Đề tài Khái niệm xác suất trong dạy học toán ở trường phổ thông

MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài 1 Mục đích nghiên cứu 1 Phương pháp nghiên cứu 1 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 1 Sơ lược lịch sử hình thành khái niệm xác suất 1 Các cách định nghĩa khái niệm xác suất 7 Phân tích sách giáo khoa thí điểm phân ban KHTN lớp 11 9 Thiết kế tình huống dạy học định nghĩa thống kê của xác suất 14 KHÁI NIỆM XÁC SUẤT TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài Lý thuyết xác suất ngày nay đã trở thành một ngành toán học lớn, chiếm một vị trí quan trọng cả về mặt lý thuyết lẫn thực hành. Đặc biệt lý thuyết xác suất cùng với khoa học thống kê đã trở thành một lĩnh vực quan trọng trong đời sống Ở nước ta, xác suất mới được đưa vào chương trình toán phân ban thí điểm ở lớp 11(năm 2005-2006). Đây là phần khá mới mẻ lại rất thú vị vì liên quan đến thực tế cuộc sống. Hơn nữa, sau một vài năm dạy thí điểm ở trường phổ thông, một số giáo viên có ý kiến thắc mắc rằng “Tại sao phải dạy định nghĩa xác suất bằng tần suất?”. Vì thế em chọn đề tài này để nghiên cứu chương trình phục vụ cho công việc giảng dạy của em sau này và cũng là để trả lời cho thắc mắc trên. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất. Các cách định nghĩa xác suất. Điều kiện để sử dụng các định nghĩa đó. Tìm hiểu ưu nhược điểm của mỗi cách định nghĩa khái niệm xác suất ở góc độ toán học và thực tế dạy học. Từ đó giải thích tại sao sách giáo khoa (thí điểm ban KHTN lớp 11 của nhóm tác giả Đoàn Quỳnh) lại đưa hai cách định nghĩa xác suất vào dạy học. Phân tích cách trình bày định nghĩa xác suất của sách giáo khoa. Từ việc phân tích trên, thiết kế một tình huống dạy học khái niệm xác suất. Phương pháp nghiên cứu: Tham khảo luận văn thạc sỹ “Khái niệm xác suất trong dạy học ở trường phổ thông” của Vũ Như Thư Hương. Tham khảo các giáo trình về lý thuyết xác suất. Phân tích bộ sách giáo khoa Đại số và giải tích lớp 11 dùng cho ban tự nhiên do nhóm tác giả Đoàn Quỳnh làm chủ biên. Nội dung nghiên cứu: Sơ lược lịch sử hình thành khái niệm xác suất: Do không đủ thời gian và điều kiện để nghiên cứu về lịch sử hình thành khái niệm xác suất, em đã tham khảo luận văn thạc sỹ của Vũ Như Thư Hương và tóm tắt lại một số nội dung chính như sau: Các giai đoạn nảy sinh và phát triển của khái niệm xác suất: Giai đoạn đầu (từ thời Trung đại đến nửa đầu thế kỷ XVII): Từ những trò chơi may rủi như cờ bạc hay tung súc sắc,… rất phổ biến ở vùng Lưỡng hà từ thời Ai Cập cổ đại, mà các yếu tố đầu tiên về đại số tổ hợp đã được khai thác. Điều này được minh chứng bởi bài thơ có tựa đề De Vetul (của Richard de Fournival (1201-1260)), một tu sĩ người Pháp. Bài thơ đã mô tả trò chơi “tung ba con súc sắc và đếm tổng các điểm nhận được” (tức là tổng số chấm xuất hiện trên ba mặt của ba con súc sắc). Trong vài trích đoạn của bài thơ người ta nhận thấy “tác giả đã sử dụng đến hoán vị khi nói rằng việc tung 3 súc sắc sinh ra 16 kiểu tổng các điểm, ứng với 56 dạng điểm và việc hoán vị mỗi dạng điểm đã chứng tỏ rằng tổng cộng có đến 216 cách rơi 3 súc sắc.” (trích theo Vũ Như Thư Hương, trang 11) hay “một trích đoạn khác cũng khẳng định: sự xuất hiện của các dạng điểm ứng với mỗi một trong 16 kiểu tổng các điểm là không đều nhau.” . Mặt khác, vấn đề đặt ra là tại sao khả năng xảy ra của tổng 10 hay 11 lớn hơn khả năng xảy ra tổng của 9 hay 12? (Trích theoVũ Như Thư Hương, tr.11). Như vậy là ngay ở thế kỷ VIII, vấn đề về tính toán cơ hội đã được đặt ra trong các trò chơi may rủi. Một bằng chứng nữa cho sự nảy sinh nhu cầu tính toán cơ hội là bài toán các điểm đầu tiên được Luca Pacioli (1445-1509) đưa ra vào năm 1494, trong tác phẩm Summa de arithmetica geometric proportioniet proportionalita: “Một lữ đoàn chơi bóng quần. Mỗi cú trúng được 10 điểm và được 60 điểm thì được xem là thắng. Tiền đặt cược trò chơi là 10 đồng đu-ca. Một tai nạn bỗng xảy ra buộc các binh lính phải dừng ván đang chơi khi phe thứ nhất đã được 50 điểm và phe thứ hai được 20 điểm. Bài toán đặt ra là phải trả lại cho mỗi phe bao nhiêu phần của số tiền đặt cược?” (Trích theo Henry, 2004, tr.5).” “Giải pháp của Pacioli là chia tiền cược theo tỉ lệ thuận với số điểm của hai phe. Nhưng về sau, trong tác phẩm Liber de lulo aleae, Jérôme Cardan đã chứng tỏ rằng chia như vậy là sai và ông cho là phải dựa vào số ván mà họ có thể được chơi nữa. Thế nhưng giải pháp mà Cardan đưa ra cũng bị Tartaglia (1499-1557) bác bỏ. Điều đáng lưu ý là trong các tính toán của minh Cardan đã chú ý đến vấn đề đồng khả năng”. (Trích theo Vũ Như Thư Hương,2005, tr.12) . Trở lại với trò chơi tung súc sắc, có một bài toán được Grand de Toscane đặt lại cho Galilée vào năm 1620: “Tại sao kinh nghiệm của người chơi lại chỉ ra rằng cá cược tổng bằng 10 hay 11 thì có lợi thế hơn là tổng bằng 9 hay 12 (27 so với 25) trong khi mỗi một trong bốn tổng này đều có cùng số dạng (6)?” (trích theo Henry,2004, tr.5).” (Trích theoVũ Như Thư Hương, tr.13). Galilée cũng đã sử dụng phép đếm đã được mô tả trong bài thơ De Vetula để trả lời cho câu hỏi trên. Nghiên cứu của ông đã được M. Henry đánh giá rằng: “bằng cách đề nghị người chơi trò súc sắc “đo” cơ hội chiến thắng của họ, Galilée đã đến gần với xác suất trong gang tấc, nhưng tất nhiên là không diễn đạt được nó”. (Trích theo Vũ Như Thư Hương, tr.13) Như vậy, trong giai đoạn này, từ những trò chơi may rủi đã làm nảy sinh nhu cầu tính toán cơ hội. Và khái niệm xác suất lúc này xuất hiện dưới dạng công cụ ngầm ẩn cho phép giải quyết vấn đề tính toán cơ hội trong vài trò chơi may rủi đó. Trong giai đoạn này, một số yếu tố của Đại số tổ hợp đã được khai thác trong tính toán các cơ hội. Lúc này, vẫn chưa có một định nghĩa nào về xác suất được đưa ra. Giai đoạn thứ hai: (Nửa sau thế kỷ XVII ): vấn đề tính xác suất của các biến cố đồng khả năng và không đồng khả năng Khái niệm xác suất nảy sinh và phát triển với việc giải quyết vấn đề chia tiền cược mà người khởi xướng là Pascal và Fermat. Năm1651, Chavalier de Méré đã hỏi Blaise Pascal (1623-1662) về vấn đề chia tiền cược như sau: có lần Méré cùng một người bạn gieo đồng tiền sấp ngửa ăn tiền, họ góp mỗi người 32 đồng tiền vàng làm tiền cược và quy ước nếu Méré gieo được 3 lần toàn mặt sấp thì ông được toàn bộ tiền cược, còn nếu bạn ông gieo được 3 lần toàn mặt ngửa thì tiền cược thuộc về người bạn ấy. Khi Méré gieo được 2 lần mặt sấp và bạn ông mới được 1 lần mặt ngửa thì cuộc chơi phải ngừng vì nhà vua gọi Méré. Vậy nên chia như thế nào?” Chính bài toán này đã làm cho Pascal và Fermat phải suy nghĩ. Hai ông đã trao đổi thư từ với nhau và vào năm 1654, họ đã đưa ra lời giải là Méré được 3/4 tiền cược. Cả hai ông đều đã giải đúng nhưng theo 2 cách khác nhau. Pascal đã sử dụng tam giác số học các hệ số khai triển của nhị thức để giải bài toán. Sau đó, trong một lá thư gửi Fermat (ngày 24/8/1654), Pascal còn nói đến tổ hợp khi chỉ ra tỉ lệ chia tiền cược cho hai người chơi: “… có bao nhiêu tổ hợp làm cho người thứ nhất thắng cuộc và có bao nhiêu cho người thứ hai thì chia tiền theo tỉ lệ này…” Trong khi đó, Fermat đã sử dụng một phương pháp khác: ông đã tưởng tượng là trò chơi tiếp tục với những ván giả nhằm đạt đến số ván cần chơi để xác định được người chiến thắng, rồi sử dụng các tổ hợp để liệt kê các kết quả thuận lợi có thể có của mỗi người và ông chia tiền cược theo tỉ lệ đó. Cách làm đó được ông giải thích như sau: “…việc giả tưởng mở rộng trò chơi này đến một số ván nào đó chỉ nhằm làm cho qui luật dễ đi, và (theo cảm tính của tôi) sẽ khiến cho tất cả các sự ngẫu nhiên bằng nhau, hoặc dễ hiểu hơn là rút gọn tất cả các phân số về cùng mẫu số”. (trích Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.14) Theo Henry, cả hai ông đều đã sử dụng đến đại số tổ hợp và đều thừa nhận giả thiết “đồng khả năng” khi giải quyết bài toán trên. Mặc dù vậy, hai ông vẫn chưa đưa ra được một thuật ngữ nào để chỉ tỉ số mà họ dựa vào đó để chia tiền cược (tỉ lệ đó là tiền thân của xác suất sau này). Do cả Pascal và Fermat đều không xuất bản cuốn sách nào nói về các tính toán “xác suất” của mình nên đến năm 1657, khi Christian Huygens xuất bản cuốn sách Lý thuyết trò chơi súc sắc, người ta mới biết về phép tính mới này. Tuy vây, thuật ngữ “xác suất” vẫn chưa xuất hiện và Huygens đã sử dụng từ “cơ hội” để chỉ “xác suất”: “Dù trong các trò chơi thuần ngẫu nhiên, các kết quả có không chắc đi nữa thì cơ hội mà người chơi thắng cuộc hay thua cuộc đều có giá trị xác định” Phải đến năm 1662, trong Nghệ thuật tư duy của Antoine Arnauld và Pierre Nicole (các bạn của Pascal), thì thuật ngữ “xác suất” mới thật sự xuất hiện lần đầu tiên với nghĩa đúng như chúng ta biết ngày nay: “… đừng chỉ cho từng cái tốt và cái xấu là tự nó, mà còn là xác suất xảy ra hay không xảy ra và phải chú ý chính xác vào tỉ lệ mà tất cả những cái này có chung…” (Trích Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.16) Một định nghĩa tường minh nữa về xác suất còn được tìm thấy trong Thử phân tích các trò chơi ngẫu nhiên của Pierre Raymond de Montmort, xuất bản năm 1708: “Sự rủi may của Pierre là tỉ số của tất cả các lần thuận lợi với số tât cả các lần có thể,… Trong một trò chơi công bằng, số tiền đặt cược của hai người chơi phải cùng tỉ số với độ xác suất khác nhau hay kỳ vọng chiến thắng của mỗi người” (trích Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.16) Như vậy, trong vòng nửa sau thế kỷ XVII, từ bài toán chia tiền cược mà khái niệm xác suất đã được nảy sinh, để tính xác suất người ta đã sử dụng đại số tổ hợp và tất nhiên là phải thừa nhận tính đồng khả năng xảy ra của các biến cố. Giai đoạn thứ ba: (từ đầu thế kỷ XVIII đến cuối thế kỷ XIX): Sự nảy sinh cách tiếp cận “thống kê” của xác suất và định nghĩa xác suất theo Laplace Sự nảy sinh cách tiếp cận “thống kê” của xác suất phải kể đến công lao to lớn của Jacques Bernoulli. Ông đã dành hai mươi năm để hoàn thành tác phẩm Thuật suy đoán. (Tác phẩm này được người cháu của ông là Nicolas Bernoulli xuất bản sau khi ông mất ). Trong tác phẩm này Bernoulli đã đưa ra những kết quả quan trọng và đã được Henry và Coutinho tổng hợp lại như sau: Bernoulli đã nêu lên một số định nghĩa liên quan đến xác suất: “Xác suất trong thực tế là mức độ chắc chắn…” “Dự đoán một điều gì đó là đo lường xác suất của nó…” (trích theo Henry, 2004, tr.7) Bernoulli thừa nhận định nghĩa tiên nghiệm của xác suất trong các tình huống đồng khả năng: “ Đặt b là trường hợp mà một đối số nào đó tồn tại, đặt c là số trường hợp mà nó có thể không tồn tại, (…). Nhưng tôi cho là tất cả các trường hợp đều có khả năng như nhau, hay chúng có thể bất chợt xảy ra như nhau; (…) sao cho một đối số như vậy có thể chứng minh về sự việc hay về độ chắc chắn của sự việc”(trích theo Henry, 2004, tr.7) (trích theo Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.17) Ông cũng chỉ rõ điểm hạn chế của cách xác định xác suất bằng phương pháp đếm là không thể áp dụng vào các hiện tượng tự nhiên phức tạp như: sự xuất hiện bệnh nhân, hay các hiện tượng thời tiết,… Trong trường hợp đó, Bernoulli đã đề nghị xác định hậu nghiệm xác suất của biến cố sau khi quan sát thực nghiệm một số lớn các phép thử giống nhau qua sự ổn định tần suất: “Nhưng thực ra ở đây, chúng ta còn một con đường khác để có được cái mà chúng ta tìm kiếm. Điều gì không có được ở tiên nghiệm thì tối thiểu cũng phải nhận được ở hậu nghiệm, nghĩa là có thể khai thác nó bằng cách quan sát các kết cục của nhiều ví dụ tương tự;…” (Bernoulli, 1713, tr.42-44, trích theo Coutinho, 2001, tr.39) Như vậy, với “Thuật suy đoán” của Bernoulli, lần đầu tiên việc tính xác suất của một biến cố đã chuyển từ chỗ sử dụng công cụ đại số tổ hợp sang công cụ giải tích. Điều này thực sự có ý nghĩa quan trọng bởi vì từ đây chúng ta có thể áp dụng cách tính xác suất này vào những hiện tượng phức tạp trong tự nhiên như đã nói ở trên. Song song với các nghiên cứu của Nicolas Bernoulli, còn có công trình nghiên cứu của Abraham de Moivre được trình bày trong Học thuyết về cơ hội, công bố vào năm 1718. “Tác phẩm này là một xử lý thuần toán học, đã thực sự vận dụng giải tích vào lý thuyết xác suất”. (trích theo Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.19). Với tác phẩm này, Moivre không những chỉ tu chỉnh định lý của Bernoulli mà còn đưa ra một dạng mà ngày nay ta gọi là định lý giới hạn trung tâm. Hơn nữa, ông còn đưa ra các khái niệm có liên quan như khái niệm hàm sinh, khái niệm độc lập và khái niệm xác suất có điều kiện. Một vấn đề mà Bernoulli chưa làm sáng tỏ được là việc tối ưu hoá số thí nghiệm cần thiết để phỏng đoán xác suất. Moivre và sau này là Laplace đã giải quyết được vấn đề đó. Henry ghi nhận lại kết quả của hai ông như sau: “Định lý Moivre-Laplace cho phép đưa ra một giá trị tương đương với xác suất P(F-e < p < F+e) nên cũng cho phép tính được con số lý tưởng các thí nghiệm cần thực hiện để có độ chính xác e và độ tin cậy 1-a cho trước. Cũng như với độ chính xác 3% và độ tin cậy 95% (a = 5%) thì các điều tra thông thường hiện nay có thể phỏng đoán được xác suất với kích thước mẫu thử vào khoảng 1000”(trích theo Henry, 2004, tr.8) (trích theo Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.19) Liên quan đến cách tiếp cận này, Buffon là một trong những người đầu tiên tiến hành thực nghiệm với việc tung đồng xu nhiều lần. Năm 1812, Pierre Simon Marquis de Laplace công bố Chuyên luận giải tích về xác suất. Với chuyên luận này, Laplace đã chính thức đưa ra định nghĩa đầu tiên về xác suất trong nguyên lý thứ nhất: “Nguyên lý thứ nhất cũng là định nghĩa của xác suất, như đã biết, đó là tỉ số của số trường hợp thuận lợi với số tất cả các trường hợp có thể xảy ra”. (trích theo Thư Hương, 2005, tr.20) Ông còn nhấn mạnh điều kiện sử dụng cho định nghĩa trên: “Lý thuyết về sự ngẫu nhiên dựa trên việc rút gọn tất cả các biến cố cùng loại về một số nào đó các trường hợp đồng khả năng… xác định số các trường hợp thuận lợi cho biến cố mà ta tính xác suất.” (trích theo Thư Hương, 2005, tr.20) Tuy vậy, ông cũng nhận thấy hạn chế của định nghĩa này là không phải lúc nào cũng đưa về các trường hợp đồng khả năng, nên trong nguyên lý thứ hai ông viết: “Nếu chúng không đồng khả năng, trước hết ta phải xác định các khả năng riêng của chúng mà việc ước lượng đúng các khả năng này chính là một trong những điểm khó nhất của lý thuyết ngẫu nhiên. Khi đó, xác suất sẽ là tổng các xác suất của mỗi trường hợp thuận lợi”. (trích theo Thư Hương, 2005, tr.20-21) Định nghĩa trên được trình bày trong cùng cách tiếp cận của Pascal, Fermat, Huygens và Monmort nên còn được gọi là định nghĩa cổ điển của xác suất. Giai đoạn thứ tư (Thế kỷ XX): Vấn đề tiên đề hoá lý thuyết xác suất. Cuối thế kỷ XIX đầu thế kỷ XIX, nhiều thành tựu của công cụ giải tích đã đem lại cho lý thuyết xác suất nhiều màu sắc mới. Trong đó có phép biến đổi Fourier, cho phép thay thế các hàm sinh bởi một hàm số đặc trưng. Đặc biệt là sự phát triển lý thuyết tập hợp số, lý thuyết độ đo, lý thuyết tích phân của Borel và Lebesgue ở đầu thế kỷ XIX đã dẫn đến xu hướng xây dựng lý thuyết xác suất theo phương phương pháp tiên đề của Hilbert. Năm 1933, nhà toán học người Nga Andrei Kolmogorov đã phác thảo một hệ tiên đề làm nền tảng cho lý thuyết xác suất hiện đại. Theo lý thuyết này, W là một tập hợp biểu thị các kết quả của phép thử ngẫu nhiên, trên W định nghĩa một độ đo bị chăn m thoả các tiên đề: Tiên đề 1 Với mọi biến cố A, 0 £ m(A) £ 1 Tiên đề 2 m(W) = 1 Tiên đề 3 Với mọi dãy biến cố đôi một rời nhau A1, A2,…, thì m(A1 È A2 È…) = å m(Ai) Khi đó xác suất của một biến cố trong một phép thử ngẫu nhiên là độ đo m của tập hợp mô tả biến cố đó. Đó là số thực, được ghi là m(A). “Hệ tiên đề này chấp nhận một cách hài hoà các khái niệm về biến ngẫu nhiên và các qui luật (sự chuyển từ W và m trong lĩnh vực số)”. (Trích Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.23) Ý tưởng này đã được chọn lọc lại phần nào và ngày nay lý thuyết xác suất và thống kê đã trở thành một nghành toán được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực: vật lí, cơ học, sinh học, y học kinh tế, địa lý, giáo dục xã hội học,… Các cách định nghĩa khái niệm xác suất: Từ tham khảo lịch sử nảy sinh và phát triển của khái niệm xác suất và các giáo trình Lý thuyết xác suất ở bậc đại học, khái niệm xác suất có thể được tiếp cận theo 4 cách sau: Cách tiếp cận cổ điển: Còn gọi là cách tiếp cận theo Laplace vì ở đây khái niệm xác suất được định nghĩa theo Laplace: “xác suất của một biến cố là tỉ số của số trường hợp thuận lợi với tất cả các trường hợp có thể xảy ra”. Cách tiếp cận này có ưu điểm là đơn giản, trực quan và dễ sử dụng. Điểm hạn chế của cách tiếp cận này chính là ở phạm vi áp dụng của nó. Nó chỉ áp dụng cho một lớp các thí nghiệm có đặc trưng sau: Số các kết cục có thể xảy ra (hay không gian mẫu) là hữu hạn Khả năng xảy ra mỗi kết cục nếu ta tiến hành thí nghiệm là như nhau (tính chất này gọi là tính đồng khả năng hay đồng xác suất). Những thí nghiệm có đặc trưng trên thường là các trò chơi may rủi, hoặc phép lấy ngẫu nhiên không tính toán,… Theo cách tiếp cận này thì việc tính xác suất của một biến cố được đưa về các phép đếm để tính số trường hợp thuận lợi và số trường hợp có thể xảy ra. Vì vậy, đối với cách tiếp cận này Đại số tổ hợp có vai trò chính trong các tính toán xác suất. Cách tiếp cận theo quan điểm thống kê: Theo cách tiếp cận này, tần suất của một biến cố luôn thay đổi nhưng vẫn có tính chất “tương đối ổn định”, nghĩa là tần suất của biến cố luôn dao động quanh một giá trị khi ta thực hiện một số lượng lớn các phép thử. Giá trị này là xác suất của biến cố ấy. Như vậy, xác suất của một biến cố có thể được xem là xấp xĩ với tần suất xuất hiện của biến cố đó nếu phép thử là đủ lớn. Xác suất tính theo quan điểm này còn được gọi là “xác suất khách quan” vì xác suất chỉ được biết sau thực nghiệm. Cách tiếp cận này khắc phục được hạn chế của định nghĩa Laplace về tính đồng khả năng của các kết cục. Ở góc độ toán học và thực tế, cách tiếp cận theo quan điểm thống kê có thể giải quyết được những bài toán tìm xác suất trong các trường hợp mà định nghĩa của Laplace không sử dụng được (ví dụ như tính xác suất để đinh nhũ rơi ngẫu nhiên chạm đất bằng mũi nhọn hay bằng đầu). Nhưng, đứng ở góc độ dạy học, Parzysz cho rằng cách tiếp cận này gây ra những khó khăn sau: Trước hết, nó dựa trên sự “hội tụ” của các tần suất (sự hội tụ theo xác suất) không phải là sự hội tụ thuần tuý theo dãy số mà học sinh thường gặp trong giải tích. Hơn nữa, cách tiếp cận này còn có thể dẫn đến nguy cơ là “học sinh không thực hiện được bước nhảy khái niệm mà lại đồng hoá tần suất với xác suất” (Trích theo Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.26) Cách tiếp cận theo quan điểm hình học: Khắc phục điểm hạn chế của định nghĩa xác số cổ điển về đòi hỏi không gian mẫu hữu hạn đồng thời vẫn giữ giả thiết các kết cục đồng khả năng, người ta đưa ra định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học: Xét một phép thử có vô hạn kết cục đồng khả năng. Giả sử ta có thể biểu diễn tập hợp mọi kết cục này bởi một miền nào G đó (đoạn thẳng, miền phẳng, mảnh mặt cong hay một khối không gian) và những kết cục thuận lợi cho biến cố A xuất hiện bởi một miền hình học con g thuộc G. Khi đó xác suất của biến cố A là tỷ số của kích thước miền g với kích thước miền G. (Trong đó kích thước được hiểu là độ dài, diện tích hay thể tích). Việc xác định các miền biểu diễn và tính diện tích của các miền đó đôi lúc gặp nhiều khó khăn và không phải lúc nào cũng làm được, cách tiếp cận này cũng ít được sử dụng ở bậc đại học. Mặc dù vậy cách tiếp cận theo quan điểm này cũng có ứng dụng trong thực tế. Một số bài toán có thể đưa về dạng này: gọi điện thoại về tổng đài thì bị bận (hai lần gọi gặp nhau), đài quan sát nhận được hai tín hiệu trong khoảng thời gian không phân ly được, công nhân đứng nhiều máy gặp tình trạng hai máy hỏng đồng thời,... Cách tiếp cận theo quan điểm tiên đề: Xác suất được định nghĩa như “một độ đo không âm bị chặn được xác định trên một tập hợp trừu tượng mô hình hoá các kết cục có thể của một phép thử ngẫu nhiên” và thoả mãn một hệ tiên đề. Cách tiếp cận này được xây dựng dựa trên lý thuyết độ đo, đây là lý thuyết toán học cao cấp nên quá khó hiểu đối với học sinh THPT. Vì thế cách này chỉ được cung cấp ở bậc đại học. Từ phân tích trên cho th