Đề tài Jacobson radical của các pi - Đại số phổ dụng trên một vành giao hoán có đơn vị

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM LÊ LAN HƯƠNG JACOBSON RADICAL CỦA CÁC PI-ĐẠI SỐ PHỔ DỤNG TRÊN MỘT VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ Chuyên ngành : Đại số Mã số : 1.01.03 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ Tp.HCM, 2005 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên trong luận văn này, tôi xin gởi đến PGS-TS Bùi Tường Trí_Khoa Toán Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất. Tôi xin chân thành cảm ơn TS Trần Huyên, PGS_TS Bùi Xuân Hải, TS Nguyễn Viết Đông, PGS-TS Mỵ Vinh Quang, Quí thầy cô trong khoa Toán và phòng Khoa Học Công Nghệ _ Sau Đại Học đã tham gia giảng dạy, quản lý lớp học, đã trực tiếp truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn các đồng nghiệp, bạn bè đã động viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Thành phố Hồ Chí Minh , 2005 Học viên cao học khoá 13 Lê Lan Hương MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU. HỆ THỐNG KÝ HIỆU. CHƯƠNGI : CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ KHÔNG GIAO HOÁN I.1 : Tóm tắt những kiến thức cơ sở ............................................... Trang 1 I.2 : Các radical của một đại số ..................................................... Trang 6 I.3 : Ideal nguyên tố và ideal nửa nguyên tố............................... Trang 12 CHƯƠNG II :CÁC PI-ĐẠI SỐ II.1 : Các định nghĩa và một số kết quả hình thức. Định lí Kaplansky-Amitsur-Levitzki .............................................. Trang 17 II.2 : Các PI-đại số thoả mãn đồng nhất thức chính qui mạnh. .... Trang 38 II.3 : Địa phương hóa giao hoán .Đại số nguyên tố thoả mãn đồng nhất thức thật sự..................................................................................... .Trang 43 II.4 : Các định nghĩa tương đương của PI-đại số ........................... Trang 53 II.5 : Các đồng nhất thức của một đại số. Các PI-đại số phổ dụng .Trang 57 CHƯƠNG III: JACOBSON RADICAL CỦA CÁC PI-ĐẠI SỐ PHỔ DỤNG.................. Trang 60 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO ™ TIẾNG ANH : [1] N. JACOBSON LECTURE NOTES IN MATHEMATICS 441 PI_ALGEBRAS AN INTRODUCTION SPRINGER_VERLAG_BERLIN_HEIDELBERG_NEWYORK1975 [2] I.N. HERSTEIN NON COMMUTATIVE RINGS A.M.S 1968 [3] M.F.ATIYAH, I.G. MACDONALD INTRODUCTION TO COMMUTATIVE ALGEBRA ADDISON-WESLEY PUBLISHING COMPANY. MASSACHUSETTS 1969 ™ TIẾNG VIỆT : [1] MỴ VINH QUANG ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG, BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG. NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC 1998. [2]NGUYỄN CANG – NGUYỄN ĐĂNG PHẤT GIỚI THIỆU TÓM TẮT CUỘC ĐỜI VÀ SỰ NGHIỆP CÁC NHÀ TOÁN HỌC (TẬP II). NHÀ XUẤT BẢN TRẺ. [3] NINH QUANG THĂNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC : VỀ CÁC RADICAL CỦA CÁC PI-ĐẠI SỐ-1998 [4] NGUYỄN THỊ HỒNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC : ĐA THỨC TÂM TRÊN ĐẠI SỐ CÁC MA TRẬN VÀ ỨNG DỤNG TRÊN CÁC ĐẠI SỐ KHÁC-2004 LỜI MỞ ĐẦU Jacobson Nathan _ nhà toán học Mỹ gốc Ba Lan là một chuyên gia trong lĩnh vực Lý thuyết các Vành và Module. Năm 1943, ông đưa ra khái niệm radical của một vành, được giới toán học cho là thỏa đáng hơn khái niệm cùng loại mà Gottfied Kother thuộc trường phái Emmy Nother đã đưa ra. Người ta gọi Jacobson radical của một vành giao hoán A là giao của các ideal tối đại của A, ký hiệu là : radA. Jacobson chứng minh rằng radA là tập các phần tử a của A sao cho 1 - ax, với x∈A, là khả nghịch trong vành A. Tổng quát hơn, nếu A là đại số không giao hoán thì Jacobson radical của A được định nghĩa là tập hợp tất cả các phần tử của A linh hóa được tất cả các mođun bất khả quy trên A. Trong luận văn này, dựa trên cơ sở lý thuyết của đại số không giao hoán và các PI-đại số, chúng tôi tìm hiểu về tính chất của Jacobson radical của các PI-đại số và hơn nữa là xem xét Jacobson radical của các PI-đại số phổ dụng trên một vành giao hoán có đơn vị. Luận văn gồm 3 chương: Chương I: Chúng tôi trình bày các vấn đề cơ bản của đại số không giao hoán, các khái niệm radical của một đại số, các định nghĩa và tính chất của ideal nguyên tố, ideal nửa nguyên tố. Chương II: Chúng tôi trình bày một số định nghĩa và tính chất của các PI- đại số, trong đó có trình bày một định lí cơ bản về đồng nhất thức đa thức, đó là định lý Kaplansky-Amitsur-Levitzki. Đồng thời, chúng tôi cũng xem xét các PI-đại số thỏa mãn đồng nhất thức chính quy mạnh và địa phương hóa giao hoán. Từ đó, chúng tôi trình bày các định nghĩa tương đương của PI-đại số, đưa ra khái niệm và một số tính chất của các PI-đại số phổ dụng. Chương III: Chúng tôi trình bày tính chất của Jacobson Radical của các PI- đại số phổ dụng. HỆ THỐNG KÝ HIỆU Rad A : Jacobson Radical của A. ln(A) : lower nil radical của A. L(A) : levitzki nil radical của A. Un(A) : Upper nil radical của A. I A : I là ideal hai phía của A. Δ I A : I là ideal trái của A. Δl IΔ A : I là ideal trái tối đại của A. lmax [x,y]=xy-yx : Giao hoán tử của x và y. Tr(a) : vết của ma trận a. Sgn(π ) : dấu của phép thế π . [M :F] : số chiều của M trên F. B A : B chứa trong A. ⊂ Mn(K) : Tập hợp các ma trận vuông cấp n trên K. A[x] : Vành các đa thức của ẩn x trên A. A[ ] : Vành các đa thức của n ẩn trên A. 1 2 nx ,x ,...,x 1 2 nx ,x ,...,x V FEnd : Tập hợp các phép biến đổi tuyến tính của V trên F. KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày được một số kết quả về các PI-đại số như sau: ™ Định lý Kaplansky-Amitsur-Levitzki: Giả sử A là đại số nguyên thủy. Khi đó A thỏa mãn đồng nhất thức thật sự khi và chỉ khi A là đại số đơn và hữu hạn chiều trên tâm C của nó. Nếu d là bậc nhỏ nhất của đồng nhất thức thật sự của A thì d = 2n là số chẵn và [A:C] = n2 , đồng thời A thỏa mãn đồng nhất thức chuẩn Sd. ™ Nếu A là đại số thỏa mãn đồng nhất thức chính quy mạnh bậc d thì ln(A) = L(A) = Un(A). ™ Bất kỳ đồng nhất thức f(x1,,xm) của A đều là đồng nhất thức của As (với As xem như là đại số trên K). Chiều ngược lại vẫn đúng nếu mỗi phần tử của S là chính quy đối với A. ™ Nếu A là tích trực tiếp con của các đại số nguyên tố thỏa mãn các đồng nhất thức thật sự có bậc bị chặn thì bất kỳ ideal I (O) của A có giao khác không với tâm C của A. ≠ ™ Các định nghĩa tương đương của PI-đại số: A là PI-đại số f là đồng nhất thức của A: S⇔ ∃ fA = A. A là PI-đại số n, m : A thỏa mãn đồng nhất thức . ⇔ ∃ m2nS Sau đó, chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tính chất của các PI-đại số phổ dụng trên một vành giao hoán có đơn vị K : ¾ Cho A là một PI-đại số trên vành giao hoán K và I = I(A) là tập tất cả các đồng nhất thức của A. Khi đó I là một T-ideal của K{X}. ¾ Một PI-đại số phổ dụng là một đại số có dạng U = UI = K{X}/I, trong đó I là một T-ideal của K{X} chứa , với m, n nào đó. m2nS ¾ Nếu U = K{X}/I là PI-đại số phổ dụng thì U là PI-đại số và I là ideal chứa tất cả các đồng nhất thức của U. Chúng tôi cũng chứng minh được một số tính chất của Jacobson radical, Upper nil radical, Lower nil radical của một đại số A như sau : œ Nếu A là PI – đại số thì : ln(A) = L(A) = Un(A) ⊂ radA. œ Nếu A là PI – đại số nửa nguyên tố thì : ln(A) = L(A) = Un(A) = 0. œ Nếu A là PI – đại số nửa nguyên tố có tâm C thỏa thì A[λ ] là PI – đại số nửa nguyên thủy. Khi đó, ta có : Aann radC 0= ln(A[ ]) = L(A[ ]) = Un(A[ ]) = rad(A[ ]) = 0λ λ λ λ œ Đặc biệt : Nếu A là PI – đại số phổ dụng thì radA là một nil ideal. Khi đó : ln(A) = L(A) = Un(A) = radA. œ Hơn thế nữa, nếu U = K{X}/I là PI-đại số phổ dụng, I= thì U là PI-đại số phổ dụng giao hoán. Mà PI-đại số phổ dụng giao hoán là đại số đa thức với các biến đếm được và các biến giao hoán được với nhau. Do đó, áp dụng kết quả radU là một Nil ideal đối với vành các đa thức n ẩn trên một vành giao hoán có đơn vị K, chúng ta có một con đường khác ngoài cách chứng minh trực tiếp để đi đến kết quả sau đây : Rad(K ) = Nil(K ). 1 2 n[x ,x ,...,x ] 1 2 n[x ,x ,...,x ] Tuy nhiên, ngoài việc tìm hiểu tính chất của Jacobson Radical của các PI- đại số, PI-đại số phổ dụng, còn rất nhiều khía cạnh khác của PI-đại số cần được tiếp tục nghiên cứu và giải quyết. Đó chẳng hạn là : xem xét ideal In gồm các đồng nhất thức của Mn(K); những ứng dụng của PI-đại số đối với các đại số đơn tâm hữu hạn chiều trên một trường, vv, Vì thời gian và khả năng nghiên cứu còn hạn chế nên những phần trình bày trong luận văn này khó tránh khỏi thiếu sót.Kính mong Quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp vui lòng chỉ bảo và lượng thứ. Thành phố Hồ Chí Minh, 2005 Người thực hiện Lê Lan Hương 1 CHƯƠNG I: CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ KHÔNG GIAO HOÁN Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm và kết quả căn bản được sử dụng đến trong luận văn này. Trong đó, chúng tôi chủ yếu xét phạm trù các đại số có đơn vị (không nhất thiết giao hoán) trên một vành giao hoán có đơn vị K. Trừ khi được chỉ ra rõ ràng, các mođun đều được hiểu là các mođun trái, ideal được hiểu là ideal hai phía. I.1. TÓM TẮT NHỮNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Định nghĩa I.1.1 A được gọi là đại số trên vành K nếu: A là K_mođun, A là vành và ∀ k∈K, ∀ a,b∈A: k(ab) = (ka)b = a(kb) Định nghĩa I.1.2 Cho A là một K_đại số. Đại số đối của A, ký hiệu là Ao, là một đại số mà Ao = A như là K_mođun và tích a∗b được xác định bởi a∗b = b.a, với ∀ a,b∈A Định nghĩa I.1.3 Nếu A,B là các K_đại số, M là K_mođun thì một A_B_song mođun là một A_mođun trái, B_mođun phải và có tính chất kết hợp sau đây: (ax)b = a(xb), a∈A, b∈B, x∀ ∈M Lưu ý: • Tích tenxơ của các mođun và đại số, trừ trường hợp đặc biệt, được hiểu là tích tenxơ trên K. Ta viết M⊗N thay vì M K⊗ N. • Nếu A, B là các K_ đại số thì A⊗B là một K_ đại số. 2 • Một A_B_ song mođun có thể đồng nhất với A⊗Bo_ mođun nếu (a⊗ b)x = axb (*) Ngược lại, một A B⊗ o_ mođun có thể xem như là một A_B_ song mođun nếu ax = (a⊗ 1)x ; xb =(1⊗ b)x. • Ta viết Ae = A⊗Ao thì :A là một Ae _mođun được xác định bởi (*).Và mođun con của A (với A xem là Ae _mođun) là ideal của A. Định nghĩa I.1.4 Cho M là một A_ mođun, ký hiệu EndA M (hay End M) là tập hợp các tự đồng cấu trên M. Khi đó: • Endη∈ A M , x∈M thì xη là kết quả tác động của η đối x. • Với , η ξ ∈ EndA M thì η ξ được định nghĩa bởi x(η ξ ) = (x )η ξ , x∀ ∈M. • Vành giao hoán tử của A trên M, ký hiệu là C(M), định bởi C(M) = {η End∈ A M / η .Ta = Ta.η , ∀ a∈A} trong đó, Ta : M M, m ma. → 6 Định nghĩa I.1.5 Cho M làmột A_mođun.Khi đó, tập hợp các phần tử của A mà linh hóa toàn bộ M, ký hiệu là : annA M, được xác định bởi : annA M = { a∈ A / aM = 0 } Định nghĩa I.1.6 Cho M là một A_mođun, M được gọi là A_mođun bất khả quy nếu M 0 và M không có mođun con nào khác ngoài 0 và M. ≠ Mệnh đề I.1.1 3 Các khẳng định sau đây là tương đương: i> M là A_mođun bất khả quy. ii> M = Ax, với 0 ≠ x∈M. iii> M A/I, với I ≅ maxlΔ A. Định nghĩa I.1.7 M được gọi là A_mođun trung thành nếu : Ma = 0 a = 0. ⇒ Định nghĩa I.1.8 • Một đại số A được gọi nguyên thủy nếu nó có một A_mođun bất khả quy trung thành. • Một ideal ρ của đại số A được gọi là ideal nguyên thủy nếu A/ρ là đại số nguyên thủy. Bổ Đề Schur: Nếu M là A_mođun bất khả quy thì C(M) là một thể Định nghĩa I.1.9 Cho A là đại số nguyên thủy, M là A_mođun bất khả quy trung thành. Nếu =C(M) thì theo bổ đề Schur, Δ Δ là một thể. Ta có thể xem M như là một không gian vectơ trên . Khi đó: Δ A được gọi là tác động dày đặc trên M (hoặc dày đặc trên M) nếu : Với mỗi n : 1 2, ,..., nϑ ϑ ϑ ∈M độc lập tuyến tính trên Δ và bất kỳ n phần tử 1 2, ,..., nω ω ω ∈ M, r∈ A sao cho ∃ iω = iϑ .r, với i = 1,2,n. Mệnh đề I.1.2 (định lý dày đặc) 4 Cho A là đại số nguyên thủy, M là A_mođun bất khả quy trung thành. Nếu =C(M) thì A là một vành dày đặc các phép biến đổi tuyến tính của M trên Δ Δ . Định nghĩa I.1.10 Đại số A được gọi là đại số đơn nếu A ≠ 0 và A không có ideal nào khác ngoài 0 và A. Lưu ý : Cho A là đại số đơn. Gọi C ={c ∈A / cx = xc, x∀ ∈A} là tâm của A. Khi đó C là trường và A có thể xem là đại số trên C. Định nghĩa I.1.11 Giả sử K là một trường. Đại số A được gọi là đơn tâm trên trường K nếu A đơn và tâm của A đẳng cấu với K. Định nghĩa I.1.12 Giả sử K là một trường. Trường con F của K được gọi là trường con tối đại nếu F không bị chứa nghiêm ngặt trong một trường con lớn hơn của K. Mệnh đề I.1.3 Cho D là một thể có tâm là C, F là trường con tối đại của D. Khi đó : D C⊗ F là vành dày đặc các phép biến đổi các tuyến tính của D, nếu xem D như là không gian vectơ trên trường F. Định nghĩa I.1.13 5 Đại số A được gọi Artin (trái) nếu bất kỳ tập khác rỗng các ideal trái của nó đều có phần tử tối tiểu. Mệnh đề I.1.4 (Định lý Wedderburn_ Artin) Cho A là một vành Artin đơn. Khi đó A≅ nD với là vành các ma trận vuông cấp n trên thể D. Hơn nữa, n là duy nhất và D sai khác một đẳng cấu. Ngược lại, với bất kỳ thể D, là một vành Artin đơn. nD nD Định nghĩa I.1.14 Giả sử { } là một họ các đại số. Tích trực tiếp Aα Aα α ∏ được định nghĩa bởi tập tích Đề-các của các mà được đưa vào cấu trúc đại số phù hợp. Aα Một đại số con A của Aα α ∏ được gọi là một tích trực tiếp con của họ {Aα } nếu hạn chế trên A của mỗi phép chiếu α∏ , ký hiệu là α∏ A , là toàn cấu. Lưu ý : Khi A là tích trực tiếp con của {Aα }, ta gọi Bα = Ker α∏ A thì A/ ≅ Bα Aα và = 0. Bα α ∩ Ngược lại, giả sử A là một đại số bất kỳ và {Bα } là họ các ideal trong A sao cho = 0. Khi đó A sẽ đẳng cấu với tích trực tiếp con của họ { }, trong đó = A/ . Bα α ∩ Aα Aα Bα 6 I.2. CÁC RADICAL CỦA MỘT ĐẠI SỐ. Trong phần này, chúng tôi trình bày các định nghĩa và một số kết quả về các radical của một đại số A : Jacobson radical, upper nil radical, lower nil radical và Levitzki nil radical. Định nghĩa I.2.1 Cho M là A_mođun bất khả quy, Jacobson radical của A, ký hiệu là rad A, được định nghĩa như sau : rad A = ∩ ann M bất khả quy A M Định nghĩa I.2.2 Một đại số A được gọi là nửa nguyên thủy nếu rad A = 0. Định nghĩa I.2.3 • Một phần tử a∈A được gọi là tựa chính quy nếu ∃b∈A: a + b – ab = 0, b được gọi là tựa nghịch đảo của a. • Một ideal (một phía hoặc hai phía) được gọi là tựa chính quy nếu tất cả các phần tử của nó là tựa chính quy. Lưu ý: • a là tựa chính quy 1-a khả nghịch ⇔ • rad A là ideal tựa chính quy chứa mọi ideal phải tựa chính quy và ideal trái tựa chính quy. • Rad A = {z / az là tựa chính quy,với ∀a∈ A } = {z / za là tựa chính quy,với ∀a∈ A } Định nghĩa I.2.4 7 Một ideal một phía (hoặc 2 phía ) được gọi là nil ideal nếu mọi phần tử của nó là lũy linh. Mệnh đề I.2.1 rad A chứa tất cả các nil ideal một phía. Chứng minh Nếu z là lũy linh ⇒ ∃n : zn = 0 ⇒z là tựa chính quy, với tựa nghịch đảo là ω = - (z+z2++zn-1 ) . ■ Bây giờ, gọi A[λ ] là đại số đa thức theo biến λ với hệ số thuộc A. Ta có kết quả sau đây của Amitsur: Mệnh đề I.2.2 Nếu A không có nil ideal khác 0 thì A[λ ] là nửa nguyên thủy Tiếp theo đây, chúng tôi trình bày các định nghĩa và bổ đề về đại số luỹ linh, lũy linh địa phương, và nil đại số. Từ đó chúng ta có cơ sở để tiếp cận với các khái niệm upper nil radical, lower nil radical, và Levitzki nil radical. Định nghĩa I.2.5 Cho đại số A. Khi đó: • A được gọi là lũy linh nếu ∃m : Am = 0 • A được gọi là lũy linh địa phương nếu mọi tập con hữu hạn của nó đều sinh ra một đại số con lũy linh. • A được gọi là nil đại số nếu mọi phần tử của nó đều lũy linh. • Một ideal của A được gọi là lũy linh (lũy linh địa phương, nil ideal ) nếu xem là đại số thì nó là đại số lũy linh (lũy linh địa phương, nil đại số ) Nhận xét: Mọi ideal lũy linh đều là lũy linh địa phương và mọi ideal lũy linh địa phương đều là nil ideal. 8 Hơn nữa, các bổ đề sau là dễ thấy: Bổ đề I.2.1 • Đại số con và ảnh đồng cấu của một đại số lũy linh ( lũy linh địa phương, nil đại số) là đại số lũy linh (lũy linh địa phương, nil đại số). • Nếu B là ideal của A sao cho B và A/B là các ideal lũy linh (lũy linh địa phương, nil ideal ) thì A là đại số lũy linh (lũy linh địa phương, nil đại số). Bổ đề I.2.2 Nếu N1, N2 là các ideal lũy linh (lũy linh địa phương, nil ideal) của A thì N1 + N2 cũng vậy. Chứng minh Do đẳng cấu (N1 + N2)/N2≅ N1/(N1 ∩ N2) và kết hợp với bổ đề I.2.1 ta có điều phải chứng minh. ■ Bổ đề I.2.3 Nếu {Ni }là họ các nil ideal (ideal lũy linh địa phương) thì là nil ideal(ideal lũ iN∑ y linh địa phương). Mệnh đề I.2.3 1. Tồn tại duy nhất một nil ideal (ideal lũy linh địa phương) tối đại của đại số A chứa mọi nil ideal (ideal lũy linh địa phương) của A. 2. Tồn tại ideal lũy linh địa phương tối đại của đại số A chứa mọi ideal một phía lũy linh địa phương. Chứng minh Từ bổ đề I.2.3, ta suy ra ngay phần thứ nhất của mệnh đề. Ta chứng minh (2) như sau : 9 Giả sử L là ideal lũy linh địa phương tối đại của đại số A và I là ideal trái lũy linh địa phương của A. Khi đó I + IA là ideal lũy linh địa phương của A. Thật vậy, lấy { ib } là một tập hữu hạn các phần tử bất kỳ của I + IA và ta viết: ib = + với cic ij ij j c a∑ i ,cij∈ I; aij ∈A Xét tập hữu hạn S ={ ci ,cij,aij ck, aij ckl }thì : ci ,cij∈ I ; aij ck, aij ckl ∈I (vì I lΔ A) Do đó S là tập con của I ⇒ tồn tại số tự nhiên m sao cho tích của m phần tử bất kỳ của S bằng 0. Mà tích của r phần tử của tập {bi} là tổng của các số hạng, mà mỗi số hạng là tích của r phần tử thuộc S hoặc là tích của r phần tử của S nhân về bên phải các phần tử thuộc A. Vì thế, tích của m phần tử bất kỳ của {bi} là bằng 0 ⇒ I + IA là ideal lũy linh địa phương của A. Mà L là ideal lũy linh địa phương tối đại ⇒ I + IA ⊂ L. Do I ⊂ I + IA ⇒ I ⊂ L . ■ Định nghĩa I.2.6 Nil ideal tối đại của một đại số A được gọi là upper nil radical