sinh phổ thông trung học như thế nào? Phân tích cách trình bày của sách giáo khoa về khai căn các số âm để giải phương trình bậc 3. Khai thácyếu tố lịch sử của số phức vào việc dạy khái niệm số phức cho học sinh phổ thông như thế nào? Xây dựng tình huống để đưa khái niệm số phức vào giảng dạy. IV. Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu sự trình bày khái niệm số phức trong sách giáo khoa. Nghiên cứu cách trình bày của sách giáo khoa về khai căn bậc hai của các số âm để giải phương trình bậc ba. Khai thác yếu tố lịch sử của số phức vào việc dạy khái niệm số phức cho học sinh phổ thông. Xây dựng tình huống để đưa số phức vào giảng dạy. V. Lịch sử hình thành: - Nhà toán học Italia R. Bombelli (1526-1573) đã đưa định nghĩa đầu tiên về số phức, lúc đó được gọi là số "không thể có" hoặc "số ảo" trong công trình Đại số (Bologne,1572) công bố ít lâu trước khi ông mất. Ông đã định nghĩa các số đó (số phức) khi nghiên cứu các phương trình bậc 3 và đã đưa ra căn bậc 2 của − 1. - Nhà toán học người Pháp D’Alembert vào năm 1746 đã xác định được dạng tổng quát "a+bi" của chúng, đồng thời chấp nhận nguyên lý tồn tại n nghiệm của một phương trình bậc n. Nhà toán học Thụy Sĩ L. Euler (1707-1783) đã đưa ra kí hiệu "i" để chỉ căn bậc hai của -1, năm 1801 Gauus đã dùng lại ký hiệu. + Sơ lược về các nhà toán học đặt nền móng cho sự ra đời của số phức. N.F.Tartaglia(1499-1557) - Tương truyền vào những năm đầu thế kỉ XVI, có lẽ trên thế giới chưa ai biết cách giải phương trình bậc 3. Có nguồn tin nói rằng một giáo sư toán trường ĐH Bologne (Ý) tên là Scipione del Ferro (1465-1526) đã biết cách giải phương trình , nhưng ông không hề công bố, người ta nghĩ rằng cách giải của ông chưa hoàn chỉnh. Mãi đến khi ông sắp qua đời, ông mới truyền lại cách giải (chưa hoàn chỉnh) cho học trò ông là một nhà toán học ít tài năng tên là Antonio Maria Fior. - Nhưng dù có nguồn tin như vậy, Tartaglia vẫn tìm ra cách giải một cách độc lập. Nhưng Fior không tin, tìm cách giảm uy tín của Tartaglia bèn thách thức Tartaglia giải 30 phương trình bậc 3 như trên. Ngược lại, Fior cũng nhận thách thức của Tartaglia là sẽ giải những phương trình bậc 3 do Tartaglia ra. - Thời bấy giờ, việc giải các phương trình bậc 3 nói trên đều được làm một cách mò mẫm. Trong đêm 12 sáng ngày 13 tháng hai năm 1535 là hạn cuối cùng của cuộc thi giữa Tartaglia và Fior thì Tartaglia đã tìm ra cách giải tổng quát 30 phương trình mà Fior đã ra cho ông trong khi đó thì Fior đang “bí” và chỉ giải được một phương trình mà thôi vì vậy chỉ sau vài giờ là Tartaglia đã giải xong toàn bộ để lãnh thưởng là 30 bữa tiệc liên tiếp! Ông giữ kín phương pháp giải, hy vọng còn dự thi lần nữa để lấy thưởng. - Cardan (1501-1576) lúc này cũng chưa tìm ra cách giải phương trình bậc 3 trong trường hợp tổng quát nhất. Khi nghe tin Tartaglia thắng Fior, Cardan muốn gặp ngay Tartaglia. - Tháng 3 năm 1539 nhân gặp Tartaglia ở Milan, Cardan bèn chớp cơ hội nhờ Tartaglia bày cho mình cách giải tổng quát phương trình bậc 3. Cardan phải thề thốt rằng sẽ không bao giờ truyền cho ai “bí mật” này hoặc công bố trên sách, báo chí. Nhưng sau đó nghe loáng thoáng rằng giáo sư Scipione del Ferro đã tìm ra cách giải trước Tartaglia nên Cardan đã không giữ lời hứa với Tartaglia bèn cho công bố trong tác phẩm của ông là Ars magna vào năm 1545. - Tartaglia vô cùng tức giận, bèn quyết tâm vạch mặt Cardan trong quyển sách của mình nhan đề New Problems and inventions. Từ đó đã xẩy ra cuộc cải vã giữa hai người này, và cuộc cải vã này sẽ không có hồi kết thúc nếu như không có sự xuất hiện công trình nghiên cứu của Bombelli về số ảo. Vì khi đi giải phương trình bậc 3 cả Tartaglia và Cardan đều chưa biết số phức là gì cho nên nếu gặp phải căn bậc 2 của số âm thì cả hai đều cho là vô lý. G.Cardano(1501-1576)(Cardan) Cardan là một nhà bác học người Ý. Ông sinh năm 1501, đạt học vị tiến sĩ y khoa năm 1526, nhưng không được hành nghề y, mà trở thành thầy giáo dạy toán. Ông có trên 200 công trình về lĩnh vực Toán học, Y học, Triết học, Thiên văn học, Âm nhạc và Thần học. Năm 1545 ông xuất bản quyển sách “Nghệ thuật lớn của phép giải các phương trình đại số”. Trong cuốn sách này ông trình bày cách giải phương trình bậc 3, bậc 4 và đề cạô tới căn bậc hai của số âm. Có thể nói sự nghiên cứu số phức khởi nguồn từ công trình này.(theo sách giáo khoa giải tích 12 phân ban thí điểm ban khoa học tự nhiên bộ 2 do Trần Văn Hạo làm tổng chủ biên). Công thức Cardan-Tartaglia: Ba nghiệm của phương trình là với u và v là hai số phức có dạng: R.Bombelli(1526-1573) Người ta xem ông là một kỹ sư đồng thời là toán học, nhưng ít ai biết lai lịch của ông. Sự đóng góp của nhà khoa học người Ý này chủ yếu là hệ thống hoá kiến thức về các phéo tính số phức. Năm 1560 R.Bombelli viết tác phẩm Đại số trong đó có điều thú vị là ông xét phương trình bậc 3: và ông chỉ ra rằng phương trình trên có 3 nghiệm thực nếu là âm. Trong trường hợp này công thức của Tartaglia- Cardan: Không dung được vì trong trường hợp này ta gặp phải căn bậc 2 của số âm, là một trở ngại, vào thời đó chưa ai vượt qua nổi . Với sự sáng tạo của mình Bombelli vẫn dung công thức trên nhưng tìm cách vượt qua trở ngại đó. Ví dụ với phương trình , ông làm việc với các số có dạng như đối với số thực, ông nhận xét rằng là căn bậc 3 của và công thức Cardan- Tartaglia đã cho ông kết quả :x =…=…= 4 là một nghiệm của phương trình, còn các nghiệm khác có được nhờ ba căn bậc 3 của . Điều này đưa Bombelliđến chỗ tìm được các qui tắc tính toán và ông làm dưới dạng. Piu a meno b piu di meno c meno di meno d a,b,c,d là nhũng số thực dương, ngày nay ta viết a-b+ic-id và ông khẳng định rằng : trong một công lý(axiome) báo trước khái niệm độc lập tuyến tính – piu và piudi meno không cộng được với nhau. Đời sau đánh giá Bombelli là người có công đầu tiên trong việc tìm hiểu số phức. VI. Phân tích sự trình bày của sách giáo khoa: Phân tích cách trình bày khái niệm của sách giáo khoa: Theo sách giáo khoa phân ban thí điểm ban A bộ 2 trình bày : + Hoạt động 1: đặt câu hỏi “Nếu có người hỏi rằng có thể viết 10 thành tổng của hai số mà tích của chúng bằng 40 được không?”. Để giải bài toán này học sinh phổ thông đã có công cụ là định lý Viet và giải như sau: Gọi hai số là x1, x2 , đặt S = x1+x2, P=x1.x2 thì x1, x2 là nghiệm phương trình: (∆ = 25 - 40 = -15 < 0) nên kết luận phương trình vô nghiệm và không có hai số thỏa mãn đề ra. + Hoạt động 2: sách giáo khoa đưa khái niệm số I vào chương trình như sau : Ta đã biết, trên tập số thực R mọi phương trình bậc nhất đều có nghiệm. Nhưng đối với phương trình bậc hai, điều đó không còn đúng nữa. - Phương trình bậc hai đơn giản nhất không có nghiệm thực là: - Với mong muốn mở rộng tạô hợp số thực, để mọi phương trình bậc cao đều có nghiệm, người ta đưa ra một số mới, kí hiệu là i và coi nó là nghiệm của phương trình trên. Như vậy . - Ở hoạt động này sách giáo khoa đã đưa kí hiệu i vào và đặt một cách áp đặt, cưỡng ép, không chỉ rỏ tại sao lại có số i , tại sao phải đặt số i là như vậy. Và nếu phải mở rộng tập hợp số nhằm giải phương trình bậc hai thì điều này không cần thiết vì trên thực tế nếu không đưa số i vào thì ta có thể kết luận phương trình là vô nghiệm với phương trình có biệt số âm, và khi biểu diễn trên hẹ trục toạ độ thì đồ thị của hàm số đó không cắt trục hoành. Như vậy mục đích của việc đưa số i nhằm mở rộng tập hợp số của sách giáo khoa là không rõ ràng, không có động cơ. Vậy động cơ để cần phải đưa số I vào để mở rộng tập số thực là gì? Trong sách giáo khoa chỉ trình bày phần này ở phần đọc thêm, và phần trình bày này cũng không rỏ ràng. phần trình bày của sách giáo khoa như sau: Cho phương trình bậc ba . Nghiệm của nó được cho bởi công thức: - Cardano đã công bố công thức này vào năm 1545, trong quyển sách “Nghệ thuật lớn của phép giải các phương trình đại số”. - Lẽ tự nhiên, ta coi biểu thức trên có nghĩa khi đại lượng là không âm. đại lượng ∆ cũng được gọi là biệt số của phương trình trên. Tuy nhiên, dễ chỉ ra những phương trình bậc ba với biệt số ∆ <0, mà vẫn có nghiệm thực. Chẳng hạn xét phương trình . - Phương trình này có ba nghiệm là -3,1,2, nhưng biệt số ∆ = -100/27<0. - Điều đó dẫn đến việc thừa nhận rằng biểu thức: - Là có nghĩa và các giá của nó là -3,1,2, mặc dù biểu thức này chứa căn bậc hai của một số thực âm. - Như chúng ta đã thấy, việc thừa nhận có căn bậc hai của số thực âm, bắt đầu từ việc đặt, đã dẫn đến sự ra đời của tập số phức. - Đồng thời với việc sang ra các số phức, người ta chứng minh được rằng môi phương trình đại số bậc n (n>0) với hệ số phức đều có n nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phải phân biệt). - Trong thực tế thì khái niệm số phức ra đời như phần trình bày về lịch sử hình thành ở phần trên. + Hoạt động 3: căn bậc hai của một số âm. Trong phần này sách giáo khoa trình bày như sau: Thế nào là căn bậc hai của một số thực dương? Đây là câu hỏi ôn tập bài củ, nhằm giúp học sinh nhớ lại phần kiến thức đã học ở lớp 9. Đưa ra khái niệm mới là căn bậc hai của số thực âm tương tự như căn bậc hai của số thực dương: từ đẳng thức , ta coi i là căn bậc hai của -1. Cũng vậy, ta coi 2i là một căn bậc hai của -4, 3i là căn bậc hai của -9,… + Hoạt động 4: phương trình bậc hai với biệt số âm. Sách giáo khoa trình bày như sau: Ta đã biết các phương trình bậc hai với biệt số âm không có nghiệm thực. Nhờ số i và những số mới là căn bậc hai của những số thực âm, ta có thể đưa ra các nghiệm của phương trình bậc hai đó. Ví dụ: xét phương trình Ta đã biết phương trình này không có nghiệm thực. Dễ thấy phương trình trên tương đương phương trình : . Giá trị là một căn bậc hai của -9 thoả mãn phương trình này. Ta coi là một nghiệm của phương trình đã cho. Đối với phần này sách giáo khoa trình bày một cách sơ sài, nó chỉ có thể giúp học sinh biết cách thay giá trị căn bậc hai của số âm vào phương trình để từ đó suy ra nghiệm chứ chưa đí giải một phương trình bậc hai một cách tổng quát. + Hoạt động 5: Dạng đại số của số phức: Định nghĩa số phức: sách giáo khoa trình bày : Xét tập hợp . Mỗi phần tử thuộc được gọi là một số phức, a được gọi là phần thực của z, b được gọi là phần ảo của z. Ví dụ: 3+2i; -5+(-7i);… Chú ý, số phức -5+(-7i) còn được viết là -5-7i Sách giáo khoa đưa khái niệm số phức theo tiến trình đối tượng – công cụ nhưng ta cũng có thể ngầm hiểu là công cụ - đối tượng – công cụ vì trong phần giải bài tập ở phần trên, nghiệm của phương trình là chính là dạng đại số của số phức. + Hoạt động 6: Dạng lượng giác của số phức: Modun và argumen của số phức: Giả sử z = a+bi là một số phức khác 0, M là điểm biểu diễn z trên mặt phẳng phức. Điểm M hoàn toàn xác định vector . Ta đã biết, độ dài vector được gọi là modun của số phức z. góc lượng giác tạo bởi Ox và được gọi là argunen của số phứcz và kí hiệu là argz. Argumen của số phức z được xác định sai khác một bội của 2π, nhưng người ta thường coi argz là giá trị không âm nhỏ nhất của . Dạng lượng giác của số phức: Cho Xác định mối liên hệ giữa , a và b. x y M r O Dễ thấy, nếu r và tương ứng là modun và argumen của số phức z = a+bi thì Từ công thức trên suy ra: , Do đó, số phức có thể viết dưới dạng mới là , trong đó . Ví dụ1: Viết dưới dạng lượng giác. Ta có: Vậy Ví dụ 2: Viết dưới dạng lượng giác. Ta có: Vậy Khi đưa khái niệm số phức ở dạng lượng giác vào chương trình, sách giáo khoa đưa theo tiến trình đối tượng – công cụ . Do đó khi học bài này học sinh chỉ được biết số phức ở dạng đại số được chuyển sang dạng lượng giác là như thế nào chứ chưa biết được mình phải học số phức ở dạng lượng giác để làm gì? Do đó khi giảng dạy bài này cho học sinh, giáo viên nên giới thiệu đôi nét về các ứng dụng của số phức ở dạng lượng giác cho học sinh biết trước nhằm tạo sự hứng thú cho học sinh. Phân tích cách trình bày của sách giáo khoa về khai căn các số âm để giải phương trình bậc hai, bậc ba. Theo sách giáo khoa từ đẳng thức ta có thể tính được căn bậc hai của các số âm, ví dụ: là căn bậc hai của -4, vì . Đây là cách giảng giải tường minh để từ đó đưa ra cách lấy căn bậc hai của các số âm như sau: nếu α là một số âm thì là căn bậc hai của α. Và ở đây sách giáo khoa chỉ trình bày ứng dụng của việc khai căn bậc hai của số âm là để giải phương trình bậc hai, do đó học sinh chưa thấy rõ sự cần thiết phải có số phức và khai căn bậc hai các số âm là để giải phương trình bậc cao hơn. Tuy vậy ở phần đọc thêm về giải phương trình đại số người ta đã đưa ra công thức tính nghiệm của phương trình bậc ba… Và ở công thức này nếu biệt số âm thì cardano xem như phương trình vô nghiệm, tuiy nhiên thực tế không phải vậy. ví dụ có ba nghiệm thực nhưng biệt số . và điều này mới làm nổi bậc lên sự cần thiết phải có số phức cũng như khai căn bậc hai của số âm. Tóm lại đối với sách giáo khoa, khi trình bày trong bài giảng đã không nêu bậc lên được sự cần thiết phải có tập số phức, vì để giải phương trình bậc hai thì việc khai căn các số âm hay buộc phương trình bậc hai có biệt số âm có hai nghiệm phức là không cần thiết, làm cho học sinh cảm thấy bị áp đặt vào việc thừa nhận mọi phương trình bậc hai đều phải có nghiệm có thể là nghiệm thật hay nghiệm ảo. nhưng khi biểu diễn nghiệm trên hệ trục toạ độ thì không thấy đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại đâu cả. Đối với phần đọc thêm(phần này đa số học sinh trung bình yếu sẽ không đọc đến) sách giáo khoa có đưa ra công thức giải phương trình bậc ba của Cardano, và có chỉ ra đối với phương trình bậc ba có biệt số âm vẫn có nghiệm thực nhưng đó cũng chỉ là đưa ra công thức rồi tính nghiệm một phương trình cụ thể, không tổng quát.Và mọi điều sách giáo khoa viết là việc bắt học sinh phải thừa nhận nó. Tuy nhiên nó cũng cho học sinh thấy được sự cần thiết phải có tập số phức cũng như việc khai căn bậc hai của số thực âm. Và vì như nói ở trên đại bộ phận học sinh sẽ không đọc phần này, và từ đó làm cho việc trình bày của sách giáo khoa là không hợp lý và áp đặt cho học sinh học số phức mà không biết mình phải học nó để làm gì. Hoặc là sách giáo khoa chỉ phục vụ cho một số ít học sinh có học lực từ khá trở lên. Tuy vậy, khi học sinh đã biết một chút về khái niệm số phức cũng như các phép toán trên nó, thì sẽ tạo điều kiện cho các em sau này học các môn toán cao cấp một cách thuận lợi hơn. Và khi giải toán trên máy tính bỏ túi các em cũng sẽ hiểu được tại sao lại có chữ i hay chữ R ở trên màn hình khi bấm giải các phương trình vô nghiệm thực. 3. Xây dựng tình huống để đưa số phức vào giảng dạy: Theo ý kiến của em: bài đọc thêm về phương trình đại số trong sách giáo khoa cần sửa lại là bài giới thiệu và đặt ở đầu chương số phức. Vì khi đó sẽ tạo điều kiện cho đại đa số học sinh khi học bài số phức sẽ đọc về nó.Và trong bài đó nên đặt thêm các câu hỏi như: tại sao phải cần có số phức? sự cần thiết phải có tập số phức trong việc giải các phương trình bậc ba trở lên? Tại sao cần phải mở rộng tập số thực đến tập số phức? Khi đó sẽ tạo sự tò mò, cũng như gợi cho học sinh sự muốn tìm tòi và khám phá về số phức, từ đó học sinh sẽ học bài này một cách nghiêm túc. Khi đó, khi giáo viên dạy bài số phức sẽ đưa tình huống giải phương trình bậc ba như sách đã nêu: và đưa công cụ để giải cho các em là công thức Cardano để cho học sinh giải. Khi giải theo công thức các em sẽ vấp phải tình huống là phải khai căn bậc hai của số âm(không có nghĩa!vì các em chưa được học), nhưng khi dùng máy tính bỏ túi thì sẽ thấy có ba nghiệm là -3, 1, 2. Và giáo sẽ lý giải cho học hinh biết về điều này bằng cách dạy cho các em bài học về số phức, tập số lớn nhất trong các tập số mà chúng ta đã biết cho đến bây giờ. Hoặc để dẫn dắt học sinh vào bài số phức giáo viên có thể nêu lên lịch sử hình của tập số phức một cách khái quát, hoặc kể chuyện về Tartaglia và Cardano đã tranh cải như thế nào về việc tìm ra công thức tính nghiệm tổng quát của một phương trình bậc ba. Hay chuyện về Bombelli đã giải quyết vấn đề khai căn bậc hai của số âm như thế nào…Từ đó khi học bài này học sinh sẽ cảm thấy rất hứng thú, vì mình đang học về một vấn đề rất mới mẽ, trừu tượng, nhưng cũng có ý nghĩa rất lớn trong cuộc sống. TÀI LIỆU THAM KHẢO Giải tích 12, sách giáo khoa thí điểm, ban khoa học tự nhiên, bộ 2 _ các tác giả: Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất. Các tài liệu trên Internet.