Đề tài Lý thuyết độ phức tạp và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BÁO CÁO KHOA HỌC ĐỀ TÀI: LÝ THUYẾT ĐỘ PHỨC TẠP VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Khoa học máy tính Giáo viên hướng dẫn : PGS.TSKH.Vũ Đình Hòa. Sinh viên thực hiện: Lưu Thị Lan Hương Lớp _K54A. Hà Nội , 4/2008. CHƯƠNG MỞ ĐẦU Tên đề tài Lý do chọn đề tài Mục đích, nhiệm vụ của đề tài CHƯƠNG I. TỔNG QUAN VỀ THUẬT TOÁN Định nghĩa thuật toán Các đặc trưng của thuật toán Phân tích thuật toán và đánh giá thời gian thực hiện thuật toán Phân tích thuật toán Tại sao lại cần có thuật toán hiệu quả Các bước phân tích thuật toán Tính hiệu quả của thuật toán Đánh giá thời gian thực hiện thuật toán Các vấn đề liên quan đến thuật toán Thiết kế thuật toán Tính đúng đắn của thuật toán Biểu diễn thuật toán CHƯƠNG II. LÝ THUYẾT ĐỘ PHỨC TẠP 2.1 Máy tính Turing tất định 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Cấu tạo 2.1.3 Hoạt động 2.2 Máy tính Turing không tất định 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Cấu tạo 2.1.3 Hoạt động 2.3 Các bài toán quyết định 2.4 Các bài toán lớp P, NP và mối quan hệ giữa lớp P và lớp NP 2.4.1 Các bài toán lớp P 2.4.2 Các bài toán lớp NP 2.4.3 Mối quan hệ giữa lớp P và lớp NP 2.5 Bài toán lớp NPC 2.5.1 Phép dẫn với thời gian đa thức 2.5.2 Bài toán lớp NPC 2.5.3 Mối quan hệ giữa các bài toán lớp P, NP và NPC 2.5.4 Một số bài toán NPC 2.5.4.1 Bài toán SAT 2.5.4.2 Bài toán 3-CNF-SAT 2.5.4.3 Bài toán Vertex-Cover 2.5.4.4 Bài toán Clique 2.5.4.5 Bài toán Subset-Sum 2.5.4.6 Bài toán Knapsack 2.5.4.7 Bài toán Hamilton Cycle 2.5.4.8 Bài toán Traveling Salesman CHƯƠNG III. MẬT Mà VÀ MẬT Mà KHOÁ CÔNG KHAI RSA I. Mật mã 1. Định nghĩa về mật mã và hệ mật mã 1.1 Một số khái niệm trong mật mã 1.2 Định nghĩa về hệ mật mã 2.Một số yêu cầu đối với hệ mật mã II. Mật mã khoá công khai RSA 1. Đặt vấn đề 2. Giải thuật RSA 2.1 Chọn khoá 2.2 Mã hoá 2.3 Giải mã 2.4 Ví dụ minh hoạ 3. Ðộ an toàn của hệ RSA 4. Ứng dụng của hệ mật mã RSA 5. Chữ ký điện tử 5.1 Giới thiệu về chữ ký điện tử và vấn đề xác nhận 5.2 Sơ đồ chữ ký RSA 5.3 Tấn công chữ ký điện tử CHƯƠNG IV. DEMO VỚI RSA CHƯƠNG MỞ ĐẦU 1.Tên đề tài: LÝ THUYẾT ĐỘ PHỨC TẠP VÀ ỨNG DỤNG 2.Lý do chọn đề tài Trong mọi thời đại thông tin đều có ý nghĩa không thể thiếu đối với con người cùng với các hoạt động kinh tế, chính trị và xã hội. Đặc biệt ở thế kỷ 21, thế kỷ công nghệ thông tin, thông tin được khai thác triệt để, nó đóng vai trò ngày càng quan trọng hơn đối với mọi quốc gia trên thế giới. Do đó chúng ta phải làm sao bảo đảm được tính trong suốt của thông tin nghĩa là thông tin không bị thay đổi , sai lệch, lộ trong suốt quá trình chuyển từ nơi gửi đến nơi nhận Ngày nay với sự xuất hiện của máy tính hiện đại và mạng máy tính đang trở thành công cụ đắc lực phục vụ cho mọi mặt của đời sống xã hội. Lý thuyết độ phức tạp là vấn đề trung tâm đang được nghiên cứu của ngành khoa học máy tính. Việc nghiên cứu lý thuyết độ phức tạp và ứng dụng của nó vừa là cơ sở động lực cho khoa học máy tính phát triển, vừa góp phần hiệu quả vào việc giải quyết các bài toán trong thực tế. Ngoài những yêu cầu do thực tế và xã hội đặt ra, việc lựa chọn đề tài còn xuất phát từ việc yêu thích môn học chuyên đề lý thuyết độ phức tạp của thuật toán nói riêng và của khoa học máy tính nói chung 3. Mục đích, nhiệm vụ của đề tài * Mục đích: - Tìm hiểu sâu về lý thuyết độ phức tạp và mật mã khoá công khai RSA - Xây dựng chương trình ứng dụng áp dụng lý thuyết độ phức tạp có ý nghĩa thực tiễn * Nhiệm vụ: - Đưa ra một báo cáo tìm hiểu về lý thuyết độ phức tạp và mật mã khoá công khai RSA - Xây dựng được chương trình áp dụng lý thuyết độ phức tạp có ý nghĩa thực tiễn CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ THUẬT TOÁN 1. Định nghĩa thuật toán Ta có thể định nghĩa (không chính thức) về thuật toán như sau: Thuật toán là một dãy hữu hạn các bước, mỗi bước mô tả chính xác các phép toán, hoặc hành động cần thực hiện… để cho ta lời giải của bài toán 1.2 Các đặc trưng của thuật toán 1.2.1 Đầu vào (Input) Đầu vào của thuật toán chính là các giá trị cần đưa vào khi thuật toán bắt đầu làm việc. Các giá trị này cần được lấy từ các tập hợp giá trị cụ thể nào đó. 1.2.2 Đầu ra (Output) Mỗi thuật toán có một hoặc nhiều dữ liệu ra. Đó là các dữ liệu có quan hệ hoàn toàn xác định với các dữ liệu vào, và là kết quả của sự thực hiện thuật toán. 1.2.3 Tính xác định Ở mỗi bước, các thao tác phải rõ ràng, không gây nên sự nhập nhằng. Nói rõ hơn là trong cùng một điều kiện, hai bộ xử lí cùng thực hiện một thuật toán phải cho cùng một kết quả như nhau. 1.2.4 Tính khả thi Tất cả các phép toán có mặt trong thuật toán phải đủ đơn giản. Điều đó có nghĩa là, các phép toán có thể được thực hiện trực tiếp (bằng giấy và but). 1.2.5 Tính dừng Với mọi bộ dữ liệu đầu vào(lấy từ các tập của dữ liệu vào), thuật toán phải dừng sau một số hữu hạn bước thực hiên. 1.2.6 Tính đơn trị (uniqueness) Các giá trị trung gian của thuật toán trong từng bước và kết quả thực hiện thuật toán được xác định một cách đơn trị và chỉ phụ thuộc vào đầu vào và kết quả của các bước trước. 1.2.7 Tính tổng quát (generality)-Tính phổ dụng Với mọi tập đầu vào thuộc dạng của bài toán thuật toán đều có thể giải được. Tức là thuật toán phải dùng để giải được một lớp các bài toán cùng loại. Phân tích thuật toán và đánh giá thời gian thực hiện thuật toán 1.3.1 Phân tích thuật toán Phân tích thuật toán là quá trình tìm ra những đánh giá về thời gian tính và dung lượng bộ nhớ cần thiết để thực hiện thuật toán Hầu hết các bài toán đều có rất nhiều thuật toán khác nhau để giải quyết chúng và nhiệm vụ của chúng ta là phải tìm ra thuật toán tốt nhất để thực hiện bài toán đã đặt ra Þ Muốn làm được điều đó thì ta cần tiến hành phân tích thuật toán rồi so sánh các thuật toán với nhau 1.3.2 Tại sao lại cần có thuật toán hiệu quả? Kỹ thuật máy tính ngày càng tiến bộ rất nhanh, các máy tính lớn có thể đạt hàng trăm triệu phép toán mỗi giây. Tuy nhiên có những thuật toán mà độ phức tạp về thời gian là rất lớn mà các máy tính hiện đại nhất cũng tốn rất nhiều thời gian. Khi đó thì việc phân tích thuật toán để tìm ra những thuật toán hiệu quả là rất cần thiết. Ví dụ bài toán tháp Hà Nội, nếu sử dụng giải thuật đệ quy để chuyển 64 đĩa thảo mãn yêu cầu bài toán thì cần khoảng 500 tỉ năm (giả sử mỗi lần chuyển 1 đĩa hết 1 giây 1.3.3 Phân tích hiệu quả thực hiện của thuật toán Khi phân tích hiệu quả của thuật toán người ta quan tâm đến hai yếu tố: - Độ phức tạp về thời gian: Là số bước tính toán hay số phép toán (phép toán sơ cấp) cần để thực hiện thuật toán - Độ phức tạp không gian: Là yêu cầu về bộ nhớ lưu trữ cần có để thuật toán có thể thực hiện được. Yếu tố này chủ yếu phụ thuộc vào cấu trúc dữ liệu được sử dụng Ngoài ra khi lựa chọn thuật toán người ta còn căn cứ vào tính đơn giản, dễ hiểu, dễ cài đặt của thuật toán. 1.3.4 Phân tích thời gian thực hiện thuật toán Thời gian thực hiện một giải thuật (hay chương trình thể hiện giải thuật đó) phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố: - Kích thước của dữ liệu đưa vào - Các kiểu lệnh và tốc độ xử lý của máy tính, ngôn ngữ viết chương trình và chương trình dịch ngôn ngữ ấy Nhưng những yếu tố này không đồng đều với mọi loại máy trên đó cài đặt giải thuật, vì vậy không thể dựa vào chúng khi xác lập T(n). 1.3.4.1 Độ phức tạp về thời gian của giải thuật Nếu thời gian thực hiện một giải thuật là T(n) = cn2 (với c là hằng số) thì ta nói: Độ phức tạp về thời gian của giải thuật này có cấp là n2 (hay cấp độ lớn của thời gian thực hiện giải thuật là n2) và ta ký hiệu T(n) = O(n2) (ký hiệu chữ O lớn) Một cách tổng quát có thể định nghĩa: Một hàm f(n) được xác định là O(g(n)) f(n) = O(g(n)) và được gọi là cấp g(n) nếu tồn tại các hằng số c và n0 sao cho: f(n) ≤ cg(n) khi n ³ n0 nghĩa là f(n) bị chặn trên bởi một hằng số nhân với g(n), với mọi giá trị của n từ một điểm nào đó. Thông thường các hàm thể hiện độ phức tạp về thời gian của giải thuật có dạng: log2n, n, nlog2n, n2,n3, 2n, n!, nn log2n n nlog2n n2 n3 2n 0 1 0 1 1 2 1 2 2 4 8 4 2 4 8 16 64 16 3 8 24 64 512 256 4 16 64 256 4096 65536 5 32 160 1024 32768 2147483648 Các hàm như 2n, n!, nn được gọi là hàm loại mũ. Một giải thuật mà thời gian thực hiện của nó có cấp là các hàm loại mũ thì tốc độ rất chậm. Các hàm như log2n, n, nlog2n, n2,n3 được gọi là các hàm loại đa thức. Giải thuật với thời gian thực hiện có cấp hàm đa thức thì thường chấp nhận được. 1.3.4.2 Xác định độ phức tạp về thời gian * Quy tắc tổng: Giả sử T1(n) và T2(n) là thời gian thực hiện hai đoạn chương trình P1 và P2 mà T1(n) = O(f(n)); T2(n) = O(g(n)) thì thời gian thực hiện P1 và P2 kế tiếp nhau sẽ là: T1(n) + T2(n) = O(max(f(n),g(n))) Ví dụ: Trong một chương trình có 3 bước thực hiện mà thời gian thực hiện từng bước lần lượt là O(n2), O(n3) và O(nlog2n) thì thời gian thực hiện 2 bước đầu là O(max(n2, n3)) = O(n3). Thời gian thực hiện chương trình sẽ là O(max(n3, nlog2n)) = O(n3). Một ứng dụng khác của quy tắc này là nếu g(n) ≤ f(n) với mọi n ³ n0 thì O(f(n) + g(n)) cũng là O(f(n)). Chẳng hạn: O(n4 + n2) = O(n4) và O(n+log2n) = O(n). * Quy tắc nhân: Nếu tương ứng với P1 và P2 là T1(n) = O(f(n)), T2(n) = O(g(n)) thì thời gian thực hiện P1 và P2 lồng nhau sẽ là: T1(n)T2(n) = O(f(n)g(n)) Ví dụ: Câu lệnh gán: x:=x+1 có thời gian thực hiện bằng c (hằng số) nên được đánh giá là O(1). Câu lệnh for i:=1 to n do x:=x+1; có thời gian thực hiện O(n.1) = O(n) Câu lệnh: for i:=1 to n do for j:=1 to n do x:=x+1; có thời gian được đánh giá là O(n.n) = O(n2) Cũng có thể thấy O(cf(n)) = O(f(n)). Ví dụ O(n2/2) = O(n2) 1.4 Các vấn đề liên quan đến thuật toán 1.4.1 Thiết kế thuật toán Có một số kỹ thuật thiết kế thuật toán chung như: - Chia để trị (divide and conque) - Phương pháp tham lam (greedy method) - Phương pháp quy hoạch động (dynamic programing) Nắm được các kỹ thuật thiết kế thuật toán là rất quan trọng giúp tìm ra các thuật toán mới cho các bài toán mới. 1.4.2 Tính đúng đắn của thuật toán Khi đưa ra một thuật toán ta phải chứng minh được thuật toán đó khi thực hiện sẽ cho kết quả đúng với mọi bộ dữ liệu vào hợp lệ. 1.4.3 Biểu diễn thuật toán Có nhiều phương pháp biểu diễn thuật toán. Có thể biểu diễn thuật toán bằng cách liệt kê từng bước, bằng ngôn ngữ tự nhiên, bằng sơ đồ khối… Tuy nhiên để đảm bảo tính chính xác của thuật toán thì để biểu diễn thuật toán người ta thường dùng các cách sau: Liệt kê từng bước, dùng sơ đồ khối, dùng ngôn ngữ lập trình(thường là giả mã lệnh) CHƯƠNG II LÝ THUYẾT ĐỘ PHỨC TẠP Máy tính Turing Máy tính Turing là một máy tính toán trừu tượng, vừa có khả năng của máy tính thực sự, vừa cho phép định nghĩa về mặt toán học về những gì có thể tính toán được 2.1 Máy tính Turing tất định 2.1.1 Định nghĩa Máy Turing tất định là một bộ M = (S, A , d1, d2, d3 , q0, ‚, qr) trong đó S: Là bảng chữ cái A: Tập hữu hạn trạng thái bên trong d1: Là hàm kí tự d1: (S È {‚}) ´ A ® (S È {‚}) d2: Là hàm dịch chuyển d2: (S È {‚}) ´ A ® {-1,0,1} d2: Là hàm trạng thái d3: (S È {‚}) ´ A ® A q0: Trạng thái ban đầu (q0 Î A) qr: Trạng thái kết thúc (qr Î A) ‚: Ký tự rỗng 2.1.2 Cấu tạo Máy tính Turing tất định là một máy trừu tượng bao gồm: - Một bảng chữ cái S - Băng vô hạn có thể mở rộng về một phía hoặc cả hai phía. Trên băng được chia thành các ô chứa một kí hiệu lấy từ bảng chữ cái S - Một tập trạng thái bên trong A - Một đầu đọc ghi luôn đặt vào một ô trên băng và ta nói đầu đọc ghi đang nhìn ô đó. Đầu đọc ghi này có thể di chuyển mỗi lần một ô (về cả hai phía trên băng). Tại một ô có thể đọc hay ghi một kí tự vào ô đó - Một bộ điều khiển có thể ở bất kì trạng thái nào trong một tập hữu hạn trạng thái, trong đó có một trạng thái ban đầu và một trạng thái kết thúc 0 1 0 1 1 0 Tập trạng thái bên trong Máy Turing tất định 1.2.3 Hoạt động - Đầu đọc ghi đọc kí tự trên ô của băng, phụ thuộc vào trạng thái bên trong mà đầu đọc viết một kí tự thuộc (S È ‚) lên ô - Đầu đọc ghi dịch chuyển một ô sang phải, sang trái hoặc là đứng yên tại chỗ - Trạng thái bên trong được được thay đổi tuỳ thuộc vào kí hiệu được đọc và trạng thái ban đầu Điều đáng ngạc nhiên là máy Turing làm được tất cả những việc mà các máy tính khác làm được Máy tính Turing có thể có nhiều băng nhưng nó không làm được gì nhiều hơn máy tính Turing một băng (tương đương với máy tính một băng) 2.2 Máy tính Turing không tất định 2.1.1 Định nghĩa Máy Turing không tất định là một bộ M = (S, A , d1, d2, d3 , q0, ‚, qr) trong đó S: Là bảng chữ cái A: Tập hữu hạn trạng thái bên trong d1: Là hàm kí tự d1: (S È {‚}) ´ A ® (S È {‚}) d2: Là hàm dịch chuyển d2: (S È {‚}) ´ A ® {-1,0,1} d2: Là hàm trạng thái d3: (S È {‚}) ´ A ® A q0: Trạng thái ban đầu (q0 Î A) qr: Trạng thái kết thúc (qr Î A) ‚: Ký tự rỗng 2.1.2 Cấu tạo Máy tính Turing tất định là một máy trừu tượng bao gồm: - Một bảng chữ cái S - Băng vô hạn có thể mở rộng về một phía hoặc cả hai phía. Trên băng được chia thành các ô chứa một kí hiệu lấy từ bảng chữ cái S - Một tập trạng thái bên trong A - Một đầu đọc ghi luôn đặt vào một ô trên băng và ta nói đầu đọc ghi đang nhìn ô đó. Đầu đọc ghi này có thể di chuyển mỗi lần một ô (về cả hai phía trên băng). Tại một ô có thể đọc hay ghi một kí tự vào ô đó - Một bộ xử lý phỏng đoán song song 0 1 1 0 1 0 Tập trạng thái bên trong 1 Đầu đọc ghi Bộ phận phỏng đoán Máy tính Turing không tất định 2.1.3 Hoạt động - Đầu đọc ghi đọc kí hiệu nhận được trên băng, viết kí tự mốc dịch chuyển, đổi trạng thái như máy Turing tất định - Bộ phỏng đoán xử lý song song giúp máy xử lý dữ liệu một cách song song. Do đó máy Turing không tất định có thể xử lý đồng thời các phỏng đoán. - Giả sử máy làm việc với một input x Î S được đặt vào các ô từ 1 đến çxçcủa băng. Giai đoạn phỏng đoán được thực hiện trên phần băng bên trái của dữ liệu vào trước khi quá trình tính toán bắt đầu và được thực hiện bởi cơ chế phỏng đoán và đầu phỏng đoán. Quá trình này cho phép viết lên các ô bên trái mỗi ô một kí hiệu nào đó cho đến khi dừng lại ta có một từ trên phía trái của phần băng chứa input (gọi là từ được dự đoán ), và giai đoạn phỏng đoán hoàn thành Máy bắt đầu hoạt động như một máy tính Turing tất định thông thường. Yếu tố không tất định ở chỗ trong giai đoạn phỏng đoán việc biết kí tự vào các ô bên trái của dữ liệu vào là không xác định, tức là có thể viết theo nhiều khả năng khác nhau, xuất phát từ một dữ kiện ban đầu, máy tính Turing không tất định có nhiều quá trình tính toán có thể khác nhau do từ được dự đoán có nhiều khả năng khác nhau Sự khác nhau của máy tính Turing tất định và máy tính Turing không tất định 2.3 Các bài toán quyết định * Định nghĩa bài toán quyết định Bài toán quyết định là bài toán mà câu trả lời của nó chỉ là “yes” hoặc “no” (tương ứng với true/1 hay false/0) Về nguyên tắc mọi bài toán đều có thể biểu diễn lại dưới dạng bài toán quyết định tương ứng *Ví dụ về bài toán quyết định Ví dụ 1: Bài toán kiểm tra số nguyên tố Instance: Cho một số nguyên tố n>2 Question: n có phải là số nguyên tố hay không? Ví dụ 2: Bài toán HC (Hamilton cycle) Instance: Cho đồ thị vô hướng G = (V,E) Question: Hỏi đồ thị vô hướng G = (V,E) có chu trình Hamilton hay không? 2.4 Lớp P, NP và mối quan hệ giữa lớp P và lớp NP 2.4.1 Lớp P * Định nghĩa: Lớp P là lớp những bài toán giải quyết được bằng máy tính Turing tất định trong thời gian đa thức * Ví dụ: Thuật toán Ơclide tìm UCLN của hai số là thuật toán giải được trong thời gian đa thức. Do đó bài toán tìm UCLN của hai số m và n thuộc lớp P 2.4.2 Lớp NP * Định nghĩa: Lớp NP là lớp các bài toán có thể giải được bằng máy Turing không tất định trong khoảng thời gian đa thức * Ví dụ: Bài toán chu trình Hamilton Instance: Cho đồ thị vô hướng G = (V,E) Question: Hỏi đồ thị vô hướng G = (V,E) có chu trình Hamilton hay không? 2.4.3 Mối quan hệ giữa lớp P và lớp NP NP P Mối quan hệ giữa lớp P và NP 2.5 Bài toán lớp NPC 2.5.1 Phép dẫn với thời gian đa thức * Định nghĩa: Cho n P1 và P2 là hai bài toán quyết định Py là lớp các Instance ứng với YES Py là lớp các Instance ứng với NO Một cách biến đổi f biến mỗi Instance của P1 thành Instance của P2 được gọi là phép dẫn thời gian đa thức nếu nó thoả mãn: - Phép dẫn f thực hiện được trong thời gian đa thức bởi máy tính Turing - Mỗi dữ kiện thuộc P1(y) thành dữ kiện thuộc P2(y) - Mỗi dữ kiện thuộc P1(n) thành dữ kiện thuộc P2(n) f f(x) dữ kiện P2 thuật toán P2 thuật toán P1 Yes/NO dữ kiện P1 Hình : Minh hoạ một phép dẫn bài toán P1 thành P2 trong thời gian đa thức 2.5.2 Bài toán lớp NPC *Định nghĩa: Một bài toán thuộc lớp NP mà mọi bài toán thuộc lớp NP khác đều dẫn được về nó với thời gian đa thức được gọi là bài toán NPC * Tính chất: Một bài toán P là NPC nếu nó thoả mãn: 1, P Î NP 2, Với " P’ Î NP thì P’ dẫn được về P với thời gian đa thức Như vậy để chứng minh một bài toán là NPC ta cần chứng minh hai điều: 1, Bài toán đó phải thuộc lớp NP 2, Mọi bài toán thuộc lớp NP đều dẫn được về bài toán đó với thời gian đa thức 2.5.3 Mối quan hệ giữa các bài toán lớp P, NP và NPC Mối quan hệ giữa P, NP và NPC được biểu diễn như hình sau: NPC P NP Mối quan hệ giữa lớp P, NP và NPC 2.5.4 Một số bài toán NPC 2.5.4.1 Bài toán SAT Bài toán SAT được phát biểu dưới dạng quyết định như sau: - Instance: Cho biểu thức Boolean f(x1,…,xn) - Question: Cho biết f có thỏa được hay không? Định lý Cook: Bài toán SAT là NPC 2.5.4.2 Bài toán 3-CNF-SAT Bài toán 3-CNF-SAT được phát biểu dưới dạng bài toán quyết định như sau: - Instance: C = {C1, C2,…,Cm} là các biểu thức logic độ dài 3 - Question: $ bảng chân lý để tất cả các Ci đều đúng 2.5.4.3 Bài toán Vertex-Cover Instance: Cho đồ thị G =(V,E) và số kÎN* thoả mãn k £ çVç Question: Tồn tại hay không một tập con V’ của V sao cho çV’ç<k và mỗi cạnh {u,e} Î E thì một trong 2 đỉnh u hoặc e (hoặc cả đỉnh u và e ) phải thuộc V’ 2.5.4.4 Bài toán Clique Instance: Cho đồ thị G = (V,E) và số kÎN* thoả mãn k £ çVç Question: Tồn tại hay không một tập con V’ của V sao cho çV’ç³ k mà mọi cặp đỉnh trong V’ đều được nối bởi 1 cạnh trong E 2.5.4.5 Bài toán Subset-Sum Bài toán tổng hợp con (Subset-Sum) cho một tập hữu hạn S Ì N và một đích t Î N. Hỏi có một tập con S’ Í S mà tổng các thành phần của nó có bằng giá trị t đã cho hay không? Chẳng hạn như S = {1,4,16,64,256,1040,1041,1093,1284,1334,1500} và t = 3754 thì tập con S’ = {1,16,64,256,1040,1093,1284} là một nghiệm Bài toán Subset-Sub được phát biểu dưới dạng bài toán quyết định như sau: Instance: Cho tập hợp S = {s1,s2,…,sn} trong đó Si Î N, N là một số nguyên dương; t là một số nguyên Question: Tồn tại hay không một tập con của S mà tổng các phần tử của nó bằng t 2.5.4.6 Bài toán Knapsack Cho S là một tập gồm n đối tượng phân biệt, mỗi đối tượng i có kích thước là một số nguyên si và giá trị tương ứng là wi. Với 2 số nguyên là s và w cho trước, câu hỏi đặt ra là có tồn tại tập hợp T Í S sao cho si £ s và wi ³ w Bài toán Knapsack được phát biểu dưới dạng bài toán quyết định như sau: Instance: Cho tập S = {(si,wi),…,(sn,wn)} với si Î Z, wi Î R+ Question: Có tồn tại T Í S sao cho si £ s và wi ³ w 2.5.4.7 Bài toán Hamilton Cycle Bài toán chu trình Hamilton là bài toán đi xác định xem với một đồ thị G = (V,E) cho trước có chứa một chu trình Hamilton(chu trình đơn chứa mọi đỉnh của G). Bài toán được phát biểu dưới dạng bài toán quyết định như sau: Instance: Cho đồ thị G = (V,E) Question: G có chứa một chu trình đơn đi quan mọi đỉnh hay không? 2.8.4.8 Bài toán Traveling Salesman Bài toán Traveling Salesman được phát biểu dưới dạng bài toán đồ thị là:  Cho đồ thị G cùng tham số k nguyên, mỗi cạnh e của G có một trọng số nguyên c(e). Câu hỏi đặt ra là có tồn tại một chu trình thăm tất cả các đỉnh của G (mỗi đỉnh đúng một lần) mà tổng trọng số các cạnh đã đi qua không vượt quá k không? Bài toán được phát biểu dưới dạng bài toán quyết định như sau: Instanc