Đề tài Một số ứng dụng của phương pháp toạ độ trong việc giải toán ở trường trung học phổ thông

TR¦êng ®¹i häc hïng v−¬ng Khoa khoa häc tù nhiªn Mét sè øng dông cña ph−¬ng ph¸p to¹ ®é trong viÖc gi¶I to¸n ë tr−êng thpt Ng−êi h−íng dÉn: Ths. Nguyễn Chí Thanh Ng−êi thùc hiÖn : Nguyễn Phương Thảo Líp K4 §HSP To¸n Phó Thä, Th¸ng 06 n¨m 2009 2 2 MỤC LỤC Lời nói ñầu………………………………………………………………. .3 Mục lục…………………………………………………………………… 4 Chương I: C¸c kiÕn thøc chuÈn bÞ .......................................................... 6 Chư¬ng II: Một số lớp bài to¸n giải bằng phương pháp toạ ñộ 2.1. C¸c bµi to¸n tÝnh to¸n ...................................................................... 15 2.2. C¸c bµi to¸n gi¶i ph−¬ng tr×nh, hÖ ph−¬ng tr×nh.............................. 18 2.3. C¸c bµi to¸n gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh, hÖ bÊt ph−¬ng tr×nh.................. 20 2.4. C¸c bµi to¸n chøng minh bÊt ®¼ng thøc ........................................... 22 2.5. C¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ .................................................................... 23 2.6. C¸c bµi to¸n t×m quü tÝch ................................................................. 26 2.7. C¸c bµi to¸n dùng h×nh..................................................................... 28 Chương III: Một số bài toán vận dụng ................................................... 30 Kết luận ...................................................................................................... 51 Tài liệu tham khảo……………………………………………………….52 3 3 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn ñề tài Hình học giải tích là môn học cơ bản của chương trình toán phổ thông cũng như ở ñại học, nó là cơ sở ñể học tốt các môn toán khác. Chính vì vậy, việc hiểu và nắm vững môn học này là rất cần thiết. Hình học giải tích ñược sáng lập ra ñồng thời do hai nhà bác học người Pháp là Descartes(1596- 16500 và Ferma(1601-1655). Đặc trưng của môn học này là dùng phương pháp tọa ñộ ñể giải các bài toán hình học. Phổ biến ở nước ta từ những năm 90 của thế kỉ XX, phương pháp tọa ñộ ñã chứng tỏ ưu ñiểm của mình. Phương pháp này không chỉ dùng ñể giải các bài toán hình trong mặt phẳng hay trong không gian 3 chiều mà còn giải ñược các bài toán trong không gian n chiều với hình dạng phức tạp mà việc vẽ hình ñể giải toán là ñiều không thể. Gần ñây, trong nhiều kì thi tuyển sinh ñại học, thi học sinh giỏi hay trên các tạp chí toán học có nhiều bài toán không liên quan tới hình học nhưng ñược giải bằng phương pháp tọa ñộ. Đó là các bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình. Hoặc ñó là các bài toán chứng minh bất ñẳng thức hay tìm cực trị. Điều ñó ñã gợi cho chúng tôi ñề xuất ñề tài: “Một số ứng dụng của phương pháp tọa ñộ trong việc giải toán ở trường THPT”. Qua việc nghiên cứu nội dung này, chúng tôi ñã có ñiều kiện củng cố lại kiến thức ñã học, bổ sung thêm nhiều ñiều bổ ích. 4 4 O i j x x y y M(x, y) Chương 1: C¸c kiÕn thøc chuÈn bÞ 1. Các khái niệm cơ bản. 1.1. Khái niệm hệ trục tọa ñộ trong mặt phẳng Hệ tọa ñộ afin (O; i
, j
) có cơ sở ( ,i j

) gồm hai vectơ ñơn vị vuông góc với nhau ñược gọi là hệ tọa ñộ trực chuẩn ( hay còn gọi là hệ tọa ñộ Descartes vuông gãc). KÝ hiÖu: Oxy (hình 1.1). 1.2. Tọa ñộ vectơ- Tọa ñộ ñiểm Đối với hệ trục tọa ñộ (O; i
, j
), nếu vectơ a
ñược Hình 1.1 viết dưới dạng: a 
= xi y j+

thì cặp số (x, y) ñược gọi là tọa ñộ của vectơ a
. Kí hiệu: a 
=(x, y). Trong mặt phẳng Oxy, tọa ñộ của vectơ OM 
ñược gọi là tọa ñộ của ñiểm M. Kí hiệu: M(x, y) ⇔ OM xi y j= +


. 1.3. Phép tính vectơ: Trong mặt phẳng cho các véctơ: 1 2( , )a a a= 
; 1 2( , )b b b=
vµ c¸c ®iÓm A(xA, yA); B(xB, yB) Ta có: • a 
= b
⇔ 1 1 2 2 a b a b    = = • a 
+b
= (a1+ b1, a2+ b2) • ( )1 1 2 2,a b a b a b− = − −

• k 1 2( , )a ka ka= 
• a 
= 2 2 1 2a a+ • AB= ( ) ( )22 y yx xB A B A− + − • 1 2 2 1a b a b a b⇔ =

 . • 1 1 2 2 0a b a b a b⊥ ⇔ + =

. 5 5 • Nếu a 
, b
khác 0
thì: cos( ,a b

) = 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2. a b a b a a b b + + + . 1.4. Các công thức liên quan
§iÓm M( ,x yM M )chia ñoạn AB theo tỉ số k ≠ -1⇔ MA kMB= 

⇔ 1 1 x k x BAxM k y k y BAy M k        − = − − = −
§iÓm I (x1 , y1) là trung ñiểm của ñoạn thẳng AB 1 2 1 2 x xBAx y yBAy        + = ⇔ + =
§iÓm M là trọng tâm cña ∆ ABC ⇔ 3 3 x x xBA CxM y y yBA Cy M        + + = + + =
Phương trình ñường thẳng: Ax + By+ C =0 (1), A2 + B2 ≠ 0. §ường thẳng cho bởi (1) có vect¬ ph¸p tuyÕn n
= ( A, B); vect¬ chØ ph−¬ng u 
(-B, A).
Đường thẳng ñi qua ñiểm M ( 0 0,x y ) và có vectơ pháp tuyến n 
=( A, B) có phương trình là: A(x- x0 ) + B( y- y0) =0.
Phương trình tham số của ñ−êng thẳng ñi qua ñiểm M ( 0 0,x y ) và có vect¬ chØ ph−¬ng u 
( a, b) là: 0 0 x x a t y y b t    = + = +
Phương trình chính tắc của ñường thẳng ñi qua ñiểm M ( 0 0,x y ) và cã vectơ chỉ phương u 
( a, b) là: 0 0x x y y a b − − = .
Phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm M ( 0 0,x y ) và có hệ số góc k cho trước: y = k(x- x0) + y0. 6 6 a a' n n' O x y z M i k j M'
Phương trình ñường thẳng ñi qua A( a, 0) và B(0, b) có phương trình: 1x y a b+ = . (cßn gäi lµ ph−¬ng tr×nh ®o¹n ch¾n)
Cho chùm ñường thẳng xác ñịnh bởi hai ñường thẳng c¾t nhau: (d1): 1 1 1 0A x B y C+ + = và ñường thẳng (d2): 2 2 2 0A x B y C+ + = . Khi ñó mọi ñường thẳng của chùm có phương trình d¹ng: ( )1 1 1 2 2 2( ) 0A x B y C A x B y Cα β+ + + + + = với 2 2 0α β+ ≠ .
Kho¶ng c¸ch tõ mét ®iÓm ®Õn mét ®−êng th¼ng Trong hÖ to¹ ®é trùc chuÈn cho ®−êng th¼ng (d1) cã ph−¬ng tr×nh: Ax + By +C = 0 vµ mét ®iÓm M( 0 0,x y ). Kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn ®−êng th¼ng (d1) ®−îc tÝnh theo c«ng thøc: d(M, d1)= 0 0 2 2 Ax By C A B + + + .
Gãc gi÷a hai ®−êng th¼ng Trong hÖ to¹ ®é trùc chuÈn cho ®−êng th¼ng (a) cã ph−¬ng tr×nh: Ax + By +C = 0 vµ (a’) cã ph−¬ng tr×nh: A’x + B’y +C’ = 0. Khi ®ã: gãc α gi÷a hai ®−êng th¼ng (a) vµ (a’) ®−îc tÝnh theo c«ng thøc: cosα = 2 2 2 2 ' ' . ' ' AA BB A B A B + + + . Hình 1.2 Nh− vËy: 2 ®−êng th¼ng (a) vµ (a’) vu«ng gãc víi nhau ' ' 0AA BB⇔ + = .
§−êng trßn cã t©m I( a, b); b¸n kÝnh R > 0 cã ph−¬ng tr×nh lµ: (x- a) 2 + (y- b) 2= R2. 1.5. Khái niệm hệ trục tọa ñộ trong không gian Cho 3 trôc täa ®é Ox, Oy, Oz ñôi một vuông góc víi nhau vµ chung mét ®iÓm gèc O. Gäi i
, j
, k
lµ c¸c vect¬ ®¬n vÞ t−¬ng øng trªn c¸c trôc Ox, Oy, Oz. HÖ 3 trôc nh− vËy gäi lµ hÖ täa ®é Descartes vu«ng gãc Oxyz, hay (O; , ,i j k


). 1.6. Tọa ñộ vectơ - Tọa ñộ ñiểm Hình 1 .3 7 7 + Đối với hệ trục tọa ñộ (O; i
, ,j k

),nếu vectơ a 
ñược viết dưới dạng: a 
= xi y j zk+ + 


thì cặp số (x, y, z) ñược gọi là tọa ñộ của vectơ a
, kí hiệu: a 
=(x, y, z). + Trong không gian Oxyz, tọa ñộ của vectơ OM 
ñược gọi là tọa ñộ của ñiểm M. Kí hiệu: M(x, y, z) ⇔ OM xi y j zk= + + 



. 1.7. Phép tính vectơ: Trong không gian cho các véctơ: 1 2 3( , , )a a a a= 
; 1 2 3( , , )b b b b=
và các ñiểm 1M ( 1 1 1, ,x y z ); 2M ( 2 2 2, ,x y z ). Ta có:  a 
+b
= ( 1 1 2 2 3 3, ,a b a b a b+ + + ).  ( )1 1 2 2 3 3, ,a b a b a b a b− = − − −

.  k 1 2 3( , , a )a ka ka k= 
.  ( )1 2 2 1 2 1 2 1, ,M M x x y y z z= − − − 
.
Khoảng cách d giữa hai ñiểm ( )1 1 1 1, ,M x y z và ( )2 2 2 2, ,M x y z là ñộ dài của vectơ 1 2M M 
, ñược xác ñịnh bởi: d = ( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 1 2 1x x y y z z− + − + − .
Điểm M(x, y, z) chia ñoạn thẳng M1M2 theo tỉ số k: 1 2MM kMM= 

ñược xác ñịnh bởi công thức: 1 2 1 2 1 2 1 1 1 x kx x k y kyy k z kz z k          − = − − = − − = − • Đặc biệt: Nếu k= -1 thì M là trung ñiểm của ñoạn thẳng M1M2. Khi ñó tọa ñộ của ñiểm M là: ( , , )2 2 2 x x y y z zB B BA A AM + + + . 8 8 A B C D A B C A B CD A' B' C'D'
NÕu ( )1 1 1, ,u x y z= 
; ( )2 2 2, ,v x y z=
th×: 1 2 1 2 1 2.u v x x y y z z= + +

. • §Æc biÖt: u
⊥ v
. 0u v⇔ = 

. NÕu 0u ≠

, v
0≠
th×: cos( ,u v 

) = . . u v u v 



= 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2. x x y y z z x y z x y z + + + + + + .
Tích vevtơ (hay tích có hướng) của hai vectơ ( )1 1 1, ,u x y z
và ( )2 2 2, ,v x y z
kí hiệu là ,u v  

là một vectơ xác ñịnh bởi: ,u v   

= 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 , , y z z x x y y z z x x y         .
Các tính chất: u 
và v
cộng tuyến ⇔ , 0u v   =


. ,u u v  ⊥


và ,v u v  ⊥


, . .sinu v u v α   = 



trong ñó α là góc giữa hai vectơ u 
và v
. , ,u v v u      = − 



, , ,ku v u kv k u v          = = 





k ∈ R. , , ,u v t u v u t          + = + 







§iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó 3 vect¬ u 
, v
, t
®ång ph¼ng lµ: , 0u v t   = 


. 1.8. C¸c c«ng thøc liªn quan.
DiÖn tÝch cña tam gi¸c cã c¸c ®Ønh A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), C(x3, y3, z3) ®−îc cho bëi c«ng thøc: 1 , 2 S AB ACABC   = 

△ . hay: 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 y y z z z z x x x x y y S ABC y y z z z z x x x x y y − − − − − − = + + − − − − − − △
ThÓ tÝch h×nh hép dùng trªn 3 vect¬ AB 
, AD 
, 'AA 
lµ: Vhép= ; . 'AB AD AA   


. 9 9
ThÓ tÝch h×nh tø diÖn ABCD lµ: V tø diÖn = 1 ; .6 AB AC AD     


.
§iÓm G lµ träng t©m ∆ ABC khi vµ chØ khi: G = ( , , ) 3 3 3 x x x y y y z z zB B BA C A C A C+ + + + + + .
§iÓm G lµ träng t©m tø diÖn ABCD khi vµ chØ khi: G = ( , , ) 4 4 4 x x x x y y y y z z z zB D B D B DA C A C A C+ + + + + + + + + .
Vect¬ 0n ≠

n»m trªn ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi mp(P) gäi lµ vect¬ ph¸p tuyÕn cña (P).
MÆt ph¼ng (P) qua M( 0 0 0, ,x y z ) cã vect¬ ph¸p tuyÕn lµ ( , , )n A B C 
cã ph−¬ng tr×nh lµ: A(x - x0)+ B(y - y0)+ C(z - z0)= 0.
Ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mp(P) lµ: Ax+By+Cz+D=0 víi ( 2 2 2 0A B C+ + > ).
Mét sè tr−êng hîp ®Æc biÖt: mp: Ax + By + Cz = 0 qua O(0, 0, 0). mp: Ax + Cz+D = 0 song song víi Oy. mp: Ax+ D = 0 song song víi mp(yOz). mp: x= 0 lµ mp(yOz).
∆ ABC cã ,n AB AC    = 


lµ vect¬ ph¸p tuyÕn cña mp(ABC).
Ph−¬ng tr×nh 1x y z a b c+ + = ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh ®o¹n ch¾n cña mÆt ph¼ng qua A(a, 0, 0); B(0, b, 0); C(0, 0, c) (a.b.c ≠ 0).  VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña 2 mÆt ph¼ng- Chïm mÆt ph¼ng Cho 2 mÆt ph¼ng (P): Ax+ By+ Cz+ D=0, (P’): A’x+ B’y+ C’z+ D’= 0. Khi ®ã: (P) ≡ (P’)⇔ A:B:C:D=A’:B’:C’:D’ (P)  (P’) ⇔ : : ' : ' : ' : : : ' : ' : ': ' A B C A B C A B C D A B C D    = ≠ (P) c¾t (P’) ⇔ A:B:C≠ A’:B’:C’ 10 10 M Mo d d' u u' NÕu (P) c¾t (P’) theo ®−êng th¼ng (∆) th× mäi mÆt ph¼ng qua (∆) cã ph−¬ng tr×nh: λ (Ax+ By+ Cz+D) + µ (A’x+ B’y+ C’z+ D’)=0, ( 2 2 0λ µ+ ≠ ).  Ph−¬ng tr×nh cña ®−êng th¼ng: Cho 2 mÆt ph¼ng (P): Ax+ By+ Cz+ D=0, (P’): A’x+ B’y+ C’z+ D’= 0, (P) ∩ (P’)= (∆). Khi ®ã ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña (∆) lµ: Ax By Cz D 0 (1) A’x B’y C’z D’ 0 (2)    + + + = + + + = mp(1) cã vect¬ ph¸p tuyÕn 1 ( , , )n A B C= 
, mp(2) cã vect¬ ph¸p tuyÕn 2 ( ', ', ')n A B C= 
. Khi ®ã: 1 2,u n n  = 


lµ vect¬ chØ ph−¬ng cña (∆).
§−êng th¼ng (∆) qua ®iÓm M( 0 0 0, ,x y z ) cã vect¬ chØ ph−¬ng ( , , )u a b c 
cã: + Ph−¬ng tr×nh tham sè lµ: 0 0 0 x x at y y bt z z ct      = + = + = + + Ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c lµ: 0 0 0 x x y y z z a b c − − − = = (a.b.c ≠ 0).  VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña c¸c ®−êng th¼ng Cho ®−êng th¼ng (d) qua M0( 0 0 0, ,x y z ) cã vect¬ chØ ph−¬ng ( , , )u a b c 
, ®−êng th¼ng (d’) qua M( 0 0 0' , ' , 'x y z ) cã vect¬ chØ ph−¬ng ( ', ', ')u a b c 
. Khi ®ã: + d vµ d’ ®ång ph¼ng ⇔ 0, ' 0u u MM   = 


. + d c¾t d’ ⇔ 0, ' 0 : : ': ' : ' u u MM a b c a b c        = ≠ 


+ d d’ ⇔ a: b: c = a’: b’: c’≠ ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0' : ' : 'x x y y z z− − − ( tøc lµ , 'u u 

cïng ph−¬ng nh−ng kh«ng cïng ph−¬ng 0 0 'M M 
). + d ≡d’ ⇔ u 
; 'u 
; 0 0 'M M 
cïng ph−¬ng. 11 11 u u' d1 d2 Mo Mo' h ⇔ a: b: c = a’: b’: c’= ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0' : ' : 'x x y y z z− − − . + d vµ d’ chÐo nhau ⇔ 0, ' 0u u MM   ≠ 


.  VÞ trÝ t−¬ng ®èi gi÷a ®−êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng Cho ®−êng th¼ng (d): 0 0 0 x x at y y bt z z ct      = + = + = + qua M( 0 0 0, ,x y z ) cã vect¬ chØ ph−¬ng ( , , )u a b c
vµ mp(P): Ax + By + Cz + D=0 cã vect¬ ph¸p tuyÕn ( , , )n A B C=
( 2 2 2 0A B C+ + ≠ ). + (d) c¾t (P) khi vµ chØ khi: Aa + Bb + Cc ≠ 0. + (d) song song víi (P) khi vµ chØ khi: 0 0 0 Aa Bb Cc= 0 Ax By Cz D 0    + + + + + ≠ + (d) n»m trªn (P) khi vµ chØ khi: 0 0 0 Aa Bb Cc = 0 Ax By Cz D = 0    + + + + +  Kho¶ng c¸ch Trong kh«ng gian cho (P): Ax + By + Cz + D = 0 vµ ®iÓm M0 ( 0 0 0, ,x y z ). Khi ®ã kho¶ng c¸ch tõ M0 tíi (P) ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau : 0 0 0 0 2 2 2 Ax( ,( )) By Cz Dd M P A B C + + + = + + . Cho ®iÓm M1 vµ ®−êng th¼ng (d) ®i qua M0 vµ cã vect¬ chØ ph−¬ng u
. Khi ®ã kho¶ng c¸ch tõ M1 tíi (d) ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau: 0 1 1 1 ; ( ,( )) M M u d M d M H u     = = 


. • Kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng chÐo nhau: Trong kh«ng gian cho 2 ®−êng th¼ng chÐo nhau cã ph−¬ng tr×nh tham sè: (d1): 0 0 0 x x at y y bt z z ct      = + = + = + (d2): 0 0 0 ' ' ' ' ' ' x x a t y y b t z z c t      = + = + = + ; Kho¶ng c¸ch gi÷a 2 ®−êng th¼ng (d1) vµ (d2) ®−îc 12 12 P (d) (d') w n tÝnh theo c«ng thøc: ( ) 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 22 1 11 1 1 1 1 11 1 1 1 ' ' ' , ', ' ' ' '( , ) , ' ' '' ' ' ' a b c a b c u u M M x x y y z z d d d u u c ab c a b c ab c a b     − − − = = + + 




.  Gãc
Trong hÖ täa ®é trùc chuÈn Oxyz cho 2 ®−êng th¼ng (d) vµ (d’) cã vect¬ chØ ph−¬ng lÇn l−ît lµ: (u =
p, q, r) vµ 'u
=(p’, q’, r’). Gãc gi÷a 2 ®−êng th¼ng (d) vµ (d’) ®−îc tÝnh theo c«ng thøc: cos((d), (d’)) = 2 2 2 2 2 2 ' ' ' . ' ' ' pp qq rr p q r p q r + + + + + + . §Æc biÖt: (d) ⊥ (d’) ⇔ pp’ + qq’+ rr’ = 0.
Gãc gi÷a hai mÆt ph¼ng: Trong hÖ täa ®é trùc chuÈn Oxyz cho: (P): Ax + By + Cz + D = 0 ( 2 2 2 0A B C+ + ≠ ), ( , , )n A B C=
vµ (P’): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 ( 2 2 2' ' ' 0A B C+ + ≠ ), ' ( ', ', ')n A B C=
. Khi ®ã: Gãc α gi÷a (P) vµ (P’) ®−îc tÝnh theo c«ng thøc: cosα = 2 2 2 2 2 2 ' ' ' . ' ' ' AA BB CC A B C A B C + + + + + + . §Æc biÖt (P) ⊥ (P’) khi vµ chØ khi: AA’ + BB’ + CC’ = 0.
Gãc gi÷a ®−êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng Trong kh«ng gian cho (P): Ax + By + Cz + D = 0, ( 2 2 2 0A B C+ + ≠ ) vµ ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh: 0 0 0 x x at y y bt z z ct      = + = + = + , ( 2 2 2 0a b c+ + ≠ ). 13 13 Khi ®ã: gãc ϕ gi÷a (d) vµ (P) ®−îc tÝnh theo c«ng thøc: sinϕ = 2 2 2 2 2 2 . Aa Bb Cc A B C a b c + + + + + + , 0 ≤ ϕ ≤ 900. §Æc biÖt: (d) (P) hoÆc (d) ⊂ (P) khi vµ chØ khi: Aa+ Bb+ Cc = 0. 14 14 A B C D A' B' C' D' y z a b c x Chương 2: Mét sè líp bµi to¸n gi¶I b»ng ph−¬ng ph¸p to¹ ®é 2.1. Các bài toán tính toán
Ph−¬ng ph¸p gi¶i: + Chän hÖ täa ®é thÝch hîp: - Trong mÆt ph¼ng, chän hÖ täa ®é cã 2 ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi nhau, gèc täa ®é lµ giao ®iÓm cña 2 ®−êng th¼ng ®ã. - Trong kh«ng gian, chän hÖ täa ®é cã ®Ønh vµ c¸c trôc Ox, Oy, Oz lµ tam diÖn vu«ng hoÆc ta vÏ thªm mét sè ®−êng ®Ó ®−îc mét tam diÖn vu«ng. G¾n c¸c trôc Ox, Oy, Oz thÝch hîp. + BiÓu diÔn c¸c ®iÓm ®9 cho qua hÖ täa ®é võa chän. T×m ph−¬ng tr×nh c¸c ®−êng, mÆt ®9 cho. + Sö dông c¸c kiÕn thøc h×nh häc gi¶i tÝch, ph−¬ng tr×nh ®−êng, mÆt, c¸c c«ng thøc tÝnh kho¶ng c¸ch, diÖn tÝch, gãc, thÓ tÝch ®Ó lµm s¸ng tá yªu cÇu bµi to¸n. Bµi 1. Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD.A’B’C’D’ cã 3 kÝch th−íc lµ a, b, c. Hmy tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng chéo nhau BD vµ CD’ theo c¸c kÝch th−íc a, b, c. Giải: Chän hÖ to¹ ®é Oxyz sao cho c¸c tia Ox, Oy, Oz trïng víi c¸c tia AB, AD, AA’( Hình 2.1). Theo c¸ch ®Æt ®ã vµ theo bµi ra ta cã: A(0, 0, 0); B(a, 0, 0); D(0, b, 0); A’(0, 0, c); C(a, b, 0). V×: CD’  (A’BD) nªn d(CD’, BD) = d[C, (A’BD)]. MÆt ph¼ng A’BD cã ph−¬ng tr×nh: 1x y z a b c+ + = . Do ®ã: d(CD’, BD) = d[C, (A’BD)]= 15 15 A B C x y M N P = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 0 1 1 1 1 abc a b b c c a a b c + + − = + ++ + . VËy kho¶ng c¸ch gi÷a BD vµ CD’ b»ng 2 2 2 2 2 2 abc a b c b a c+ + . Bµi 2. Cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i C. Trªn c¸c c¹nh BC, CA, AB lÇn l−ît lÊy c¸c ®iÓm M, N, P sao cho: MB NC PA MC NA PB= = . Chøng minh r»ng: a) CP ⊥ MN. b) CP= MN. Giải: Chän hÖ to¹ ®é §Òc¸c vu«ng gãc Oxy sao cho: O ≡C, tia Ox ≡CA, tia Oy ≡CB (hình 2.2). Ta cã to¹ ®é c¸c ®iÓm: C(0, 0); A(1, 0); B(0, 1). Tõ gi¶ thiÕt ta ®Æt: MB NC PA k MC NA PB= = = ( k > 0). Do ®ã: BM kMC CN k NA AP kPB      = = = 





1 1 1 1 1 1 CM CBk kCN CAk kCP CA CBk k          = + ⇒ = + = + + + 






Hình 2.2 1(0, )1 ( ,0)1 1( , )1 1 M k kN k kP k k          + ⇒ + + + ⇒ 1( , )1 kMN k k − + 
; 1( , )1 1 kCP k k+ + 
. a ) Ta thÊy: . 0MN CP = 

⇒ MN CP⊥ . b) 2 2 22 2 1 1 1 1 (1 ) k kMN k k k           − + = + = + + + 
; 22 22 2 1 1 1 1 (1 ) k kCP k k k            + = + = + + + 
. VËy MN= CP (®pcm). 16 16 O x y z d1 d2 A B S(0, 0, a) E D C Bµi 3. Cho h×nh chãp SABC cã ®¸y lµ tam gi¸c ®Òu cã c¹nh lµ 2a, c¹nh SC vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng(ABC) vµ cã SC= a. Gäi d1 lµ ®−êng th¼ng ®i qua ®Ønh S vµ trung ®iÓm E cña c¹nh BC, d2 lµ ®−êng th¼ng ®i qua C vµ trung ®iÓm D cña c¹nh AB. TÝnh gãc vµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng d1 vµ d2. Giải: Chän hÖ trôc to¹ ®é §Òc¸c vu«ng gãc Oxyz sao cho: O ≡ C, c¸c ®iÓm D, S lÇn l−ît n»m trªn c¸c trôc Oy, Oz (Hình 2.3). Khi ®ã: Ox  AB. Ta cã: C(0, 0, 0); D(0, 3a , 0); B(a, 3a , 0); E( 2 a , 3 2 a , 0); S(0, 0, a). CD⇒ 
=(0, 3a , 0); SE 
=( 2 a , 3 2 a , -a). C¸c ®−êng th¼ng d1 vµ d2 lÇn l−ît cã VTCP lµ SE 
vµ CD 
. ⇒ cos( SE 
,CD 
) = 23 62 43. 2 a a a = . VËy gãc gi÷a 2 ®−êng th¼ng SE vµ CD lµ gãc tho¶ mmn: cos( SE 
,CD 
)= 6 4 . §Ó tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a 2 ®−êng th¼ng SE, CD ta lËp ph−¬ng tr×nh mp(P) chøa CD vµ song song víi SE. Hình 2.3 Mp(P) qua C(0, 0, 0) nhËn SE 
vµ CD 
lµm cÆp VTCP. Gäi 3 0 0 30 0 , , ,3 3 22 2 2 a a n CD SE aa a aaa               = = − − 


= ( 2 3a− , 0, - 2 3 2 a ). Do ®ã ph−¬ng tr×nh mp(P) lµ: 2 3a− x- 2 3 2 a z =0. Tõ ®ã ta cã: 17 17 d(d1, d2)= d(S, (P))= 3 4 4 3 2 5 533 4 a a a a = + . VËy kho¶ng c¸ch gi÷a SE vµ CD lµ d(d1, d2)= 5 5 a . 2.2. Các bài toán giải phương trình, hệ phương trình
Ph−¬ng ph¸p gi¶i: + Sö dông bÊt ®¼ng thøc vect¬: u v u v+ ≤ + 



dÊu “ = ” x¶y ra ⇔ .u k v= 

(k >0), u v u v− ≥ −



dÊu “=” x¶y ra ⇔ .u k v=

(k > 0) + Sö dông sù t−¬ng giao cña c¸c ®−êng trong mÆt ph¼ng: Trong mÆt ph¼ng cho ph−¬ng tr×nh c¸c ®−êng y= f(x), y= ax+ b. Khi ®ã: nghiÖm cña f(x) = ax+ b lµ hoµnh ®é giao ®iÓm cña 2 ®−êng y= f(x) vµ y= ax+ b. Bµi 4. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 2 22 10 6 13 41x x x x+ + + − + = .(1) Gi¶i: Ta cã: (1) 2