Đề tài Cây 2-3-4: Lý thuyết và mô phỏng

MỤC LỤC----------------------------------------------------------------------------------1 LỜI MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI---------------------------------------------------2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI-----------------------------------2 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI-----------------------------------3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU--------------------------------------------3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU----------------------------------------3 PHẦN NỘI DUNG-------------------------------------------------------------------------4 CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT CÂY 2-3-4---------------------------------------------4 Giới thiệu về cây 2-3-4.-----------------------------------------------------4 II. Tổ chức cây 2-3-4.----------------------------------------------------------6 III. Tìm kiếm.---------------------------------------------------------------------8 Tách node.-------------------------------------------------------------------8 1. Tách node con.------------------------------------------------------------8 2. Tách node gốc.----------------------------------------------------------11 3. Tách theo hướng đi xuống.--------------------------------------------12 Chèn node.------------------------------------------------------------------14 Tính hiệu quả của Cây 2-3-4---------------------------------------------15 Chuyển từ cây 2-3-4 sang cây đỏ đen.----------------------------------16 CHƯƠNG 2. MÔ PHỎNG THUẬT TOÁN TRÊN CÂY 2-3-4--------------21 Tổng quan về mô phỏng thuật toán.-------------------------------------21 Khái niệm thuật toán và các đặc trưng của thuật toán.----------21 Khái niệm mô phỏng thuật toán.-------------------------------------21 Các yêu cầu mô phỏng thuật toán.--------------------------------------22 Quá trình thiết kế nhiệm vụ mô phỏng thuật toán.--------------------23 Mô phỏng thuật toán trên Cây 2-3-4------------------------------------23 Giới thiệu ngôn ngữ mô phỏng.--------------------------------------23 Phân tích và thiết kế thuật toán mô phỏng.------------------------24 Phân tích.-----------------------------------------------------------24 Thiết kế.-------------------------------------------------------------24 TÀI LIỆU THAM KHẢO---------------------------------------------------------------36 LỜI MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài Trong hai thập kỉ qua, mô phỏng thuật toán đã được các nhà sư phạm của ngành công nghệ thông tin sử dụng như một công cụ hỗ trợ cho việc giảng dạy các thuật toán trên máy tính. Nguyên nhân của việc mô phỏng thuật toán được sử dụng như một công cụ trợ giúp cho việc giảng dạy là do nó có thể cung cấp các mô phỏng động bằng đồ họa của một thuật toán và các thay đổi trong cấu trúc dữ liệu của nó trong suốt quá trình thực thi. Như một phần của quá trình học thuật toán, việc mô phỏng các thuật toán còn góp phần giúp các em học sinh, sinh viên khi mới bắt đầu làm quen với giải thuật có thể vừa dễ dàng theo dõi các bước duyệt ở lý thuyết vừa nhìn thấy các bước chạy ở thực tế như thế nào. Tư đó có thể giúp các em tư duy thuật toán nhanh hơn và ngày càng yêu thích giải thuật. Mô phỏng thuật toán ngày càng trở nên hữu ích và trở thành một giáo cụ trực quan rất quan trọng trong hầu hết các lĩnh vực, nhất là trong môi trường giáo dục. Với các nhà sư phạm của ngành công nghệ thông tin thì mô phỏng thuật toán có tác dụng như một tài liệu hướng dẫn trong việc dạy các thuật toán bằng máy tính. Cây 2-3-4 là một cây nhị phân tìm kiếm giải quyết tốt hơn các trường hợp xấu nhất cho cây nhị phân tìm kiếm bình thường. Và đây còn là một nội dung khá mới mẻ và phức tạp đối với nhiều học sinh, sinh viên. Vì vậy vấn đề “Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng” được chọn làm đề tài nghiên cứu. II. Mục đích nghiên cứu đề tài Mục đích nghiên cứu của khóa luận này nhằm tìm hiểu và đánh giá các thuật toán trên Cây 2-3-4, đồng thời xây dựng một phần mềm mô phỏng các thuật toán này nhằm hỗ trợ cho việc học, nghiên cứu và tiến tới dạy các thuật toán trên Cây 2-3-4. III .Nhiệm vu nghiên cứu đề tài. Nghiên cứu tổng quan về mô phỏng thuật toán, các yêu cầu, phương pháp tiếp cận, phương pháp thiết kế một mô đun mô phỏng thuật toán. Thiết kế minh họa các mô đun minh họa các thuật toán trên Cây2-3-4. IV. Đối tượng nghiên cứu. Đề tài nghiên cứu đi sâu vào nghiên cứu và cài đặt một số thuật toán: - Thuật toán tìm kiếm trên Cây 2-3-4 - Thuật toán chèn một node và chèn một giá trị vào Cây 2-3-4 - Thuật toán tách node trên Cây 2-3-4 - Thuật toán xóa node và xóa một giá trị trên Cây 2-3-4 V. Phưong pháp nghiên cứu. Phương pháp nghiên cứu chủ yếu tham khảo các tài liệu tham khảo liên quan đến Cây nhị phân tìm kiếm, Cây 2-3-4 thông qua các sách, tài liệu tham khảo và đặc biệt là nguồn tài liệu phong phú trên mạng Internet. PHẦN NỘI DUNG Chương I. Lý thuyết về Cây 2-3-4 I. Giới thiệu về cây 2-3-4. Như chúng ta đã biết, các thuật toán về cây nhị phân luôn rất tốt cho nhiều ứng dụng, tuy nhiên chúng lại có những khuyết điểm trong trường hợp xấu nhất. Chẳng hạn như trường hợp Quicksort, trường hợp xấu nhất của nó lại là trường hợp dễ xuất hiện trong thực tế nếu người dùng không chú ý đến nó. Các tập tin đã được xắp xếp thứ tự, các tập tin với thứ tự ngược, các tập các khoá lớn, nhỏ xen lẫn nhau hay các tập tin với sự phân đoạn lớn có cấu trúc đơn giản có thể làm thuật toán tìm trên cây hoạt động rất tồi. Với thuật toán QuickSort, cái mà chúng ta cần để cái tiến tình huống là sắp xếp lại để có trường hợp ngẫu nhiên: bằng cách chọn một phần tử phân hoạch ngẫu nhiên, chúng ta có thể dựa vào quy luật xác xuất để tránh khỏi trường hợp xấu nhất. Với tìm kiếm trên cây nhị phân thì may mắn hơn, bởi vì chúng ta có thể làm tốt hơn nhiều; có một kỹ thuật tổng quát cho phép chúng ta bảo đảm trường hợp xấu nhất sẽ không xuất hiện. Kỹ thuật này gọi là Cân bằng đã được dùng làm cơ sở cho nhiều thuật toán khác nhau về “cây cân bằng”. Chúng ta sẽ xem xét kỹ một thuật toán thuộc loại đó và cùng nhau thảo luận tóm tắt về sự liên quan của nó đối với các phương pháp khác. Để khử trường hợp xấu nhất của cây tìm kiếm nhị phân, chúng ta cần dùng một vài linh động trong cấu trúc sẽ dùng. Để có sự linh động này, chúng ta giả sử rằng các node trong cây của chúng ta có chứa nhiều hơn một khóa. Cụ thể hơn, chúng ta sẽ thừa nhận các 3-node và 4-node mà có thể chứa tương ứng hai và ba khóa. Một 3-node có ba liên kết ra khỏi nó, một liên kết cho tất cả các mẩu tin có khóa nhỏ hơn cả hai khóa của nó, một cho tất cả các mẩu tin có khóa nằm giữa hai khóa của nó, một cho tất cả các mẩu tin có khóa lớn hơn hai khóa của nó. Tương tự với một 4-node có 4 liên kết đi ra khỏi nó. Chúng ta sẽ xem xét các đặc tính của cây 2-3-4 và mối quan hệ khá gần gũi giữa cây 2-3-4 và cây đỏ-đen. Hình 4.1 Trình bày một cây 2-3-4 đơn giản. Mỗi node có thể lưu trữ 1, 2 hoặc 3 mục dữ liệu. Hình 4.1 cây 2-3-4 Các số 2, 3 và 4 trong cụm từ cây 2-3-4 có ý nghĩa là khả năng có bao nhiêu liên kết đến các node con có thể có được trong một node cho trước. Đối với các node không phải là lá, có thể có 3 cách sắp xếp sau: Một node với một mục dữ liệu thì luôn luôn có 2 con. Một node với hai mục dữ liệu thì luôn luôn có 3 con. Một node với ba mục dữ liệu thì luôn luôn có 4 con. Như vậy, một node không phải là lá phải luôn luôn có số node con nhiều hơn 1 so với số mục dữ liệu của nó. Nói cách khác, đối với mọi node với số con là c và số mục dữ liệu là d, thì : c = d + 1. Sau đây là các ví dụ cụ thể: Hình 4.2. Các trường hợp của cây 2-3-4 Với mọi node lá thì không có node con nhưng có thể chứa 1, 2 hoặc 3 mục dữ liệu, không có node rỗng. Một cây 2-3-4 có thể có đến 4 cây con nên được gọi là cây nhiều nhánh bậc 4. Trong cây 2-3-4 mỗi node có ít nhất là 2 liên kết ,trừ lnode lá (node không có liên kết nào). Hình 4.2 trình bày các trường hợp của cây 2-3-4. Một node với 2 liên kết gọi là một 2-node, một node với 3 liên kết gọi là một 3-node, và một node với 4 liên kết gọi là một 4-node, nhưng ở đây không có loại node nào là 1-node. II. Tổ chức cây 2-3-4. Các mục dữ liệu trong mỗi node được sắp xếp theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải (sắp xếp từ thấp đến cao). Một đặc tính quan trọng của bất kỳ cấu trúc cây là mối liên hệ giữa các liên kết với giá trị khóa của các mục dữ liệu. Trong cây tìm kiếm nhị phân, tất cả node của cây con bên trái có khoá nhỏ hơn khóa của node đang xét và tất cả node của cây con bên phải có khoá lớn hơn hoặc bằng khóa của node đang xét. Trong cây 2-3-4 thì nguyên tắc cũng giống như trên, nhưng có thêm một số điểm sau: Với node có một mục dữ liệu. Tất cả các node con của cây con có gốc tại node con thứ 1 thì có các giá trị khoá nhỏ hơn giá trị khoá 1 của node cha. Tất cả các node con của cây con có gốc tại node con thứ 2 thì có các giá trị khoá lớn hơn giá trị khoá 1 của node cha. Với node có hai mục dữ liệu. Tất cả các node con của cây con có gốc tại node con thứ 1 thì có các giá trị khoá nhỏ hơn giá trị khoá 1 của node cha. Tất cả các node con của cây con có gốc tại node con thứ 2 thì có các giá trị khoá lớn hơn khoá 1 của node cha và nhỏ hơn giá trị khóa 2 của node cha. Tất cả các node con của cây con có gốc tại node con thứ 3 thì có các giá trị khoá lớn hơn giá trị khoá 2 của node cha. Với node có ba mục dữ liệu. Tất cả các node con của cây con có gốc tại node con thứ 1 thì có các giá trị khoá nhỏ hơn giá trị khoá 1 của node cha. Tất cả các node con của cây con có gốc tại node con thứ 2 thì có các giá trị khoá lớn hơn khoá 1 của node cha và nhỏ hơn giá trị khóa 2 của node cha. Tất cả các node con của cây con có gốc tại node con thứ 3 thì có các giá trị khoá lớn hơn khoá 2 của node cha và nhỏ hơn giá trị khóa 3 của node cha. Tất cả các node con của cây con có gốc tại node con thứ 4 thì có các giá trị khoá lớn hơn giá trị khoá 3 của node cha. Trong tất cả cây 2-3-4, các lá đều nằm trên cùng một mức. Các node ở mức trên thường không đầy đủ, nghĩa là chúng có thể chứa chỉ 1 hoặc 2 mục dữ liệu thay vì 3 mục. Lưu ý rằng cây 2-3-4 là cây cân bằng. Nó vẫn giữ được sự cân bằng khi thêm vào các phần tử có thứ tự (tăng dần hoặc giảm dần). III. Tìm kiếm. Thao tác tìm kiếm trong cây 2-3-4 tương tự như thủ tục tìm kiếm trong cây nhị phân. việc tìm kiếm bắt đầu từ node gốc và chọn liên kết dẫn đến cây con với phạm vi giá trị phù hợp. Ví dụ, để tìm kiếm mục dữ liệu với khoá là 64 trên cây ở hình 4.1, bạn bắt đầu từ gốc. Tại node gốc không tìm thấy mục khoá này. Bởi vì 64 lớn 50, chúng ta đi đến node con 1, (60/70/80)(lưu ý node con 1 nằm bên phải, bởi vì việc đánh số của các node con và các liên kết bắt đầu tại 0 từ bên trái). Tại vị trí này vẫn không tìm thấy mục dữ liệu, vì thế phải đi đến node con tiếp theo. Tại đây bởi vì 64 lớn hơn 60 nhưng nhỏ hơn 70 nên đi tiếp đến node con 1. Tại thời điểm chúng ta tìm được mục dữ liệu đã cho với liên kết là 62/64/66. IV. Tách node 1. Tách node con Việc thêm vào sẽ trở nên phức tạp hơn nếu gặp phải một node đầy (node có số mục dữ liệu đầy đủ) trên nhánh dẫn đến điểm thêm vào. Khi điều này xảy ra, node này cần thiết phải được tách ra. Quá trình tách nhằm giữ cho cây cân bằng. Loại cây 2-3-4 mà chúng ta đề cập ở đây thường được gọi là cây 2-3-4 top-down bởi vì các node được tách ra theo hướng đi xuống điểm chèn. Giả sử ta đặt tên các mục dữ liệu trên node bị phân chia là A, B và C. Sau đây là tiến trình tách (chúng ta giả sử rằng node bị tách không phải là node gốc; chúng ta sẽ kiểm tra việc tách node gốc sau này): Một node mới và rỗng được tạo. Nó là anh em với node sẽ được tách và được đưa vào bên phải của nó. Mục dữ liệu C được chuyển vào node mới. Mục dữ liệu B được chuyển vào node cha của node được tách. Mục dữ liệu A không thay đổi. Hai node con bên phải nhất bị hủy kết nối từ node được tách và kết nối đến node mới. Þ Quá trình tách node con sẽ xảy ra các trường hợp sau đây: Node cha của node cần tách có một khóa. 1. Node cần tách là node con bên phải của node cha nó Khi đó ta thêm một node mới có một mục dữ liệu, có giá trị khóa là khóa thứ 3 của node đang tách. Chuyển giá trị khóa thứ 2 của node cần tách nên node cha. Và gán lại quan hệ cha con của các node như hình dưới đây. 2. Node cần tách là node con bên trái của node cha nó. Ta thêm một node mới có một mục dữ liệu, có giá trị khóa là khóa thứ 1 của node đang tách. Chuyển giá trị khóa thứ 2 của node cần tách nên node cha. Và gán lại quan hệ cha con của các node như hình dưới đây. Node cha của node cần tách có hai khóa. 1.Node cần tách là node con bên phải (con thứ nhất) của node cha nó. Khi đó ta thêm một node mới có một mục dữ liệu, có giá trị khóa là khóa thứ 3 của node đang tách. Chuyển giá trị khóa thứ 2 của node đang tách nên node cha. Và gán lại quan hệ cha con của các node như hình dưới đây. 2. Node cần tách là node con bên giữa (con thứ hai) của node cha nó. Khi đó ta thêm một node mới có một mục dữ liệu, có giá trị khóa là khóa thứ 3 của node đang tách. Chuyển giá trị khóa thứ 2 của node đang tách nên node cha. Và gán lại quan hệ cha con của các node như hình dưới đây. 3. Node cần tách là node con phải (con thứ ba) của node cha nó. Khi đó ta thêm một node mới có một mục dữ liệu, có giá trị khóa là khóa thứ 3 của node đang tách. Chuyển giá trị khóa thứ 2 của node đang tách nên node cha. Và gán lại quan hệ cha con của các node như hình dưới đây. Một ví dụ về việc tách node trình bày trên hình 4.4. Một cách khác để mô tả sự tách node là một 4-node được chuyển đổi sang hai 2-nút. Chú ý rằng ảnh hưởng của sự tách node là dịch chuyển dữ liệu đi lên về bên phải. Sự sắp xếp lại này nhằm mục đích giữ cho cây cân bằng. Hình 4.4: Tách một nút (i ) Trước khi chèn vào (ii) Sau khi chèn vào 2. Tách node gốc Khi gặp phải node gốc đầy tại thời điểm bắt đầu tìm kiếm điểm chèn, kết quả của việc tách thực hiện như sau: Node mới được tạo ra để trở thành gốc mới và là cha của node được tách. Node mới thứ hai được tạo ra để trở thành anh em với node được tách. Mục dữ liệu C được dịch chuyển sang node anh em mới. Mục dữ liệu B được dịch chuyển sang node gốc mới. Mục dữ liệu A vẫn không đổi. Hai node con bên phải nhất của node được phân chia bị hủy kết nối khỏi nó và kết nối đến node mới bên phải. Một ví dụ về việc tách node trình bày trên hình 4.5 cho ta thấy rõ hơn quá trình tách node gốc. Hình 4.5 Tách node gốc i) Trước khi thêm vào ii) Sau khi thêm vào Hình 4.5 chỉ ra việc tách node gốc. Tiến trình này tạo ra một node gốc mới ở mức cao hơn mức của node gốc cũ. Kết quả là chiều cao tổng thể của cây được tăng lên 1. Đi theo node được tách này, việc tìm kiếm điểm chèn tiếp tục đi xuống phía dưới của cây. Trong hình 4.5 mục dữ liệu với khoá 41 được thêm vào lá phù hợp. 3. Tách theo hướng đi xuống Chú ý rằng, bởi vì tất cả các node đầy được tách trên đường đi xuống nên việc tách node không gây ảnh hưởng gì khi phải đi ngược lên trên của cây. Node cha của bất cứ node nào bị tách phải đảm bảo rằng không phải là node đầy, để đảm bảo node cha này có thể chấp nhận mục dữ liệu B mà không cần thiết nó phải tách ra. Tất nhiên nếu node cha này đã có hai con thì khi node con bị tách, nó sẽ trở thành node đầy. Tuy nhiên điều này chỉ có nghĩa là nó có thể sẽ bị tách ra khi lần tìm kiếm kế tiếp gặp nó. Hình 4.6 trình bày một loạt các thao tác chèn vào một cây rỗng. Có 4 node được tách, 2 node gốc và 2 node lá. Thêm vào 70, 30, 50 Thêm 40 Thêm vào 20, 80 Thêm vào 25, 90 Thêm vào 75 Thêm vào 10 Hình 4.6 Minh họa thêm một node vào cây 2-3-4 V. Chèn node Các mục dữ liệu mới luôn luôn được chèn vào tại các node lá . Nếu mục dữ liệu được thêm vào node mà có node con, thì số lượng của các node con cần thiết phải được chuyển đổi để duy trì cấu trúc cho cây, đây là lý do tại sao phải có số node con nhiều hơn 1 so với các mục dữ liệu trong một nút. Việc thêm vào cây 2-3-4 trong bất cứ trường hợp nào thì quá trình cũng bắt đầu bằng cách tìm kiếm node lá phù hợp. Nếu không có node đầy nào (node có đủ 3 mục dữ liệu) được bắt gặp trong quá trình tìm kiếm, việc chèn vào khá là dễ dàng. Khi node lá phù hợp được tìm thấy, mục dữ liệu mới đơn giản là thêm vào nó. Hình 4.3 trình bày một mục dữ liệu với khoá 18 được thêm vào cây 2-3-4. Việc chèn vào có thể dẫn đến phải di chuyển một hoặc hai mục dữ liệu trong node vì thế các khoá sẽ nằm với trật tự đúng sau khi mục dữ liệu mới được thêm vào. Trong ví dụ này số 23 phải được đẩy sang phải để nhường chỗ cho 18. Hình 4.3 Chèn vào không làm tách cây (i) trước khi chèn vào (ii) sau khi chèn vào VI. Tính hiệu quả của Cây 2-3-4 Trong cây đỏ-đen node trên mỗi mức phải được duyệt trong quá trình tìm kiếm, hoặc tìm kiếm một node đã tồn tại hoặc chèn vào một node mới. Số lượng các mức trong cây đỏ-đen (cây nhị phân cân bằng) là log2(N+1), vì thế thời gian tìm kiếm là tỷ lệ với giá trị này. Một node cũng phải được duyệt trong cây 2-3-4, nhưng cây 2-3-4 thì ngắn hơn (có ít mức hơn) so với cây đỏ-đen khi số lượng các mục dữ liệu như nhau. Xem hình 4.8, ở đây cây 2-3-4 có ba mức còn cây đỏ-đen có năm mức. Cụ thể hơn, trong cây 2-3-4 có đến 4 con trên một nút. Nếu mỗi node là đầy, chiều cao của cây phải tỷ lệ với log4(N). Logarith với cơ số 2 và cơ số 4 khác nhau bởi một thừa số hằng của 2. Kết quả, chiều cao của cây 2-3-4 sẽ thấp hơn một nửa so với chiều cao của cây đỏ-đen, miễn là tất cả các node là đầy. Bởi vì tất cả chúng là không đầy, chiều cao của cây 2-3-4 nằm trong khoảng log2(N+1) và log2(N+1)/2. Kết quả là việc giảm chiều cao của cây 2-3-4 sẽ dẫn đến việc giảm một ít thời gian tìm kiếm so với cây đỏ-đen. Mặt khác, có nhiều mục dữ liệu để kiểm tra trong mỗi nút, điều này sẽ tăng thời gian tìm kiếm. Bởi vì các mục dữ liệu trong mỗi node được kiểm tra sử dụng tìm tuyến tính, điều này sẽ nhân thời gian tìm kiếm hơn với một số lượng tỷ lệ với M, số lượng trung bình của các mục dữ liệu trên một nút. Kết quả là thời gian tìm kiếm xấp xỉ M*log4(N). Một vài node chỉ chứa 1 mục dữ liệu, một vài node chứa 2, và một vài node chứa 3. Nếu chúng ta ước lượng trung bình là 2, thời gian tìm kiếm sẽ xấp xỉ là 2*log4(N). Đây là hằng số nhỏ có thể bỏ qua trong biễu diễn độ phức tạp theo ký hiệu Big-O. Kết quả, với cây 2-3-4 số lượng tăng lên của các mục dữ liệu trên node dẫn đến việc hủy chiều cao giảm xuống của cây. Thời gian tìm kiếm của cây 2-3-4 và cây nhị phân cân bằng như cây đỏ-đen là xấp xỉ bằng nhau, và cả hai đều bằng O (log(N)). VII. Chuyển từ cây 2-3-4 sang cây đỏ đen. Một cây 2-3-4 có thể được chuyển sang cây đỏ-đen bằng cách áp dụng các luật sau: Chuyển đổi bất kỳ 2-node ở cây 2-3-4 sang node đen ở cây đỏ-đen. Chuyển đổi bất kỳ 3-node sang node con C (với hai con của chính nó) và node cha P (với các node con C và node con khác). Không có vấn đề gì ở đây khi một mục trở thành node con và mục khác thành node cha. C được tô màu đỏ và P được tô màu đen. Chuyển đổi bất kỳ 4-node sang node cha P và cả hai node con C1, C2 màu đỏ. Hình 4.7 trình bày các chuyển đổi này. Các node con trong các cây con được tô màu đỏ; tất cả các node khác được tô màu đen. Hình 4.8 trình bày cây 2-3-4 và cây đỏ-đen tương ứng với nó bằng cách áp dụng các chuyển đổi này. Các đường chấm xung quanh các cây con được tạo ra từ 3-node và 4-nút. Các luật của cây đỏ-đen tự động thoả mãn với sự chuyển đổi này. Kiểm tra rằng: Hai node đỏ không bao giờ được kết nối, và số lượng các node đen là như nhau ở mọi đường dẫn từ gốc đến lá (hoặc node con null). Bạn có thể nghĩ rằng một 3-node ở cây 2-3-4 là tương đương với node cha có một node con màu đỏ ở cây đỏ-đen, và một 4-node là tương đương với node cha có hai node con đỏ. Điều này nghĩa là node cha màu đen với node con đen ở cây đỏ-đen không biểu diễn một 3-node ở cây 2-3-4; nó chỉ biểu diễn một 2-node với node con 2-node khác. Tương tự, một node cha màu đen với 2 con màu đen không biểu diễn cho 4-nút. Hình 4.7 Chuyển đổi từ cây 2-3-4 sang cây đỏ-đen Hình 4.8 Cây 2-3-4 và cây đỏ-đen tương ứng Sự tương đương Không những cấu trúc của cây đỏ-đen phù hợp với cây 2-3-4, mà các thao tác hoạt động của hai loại cây này cũng tương đương nhau. Trong cây 2-3-4 nó được giữ cân bằng bằng việc tách nút. Trong cây đỏ-đen hai phương