Đề tài Các mô hình rủi ro tín dụng và ứng dụng

§Ò tµi : C¸c m« h×nh rñi ro tÝn dông vµ øng dông. A. LỜI MỞ ĐẦU B. NỘI DUNG Chương 1: rủi ro tài chính và các mô hình rủi ro tín dụng 1.1, Rủi ro tài chính : (thực nghiệm và tiếp cận) Như chúng ta đã biết , trong mọi hoạt động kinh tế, rủi ro là một vấn đề hết sức quan trọng, nó có quan hệ mật thiết đối với mức lợi tức mà tổ chức kinh doanh có thể đạt được tong tương lai. Ta có thể nói một cách chắc chắn rằng đối với bất kỳ hoạt động kinh doanh nào, rủi ro càng lớn thì lợi nhuận kỳ vọng càng cao. Vấn đè đặt ra ở đây không phải là các chủ thể kinh tế có nên tham gia vào các hoạt động hàm chứa rủi ro trên thị trường hay không mà là tham gia hoạt động như thế nào cho hiệu quả, thông qua việc đánh giá rủi ro và đưa ra cơ chế quản lý rủi ro. Sau đây là khái quát về rủi ro tài chính nói chung và tiếp cận lý thuyết rủi ro tín dụng nói riêng. 1.1.1. Những biến động trên thị trường tài chính: Bắt đầu từ những năm 70, đặc biệt là những năm 80 và 90 trở lại đậy, hoạt động đầu tư- kinh doanh của các tôt chức tài chính gặp nhiều rủi ro do những nguyên khác nhau. Thứ nhất, hoạt động đầu tư, kinh doanh của các tổ chứctài chính không còn bị giới hạn trong phạm vi quốc gia mà là đa ngành và toàn cầu. Đây là kết quả của quá trình hội nhập kinh tế theo khu vực và xu thế toàn cầu hoá. Thứ hai, cạnh tranh giữa các tô chức tài chính diễn ra quyết liệt hơn do các quy chế tài chính và các ràng buộc pháp lý được nới lỏng. Các tổ chức tài chính có nhiều quyền chủ động hơn trong kinh doanh, do đó hoạt động đầu tư tài chính vào các dự án rủi ro cũng tăng thêm. Thứ ba, sự hình thành và phát triển của các công cụ tài chính (chứng khoán phái sinh) cùng với tiến bộ về kỹ thuật và thông tin đã làm tăng khối lượng giao dịch tài chính trên toàn thế giới. Điều này làm cho các tổ chức tài chính phải đối phó với nhiều nguồn phát sinh rủi ro. Cuối cùng, sự biến động cuả các biến kinh tế vĩ mô (GDP, lạm phát, thất nghiệp, tỷ giá hối đoái) cũng là một nguyên nhân gây ra rủi ro. Dưới đây là một số sự kiện đáng lưu ý: _ Năm 1971, hệ thống tyr giá cố định được dỡ bỏ và thay vào đod là hệ thống tỷ giá thả nổi, vừa tạo ra những biến động thường xuyên của tỷ giá ngoại tệ. _ Năm 1973, cú sốc về dầu lửa gây nên một tỷ lệ lạm phát rất cao và lãi suất dao động mạnh tại nhiều nước trên thế giới. _ Năm 1975, lần đầu tiên tại thị trường chứng khoán Chicago, các hợp đồng Future được đưa vào giao dịch. _ Ngày thứ 2 đen tối, 19/10/1987, thị trường chứng khoán Mỹ đổ bể, chỉ số chứng khoán Down Jone giảm 500 điểm (23%), thiệt hại ước tính trên 1000 tỷ USD tiền vốn. _ Năm 1989, hiện tượng bong bóng đầu tư trên thị trường chứng khoán Nhật bắt đầu vỡ,chỉ số chứng khoán Nikkei bắt đầu giảm từ 39000 điểm xuống 17000 điểm trong vòng 3 năm dẫn đến khủng hoảng tài chính tại Nhật, thiệt hại trên 2.7 ngàn tỷ USD tiền vốn. _ Năm 1992, xu hướng tiến tới một đồng tiền chung Châu Âu tạm thời bị gián đoạn do những biến cố làm cho một số nước phải tạm thời rút cam kết ra khỏi hệ thống tiền tệ Châu Âu. _ Năm 1994, sau hơn 3 năm duy trì mức lãi suất thấp, Cục dự trữ liên bang Mỹ (Fed) đã 6 lần liên tiếp điều chỉnh lãi suất làm thiệt hại 1.5ngàn tỷ USD tiền vốn trên thị trường thế giới. _ Năm 1997, khủng hoàg tiền tệ Châu Á xảy ra tại các nước Thái Lan, Mlaysia, Indonesia, Hàn Quốc. _ Năm 1998, khủng hoảng mất khả năng thanh toán của nhiều ngân hàng Nga. Nước/năm Phạm vi Tổn thất (%GDP) Tổn thất (tỷ USD) Nhật,1990 Nợ xấu, bất động sản 14 550 Trung Quốc,1990 4 ngân hàng quốc doanh lớn nhất 47 498 Mỹ,1984-1991 1400 tổ chức tiết kiệm tín dụng,1300 ngân hàng đổ bể tài chính 2.7 150 Hàn Quốc,1998 cơ cấu lại ngân hàng 28 90 Mehico,1995 20 ngân hàng tái cơ cấu vốn 17 72 Archentina,1980-92 đóng cửa 70 tổ chức TC 55 46 Thái Lan,1997 hệ thống ngân hàng 32 36 malaysia,1997 hệ thống ngân hàng 35 25 Thuỵ Điển,1991-94 cứu cánh 5 ngân hàng 4 15 Pháp,1994-95 ngân hàng Credit Lyonnaire 0.7 10 Isarel,1977-83 toàn bộ hệ thống ngân hàng 30 8 Phần lan,1991-93 ngân hàng tiết kiệm 8 7 Úc,1989-92 cơ cấu vốn 2 NH lớn 2 6 Nguồn: số liệu trích từ "Philippe Jorion (2001), Value at Risk" 1.1.2. Khái niệm và phân loại rủi ro tài chính: 1.1.2.1. Khái niệm: Rủi ro là một vấn đề hết sức trừu tượng và có tính tương đối cáo, vấn đề được coi là rủi ro đối với người này lại có thể là may mắn đối với người khác và ngược lại. Do vậy, có rất nhiều định nghĩa về rủi ro trên nhiều góc độ khác nhau, ở đây ta chỉ đề cập tới một số định nghĩa cơ bản nhất: _ Theo các nhà toán học xác suất: Rủi ro là một biến cố mà nếu nó xảy ra thì sẽ gây tổn thất, thiệt hại. _Theo các nhà chứng khoán: Rủi ro trong đầu tư chứng khoán là khả năng (hay xác suất) xảy ra những kết quả đầu tư ngoài dự kiến, hay cụ thể hơn là khả năng làm cho mức sinh lợi thực tế nhận được trong tương lai khác với mức sinh lời dự kiến ban đầu. _Theo các nhà tài chính: dưới giác độ hoạt động kinh doanh và đầu tư tài chính, rủi ro được định nghĩa một cách đơn giản và trực tiếp nhất là sự thay đổi không lường trước được về giá trị tài sản và khoản vay nợ. Rủi ro được phân thành các loại: rủi ro trong kinh doanh, rủi ro ngoài kinh doanh và rủi ro tài chính. Rủi ro rài chính: rủi ro dẫn đến các tổn thất do thị trường tài chính mang lại như rủi ro về lãi suất, tỷ giá, rủi ro về biến động giá các loại chứng khoán, rủi ro rín dụng, rủi ro thanh khoản. Ngoại trừ rủi ro ngoài kinh doanh là bất khả kháng (vd sự thay đổi thể chế chính trị), còn rủi ro tài chính thường được kiểm soát chặt chẽ để doanh nghiệp tập trung vào việc quản lý rủi ro phát sinh từ các hoạt động kinh doanh do chính doanh nghiệp chủ động tạo ra. 1.1.2.2. Phân loại rủi ro tài chính: Rủi ro tài chính bao gồm rủi ro thị trường, rủi ro tín dụng, rủi ro thanh khoản, rủi ro hoạt động và rủi ro pháp lý. Rủi ro thị trường phát sinh do sự biến động về giá trên thị trường tài chính. Rủi ro tín dụng phát sinh khi một hoặc các bên tham gia hợp đồng tín dụng không có kả năng thanh toán cho các bên còn lại. Biến động về giá trên thị trường tài chính cũng là nguyên nhân gây ra rủi ro tín dụng. Rủi ro tín dụng được kiểm soát thông qua các chính sách về hạn mức tín dụng, tài sản thế chấp và đánh giá rủi ro tiềm ẩn của khách hàng. Rủi ro thanh khoản ( rủi ro về tài sản và rủi ro về vốn): rủi ro phát sinh do tính thanh khoản của tài sản không thể thực hiện được trong một số điều kiện nhất định của thị trường. Rủi ro hoạt động: rủi ro do chính con người hoặc sự cố về kỹ thuật mang lại một cách vô tình hay cố ý. Đay cũng là nguyên nhân gây ra rủi ro thị trường và rủi ro tín dụng. Rủi ro pháp lý: phát sinh do thực hiện các giao dịch không đúng luật gây nên tổn thất, kiện cáo của khách hàng hoặc của các cổ đông. 1.1.3. Thực nghiệm về rủi ro tài chính- một số trường hợp rủi ro và tổn thất tài chính: 1.1.3.1. Sự phá sản của Ngân hàng Baring (Anh): Ngày 26/2/1995, ngân hàng Baring đã tuyên bố phá sản sau 233 năm tồn tại. Nguyên nhân trực tiếp dẫn đến vụ đổ bể tài chính này là do Micholass Leeson,28 tuổi, phụ trách kinh doanh của chi nhánh Ngân hàng tại Singapore, đã cố tình che dấu sự thật và theo đuổi chiến lược kinh doanh có mức độ rủi ro cao. Tháng 7 năm 1992, Leeson đã quyết định đầu tư 7 tỷ USD theo chỉ số chứng khoán Nikkei trên thị trường Nhật. Đến cuối 1992, ngân hàng đã thua lỗ trên 3 tỷ USD. Leeson vẫn che dấu sự thật và tiếp tục đầu tư trên thị trường chứng khoán Singapore. Cuối năm 1994, đầu tư của Leeson tiếp tục gây thua lỗ 250triệu USD. Ngày 17/1/1995, động đtá ở Kobe, đầu tư tiếp tục thua lỗ 75triệu USD và đến cuối tuần đó thua lỗ trên 150triệu. Chỉ số thị trường chứng khoán giảm vào 23/2/1995 tiếp tục gây thêm tổn thất là 250triệu. Tổng số thất thoát do Leeson gây ra lên đến 1.3tỷ USD. Khi thua lỗ tích tụ ngày càng lớn, ngân hàng không đủ khả năng thanh toán theo yêu cầu của các hợp đồng, Leeson đã chuồn khỏi văn phòng ngày 23/2/1995 và gửi lại ban lãnh đạo ngân hàng lời cáo lỗi! Các cổ đông của Ngân hàng là người chịu tổn thất toàn bộ về sự phá sản của Ngân hàng trị giá 1tỷ USD này. Các chủ nợ ngân hàng được trả 5cent cho 1USD tiền vay. 1.1.3.2. Sự thua lỗ của tập đoàn Công nghiệp Metallgesellschaff (MG- Đức): Tập đoàn Công nghiệp lớn thứ 14 của Đức có số nhân viên 58000 người gần như bị phá sản với thiệt hại 1.3tỷ USD do một chi nhánh kinh doanh tại Mỹ gây ra. Bắt đầu bằng việc cam kết cung cấp cho khách hàng 180triệu thùng dầu trong thời hạn 10năm, một hợp đồng quá lớn, gấp nhiều lần so với khả năng cung cấp của tập đoàn này và trị giá bằng 85 ngày sản lượng khai thác dầu của Cô-oét. Để phòng ngừa rủi ro về giá dầu tăng, lẽ ra công ty phải thực hiện hợp đồng trao đổi dài hạn về cung cấp dầu và cam kết về thời điểm giao hàng. Trái lại, công ty đã theo đuổi chiến lược kinh doanh quay còng các hợp đồng ngắn hạn 3tháng. Rủi ro căn bản phát sinh từ đây khi giá dầu kỳ ngắn hạn biến động và khác biệt xa giá dầu kỳ dài hạn do công ty cung cấp cho khách hàng . Khi giá 1 thùng dầu giảm từ 25USD xuống 15USD năm 1993, công ty phải huy động thêm 1tỷ USD ký gửi vào tài khoản giao dịch. Trước thực trạng đó, ban quản lý của chi nhánh bị thay thế và ban quản lý mới đã quyết định thanh lý toàn bộ giá trị hợp đồng còn lại. Hậu quả là thua lỗ lên đến 1.3tỷ USD. Cuối cùng, giá cổ phiếu của tập đoàn MG giảm từ 64 DM xuống còn 24 DM, gây tổn thất 60% giá trị tài sản của cổ đông. Ngoài ra còn có 2 vụ đổ bể lớn nữa là Sự đổ bể của Quỹ đầu tư Orange Couty (Mỹ) và Tổn thất của ngân hàng Daiwa (Nhật Bản). Bốn vụ đổ bể tài chính này để lại những hậu quả nặng nề với tổn thất đều trên 1tỷ USD. 1.2, LÝ THUYẾT RỦI RO TÍN DỤNG Các mô hình tài chính nói chung phần nhiều tài sản tài chính đều được giả thiết là không có rủi ro. Trong thực tế thì giả thiết này chỉ hợp lý đối với các cam kết tài chính (obligation) như trái phiếu kho bạc, trái phiếu chính phủ. Đó là loại cam kết nợ mà người phát hành được mọi người tin tưởng là không bao giờ bị phá sản. Nhưng trên thị trường, phần lớn các cam kết nợ là do các công ty, các xí nghiệp, các tổ chức tài chính tư nhân phát hành. Loại cam kết này thường có rủi ro vì tồn tại xác suất dương để cho người phát hành làm ăn thất bại không còn khả năng chi trả 1 phần hay toàn bộ số nợ. Đối với các chứng khoán phái sinh viết trên các rủi ro tín dụng thì cho đến nay chưa có nhiều mô hình hiệu quả được đề xuất. Phần về lý thuyết rủi ro tín dụng này đề án trình bày về mô hình Merton, mô hình Jarrow-Lando-Turnbull (JLT) và mô hình đánh giá rủi ro bằng phương pháp VaR. Trong đó mô hình VaR được trình bày cụ thể hơn cả bởi những ứng dụng quan trọng của nó. 1.2.1. CÁC KHÁI NIỆM CHUNG: 1.2.1.1. Các cam kết nợ: Các cam kết nợ do các nhà vay nợ có rủi ro phát hành thường được đặc trưng bởi sự chênh lệch (spread) về lãi suất so với các hợp đồng cam kết nợ không có rủi ro. Sự chênh lệch này tương ứng với sự sai khác về tỷ lệ bảo hiểm thực hiện bởi 1 cam kết có cùng cấu trúc và được phát hành bởi 1 nhà phát hành không thể mắc sai lầm. Các cam kết nợ được phát hành dưới dạng các trái phiếu. Xét 2 trái phiếu lãi suất 0 (gọi tắt là trái phiếu-0) là Pr và Pc cùng có mệnh giá là 1 và thời gian đáo hạn là T. Giả thiết: Pr -có rủi ro Pc -không rủi ro Các ký hiệu Pr và Pc là giá hôm nay (t=0) của các trái phiếu này . Pr=Pr(0,T); Pc=Pc(0,T) Sự sai khác về lãi suất giữa 2 trái phiếu là sự chênh lệch về lãi suất của tría phiếu có rủi ro và được cho bởi: (1.1) Nếu ký hiệu f(0,T) là lãi suất định trước từ ngày hôm nay (t=0) cho thời điểm đáo hạn T, thì từ (1.1) ta suy ra: (1.2) Bởi vì: 1.2.1.2. Các biểu thức về chênh lệch lãi suất (spread of rate): Giả sử có 1 quá trình ngẫu nhiên Xt chỉ lấy 2 giá trị 0 và 1,xác định trên một không gian xác suất nào đấy mà ta sẽ xác định, trên đó có một xác suất rủi ro trung tính nào đó, sao cho tại thời điểm t thì: Xt = 1 nếu nhà phát hành mắc sai lầm, Xt = 0 nếu nhà phát hành không mắc sai lầm. Nếu nhà phát hành Xt là độc lập với quá trình giá tài sản vốn,chẳng hạn Xt là tất định, thì giá hôm nay (t=0) của trái phiếu lãi suất-0 có rủi ro là: Vậy từ (1.1) ta suy ra biểu thức chênh lệch lãi suất rủi ro: (1.3) Mô hình này không hoàn toàn thực tế lắm, bởi vì cả khi thất bại, người ta phát hành bản cam kết nợ nói chung vẫn phải bồi hoàn lại 1 số tiền theo một tỷ lệ gọi là suất hoàn nợ (recovery rate). Ký hiệu là một suất hoàn nợ với 0, ta có: (1.4) Do đó ta có biểu thức về chênh lệch lãi suất như sau: (1.5) 1.2.2. MÔ HÌNH MERTON: 1.2.2.1. Giới thiệu mô hình: Nếu tại một thời điểm cho trước mà giá trị kinh tế của một công ty phát hành cam kết nợ lại ít hơn tổng số tiền nợ phải trả vào đúng thời điểm đó, công ty đó không thể chi trả và bị phá sản. Giả sử tổng số nợ gồm có các khoản nợ L1,L2,…..,Ln phải chi trả vào các thời điểm trong tương lai là t1,t2,…,tn . Giá trị kinh tế S của công ty được mô hình hóa với xác suất rủi ro trung tính, bởi 1 quá trình V thỏa mãn phưong trình vi phân ngẫu nhiên: Với r và là hằng số. Công ty sẽ bị phá sản trước thời điểm T (T lớn hơn tất cả các thời điểm t1,t2,…,tn) nếu và chỉ nếu tại một trong các thời điểm ti (i=1,2,…,n). (i=1,2,…,n) (2.2) Cuối cùng xác suất phá sản trước thời điểm T là: (2.3) Đó là mô hình Merton về rủi ro phá sản. 1.2.2.2. Phân tích mô hình: Phương trình (2.1) có dạng giống như phương trình cề giá cổ phiếu trong mô hình Black-Scholes: Và do đó, V là một chuyển động Brown hình học. Ta có (2.4) Do đó: Khi đó V(Ti)>Li có nghĩa là lnV(Ti)>ln(Li) hay là: Hay là: . Kí hiệu: Khi đó biến cố A={ } trong vế phải của (2.3) sẽ trở thành giao của các biến cố: {}, Và cũng có thể xem như giao của các biến cố độc lập sau đây {}, (2.5) Gọi là tập mở của chứa các điểm sao cho: , …………. (2.6) Nếu ký hiệu N(x) là hàm phân phối chuẩn N(0,1) 1-chiều tức là với thì xác suất phá sản (2.3) bây giờ có thể viết thành : (2.7) Trong đó: Có thể đi từ (2.5), (2.6) đến(2.7) là do là biến ngẫu nhiên chuẩn có kỳ vọng 0 và phương sai là và do đó có phân phối chuẩn N(0,1). Trong trường hợp có một khoản nợ thôi thì: Hay là: (2.8) Trong đó : . 1.2.2.3. Nhận xét: Ưu điểm của mô hình: (1) với mô hình Merton, ta tìm được xác suất phá sản của công ty hoặc một tổ chức phát hành cam kết nợ mà không trả được nợ vào lúc đáo hạn. Đó là một loại xác suất rủi ro. (2) Đối với 1 cấu trúc phức tạp hơn thì tích phân n-chiều không dễ tính.Ta có thể dùng các phương pháp của giả tích số. (3) Những lý do chính khiến mô hình Merton được sử dụng là: sự rõ ràng dễ hiểu xét về góc độ kinh tế tài chính; và sự chênh lệch lãi suất được biểu thị bởi các công thức “khép kín” trong nhiều trường hợp đơn giản. Tuy nhiên,mô hình còn 1 số khuyết điểm chính: các kết quả tính theo mô hình này thường không phù hợp với thực tiễn tài chính về hai phương diện chủ yếu.Đó là: (1) Theo mô hình này,mức L cố định và các chênh lệch lãi suất được cho bởi công thức: (2.9) Không thể xây dựng được mô hình này xuất phát từ đường hoa lợi cho trước,bởi vì đường hoa lợi ở đây là 1 dữ liệu nội tại của mô hình và hoàn toàn có thể xác định bởi các khoản nợ phải trả ( Lt). (2) Theo mô hình này thì xác suất phá sản tức thời của một người phát hành cam kết nợ bằng 0.Nhưng các nghiên cứu thống kê lại cho biết rằng ngay cả 1 công ty hoạt động tốt với số vốn hoạt động cao cũng có thể bị phá sản đột ngột,có nghĩa việc phá sản tức thời có xác suất khác 0. 1.2.3. MH JLT: 1.2.3.1. Giới thiệu: Trên Tạp chí Nghiên cứu Tài chính của Mỹ vào mùa hè 1997,ROBERT JARROW, DAVID LANDO và STUART M.TURNBULL đã đưa ra 1 mô hình để đánh giá các khoản nợ có rủi ro với giả thiết rằng xác suất vỡ nợ là 1 yếu tố ngoại lai.Mô hình này liên hệ các định mức tài chính và các kinh nghiệm về vỡ nợ để đề xuất ra các xác suất vỡ nợ cần dùng cho việc định giá các trái phiếu có rủi ro. Mô hình này trước tiên mô tả sự định giá trái phiếu không rủi ro. Giả thiết rằng thị trường không có độ chênh thị giá (AAO) và là thị trường đầy đủ. Khi đó giá trái phiếu không bị vỡ nợ là giá trị đã chiết khấu trung bình của 1 đồng tiền chắc chắn được nhận vào thời điểm T là: (3.1) Trong đó: Và là kỳ vọng toán dưới xác suất rủi ro trung tính. Phương trình (3.1) nói lên rằng giá một trái phiếu hôm nay tìm ra được bằng cách chiết khấu khoản thu hoạch tương lai với lãi suất là r. Vì giá của trái phiếu là yếu tố chịu sự tác động của rủi ro,cho nên đó là giá trị trung bình của một đồng tiền có rủi ro nhận được vào thời điểm T: (3.2) v(t,T) là giá một trái phiếu lãi suất-0 có rủi ro. là tỷ lệ giá trị còn lại của mỗi đồng tiền nhận được trong trường hợp có vỡ nợ. là thời điểm ngẫu nhiên khi xảy ra việc phá sản. Phương trình (3.2) chỉ ra rằng,nếu không có chuyện vỡ nợ thì giá trái phiếu đúng bằng giá của nó trong trường hợp không có rủi ro. Nếu xảy ra vỡ nợ thì trái chủ sẽ chỉ nhận được 1 tỷ lệ là của giá không rủi ro của trái phiếu. 1.2.3.2. Phân tích mô hình. Xích Markov: Giả sử quá trình ngẫu nhiên về các lãi suất giao ngay khi không có vỡ nợ và quá trình phá sản là độc lập thống kê với nhau. Khi đó, giá của 1 trái phiếu lãi suất-0 có rủi ro có thể được viết như sau: (3.3) Trong đó: (.| Ft) là kỳ vọng có điều kiện tính theo xác suất rủi ro trung tính Q lấy đối với -trường thông tin Ft nào đó (Ft chứa đựng mọi thông tin thị trường cho tới thời điểm t ). (.| Ft) là xác suất có điều kiện tính theo xác suất Q, lấy đối với -trường thông tin Ft. Như vậy, giá của một trái phiếu có rủi ro vào ngày hôm nay chỉ là một loại trung bình có trọng số của thu hoạch khi không vỡ nợ và thu hoạch khi có vỡ nợ. Ta xét một xích Markov với ma trận chuyển Q như sau: (3.4) là xác suất chuyển từ định mức rủi ro i ở thời điểm t sang định mức rủi ro j ở thời điểm t+1. Các ma trận này được lập ra trên cơ sở các định mức tài chính được cung cấp bởi các hãng như Standard & Poor’s hoặc Moody’s. Thí dụ bảng các xác suất chuyển trung bình trong vòng 1 năm của các trái phiếu công ty: Định mức cuối năm Định mức ban đầu AAA AA A BBB BB B CCC DDD NR AAA 0.8746 0.945 0.0077 0.0019 0.0029 0 0 0 0.0183 AA 0.0084 0.8787 0.0729 0.0097 0.0028 0.0028 0 0 0.0246 A 0.0009 0.0282 0.8605 0.0628 0.0098 0.0044 0 0.0009 0.0324 BBB 0.0006 0.0041 0.062 0.7968 0.0609 0.0151 0.0043 0.0043 0.0545 BB 0.0004 0.002 0.0071 0.0649 0.7012 0.0942 0.0218 0.0218 0.097 B 0 0.0017 0.0027 0.0058 0.0451 0.7196 0.0598 0.0598 0.1272 CCC 0 0 0.0102 0.0102 0.0179 0.0665 0.2046 0.0245 0.1176 (đánh giá định mức tín dụng theo tiêu chuẩn của Standard & Poor’s,với mức rủi ro phá sản tăng dần từ AAA, AA, …. đến CCC, DDD. AAA là loại cực kỳ an toàn, còn DDD là loại cực kỳ rủi ro-định mức phá sản) Theo bảng trên: một trái phiếu ở định mức BB có một xác suất là 0.0004 để đến cuối năm chuyển sang định mức AAA. Cũng trái phiếu này, xác suất là 0.0218 để chuyển sang định mức phá sản. Có lẽ không có gì ngạc nhiên lắm khi ta thấy xác suất để sau 1 năm vẫn giữ định mức cũ là cao hơn cả (các phần tử trên đường chéo của ma trận xác suất). Điều này ứng với ý nghĩa kinh tế là do công ty đó có cơ cấu vốn không đổi,không tham gia thêm dự án đầu tư nào cũng như không thay đổi chính sách cổ tức (mua lại cổ phần hay phát hành thêm cổ phiếu mới). Ma trận trong thí dụ này không có hàng ứng với định mức D,do giả thiết một khi nhà phát hành trái phiếu đã vỡ nợ rồi thì không còn khả năng thay đổi định mức nữa. Điều này hoàn toàn phù hợp với ý nghĩa kinh tế của nó với cách lập luận vỡ nợ thì phá sản. Nhưng xét theo khía cạnh toán học,ta vẫn có thể đặt thêm 1 hàng cuối cùng với các phần tử là 0,và phần tử cuối cùng của hàng ấy là 1, với ý nghĩa “phá sản vẫn hoàn phá sản” (1 trạng thái hấp thụ của xích Markov). Những định mức như trong bảng trên là bao gồm các chi phí rủi ro mà nhà đầu tư đòi hỏi phải được trả để giữ giấy vay nợ có rủi ro.Nhưng đối với mô hình JLT, người ta đòi hỏi phải dùng đến các xác suất rủi ro trung tính. Như vậy mô hình cần phải điều chỉnh các xác suất kinh nghiệm về rủi ro vỡ nợ để bao gồm phí rủi ro cho người nắm giữ trái phiếu rủi ro. Ma trận chuyển xét dưới độ đo mac-ti-gan