Đề tài Đa thức tâm trên đại số các ma trận va ứng dụng trên các đại số khác

Người ta đã đưa ra khái niệm "Một đa thức f(x1, , xn) được gọi là đa thức tâm trên A nếu f không là một đồng nhất thức trong A nhưng giao hoán tử [f(x1, , xn ),xn+1] là một đồng nhất thức trong A". Dựa vào định nghĩa và từ cách xây dựng đồng nhất thức của Wagner thì f (x1, x2)= (x1 x2 - x2 x1 )2 là một đa thức tâm trên đại số các ma trận M2(K). Trong một thời gian dài bài toán đặt ra là xây dựng các đa thức tâm cho Mn(K), với n >2 để từ đó tìm ra đồng nhất thức thỏa mãn cho các đại số ma trận Mn(K). Vấn đề này đã được giải quyết một cách cặn kẻ bởi Formanek . Luận văn này trình bày hệ thống lại phương pháp xây dựng đa thức tâm trên Mn(K) của Formanek và một số ứng dụng – áp dụng của đa thức tâm trên các đại số khác.

pdf61 trang | Chia sẻ: duongneo | Lượt xem: 1589 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Đề tài Đa thức tâm trên đại số các ma trận va ứng dụng trên các đại số khác, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Đa thức tâm trên đại số các ma trận và ứng dụng trên các đại số khác Nguyễn Thị Hồng ĐHSP Tp.HCM, 2004 MỞ ĐẦU Người ta đã đưa ra khái niệm "Một đa thức f(x1, , xn) được gọi là đa thức tâm trên A nếu f không là một đồng nhất thức trong A nhưng giao hoán tử [f(x1,, xn ),xn+1] là một đồng nhất thức trong A". Dựa vào định nghĩa và từ cách xây dựng đồng nhất thức của Wagner thì f (x1, x2)= (x1 x2 - x2 x1 )2 là một đa thức tâm trên đại số các ma trận M2(K). Trong một thời gian dài bài toán đặt ra là xây dựng các đa thức tâm cho Mn(K), với n >2 để từ đó tìm ra đồng nhất thức thỏa mãn cho các đại số ma trận Mn(K). Vấn đề này đã được giải quyết một cách cặn kẻ bởi Formanek . Luận văn này trình bày hệ thống lại phương pháp xây dựng đa thức tâm trên Mn(K) của Formanek và một số ứng dụng – áp dụng của đa thức tâm trên các đại số khác. Luận văn gồm 03 chương : *Chương I : Các vấn đề cơ sở Trong phần này chủ yếu trình bày một số khái niệm,định lý, bổ đề ( có và không có chứng minh ) làm cơ sở cho chương II và chương III như : ma trận, đại số đơn tâm , đại số nguyên tố ,đồng nhất thức , PI đại số ,..., các định lý quan trọng của Pi Đại số như Định lý Kaplanski, Wederburn.... *Chương II : Đa thức tâm trên Đại số các ma trận cấp n trên vành giao hoán có đơn vị Trong chương này nêu lên định nghĩa của đa thức tâm, một số khái niệm dùng làm cơ sở cho việc xây dựng đa thức tâm trên Mn(K).Phần trọng tâm của chương này là cách xây dựng đa thức Formanek , từ đó xây dựng được đa thức tâm cho Mn(K) với n > 2 qua định lý Formanek. *Chương III : Một số áp dụng – ứng dụng của đa thức tâm trong lý thuyết các PI Đại số Trong phần này nêu 2 ứng dụng và áp dụng của đa thức tâm vào việc chứng minh một số kết qủa trên đại số đơn tâm và đại số nguyên tố Tôi xin trân trọng cám ơn tất cả các Thầy, Cô Tổ Đại Số của Trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM, Trường Đại học Khoa Tự nhiên TP.HCM, Phòng Nghiên cứu Khoa học Sau đại học trường ĐHSP cùng tất cả các bạn học viên Cao học Đại số đã nhiệt tình giảng dạy, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi hoàn thành khoá học. Tôi xin đặc biệt tri ân PGS. TS Bùi Tường Trí đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt qúa trình thực hiện luận văn này. Do trình độ còn hạn chế nên luận văn sẽ không tránh khỏi sai sót, kính mong được sự thông cảm và góp ý xây dựng. Trân trọng cám ơn. Học viên NGUYỄN THỊ HỒNG Cao học Đại số Khoá 12 (2001-2004) Trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh CHƯƠNG I CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1- Ma trận 1.1.1- Định nghĩa : Một ma trận cấp mxn trên K là một hệ thống gồm mn số aij thuộc một truờng K được đánh số theo hai chỉ số i, j ( với i =1,m và j = 1,n ) được sắp thành một bảng chữ nhật: A= 11 12 1 21 22 2 1 2 .... .... ...................... ... n n m m mn a a a a a a a a a ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ gồm m dòng , n cột , ký hiệu A=( aij)mxn Tập hợp tất cả các ma trận cấp mxn ký hiệu là M m,n(K) Khi m = n ta có ma trận vuông cấp n , ký hiệu A = ( aij)n . Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n , ký hiệu là Mn(K). Đối với ma trận vuông A = ( aij)n , các phần tử có hai chỉ số bằng nhau a11, , ann nằm trên một đường chéo mà ta gọi là đường chéo chính của A. Đường chéo còn lại của hình vuông gọi là đường chéo phụ của A. 1.1.2- Ma trận chéo cấp n Là ma trận vuông cấp n mà tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0. A= 1 2 0 . . . . . 0 0 . . . . . 0 . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . . . n a a a ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 1.1.3 – M a trận đơn vị cấp n (Ký hiệu I n ) Là ma trận chéo cấp n mà tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1 In = 1 0 . . . . . 0 0 1 . . . . . 0 . . . . . . . . . . 0 0 . . . . . 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 1.1.4 – Giá trị riêng Cho ma trận a∈ Mn(K), số λ được gọi là giá trị riêng của a nếu tồn tại vectơ x = (x1,, xn) ∈ Kn\ { }0 sao cho a 1 2 . . . n x x x ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ = λ 1 2 . . . n x x x ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ Vectơ x gọi là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ . Để thuận tiện có thể viết ax =λx 1.1.5 – Vết của một ma trận vuông a cấp n Là tổng các phần tử trên đường chéo chính của nó , ký hiệu Tr(a) 1.1.6- Ma trận đặc trưng Cho a là ma trận vuông cấp n trên K (n ≥ 1).Ma trận a-λI n là ma trận đặc trưng của a. Tính toán trực tiếp định thức của ma trận (a- λ I n ) là một đa thức bậc n của biến λ với hệ số trên K gọi là đa thức đặc trưng của ma trận a, ký hiệu là χa(λ) (hoặc χ(λ) nếu không có sự hiểu lầm) χa(λ)=det(a - λ I n)=(-1)nλn + (-1)n-1 tr(a) λn-1+.+det a Phương trình χa(λ)=0 là phương trình đặc trưng của a. 1.1.7 – Định lý Hamilton – Caley Mọi ma trận vuông đều là nghiệm của đa thức đặc trưng của nó. ∀ a∈Mn(K) , χa(a)=0 ⇔ (-1)nan + (-1)n-1 tr(a) an-1+.+det aIn = 0 1.2 - Đa thức 1.2.1 - Đa thức đối xứng 1.2.1.1- Đa thức f ( x1,, xn ) được gọi là đối xứng nếu với mọi hoán vị σ của {1,,n } ta có f ( x1,, xn ) = f (x σ (1) ,, x σ (n) ) Các đa thức đối xứng cơ bản : σ 1 = x1 + x2+. + xn σ 2 = x1 x2 + x1 x3+. + xn-1xn σ 3 = x1 x2 x3 + x1x2 x4+. + xn-2 xn-1xn .. σ n = x1 x2 x3 .xn-2 xn-1xn Mọi đa thức đối xứng f ( x1,, xn ) thuộc A[x1,.,xn ] trong đó A là một miền nguyên đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng một đa thức Q(σ 1,, σ n) của các đa thức đối xứng cơ bản với hệ tử trong A. 1.2.2 - Đa thức tách Một đa thức P của K[X] gọi là đa thức phân rã trên K khi và chỉ khi tồn tại λ ∈ K\ {0}, n ∈N* ; x1,.xn ∈ K sao cho P= λ 1 ( ) n i i X x = −∏ ( các xi không nhất thiết phải khác nhau ) 1.2.3 – Đa thức tối tiểu Cho a∈Mn(K). Khi đo ùtập hợp J= { f(λ) ∈ K [λ] / f (a) = 0} là một ideal chính khác 0 của K [λ]. Phần tử sinh của J với hệ số cao nhất bằng 1 được gọi là đa thức tối tiểu của ma trận a, ký hiệu pa(λ). -Nhận xét : Đa thức tối tiểu pa(λ) là ước trong K[λ] của mọi đa thức g(λ) ∈K[λ] nhận a là nghiệm. 1.2.4- Dạng song tuyến tính Với K là trường cĩ đặc số khác 2 (tức là 2.1K ≠ 0K), E là một K- khơng gian vectơ Ta gọi mọi ánh xạ ϕ : E x E → K sao cho : (i) ∀α∈K , ∀ (x,x',y)∈ E3 , ϕ(αx+x',y)= αϕ(x,y) +ϕ(x',y) (ϕ là tuyến tính đối với vị trí thứ nhất ) (ii) ∀β∈K , ∀ (x,y,y')∈ E3 , ϕ(x,βy+y')= βϕ (x,y) + ϕ(x,y') (ϕ là tuyến tính đối với vị trí thứ hai ) là dạng song tuyến tính trên E x E 1.3 - Một số định nghĩa và kết qủa - M là một R -Mođun trung thành nếu Mr = (0) thì r = 0. - M được gọi là R- mođun bất khả quy nếu MR ≠ (0) và nếu các modun con của M chỉ là (0) và M. - Nếu M là một R-mođun bất khả quy thì C(M) là một thể(Bổ đề Schur) - Vành R được gọi là nửa đơn nếu J(R) = (0) - Một vành R được gọi là nguyên thủy nếu nó có một modun bất khả quy trung thành. - Một vành được gọi là vành Artin nếu mọi tập con khác rỗng các ideal của A đều có phần tử tối tiểu. 1.4- Đại số đơn tâm 1.4.1 – Định nghĩa Một vành R được goị là đơn nếu R2 ≠(0) và R không có ideal thật sự nào ngoài (0) và chính nó. 1.4.2 – Định nghĩa A là một đại số trên vành K nếu : -A là một K-modun -A là vành -∀ k∈K , ∀ a,b ∈ A : k(ab)=(ka)b=a(kb) 1.4.3– Định nghĩa Một đại số A được gọi là đơn tâm trên trường K nếu A là một đại số đơn có tâm đẳng cấu với K. (Ta có thể xem như C=K.1) 1.4.4 –Định nghĩa Nếu A là một đại số đơn tâm hữu hạn chiều trên K. Khi đó F/K (với F là một trường chứa K hay F là trường mở rộng của K) được gọi là một trường tách được đối với A nếu : AF= KF A⊗ ≅ Mn(K) 1.4.5 – Định lý - Bao đóng đại số K của K là trường tách được. - Nếu A ≅ Mr (Δ) với Δ là một thể và F là trường con tối đại của Δ, thì F là trường tách được. Chứng minh : Với mọi trường F / K thì AF là đại số trên F . Nếu A là đơn tâm hữu hạn chiều trên F thì AF là đơn tâm hữu hạn chiều với : [AF : F ] = [A: K ] Theo định lý Wedderburn thì :AF ≅ Mn (Δ) trong đó Δ là đại số có phép chia trên F. Nếu F = K là đại số hữu hạn chiều có phép chia trên F là K , vậy thì : KA ≅ Mn( K ) trong đó K là trường tách được. Trong phát biểu thứ hai ta cần đến định lý Kaplanski –Atmitsur . Ta biết nếu A là đại số dày đặc của các phép biến đổi tuyến tính trên V/ Δ, với K là đại số có phép chia và F là trường con tối đại của Δ thì : A’= FLA là đại số dày đặc các phép biến đổi trên V/ F . Áp dụng vào trường hợp đặc biệt A là đơn tâm hữu hạn chiều , ta có thể lấy V là hữu hạn chiều trên Δvà Δ là hữu hạn chiều trên K. Theo bổ đề thì : A’= FLA ≅ F K⊗ A Cũng thế ta đã biết A là đại số đầy đủ các phép biến đổi tuyến tính trên V/F. Vậy là nếu : [V : F ]= n ⇒ F K⊗ A ≅ Mn(F) Suy ra F là trường tách được . Từ kết qủa này ta suy ra hệ qủa sau Hệ qủa : Số chiều của đại số đơn tâm hữu hạn chiều là một số chính phương. 1.5 – Định lý Wedderburn – Artin : Giả sử R là một vành đơn Artin, khi đó R đẳng cấu với Dn (là vành của tất cả các ma trận vuông nxn trên thể D). Hơn thế nữa n là duy nhất. Ngược lại, đối với mọi thể D, Dn là một vành Artin đơn. 1.6 – Khái niệm dày đặc 1.6.1- Định nghĩa AM = { aM / a ∈ A} là một đại số dày đặc của các phép biến đổi tuyến tính trong M trên ∆ nếu:cho trước một tập hữu hạn các vectơ x1,..,xn thuộc M độc lập tuyến tính trên ∆ và các vectơ tương ứng bất kỳ y1,., yn đều tồn tại a ∈ A sao cho axi = yi với 1 ≤ i ≤ n 1.6.2 – Định nghĩa Một tập các phép biến đổi tuyến tính của không gian vectơ được gọi là dày đặc nếu nó có tính chất đã đề cập ở 1.6.1 :cho bất kỳ dãy hữu hạn các vectơ độc lập tuyến tính {xi} và {yi}với 1≤ i≤n thì tồn tại a thuộc A sao cho : axi = yi với 1 ≤ i ≤ n 1.6.3- Định lý dày đặc Giả sử R là vành nguyên thủy, M là R-modun bất khả quy trung thành. Nếu Δ = C(M ) thì R là vành dày đặc các phép biến đổi tuyến tính của không gian vectơ M trên thể Δ ( nói tắt : R dày đặc trên M ) (Ý nghĩa : R dày đặc trong HomΔ(M,M) và nếu dimΔM là hữu hạn thì R đẳng cấu với HomΔ(M,M)) Chứng minh: Trước hết ta có nhận xét : để chứng minh tính dày đặc của R trên M hay R dày đặc trong HomΔ(M,M) ta chỉ cần chứng minh rằng nếu V là không gian con hữu hạn chiều của M trên Δ và m ∈M, m ∉ V thì tồn tại r ∈ R sao cho Vr = (0) nhưng mr ≠ 0 ( nghĩa là r linh hoá toàn bộ V mà không linh hoá m). Thật vậy, nếu điều kiện trên thỏa thì suy ra mrR ≠ (0)và mrR là modun con của M trên R, vì M bất khả quy ⇒ mrR = M . Do đó ta tìm được s ∈ R sao cho mrs là bất kỳ phần tử nào của M ( mrs chạy khắp M ). Lưu ý : Vrs = (0). Giả sử v1, v2,, vn ∈ M là hệ độc lập tuyến tính trên Δ và w1, w2,, wn ∈ M tuỳ ý . Gọi Vi là không gian của M trên Δ sinh bởi các vj với i ≠ j . Vì i∉Vi và hệ { vi}độclập tuyến tính nên tồn tại ti∈ R sao cho viti =wi, Viti = (0). Nếu đặt t = t1++tn ∈R thì ta có vit = wi (i =1,2,,n).Theo định nghĩa R dày đặc trên M. Để chứng minh định lý ta chứng minh nhận xét trên bằng quy nạp theo số chiều của khônggian vectơ V trên Δ. *Nếu dim V = (0) ⇔ V = (0) ∀ m ∈M, m ∉V ⇒ m ≠ 0 ⇒ mR ≠ (0) ( vì M bất khả quy ) (Nếu ∀ m ∈M, m ≠ 0 ⇒ mR = (0) thì MR = (0) vô lý với tính chất bất khả quy của M ) ⇒ ∃ r ∈ R : mr ≠ 0 và V r = (0) : nhận xét đúng. *Giả sử mệnh đề đã đúng với các khơng gian cĩ số chiều ≤ dim(V) . Ta chứng minh nhận xét đúng với khơng gian cĩ số chiều = số chiều của V. Giả sử V=V0 + ωΔ trong đĩ dim(V0 )= dim V -1 và ω ≠ V0 ( ω Δ là ideal chính sinh bởi phần tử ω ). Theo giả thiết quy nạp thì với A(V0) = {x ∈V / V0x=(0)} thì ∀ m ≠ V0, ∃r ∈ A(V0) sao cho mr ≠ 0. Mặt khác, nếu mA(V0) = (0) thì m ∈ V0. Tập hợp A(V0) là ideal phải của vành R và do ω ∉V0 nên ω A(V0) ≠ (0) là modun con của M ⇒ ω A(V0)=M . Giả sử rằng lấy m ∈M, m ∉V có tính chất là bất kỳ khi nào Vr = (0) thì mr = 0.Ta cần chứng minh rằng điều này không thể xảy ra bằng phản chứng . Giả sử ∃m ∈M, m ∉V mà Vr = (0) thì mr = 0. Xét tương ứng τ : M → M x → xτ = ma trong đó a được xác định bởi x = ωa với a ∈ A(V0). Ta có định nghĩa của τ là đúng đắn. Thật vậy,giả sử x =ωa với a ∈ A(V0) và giả sử x =ωa1 với a1∈ A(V0) ⇒ ω(a- a1)=0 suy ra (a-a1)linh hoá ω và do đó linh hoá toàn bộ V. Theo giả thiết phản chứng suy ra(a- a1 )cũng linh hoá m hay m(a - a1 )= 0⇒ ma =m a1 .Vậy định nghĩa trên là đúng đắn. Ta chứng minh rằng τ giao hoán được với r,∀r∈R. Rõ ràng τ∈E(M). Hơn nữa, nếu x = ωa với a ∈ A(V0)thì ∀ r ∈ R, vì ar ∈ A(V0), xr =(ωa)r =ω (ar) do đó (xr)τ = m(ar) = (ma)r = (xτ)r . Điều này dẫn đến τ∈Δ =C(M). Với ∀a∈A (V0), ma= (ωa)τ = (ωτ)a suy ra (m -ωτ)a = 0. Theo giả thiết quy nạp thì m -ωτ ∈ V0 Do đó m ∈ V0+ωτ ⊂ V0+ωΔ =V . Vô lý . Định lý đã được chứng minh. 1.6.5- Định lý Một đại số nguyên thủy thì đẳng cấu với một đại số dày đặc của các phép biến đổi tuyến tính trong một không gian vectơ trên một đại số chia được. 1.7 – PI Đại số Để định nghĩa khái niệm đồng nhất thức đa thức của một đại số và của một PI đại số trước tiên ta xét đại số tự do trong một tập sinh đếm được trên vành giao hoán có đơn vị K. Giả sử X là vị nhóm tự do sinh bởi tập đếm được các phần tử x1,x2, thì X là tập 1, 1 2 3 . . ....... ri i i ix x x x của các đơn thức phân biệt Hai đơn thức bằng nhau 1 2 3 . . ....... ri i i ix x x x = 1 2 3. . ....... sj j j jx x x x ⇔ ( r=s và i1 = j1 ) Phép nhân được định nghĩa sao cho 1 là phần tử đơn vị và ( 1 2 3 . . ....... ri i i ix x x x ) ( 1 2 3. . ....... sj j j jx x x x ) = 1 2 3. . ....... ri i i ix x x x 1 2 3. . ....... sj j j jx x x x Xét K[x] là đại số vị nhóm của X trên K . K[x] vừa có cấu trúc vành vừa cócấu trúc modun ⇒ K[x] được gọi là một đại số tự do với tập đếm được các phần tử sinh xi . Tính chất cơ bản của K[x] là nếu A là một đại số bất kỳ trên K và δ là ánh xạ từ X → A thì tồn tại duy nhất đồng cấu η từ K[x] → A sao cho biểu đồ sau giao hoán X K[X] A Nếu f ∈ K[x], f ∈ K[x1 ,, xm ] đại số con sinh bởi tập con hữu hạn ⎨x1,x2,xm ⎬ với m nào đó. Ta viết f = f(x1,x2,xm ) ảnh của đa thức này dưới đồng cấu K[x] → A biến xi → ai ( 1 ≤ i < ∞ ) được ký hiệu f(a1, a2,.,am) , ∀ ai ∈ A 1.7.1- Một số định nghĩa 1.7.1.1-Một đơn thức 1 2 ..... ri i ix x x goị là có mặt trong f nếu nó có hệ số khác 0 trong biểu diễn của f theo cơ sở của X. 1.7.1.2-Một đa thức f được gọi là tuyến tính theo xi , nếu mọi đơn thức có trong f đều là bậc nhất theo xi. 1.7.1.3-Một đa thức f được goị là đa tuyến tính nếu f là tuyến tính đối với mọi xi có mặt trong f. *Nếu f là đa tuyến tính thì ** f có dạng : f = 1 2... 1 2 .....m mx x xπ π π π π ππ α∑ với 1... mπ πα ∈ K và π là một phép thế của Sm. **f(x1,x2,,xj-1,xj+ xm+1, xj+1,, xm)=f(x1,x2,,xj-1,xj ,xj+1,, xm) +f (x1, x2,, xj-1, xm+1, xj+1,, xm) i δ η ** f (x1, x2,, xj-1, βxj, xj+1,, xm)= βf (x1,, xm) ∀ β ∈ K Những tính chất này dẫn đến nếu { ui } là tập sinh của đại số A như là một K- module thì f là đồng nhất thức trên A khi và chỉ khi : f ( 1iu , 2iu ,, miu )= 0 với mọi sự lựa chọn các jiu trong { ui } 1.7.1.5-Một đa thức f (x1, x2,,xm) được gọi là thay phiên nếu f (x1, x2,, xi-1, xi, xj+1,, xj-1, xi , xj+1.)= 0 với mọi sự lựa chọn i<j ** Nếu là đa tuyến tính và thay phiên, thì f là đồng nhất thức khi và chỉ khi f ( 1iu , 2iu ,, miu )= 0 đối với tất cả cách chọn các jiu trong một tập sinh{ui } của K. Do đó nếu A có một module hữu hạn sinh { u1,., un } thì mọi đa thức đa tuyến tính thay phiên có bậc m > n là đồng nhất thức của A. 1.7.1.6 –f là đa thức chính quy chặt nếu f ≠ 0 và các hệ số khác 0 của f là đơn vị hoặc khả nghịch trong K. 1.7.1.7 – Đa thức chuẩn +Định nghĩa Đa thức Sk+1(x1, x2,, xk+1)= 1 2( ) ..... ksg x x xπ π ππ π∑ trong đó tổng được lấy trến nhóm đối xứng và Sgπ là dấu của phép hoán vị π , được gọi là đa thức chuẩn bậc k. +Đa thức chuẩn có các tính chất sau *Sk+1(x1, x2,, xk+1)= x1Sk+1(x2,, xk+1)- x2Sk+1(x1 ,x3,, xk+1) +..+ (-1)k xk+1Sk+1(x1 ,, xk) Do đó nếu Sk là đồng nhất thức trên đại số thì Sk+1cũng là đồng nhất thức trên đại số đó. * Sk( 1 2..... kx x xπ π π ) = Sg(π)Sk(x1, x2,, xk) * Nếu i1 ,.., ir phân biệt và i ≤ j ≤ k , 0 < r < k và S’ là tổng các hạng tử của Sk(x1, x2,, xk) có 1ix , 2ix , .., nix là thừa số trái thì : S’= ± i1..ir Sk-r ( 1 ..... r ki ix x+ ) Như vậy Sk-r sẽ là đồng nhất thức trên mọi K – đại số hữu hạn sinh với tập sinh có số phần tử bé hơn k. Vì Mn(K) được sinh ra bởi n2 ma trận đơn vị eij (coi như là K module ) do đó 2 1nS + là đồng nhất thức là đồng nhất thức trên Mn(K) . Sau này ta biết S2n cũng là đồng nhất thức trên Mn(K). 1.7.2- Đồng nhất thức 1.7.2.1- f là một đồng nhất thức của A nếu f (a1, a2,., am) = 0 , ∀ ai ∈ A 1.7.2.2 –Đa thức f được gọi là đồng nhất thức thật sự nếu f là đồng nhất thức của A và tồn tại một hệ số của f không linh hoá A . Nhận xét : -Nếu K là một trường thì f là đồng nhất thức thật sự của A tương đương với f là đồng nhất thức trên A và f ≠ 0 -Nếu f là một đồng nhất thức mà trong nó có một hệ số là 1 hoặc -1 thì f là đồng nhất thức thật sự. 1.7.2.3 - f gọi là đồng nhất thức chính quy chặt trên đại số A, nếu f là đồng nhất thức trên A và f là chính quy chặt. Nếu f là đồng nhất thức chính quy chặt trên đại số A thì nó cũng là đồng nhất thức chính quy chặt trên đại số con của đại số con của đại số A và điều này còn đúng đối với mọi ảnh đồng cấu. 1.7.3- Định nghĩa PI – đại số Một đại số A trên vành giao hoán có đơn vị K được gọi là PI đại số hay đại số với đồng nhất thức đa thức nếu tồn tại một đa thức f(a1, a2,.,am) ∈ K[x] là đồng nhất thức thực sự của A. Ví dụ : 1.7.3.1 – Mọi đại số giao hoán đều là PI đại số vì thỏa mãn đồng nhất thức : f = x1x2 – x2x1 1.7.3.2 - M2(K) là một PI đại số vì thỏa mãn đồng nhất thức Wargner như sau : f(x1,x2,x3 )= (x1x2-x2x1)2 x3 - x3 (x1x2-x2x1)2 1.7.3.3 - Trong F [x1,x2,,xn