Chuyên đề Một số vấn đề về mật độ mức hạt nhân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆN NĂNG LƯỢNG NGUYÊN TỬ VIỆT NAM _____________________ NGUYỄN XUÂN HẢI MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ MẬT ĐỘ MỨC HẠT NHÂN CHUYÊN ĐỀ NGHIÊN CỨU SINH NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. PGS. TS. VƯƠNG HỮU TẤN 2. TS. PHẠM ĐÌNH KHANG ĐÀ LẠT – 2007 1 MỞ ĐẦU Mật độ mức hạt nhân là một trong những đặc trưng quan trọng nhất của hạt nhân nguyên tử để mô tả trạng thái kích thích của hạt nhân và tính toán tiết diện phản ứng hạt nhân. Mật độ mức cho biết dạng phụ thuộc năng lượng của tiết diện các phản ứng hạt nhân khác nhau ở vùng năng lượng thấp và trung bình. Các quy luật chung của mật độ mức đã được biết khá rõ, tuy nhiên có sự thăng giáng phụ thuộc vào sự không đồng nhất của lớp vỏ trong các trạng thái phổ đơn hạt, hiệu ứng kết đôi làm giảm các tương tác tập thể. Mật độ mức hạt nhân có thể xác định bằng thực nghiệm, tuy nhiên điều đó không phải lúc nào cũng thực hiện được do sự hạn chế của các bia đồng vị và điều kiện thực nghiệm. Chính vì vậy cần phải có sự mô tả lý thuyết về mật độ mức, sự mô tả này phải càng gần với kết quả thực nghiệm càng tốt và căn cứ vào sự mô tả này ta có thể tính được mật độ mức cũng như tiết diện phản ứng ở những vùng mà thực nghiệm chưa có điều kiện để đo đạc. Cơ quan năng lượng nguyên tử quốc tế IAEA đã từng có một chương trình nghiên cứu số liệu thực nghiệm và tính toán cho mô tả các phản ứng hạt nhân năng lượng thấp vào những năm cuối của thế kỷ trước. Các kết quả của chương trình đã được tổng hợp và trình bày trong tài liệu [7]. Trong tài liệu này nghiên cứu sinh (NCS) tiến hành tìm hiểu, trình bày phương pháp nghiên cứu và mô tả mật độ mức kích thích của hạt nhân vùng năng lượng kích thích trung gian nằm dưới năng lượng liên kết của nơtron với hạt nhân. Hy vọng các kiến thức được NCS tìm hiểu và trình bày trong tài liệu sẽ giúp cho NCS có thêm kiến thức bổ sung cho quá trình thực hiện luận án của mình. 2 GIỚI THIỆU Mật độ mức hạt nhân khi mô tả bằng các mẫu lý thuyết luôn có một sự sai khác với các giá trị thực nghiệm. Sự khác nhau xảy ra giữa các vùng năng lượng kích thích khác nhau và thay đổi theo số khối của các hạt nhân. Điều này có thể do một trong các nguyên nhân sau: - Số liệu thực nghiệm chưa có đủ độ chính xác cần thiết. - Phương pháp thực nghiệm có độ phân giải hoặc độ nhạy không cao để có thể ghi nhận và phân tách được hết các mức kích thích của hạt nhân trong phổ năng lượng. - Các tham số xác định từ thực nghiệm trong các mẫu mô tả mật độ mức chưa phù hợp hoặc mẫu lý thuyết mô tả chưa đầy đủ các tương tác bên trong hạt nhân. Để khắc phục các vấn đề mật độ mức nêu trên, cần phát triển các phương pháp thực nghiệm có độ nhạy và độ chính xác cao sử dụng nhiều detectơ có hiệu suất ghi ở vùng năng lượng cao lớn hơn. Sử dụng các phương pháp trùng phùng thời gian thực và ghi tín hiệu rời rạc để có thể sử dụng các phần mềm thống kê hiện đại hoặc chuyên dụng, tiến hành các thống kê đa biến để mô tả số liệu thực nghiệm. Cách làm như vậy sẽ tăng lượng thông tin thu được trong một thực nghiệm lên đáng kể so với cách đo lưu số liệu dưới dạng phổ. Kết hợp số liệu thực nghiệm về mật độ mức của các phương pháp khác nhau để xác định các tham số mật độ mức theo các mẫu lý thuyết. Từ các tham số mật độ mức thu được, tiến hành mô tả lại mật độ mức và tiến hành các hiệu chỉnh mô hình nếu có sự sai khác ngoài phạm vi sai số. 3 XÁC ĐỊNH MẬT ĐỘ MỨC BẰNG THỰC NGHIỆM I. Đo các mức năng lượng kích thích Năng lượng các trạng thái kích thích của hạt nhân có thể xác định bằng cách đo các sản phẩm phân rã (p,a ß-, ß+) cùng với bức xạ điện từ hoặc chỉ bức xạ điện từ (các tia gamma) của các trạng thái kích thích. Trong hầu hết các hạt nhân, phát gamma là kiểu phân rã phổ biến, thời gian sống của các trạng thái này thường vào cỡ 10-9s. Bức xạ gamma là sóng điện từ do đó sự phát bức xạ gamma sẽ làm thay đổi phân bố điện tích dẫn đến thay đổi moment điện và sự thay đổi dòng điện làm thay đổi moment từ. Khi một tia gamma phát ra sẽ làm thay đổi các đặc trưng như năng lượng kích thích, moment góc (angular momentum) Lħ. Khi L=1 ta có bức xạ lưỡng cực E1, M1, L=2 ta có bức xạ tứ cực E2, M2. Độ chẵn lẻ được xác định là (-1)L với bức xạ điện và (-1)L+1 với bức xạ từ. Bậc đa cực tuân theo quy tắc chọn lựa sau: |Ji-Jf|≤L≤|Ji+Jf| (1) Các dịch chuyển 0→0 là dịch chuyển cấm, trong thực tế chỉ có các dịch chuyển có bậc đa cực thấp nhất là có khả năng xảy ra. Dưới đây là một số minh hoạ cụ thể về các đặc trưng của bức xạ gamma trong quá trình phân rã của hạt nhân kích thích: 4 Hình 1. Minh hoạ cụ thể về các đặc trưng của bức xạ gamma trong quá trình phân rã của hạt nhân ở trạng thái kích thích. Để tạo ra hạt nhân ở trạng thái kích thích ta có thể sử dụng các phản ứng bắt bức xạ (p,γ) hoặc (n,γ). Các nơtron có thể là nơtron nhiệt, nơtron cộng hưởng hoặc ở một năng lượng xác định nào đó. - Các dịch chuyển gamma sơ cấp và thứ cấp xuất hiện gần như đồng thời nếu như không có sự khác nhau về cường độ. - Jπ của trạng thái bắt nơtron nhiệt là Jπ(hạt nhân bia) ± ½+ (bắt các nơtron sóng s). - Trường hợp bắt nơtron nhiệt, tia gamma sơ cấp phát ra thường có độ đa cực là E1, M1, E2 hoặc M1+E2. Để đo các tia gamma phát ra ta có thể sử dụng các detectơ bán dẫn siêu tinh khiết có độ phân giải cao ghép nối với các khối điện tử chức năng để tạo thành các hệ phổ kế gamma một hoặc nhiều đetectơ hoạt động theo các nguyên tắc như phân tích biên độ nhiều kênh, đối trùng giảm phông, phổ kế compton, trùng phùng gamma-gamma,… 5 Một trong những nhược điểm của các phương pháp đo giảm phông này là không có khả năng xác định trực tiếp thứ bậc của các dịch chuyển và tính không đơn trị khi sử dụng quy tắc Ritz để xây dựng các sơ đồ phân rã có năng lượng kích thích cao hơn 2 MeV. II. Sơ đồ mức thực nghiệm theo phương pháp cộng biên độ các xung trùng phùng Nguyên tắc tổ hợp Ritz là phương pháp hay được sử dụng để xây dựng các sơ đồ phân rã từ năng lượng và cường độ của các chuyển dời gamma xác định được trong phản ứng (n,γ). Phương pháp này cho phép xây dựng được các sơ đồ phân rã tin cậy đến năng lượng kích thích từ 1.5÷2.0 MeV. Để xây dựng sơ đồ mức cho các vùng năng lượng cao hơn và đảm bảo tính độc lập trong nghiên cứu xây dựng sơ đồ mức, phương pháp cộng biên độ các xung trùng phùng được sử dụng để giải quyết vấn đề này. Thuật toán xác định các chuyển dời sơ cấp và thứ cấp của phương pháp như sau: Nếu ít nhất 2 trong các phổ nối tầng khác nhau (tương ứng với các đỉnh tổng khác nhau) có cùng chung một chuyển dời thì đó sẽ là chuyển dời sơ cấp. Như vậy, mức trung gian sẽ có năng lượng kích thích bằng hiệu số giữa năng lượng của mức xuất phát và năng lượng chuyển dời sơ cấp. Dịch chuyển sơ cấp về một mức trung gian có thể làm tăng mật độ mức, và tạo ra một hoặc nhiều chuyển dời thứ cấp về các mức cuối của hạt nhân. Do đó, trong phân bố cường độ nối tầng về các mức cuối, nối tầng sơ cấp và nối tầng thứ cấp tạo thành một cặp đỉnh. Chuyển dời sơ cấp có năng lượng giống nhau trong trong các phổ khác nhau. Các chuyển dời sơ cấp có năng lượng khác nhau tạo thành các nối tầng về các mức cuối khác nhau. Do đó vấn đề xây dựng sơ đồ phân rã được đơn giản thành tìm kiếm nhóm các đỉnh trong số các chuyển dời nối tầng về các mức cuối khác nhau mà giá trị kỳ vọng toán 6 học của chúng khác nhau giữa các vị trí của các đỉnh i và j bất kỳ là gần bằng không. Trong thực tế, khi phương pháp tương đồng cực đại được sử dụng, cần thiết sử dụng phương pháp phân bố nhiều chiều như một hàm tương đồng cực đại để mô tả xác suất phân bố kết hợp với một độ lệch ngẫu nhiên của vị trí đỉnh thực nghiệm từ giá trị kỳ vọng toán học của chúng. Chúng ta xác định sự khác nhau về vị trí đỉnh thứ k và l trong phổ phân bố cường độ nối tầng được đánh số i và j tương ứng Rijkl=Eik-Ejl, (2) Trong đó E là vị trí đỉnh có thể được biểu diễn dưới dạng năng lượng hoặc kênh. Nếu gọi phương sai σ2 của các giá trị thực nghiệm E với các giá trị kỳ vọng toán học của chúng và ξ là một giá trị ngẫu nhiên, biểu thức trên có thể viết lại như sau: Rijkl=σikξik - σjkξjl +q (3) Tham số q là giá trị khác nhau chưa biết giữa và . Với các đỉnh ứng với chuyển dời thật sẽ có kỳ vọng toán học bằng 0. Hàm tương đồng cực đại với các biến trên sẽ có dạng đặc trưng sau: 2/11 )(det)..( 2 1exp. −− ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡−= BRconstL BRT (4) Trong đó R là véc tơ cột, T chỉ sự chuyển vị. Các giá trị của các phần tử ma trận B được xác định từ giá trị kỳ vọng của các phần tử của ma trận R.RT dưới dạng các giá trị σ2 với các chỉ số tương ứng với số phổ và số đỉnh. Giá trị cực tiểu của q là điều kiện cần để thu được giá trị tốt nhất nhưng không phải là điều kiện đủ để xếp hết N đỉnh trong M phổ có các năng lượng dịch chuyển giống nhau. Từ phân tích biểu thức RTB-1.R chọn lựa các giá trị đơn 7 trị. Trong trường hợp các đỉnh phân tích thu được thuộc về các các dịch chuyển gamma giống nhau và giá trị σ2 là không thay đổi, giá trị của phân bố có thể được mô tả bằng phân bố χ2 với N-1 bậc tự do. Trong thực tế, N đỉnh là trùng phùng quan tâm nếu thoả điều kiện sau: σ2≤q ; (5) 2 1 1 − − < NT RBR χ (6) Trong đó là sai số trung bình trong xác định năng lượng dịch chuyển trong phân rã gamma nối tầng bậc hai và là giá trị tương ứng của phân bố với mức 99% của diện tích. 2 1−Nχ Điều kiện trên được kiểm tra độc lập với điều kiện thứ nhất và thứ hai của dịch chuyển. Với các dịch chuyển sơ cấp chúng ta chọn dịch chuyển có giá trị q cực tiểu. Nếu các giá trị với hai lượng tử nối tầng là thoả mãn điều kiện (5) chúng ta chọn chuyển dời có N cực đại làm chuyển dời sơ cấp. Hàm tương đồng cực đại và điều kiện (5) đảm bảo thu được sự phù hợp và đơn trị của các năng lượng thu được trong xây dựng sơ đồ phân rã. Khả năng bổ sung thêm các mức vào sơ đồ phân rã tăng khi các mức thực của sơ đồ được phân tích. Sơ đồ phân rã thu được từ thực nghiệm có thể đã bị biến dạng do chúng ta thêm các năng lượng dịch chuyển nối tầng E1 và E2 một cách ngẫu nhiên, giá trị phương sai của phân bố σξ có phương sai σ2 và trung vị: i i ii ii EE EE σξ σξ − + >=< >=< 22 11 (7) 8 Tương quan này liên hệ trực tiếp đến sự thật đó là khi phương pháp cải thiện độ phân giải được sử dụng, sai số trong xác định năng lượng của các chuyển dời nối tầng là hoàn toàn không liên quan. Với các nối tầng không xếp được vào sơ đồ phân rã theo nguyên tắc trên (chẳng hạn như sự tăng các nối tầng sơ cấp do phân rã của các mức trung gian chỉ có một dịch chuyển đơn lẻ). Chúng được xếp vào sơ đồ phân rã theo giả thuyết rằng các dịch chuyển cứng là các dịch chuyển sơ cấp vì xác suất phát gamma trung bình tỉ lệ với (với các chuyển dời E3γE 1 và M1) hoặc (với dịch chuyển E 5 γE 2). Sự sắp xếp thêm này dựa vào thực tế là hầu hết các dịch chuyển xếp được vào sơ đồ phân rã đều thoả mãn điều kiện này. Do phông compton bị loại trừ gần như hoàn toàn nên khả năng phát hiện các chuyển dời yếu lớn hơn so với các phương pháp truyền thống. Điều này cho phép tìm ra các trạng thái kích thích mới và do vậy, sơ đồ mức kích thích thực nghiệm sẽ đầy đủ hơn và việc đánh giá lý thuyết cấu trúc hạt nhân về phân bố các mức kích thích sẽ tốt hơn. III. Khả năng xây dựng hoàn chỉnh sơ đồ phân rã từ phản ứng (n,γ) Để hoàn thiện sơ đồ phân rã gamma của hạt nhân ở trạng thái kích thích, cần sử dụng thêm các thông tin khi đo bằng hệ phổ kế triệt compton để xác định thêm các dịch chuyển trực tiếp từ trạng thái kích thích ban đầu về trạng thái cơ bản hoặc tạo các trạng thái đồng phân sống dài (không phân rã nối tầng) mà phương pháp trùng phùng gamma-gamma không ghi nhận được. Hiệu quả của việc kết hợp thông tin phổ học từ phản ứng (n,γ) đo bằng hai phương pháp là rất lớn. Tất nhiên, chọn lựa các sự kiện nối tầng bậc hai, bậc ba,... trong số lớn các chuyển dời thu nhận với các detectơ bán dẫn sẽ tạo nên khả năng tìm ra tất cả các dịch chuyển gamma và vai trò độc lập của chúng trong phân rã gamma (bắt đầu ở một ngưỡng nhất định). 9 Xây dựng các sơ đồ phân rã bằng việc kết hợp thông tin từ hai kiểu đo làm tăng khả năng xác định đơn trị đặc trưng của mức cuối của nối tầng. Đây là đặc trưng quan trọng trong trường hợp phân rã của các hạt nhân biến dạng với mật độ trạng thái kích thích được nghiên cứu cao. Ở đó, phần lớn các chuyển dời gamma bội chưa xác định được năng lượng sẽ được xác định và xếp chúng vào sơ đồ phân rã một cách đơn trị. Các phân tích liên hợp hầu như phát hiện ra các mức bội với khoảng cách giữa các mức rất hẹp (từ ∆E~1÷3 keV) ở các năng lượng kích thích khác nhau, cũng giống như phân bố cường độ sơ cấp của chúng. Tổng Σjγ của cường độ các chuyển dời thứ cấp trong phân rã của các trạng thái năng lượng trung gian có thể được xác định đơn trị. Nếu phổ của các detectơ đơn được sử dụng để xác định cường độ iγ của các dịch chuyển γ từ trạng thái hợp phần về các mức trung gian và từ các trạng thái trung gian về các trạng thái cuối, với hai lượng tử gamma nối tầng biểu thức tỉ số giữa cường độ nối tầng iγγ và cường độ của chuyển dời sơ cấp, thường được chuẩn tuyệt đối theo số phân rã: iγγ/iγ=(iγjγ/Σjγ)/iγ=jγ/Σjγ (8) Hầu như có thể xác định đơn trị Σjγ cường độ của các chuyển dời không quan sát được trong các phản ứng (n,2γ) về các mức nối tầng cuối nằm cao. Đại lượng này có thể được so sánh đánh giá trên các mẫu thống kê khác nhau. Tổng Σjγ thu được là bằng tổng của các cường độ iγ của các nối tầng gamma bậc hai, ba,... tương ứng với trạng thái kích thích dịch chuyển. III. Đánh giá phân bố mật độ mức kích thích ρ và hàm lực photon k của các dịch chuyển nối tầng 10 Hàm lực photon và mật độ mức ρ xác định độ rộng bức xạ toàn phần của trạng thái hợp phần Γ )/( 3/23 λγλ DAEk i ××Γ= λ và cường độ bức xạ nối tầng Iγγ thu được dưới dạng sau: ii mλλλ ×Γ=Γ , (9) ∑∑∑ Γ Γ Γ Γ=Γ Γ Γ Γ= f ifif if i ii i i if f i i m n m I ,, λ λ λλ λ λ λ λ γγ (10) Γλi là độ rộng riêng phần của dịch chuyển gamma có năng lượng Eγ, A là khối lượng hạt nhân và D là khoảng cách giữa các mức phân rã λ. Các giá trị của độ rộng gamma toàn phần và riêng phần được tính cho trạng thái hợp phần λ và mức trung gian i của nối tầng tương ứng; m là tổng số mức kích thích và n là số mức kích thích trong khoảng năng lượng xác định cường độ nối tầng trung bình. Tất cả các tính toán đã được tiến hành với một giá trị ∆E. Khoảng lấy tổng trên các mức cuối f của nối tầng f đã được xác định bằng khả năng thực nghiệm. Khoảng của spin lấy tổng trên các mức trung gian i được xác định gần đúng bằng quy luật chọn lựa lưỡng cực; tổng của mức phân rã λ là cần trong trường hợp các kênh spin hai kích thích khi bắt nơtron nhiệt. Các phương trình (9) và (10) không cho phép xác định k và ρ độc lập tường minh. Ví dụ, độ lệch của ρ từ các giá trị thực là hiển nhiên có thể bù trừ được với độ lệch của hàm lực với biên độ tương ứng. Mối tương quan này tăng một cách có ý nghĩa cả hai khoảng của các giá trị chấp nhận với mật độ mức của các giá trị chẵn, lẻ và hàm lực của các dịch chuyển M1 và E1. Các đại lượng này xác định độ rộng toàn phần và cường độ của các nối tầng. Tuy nhiên, theo phân tích của một số tác giả khi sử dụng tất cả các số liệu thực nghiệm cho thấy tổng mật độ của các mức có độ chẵn lẻ khác nhau hoặc của hàm lực của 11 các dịch chuyển điện từ thu được không vượt quá 40÷50% với tất cả các năng lượng kích thích thu được của hạt nhân nghiên cứu. IV. Sai số hệ thống trong việc xác định các tham số Sai số hệ thống trong xác định mật độ mức chủ yếu phụ thuộc vào xác định chính xác năng lượng của các cặp đỉnh trong phổ nối tầng dẫn đến sự sai khác trong xây dựng sơ đồ mức khi xác định các chuyển dời sơ cấp với các độ chính xác khác nhau. Thực tế cho thấy khi xây dựng sơ đồ phân rã với các sai số từ 1÷2 keV tức nằm trong khả năng phân giải của hệ phổ kế sự sai khác trong giá trị mật độ mức không vượt quá 5%. Sai số mắc phải chủ yếu vẫn do xác định các chuyển dời có cường độ bé. Trong thực nghiệm nghiên cứu phân rã nối tầng bậc hai bằng trùng phùng gamma-gamma, xác suất ghi nhận lượng tử gamma nối tầng bậc ba như một nối tầng bậc hai là rất nhỏ. Xác suất này đóng góp trực tiếp vào diện tích các đỉnh có sự sai khác giữa mức đầu và mức cuối lớn hơn 3, |Iλ-If|≥3. Bên cạnh xác suất ghi nhận bé, các phân rã gamma nối tầng của các dịch chuyển lưỡng cực M1+E2 hoặc E1+M2 cũng có cường độ bé. - Xác suất ghi nhận năng lượng toàn phần của nối tầng trong trường hợp có trao đổi năng lượng giữa hai detectơ đã được giảm từ 12% đến 0,2% khi sử dụng một phin lọc chì. - Sự biến dạng của phân bố cường độ gamma nối tầng tạo ra từ phân bố góc do hình học đo không vượt quá 5%. Sai số có thể đóng góp vào giá trị thu được khi tích phân trên góc được chuẩn hoá với giá trị cường độ tuyệt đối đã biết. - Số liệu thực nghiệm phân tích phù hợp với phân bố thực nghiệm giống như một đối xứng gương chỉ phụ thuộc vào năng lượng của các chuyển dời sơ cấp và thứ cấp của nối tầng. Quá trình này cho phép thu được quan hệ Iγγ=f(E1) 12 với sai số bé hơn 5%, khi số liệu thực nghiệm đủ thống kê. Đánh giá này đã được suy từ tích lũy cường độ tổng của tất cả các nối tầng phân tách được với một năng lượng dịch chuyển sơ cấp được chọn về mức dưới của nó. - Sai số cực đại trong xác định cường độ nối tầng thực nghiệm vào cỡ 20%. Sai số này rất khó giảm được do sự xác định không chính xác cường độ chuyển dời sơ cấp trong phản ứng (n,γ). Với các nghiên cứu đã được tiến hành, sai số hệ thống trong k và ρ được giả thuyết rằng đã làm tăng tổng cường độ nối tầng bậc hai một hệ số cỡ 1.5. Sự tăng này không làm thay đổi dạng hàm của ρ và k. - Tất cả các mức trong khoảng năng lượng kích thích phân bố đơn lẻ làm giảm xác suất phân bố của dịch chuyển M1 và E1, giống như một mức bất kỳ trong cửa sổ chọn lựa spin theo quy tắc chọn lựa và phù hợp với sự phụ thuộc của hàm sóng của các cộng hưởng nơtron và mức nối tầng trung gian Ei. 13 MÔ TẢ MẬT ĐỘ MỨC I. Tình hình mô tả mật độ mức Tính thống kê của các mức hạt nhân kích thích từng là chủ đề được quan tâm và nghiên cứu trong suốt hơn 50 năm qua. Một trong những tính chất thống kê cơ bản của các mức là mật độ mức. Đối với việc mô tả mật độ mức, mẫu nhiệt độ không đổi và mẫu khí Fermi được sử dụng thường xuyên với các thông số thu được từ việc làm khớp với dữ liệu thực nghiệm. Nhưng những giả thuyết của cả hai mẫu trên đều không thể cho phép chúng miêu tả chính xác các điểm khác nhau của mật độ mức trên khoảng năng lượng rộng từ trạng thái cơ bản đến các năng lượng cao hơn năng lượng liên kết của nơtron. Những hiệu ứng cơ bản nhất hiện nay được sử dụng để xây dựng lên các mẫu hạt nhân bao gồm hiệu ứng vỏ, hiệu ứng kết đôi và hiệu ứng tập thể. Các hiệu ứng này được thể hiện đầy đủ trong mẫu siêu lỏng suy rộng (Generalized Superfluid Model). Mẫu này đã được nhiều học giả phát triển trong suốt hơn 20 năm qua, bên cạnh đó sự phân tích số liệu thực nghiệm cũng được phát triển đồng thời để làm các cơ sở kiểm chứng và hiệu chỉnh lại các mẫu lý thuyết. Theo Sokolov Iu.P., mô tả mật độ mức trạng thái hạt nhân với các đặc trưng lượng tử xác định là một trong những công việc chính của vật lý hạt nhân. Hiện nay, việc tính toán mật độ mức trạng thái của hạt nhân được thực hiện bằng một số phương pháp sau đây: * Phương pháp tổ hợp: Phương pháp này được dựa trên việc giải bài toán trị riêng, chúng ta sẽ thu được mật độ mức của hạt nhân (số trạng thái trong một khoảng năng lượng) nhờ việc giải bài toán trị riêng này. Halmintonian của hạt nhân có dạng: 14 (11) qpairsp HHHH ˆˆˆˆ ++= Với là thế hạt nhân một hạt mô tả trường trung bình của hệ các nucleon. là phần tương tác cặp trong kênh hạt-hạt dẫn đến tương quan