Đề tài Nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán Cauchy – Dirichlet đối với phương trình parabolic cấp hai

1 LỜI CẢM ƠN Trong quá trình hoàn thành luận văn, tôi đã được sự chỉ đạo, hướng dẫn, động viên tận tình của cô giáo: Th.S Đoàn Thị Chuyên, giảng viên khoa Toán - Lí – Tin, đồng thời nhận được sự góp ý về đề tài, tạo điều kiện thuận lợi về cơ sở vật chất, thời gian, tài liệu tham khảo của các thầy cô trong khoa Toán – Lí – Tin, phòng nghiên cứu khoa học và thư viện trường đại học Tây Bắc. Bên cạnh đó tôi còn nhận được sự động viên giúp đỡ của các bạn trong tập thể lớp K47 - đại học sư phạm Toán, sự giúp đỡ trong việc đánh máy, in ấn của tất cả bạn bè, người thân. Nhân dịp này, cho phép tôi bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới sự giúp đỡ, động viên quý báu của các thầy cô, các bạn, tới những người thân, các đơn vị liên quan, đặc biệt là cô giáo Th.S Đoàn Thị Chuyên. Sơn La, tháng 05 năm 2010 Người thực hiện Lê Thị Liễu 2 MỤC LỤC Lời cảm ơn…………………………………………………………….………....1 Phần mở đầu……………………………………………………………………..3 1. Lí do chọn khoá luận…………………………………………………...3 2. Đối tượng, phương pháp, phạm vi nghiên cứu………………………....3 3. Mục đích, nhiệm vụ và những đóng góp của khoá luận…………….....4 Chương 1. Một số kiến thức liên quan…………………………….….…............5 1.1 Không gian Sobolev………………………………………………….……...5 1.2 Một vài không gian của các hàm...................................................................17 1.2.1 Không gian hàm H -1…………………………………………….………..17 1.2.2 Không gian phụ thuộc thời gian ……………...………………………… 18 Không gian hàm Lp(0,T;X) ………………………………………….....18 Không gian hàm C([0,T];X)………………………………….……….....18 1.3. Các bất đẳng thức………………………………………………………….19 1.3.1 Bất đẳng thức Gronwall-Bellman……………………………….………..19 1.3.2 Bất đẳng thức năng lượng……………………………………….………..19 Chương 2.Tính đặt đúng của bài toán Cauchy – Dirichlet đối với phương trình Parabolic cấp hai……………………………………………….…….......21 2.1 Mở đầu..........................................................................................................21 2.1.1 Thiết lập bài toán........................................................................................21 2.1.2 Mô típ của định nghĩa nghiệm suy rộng.....................................................22 2.1.3 Nghiệm suy rộng........................................................................................23 2.2 Sự tồn tại duy nhất của nghiệm suy rộng......................................................25 2.2.1 Một số đánh giá tiên nghiệm......................................................................25 2.2.2 Sự tồn tại nghiệm suy rộng.... ...................................................................28 2.2.3 Tính duy nhất nghiệm suy rộng..................................................................30 Kết luận.............................................................................................................. 31 Tài liệu tham khảo:………………………………………………..……………32 3 PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn khoá luận Trong chương trình của bậc đại học, bước đầu chúng ta đã được làm quen với môn phương trình đạo hàm riêng. Trong đó, ta đã biết được các vấn đề cơ bản liên quan đến phương trình Lapace, phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt. Đó là các phương trình đơn giản lần lượt đại diện cho ba lớp phương trình đạo hàm riêng là phương trình loại eliptic, hypebolic và parabolic. Khi học ta thấy rằng, điều kiện tồn tại nghiệm theo nghĩa thông thường thường đòi hỏi khá nhiều yếu tố khắt khe như tính trơn đến cấp của phương trình, điều này gây khó khăn khi xét các bài toán đối với các phương trình trên những miền bất kì hoặc đối với những bài toán của các phương trình tổng quát hơn. Để khắc phục điều này, thay vì đi tìm nghiệm cổ điển, người ta đi tìm nghiệm suy rộng, tức là là nghiệm “ thô” lúc đầu là nghiệm “ khá gần” với nghiệm hầu khắp nơi hoặc nghiệm cổ điển gọi chung là nghiệm thông thường. Sau đó nhờ các công cụ của giải tích hàm, ta làm cho nghiệm dần đến nghiệm thông thường. Chính vì vậy, phương trình đạo hàm riêng còn là vấn đề rất mới mẻ và bí ẩn kích thích sự khám phá của những sinh viên yêu thích nó. Nhằm góp phần giúp những bạn sinh viên và những độc giả yêu môn phương trình đạo hàm riêng nói chung và bản thân tác giả nói riêng hiểu sâu hơn về môn học này và tiếp tục tìm hiểu khám phá, tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “Nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán Cauchy – Dirichlet đối với phương trình parabolic cấp hai”. 2. Đối tượng, phương pháp, phạm vi nghiên cứu 2.1. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic cấp hai. 2.2. Phương pháp nghiên cứu 4 Vấn đề nghiên cứu trong luận văn là vấn đề mới đối với sinh viên bậc đại học, vì vậy phương pháp nghiên cứu chủ yếu là nghiên cứu lí thuyết cụ thể là phương pháp xấp xỉ Galerkin. Sưu tầm tài liệu, đọc hiểu tài liệu trên cơ sở đó phân tích, tổng hợp, diễn giải, làm rõ và trình bày thành một hệ thống để giải quyết các vấn đề đặt ra của luận văn. 2.3. Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu của luận văn là phương trình parabolic cấp hai và những kiến thức cơ sở liên quan đến việc nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán Cauchy – Dirichlet. 3. Mục đích, nhiệm vụ và những đóng góp của khoá luận 3.1. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của luận văn là tìm hiểu sâu hơn về môn phương trình đạo hàm riêng, cụ thể là phương trình parabolic cấp hai. Đóng góp thêm tài liệu tham khảo cho giảng viên, sinh viên và tất cả những ai quan tâm đến môn phương trình đạo hàm riêng. 3.2 Nhiệm vụ của khoá luận Với mục đích đặt ra, nhiệm vụ nghiên cứu của khoá luận là nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán Cauchy – Dirichlet đối với phương trình parabolic cấp hai. 3.3. Những đóng góp của khoá luận Đóng góp nổi bật của khoá luận là cung cấp được một hệ thống tri thức mới chuyên sâu về môn phương trình đạo hàm riêng hiện đại. Đó là các khái niệm mới như: định nghĩa đạo hàm suy rộng, các không gian Sobolev. Ngoài ra ta biết các tính chất, vấn đề liên quan đến các khái niệm kiến thức này. Đặc biệt nó giúp ta có một phương pháp mới đi nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán Cauchy – Dirichlet đối với phương trình parabolic cấp hai, cụ thể là phương pháp xấp xỉ Galerkin. 5 CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1. Không gian ( )kC W Ta dùng các kí hiệu sau: +) ( )C W là tập hợp tất cả các hàm liên tục trên W . +) ( )kC W là tập hợp các hàm xác định trên W sao cho đạo hàm đến cấp k tồn tại và liên tục trên W . +) ( )C¥ W là tập hợp tất cả các hàm khả vi vô hạn lần trên W . Giả sử W là một tập mở trong nR . Nếu ( )u C¥Î W thì bao đóng của tập hợp các điểm x sao cho ( ) 0u x ¹ được gọi là giá của hàm u(x) và kí hiệu là suppu. Như vậy hàm u(x) = 0, xÎW \ suppu . Ta có +) 0 ( )C W là tập hợp tất cả các hàm thuộc ( )C W sao cho giá của chúng compact và thuộc vào W . +) 0 0( ) ( ) ( ) k kC C CW = W Ç W . +) 0 0( ) ( ) ( )C C C ¥ ¥W = W Ç W . 1.1.2. Không gian Lp Trong không gian định chuẩn có một lớp không gian Banach đặc biệt quan trọng là không gian Lp mà dưới đây ta sẽ khảo sát. Định nghĩa. Cho một không gian W và một độ đo m trên một s - đại số F các tập con 6 của W . Họ tất cả các hàm số ( )f x có lũy thừa bậc p, (1 )p£ < +¥ của modun khả tích trên W có nghĩa là p f dm W < +¥ò ’ gọi là không gian ( , ).pL mW Khi W là một tập đo được Lebesgue trong đó kR và m là một độ đo Lebesgue thì ta viết ( ).pL W Tập hợp ( , )pL mW ( trong đó ta không phân biệt các hàm tương đương nhau, nghĩa là bằng nhau hầu khắp nơi) là một không gian tuyến tính định chuẩn với phép toán thông thường về cộng hàm số, nhân hàm số, và với chuẩn 1 ( ) . p p p f f dm W = ò Định lí 1. Không gian ( , )pL mW với 1 p£ < +¥ là một không gian tuyến tính định chuẩn đủ ( không gian Banach). Định lí 2. Giả sử W là một miền trong nR . Tập hợp tất cả các hàm liên tục trong W với giá compact trù mật trong không gian ( ), 1.pL pW ³ Định lí 3.(Tính khả ly) Giả sử p ≥ 1 và W là một miền thuộc nR . Tồn tại một tập con đếm được các phần tử của không gian ( ),pL W sao cho bao tuyến tính của nó trù mật trong ( ).pL W Chứng minh Giả sử R là một số hữu tỉ nào đó, nx Î R Kí hiệu ( , )U x R là hình hộp { }( , ) : , 1,n i iU x R y R y x R i n= Î - < = 7 Giả sử ( )pf LÎ W và 0e > . Đặt ( ) 0f x = với xÏW , và xét như một hàm thuộc ( )npL R . Chọn R là một số nguyên đủ lớn sao cho \ (0, ) ( ) . n p p U R f x dx e<ò R Nhờ định lí 2 tồn tại một hàm Rg liên tục trong (0, )U R sao cho (0, 1) ( ) ( ) , p p U R f x g x dx e + + <ò vì hàm Rg liên tục trên (0, 1)U R+ nên nó liên tục đều trên (0, )U R . Do vậy 0d$ > sao cho ( ) ( ) , , (0, ), , n p R Rg x g y R x y U R x ye d - - < Î - < lấy 2 NR nd -= với N là một số nguyên nào đó để d đủ nhỏ. Chia hình hộp (0, )U R thành các hình hộp nhỏ không giao nhau có độ dài cạnh là 2 NR - và xét tập hợp S bao gồm các hàm đặc trưng ( )jX x của các hình hộp này với mọi N. Đặt ( ) ( ) ( ),R j j j h x g x X x= å trong đó jx là tâm của các hình hộp nhỏ. Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) n p R R R jg x h x g x g x Re - - = - < Nếu x thuộc vào hình hộp với tâm jx . Ta có (0, ) p p R U R g h dx e- <ò Đặt 0Rg = , h(x) = 0 đối với \ (0, ) nx U RÎR ta được 8 111 (0, ) \ (0, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n pppp p p U R U R f x h x dx f x h x dx f x dx æ öæ öæ ö ç ÷- £ - +ç ÷ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø ò ò ò R R 11 (0, ) (0, ) \ (0, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n ppp p p R R U R U R U R f x g x dx g x h x dx f x dx æ öæ ö æ ö ç ÷£ - + - +ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø ò ò ò R 1 1 (0, 1) (0, ) ( ) ( ) ( ) ( ) p pp p R R U R U R f x g x dx g x h x dx + æ ö æ ö £ - + -ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ è ø è ø ò ò 1 \ (0, ) ( ) 3 . n p p U R f x dx e æ ö ç ÷+ £ ç ÷ è ø ò R Do vậy tập hợp các tổ hợp tuyến tính của các hàm jX trù mật trong ( )pL W . Một trong những ứng dụng quan trọng của các hàm thuộc không gian ( ), 1pL pW ³ là tính liên tục toàn cục của nó. Định lí 4.(Tính liên tục toàn cục) Giả sử W là một miền thuộc , ( ), 1, ( ) 0n pf L p f xÎ W ³ =R bên ngoài .W Khi đó với mỗi 0e > tồn tại một số 0d > , sao cho ( ) ( ) , p f x f x y dx e W - + <ò với mọi y thỏa mãn .y d< 1.1.3. Trung bình hóa Giả sử ( )xq là một hàm trực thuộc lớp 0 ( )nC¥ R sao cho ( ) ( ), ( ) 0, ( ) 0x x x xq q q q= - ³ = nếu 1x > và ( ) 1. n xq =ò R Hàm ( )xq được gọi là nhân trung bình hoá. Định lí 5. Nếu ( ), 1pu L pÎ W ³ thì ( )0lim 0.ph Lh u u W® - = Định lí 6. 9 Nếu 1, ( )f g LÎ W , thì ( ) ( ) ( ) ( ) .h hf x g x dx f x g x dx W W =ò ò Định lí 7. Nếu 1( )f LÎ W và ( ) ( ) 0,f x x dxj W =ò với mọi 0 ( )Cj ¥Î W thì 0.f = 1.1.4. Đạo hàm suy rộng Giả sử W là một miền trong nR . Một hàm ( ) ( )pu x LÎ W được gọi là đạo hàm suy rộng cấp α của hàm ( ) ( )pv x LÎ W nếu ( ) ( ) ( 1) ( ) ( )u x x dx v x D x dx a ay y W W = -ò ò , với mọi 0 ( )Cy ¥Î W , ở đó 1 2 1 2( , ,..., ), ...n na a a a a a a a= = + + + và 1 2 1 2 . ... n n D x x x a a aa a ¶ = ¶ ¶ ¶ Chú ý i) Hàm ( )v x không có quá một đạo hàm suy rộng. Thật vậy giả sử 1( )u x và 2 ( )u x là đạo hàm suy rộng của hàm ( )v x . Khi đó 0 1 2( ( ) ( )) ( ) 0, ( ) ( ).u x u x x dx x Cy y ¥ W - = " Î Wò Mà 1 2 1,( ) ( ) ( )locu x u x L- Î W nên 1 2( ) ( ) 0u x u x- = hầu khắp nơi trong W . Suy ra 1 2( ) ( )u x u x= hầu khắp nơi trong W . ii) Nếu 0 ( ) ( )v x C¥Î W thì theo công thức Ostrograsdki ta có ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ,u x x dx v x D x dx a ay y W W = -ò ò với hàm tuỳ ý 0 ( )Cy ¥Î W . Có nghĩa hàm ( )v x có đạo hàm suy rộng ( )u x bằng ( )D v xa . 10 Đặc biệt nếu hàm ( )v x bằng hằng số ( hầu khắp nơi) trên W thì có đạo hàm suy rộng tuỳ ý. iii) Từ định nghĩa ta suy ra đạo hàm suy rộng không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm. Thật vậy giả sử f tồn tại đạo hàm cấp α. Ta chứng minh 1 1 1 1... ... ... ... ... ... j ji n i n i j n j i n f f x x x x x x x x a a a aa a a aa a ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ + 1 1 ... ... ...ji ni j n v x x x x a aa aa ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = 1 1 ... ... ... j i n j i n v x x x x a a a aa ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ , ( )v C a" Î W . Do 1( )f LÎ W nên theo định nghĩa đạo hàm suy rộng 1 1 ( 1) ... ... ...ji ni j n v dx v dx x x x x a a aa aa w W W ¶ = - ¶ ¶ ¶ ¶ò ò = 1 1 , ... ... ...j i nj i n ff dx x x x x a a a aa W ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ò với 0 .v C¥Î Suy ra 1 1 . ... ... ...j i nj i n f x x x x a a a aa w ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ iv) Một hàm có đạo hàm bình thường (đạo hàm theo nghĩa cổ điển) cấp α thì có đạo hàm suy rộng cấp α nhưng điều ngược lại nói chung không đúng. Ví dụ Xét hàm ( )f x x= trên (-1;1). ta đã biết tồn tại đạo hàm thường tại 0x" ¹ . Tại x = 0 thì không tồn tại đạo hàm vì (0 ) 1, (0 ) 1f f- + - -= = - . Ta sẽ chứng minh ( )f x x= có đạo hàm suy rộng trên toàn trục số. 11 Xét 1 1 0 1 1 , ( ),dvx dx vdx v C dx w ¥ - - = - " Îò ò R lấy 1, 0 1 1, 1 0 x x w £ <ì = í- - < <î do đó 1( 1;1)Lw Î - nên 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 2.dx dx dx dx dxw w w - - - = + = - + =ò ò ò ò ò Nên 1 0 1 1 1 0 ,v v vx dx x dx x dx x x x- - ¶ ¶ ¶ = + ¶ ¶ ¶ò ò ò hay 1 0 1 1 1 0 v v vx dx x dx x dx x x x- - ¶ ¶ ¶ = - + ¶ ¶ ¶ò ò ò 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 ( 1) 1 . vdx vdx vdx vdx vdxw - - - æ ö = - = - - +ç ÷ è ø = - ò ò ò ò ò như vậy hàm ( )f x x= không có đạo hàm thường trên khoảng ( -1;1) nhưng có đạo hàm suy rộng trên khoảng ( -1;1). v) Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp α trong miền W thì nó cũng có đạo hàm suy rộng cấp α trong miền 'W Ì W . Thật vậy Giả sử 0 1( ), ( )f L v C ¥Î W Î W ta có 1 2 1 2 1 2 1 2' ' . ... ...n nn n v vf dx f dx x x x x x x a a a aa a a a W W ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ò ò Do 0 0 ( '), ( )v C v C¥ ¥Î W Î W với 'W Ì W nên 12 ' 1 1 .vdx vdxa aw w W W - = -ò ò Ta có 1( )Lw Î W suy ra 1( ')Lw Î W vậy sẽ tồn tại 1( ')Lw Î W sao cho 1 2 0 1 2' ' 1 , ( '). ... n n vf dx vdx v C x x x a a aa a w ¥ W W ¶ = - " Î W ¶ ¶ ¶ò ò Do đó tồn tại đạo hàm suy rộng 1 1 ... nn f x x a aa w ¶ = ¶ ¶ trên '.W vi) Khác với đạo hàm cổ điển, đạo hàm suy rộng D va được xác định ngay với cấp α mà không cần giả thiết các đạo hàm cấp thấp hơn tương ứng tồn tại. Các đạo hàm cấp thấp hơn có thể không tồn tại. Sau đây ta đi xét một định lí về sự liên hệ giữa đạo hàm suy rộng và trung bình hoá. Định lí 8. Giả sử W là một miền trong không gian , 'n WR là miền con của W sao cho khoảng cách giữa 'W và ¶W bằng d > 0. Khi đó, đối với 0 < h < d và 'x ÎW ta có ( ) ( ) ( )h hD u x D u x a a= . Chứng minh Do 0 < h < d, 'xÎW và hàm 0 ( )x y C h q ¥ -æ öÎ Wç ÷ è ø với ',xÎW nên khi sử dụng định nghĩa đạo hàm suy rộng ta nhận được ( ) ( ) ( ) , n n h x yD u x D x h u y dy h a a q- -æ ö= ç ÷ è øòR hay ( ) ( 1) ( ) n h x yD u x h D y u y dy h aa a q- W -æ ö= - ç ÷ è øò 13 ( ) ( ) ( ). n h x yh D yu y dy D u x h a aq- W -æ ö= =ç ÷ è øò 1.1.5. Không gian Sobolev ( ( ),1mpW pW £ < ¥ ) Một không gian phiếm hàm được sử dụng rộng rãi trong lí thuyết phương trình đạo hàm riêng là không gian Sobolev. Sobolev S.L đã xây dựng không gian này vào giữa thế kỉ 20 và từ đó đến nay nhiều nhà toán học khác đã tiếp tục mở rộng và phát triển để nghiên cứu những bài toán phương trình đạo hàm riêng ngày càng khó khăn, phức tạp. Không gian ( )mpW W là không gian bao gồm tất cả các hàm ( ) ( )pu x LÎ W sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng đến tận cấp α thuộc ( )pL W và được trang bị bởi chuẩn sau 1 ( ) ( )m p pp W m u D u x dya a a W < W æ ö = <ç ÷ç ÷ è ø å ò (4.1). Định lí 9. Giả sử W là một miền trong nR và 0,1 .m p³ £ < ¥ Khi đó ( )mpW W là một không gian Banach. Không gian ( )mpW W với chuẩn (4.1) được gọi là không gian Sobolev. Chú ý Từ tính chất ( )pL W là không gian đầy ta cũng suy ra được ( ) m pW W cũng là không gian đầy. 2 ( )L W là không gian Hilbert suy ra 2 ( ) mW W cũng là không gian Hilbert. Ở trường hợp này để ngắn gọn người ta kí hiệu là ( )kH W . Ta đi xét vấn đề xấp xỉ một hàm thuộc không gian ( )mpW W bằng các hàm thuộc ( )C¥ W . 14 Định lí 10. Giả sử W là một miền thuộc nR và 'W là một miền con của W sao cho 'W Ì W . Nếu ( ),mpu WÎ W thì m pW ( )0 lim 0.hh u u W® - = Chứng minh Theo định lí 9 ta có m ' p 1 W ( ) ' ( ) pp h h m u u D u u dxa a W £ W æ ö - = -ç ÷ç ÷ è ø å ò 1 ' ( ) ) pp h m D u D u dxa a a £ W æ ö = -ç ÷ç ÷ è ø å ò (4.2). Đặt v D uaa = . Từ định lí 6 suy ra ' ( ) 0, 0phv v dx ha a W - ® ®ò (4.3). Từ (4.2) và (4.3) ta nhận được ( ') 0, 0.mph Wu u hW- ® ® Định lí 11. Giả sử dãy { } 1j ju ¥ = các phần tử của không gian ( )mpW W bị chặn ( ) ,mpj Wu C C constW £ = Ngoài ra, giả sử dãy này hội tụ yếu trong không gian ( )pL W tới một hàm ( )u x khi j ® ¥ . Khi đó { } 1j j u ¥ = hội tụ yếu trong không gian ( )pL W tới hàm ( ) ( )mpu x WÎ W và ( ) .mpWu CW £ 15 Chứng minh Ta có ( ) ( ) ( 1) ( ) ( )j jx D u x dx u x D x dx aa aj j W W = -ò ò ở đó 0 ( ) ( )x Cj ¥Î W . Điều này kéo theo dãy { } 1 ( )j jD u x a ¥ = hội tụ yếu trong ( )pL W tới hàm ( )v xa . Ta có 0 ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) , ( ) ( ).x v x dx u x D x dx x Ca aaj j j ¥ W W = - " Î Wò ò Do đó đạo hàm suy rộng ( )D u xa tồn tại và bằng ( )v xa . Hơn nữa 2 ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) p pp jL j D u x D u x D u x D u x dxa a a a - W ®¥ W £ ò 1 ( ) ( ) ( ) lim sup ( ) . p p p jL Lj D u x D u xa a - W W®¥ £ Từ đó nhận được ( )( ), .mp m p Wu W u CWÎ W £ Định lí 12. Nếu W là một miền thuộc ,nR thì không gian ( )C¥ W trù mật trong ( )mpW W . Định lí 13. Giả sử U là một hình hộp trong nR { }: , 1,..., ,n j j jU x a x a j n= Î - < < =R và ( ), 1mpu W U pÎ ³ . Khi đó tồn tại một hàm 1 ( ) m pu WÎ R sao cho 1( ) ( )u x u x= với mọi x UÎ và { }1 1sup ( ) : 2 2 , 1,..., ,n j j jpu x U x a x a j nÌ = Î - < < =R 16 hơn nữa 1 ( ) ( )( ) ( ) ,m n mp pW W Uu x C u x£R ở đó C là hằng số không phụ thuộc vào hàm u. 1.1.6. Không gian 0 ( ),1mpW pW £ < ¥ Không gian 0 ( ),1mpW pW £ < ¥ là bao đóng của 0 ( )C¥ W trong chuẩn của không gian ( )mpW W . Định lí 14. ( Friedrichs) Giả sử W là một miền bị chặn trong nR . Khi đó tồn tại một hằng số ( )C C= W , phụ thuộc vào W sao cho 11 ( ) 1 , p p pnpp L i i uu dx u C dx xW =W W æ öæ ö ¶ç ÷= £ç ÷ ç ÷¶è ø è ø åò ò với mọi hàm 0 1( ).pu WÎ W Định lí 15. Giả sử ( ) ( ), 1mpu x W pÎ W ³ và sup ( ) .pu x ÌÌ W Khi đó 0 ( ) ( ).mpu x WÎ W Định lí 16. Giả sử { } 1( )j ju x ¥ = trong không gian 0 ( ), 1mpW pW ³ hội tụ yếu trong không gian ( )pL W tới hàm ( )u x hơn nữa dãy này bị chặn. Khi đó ( )u x cũng bị chặn và 0 ( ) ( ).mpu x WÎ W Định lí 17. Các không gian 0 ( )m npW R và ( ) m n pW R là trùng nhau. 1.1.7. Không gian ,2 ( ) m l TW U Giả sử W là một miền trong nR và T = const > 0. Kí hiệu 17 ( ) { }0, ( , ) : , (0, )nTU T x t x t T= W´ = Î ÎR và gọi nó là trụ với chiều cao T và đáy W . , 2 ( ) m l TW U là không gian Sobolev bao gồm tất cả các hàm 2( , ) ( ),Tu x t L UÎ sao cho tồn tại tất cả các đạo hàm suy rộng theo x đến tận cấp m và theo t đến tận cấp l thuộc 2 ( ),TL U trong nó trang bị chuẩn , 2 1 2 ( ) 1 m l T T T kl kW U m kU U uu D u dxdt dxdt t a a £ = æ ö¶ = +ç ÷ç ÷¶è ø å åò ò (4.4). Trường hợp l = 2, số hạng thứ hai trong vế phải của (4.4) coi như không có. Không khó khăn có thể kiểm tra được ,2 ( ) m l TW U là một không gian Banach, hơn nữa, nó là k