Trong chương trình Toán học ở trung học phổ thông, lượng giác là một
trong những mảng kiến thức rất cơ bản và quan trọng. Phần kiến thức này
khá đồ sộ với những công thức lượng giác, những mối liên quan ràng buộc
giữa góc, cạnh và các yếu tố khác. Chính vì vậy việc giải các bài toán lượng
giác thực sự gây nhiều lúng túng và khó khăn cho học sinh, thậm chí cả
giáo viên. Hơn nữa các bài toán lượng giác lại đóng vai trò lớn trong đời
sống, giải tích và hình học. Do đó nhu cầu tìm hiểu sâu hơn về các vấn đề
của lượng giác đã và đang hấp dẫn các bạn trẻ yêu Toán.
Theo mô hình dạy học tích cực hiện nay là lấy người học làm trung tâm,
người thầy đóng vai trò là người tổ chức các hoạt động nhằm hướng dẫn học
sinh tự lĩnh hội kiến thức. Chính vì vậy hành trang của chúng tôi - những
sinh viên sư phạm chuẩn bị tốt nghiệp và sẽ là những người trực tiếp giảng
dạy không thể thiếu được đó là sự nghiên cứu để soạn được những bài giảng
dẫn dắt học sinh hiểu, nắm chắc kiến thức và vận dụng chúng một cách linh
hoạt để tự giải được các bài tập Toán.
Vì vậy, thầy giáo hướng dẫn đã đặt đề tài cho chúng tôi là:"Các bài
giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác". Đó là công việc biên soạn một số
bài giảng về đẳng thức lượng giác cho đối tượng học sinh khá và giỏi ở trung
học phổ thông.Lược đồ xuyên suốt của mỗi bài giảng là cách đặt vấn đề
cho học sinh từ dễ đến khó,các bài toán có sắp xếp thứ tự từ đơn giản đến
phức tạp và mang tính sư phạm cao. Tôi nhận thấy đây là một đề tài rất
thiết thực, hữu ích, tạo điều kiện cho chúng tôi không những làm quen với
phương pháp sư phạm mà còn bước đầu tạo cơ sở để chúng tôi có những
kinh nghiệm trong công tác giảng dạy lâu dài.
Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác" gồm 5 bài giảng:
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 2 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Bài giảng số 1: Biến đổi lượng giác
Bài giảng này nhằm giới thiệu các công thức lượng giác đồng thời củng
cố và hoàn thiện các biến đổi lượng giác cơ bản cho học sinh.Nội dung bài
giảng gồm những bài toán với mức độ khó dần lên sẽ giúp học sinh luyện
tập một cách đầy đủ các biến đổi lượng giác.
Bài giảng số 2: Định lý hàm số sin và định lý hàm số côsin
Định lý hàm số sin và định lý hàm số côsin là hai định lý cơ bản, được
sử dụng rất nhiều trong các bài toán lượng giác, Cái hay của bài giảng này
ở chỗ các bài toán đưa ra thể hiện mối liên hệ giữa các cạnh, các goc và
một số yếu tố trong tam giác. Đặc biệt nhờ có các định lý này mà chúng ta
biết đến những bài toán nổi tiếng như hệ thức Stioa,điểm Broca, công thức
Brahmagupta’s.
Bài giảng số 3: Nhận dạng tam giác
Nhận dạng tam giác là dạng toán lượng giác rất quen thuộc với học sinh
trung học phổ thông. Song,bài giảng này lại hấp dẫn học sinh nhờ sự phân
chia thành hai bài giảng nhỏ về các ví dụ loại 1 và loại 2, giúp học sinh hệ
thống và nắm chắc hơn kiến thức lượng giác
Bài giảng số 4: Tổng và tích hữu hạn các hàm lượng giác
Bài giảng này mang đến cho học sinh sự khéo léo biến đổi các công thức
lượng giác tìm ra quy luật tính tổng và tích hữu hạn của các hàm lượng
giác.Các bài toán trong bài giảng giúp học sinh khắc sâu kiến thức lượng
giác hơn nữa
Bài giảng số 5:Ứng dụng lượng giác
Lượng giác có ứng dụng nhiều trong đại số(giải phương trình, bất phương
trình, hệ phương trinh đại số), trong giải tích và hình học.Bài giảng số 5
xem xét một vài ứng dụng như thế của lượng giác.
Mặc dù vậy, trong khuôn khổ một khóa luận tốt nghiệp với năng lực cá
nhân còn hạn chế cũng như thời gian hạn hẹp, chúng tôi không hy vọng giải
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 3 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
quyết được hết các mục tiêu đề ra và cũng không tránh khỏi những thiếu
sót, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn.
147 trang |
Chia sẻ: ngtr9097 | Lượt xem: 2885 | Lượt tải: 2
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Khóa luận Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Mục lục
1
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Lời mở đầu
Trong chương trình Toán học ở trung học phổ thông, lượng giác là một
trong những mảng kiến thức rất cơ bản và quan trọng. Phần kiến thức này
khá đồ sộ với những công thức lượng giác, những mối liên quan ràng buộc
giữa góc, cạnh và các yếu tố khác. Chính vì vậy việc giải các bài toán lượng
giác thực sự gây nhiều lúng túng và khó khăn cho học sinh, thậm chí cả
giáo viên. Hơn nữa các bài toán lượng giác lại đóng vai trò lớn trong đời
sống, giải tích và hình học. Do đó nhu cầu tìm hiểu sâu hơn về các vấn đề
của lượng giác đã và đang hấp dẫn các bạn trẻ yêu Toán.
Theo mô hình dạy học tích cực hiện nay là lấy người học làm trung tâm,
người thầy đóng vai trò là người tổ chức các hoạt động nhằm hướng dẫn học
sinh tự lĩnh hội kiến thức. Chính vì vậy hành trang của chúng tôi - những
sinh viên sư phạm chuẩn bị tốt nghiệp và sẽ là những người trực tiếp giảng
dạy không thể thiếu được đó là sự nghiên cứu để soạn được những bài giảng
dẫn dắt học sinh hiểu, nắm chắc kiến thức và vận dụng chúng một cách linh
hoạt để tự giải được các bài tập Toán.
Vì vậy, thầy giáo hướng dẫn đã đặt đề tài cho chúng tôi là:"Các bài
giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác". Đó là công việc biên soạn một số
bài giảng về đẳng thức lượng giác cho đối tượng học sinh khá và giỏi ở trung
học phổ thông.Lược đồ xuyên suốt của mỗi bài giảng là cách đặt vấn đề
cho học sinh từ dễ đến khó,các bài toán có sắp xếp thứ tự từ đơn giản đến
phức tạp và mang tính sư phạm cao. Tôi nhận thấy đây là một đề tài rất
thiết thực, hữu ích, tạo điều kiện cho chúng tôi không những làm quen với
phương pháp sư phạm mà còn bước đầu tạo cơ sở để chúng tôi có những
kinh nghiệm trong công tác giảng dạy lâu dài.
Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác" gồm 5 bài giảng:
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 2 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Bài giảng số 1: Biến đổi lượng giác
Bài giảng này nhằm giới thiệu các công thức lượng giác đồng thời củng
cố và hoàn thiện các biến đổi lượng giác cơ bản cho học sinh.Nội dung bài
giảng gồm những bài toán với mức độ khó dần lên sẽ giúp học sinh luyện
tập một cách đầy đủ các biến đổi lượng giác.
Bài giảng số 2: Định lý hàm số sin và định lý hàm số côsin
Định lý hàm số sin và định lý hàm số côsin là hai định lý cơ bản, được
sử dụng rất nhiều trong các bài toán lượng giác, Cái hay của bài giảng này
ở chỗ các bài toán đưa ra thể hiện mối liên hệ giữa các cạnh, các goc và
một số yếu tố trong tam giác. Đặc biệt nhờ có các định lý này mà chúng ta
biết đến những bài toán nổi tiếng như hệ thức Stioa,điểm Broca, công thức
Brahmagupta’s.
Bài giảng số 3: Nhận dạng tam giác
Nhận dạng tam giác là dạng toán lượng giác rất quen thuộc với học sinh
trung học phổ thông. Song,bài giảng này lại hấp dẫn học sinh nhờ sự phân
chia thành hai bài giảng nhỏ về các ví dụ loại 1 và loại 2, giúp học sinh hệ
thống và nắm chắc hơn kiến thức lượng giác
Bài giảng số 4: Tổng và tích hữu hạn các hàm lượng giác
Bài giảng này mang đến cho học sinh sự khéo léo biến đổi các công thức
lượng giác tìm ra quy luật tính tổng và tích hữu hạn của các hàm lượng
giác.Các bài toán trong bài giảng giúp học sinh khắc sâu kiến thức lượng
giác hơn nữa
Bài giảng số 5:Ứng dụng lượng giác
Lượng giác có ứng dụng nhiều trong đại số(giải phương trình, bất phương
trình, hệ phương trinh đại số), trong giải tích và hình học.Bài giảng số 5
xem xét một vài ứng dụng như thế của lượng giác.
Mặc dù vậy, trong khuôn khổ một khóa luận tốt nghiệp với năng lực cá
nhân còn hạn chế cũng như thời gian hạn hẹp, chúng tôi không hy vọng giải
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 3 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
quyết được hết các mục tiêu đề ra và cũng không tránh khỏi những thiếu
sót, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn.
Hà Nội, ngày 19/5/2007
Sinh viên :Nguyễn Thị Thu
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 4 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Bài giảng số 1:
Biến đổi lượng giác
Muốn giỏi về lượng giác, học sinh phải thuộc tất cả các công thức và vận
dụng được nó một cách linh hoạt, đồng thời phải thành thạo các phép biến
đổi cơ bản. Trong bài giảng này chúng ta sẽ đưa ra một số bài toán để học
sinh luyện tập tốt các công thức lượng giác. Sự luyện tập này rất cần thiết
để học sinh có đủ kĩ năng và trình độ để giải quyết các bài toán khó trong
các bài giảng sau.Bài giảng gồm 5 tiết và phần bài tập:
§1: Hệ thức cơ bản của lượng giác
§2:Công thức cộng cung
§3: Hàm số lượng giác của những góc bội
§4:Biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng
§5: Sử dụng định lý Viet bậc 3
Bài tập
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 5 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
§1: Hệ thức cơ bản của lượng giác
1) sin2α + cos2 α = 1 ∀α
2) 1 + tg2α =
1
cos2 α
3) 1 + cotg2α =
1
sin2 α
Bài toán 1.1
Biết sinα + cosα = m. Hãy tính theo m các biểu thức sau:
1) A = sin3 α + cos3 α
2) B = sin7 α + cos7 α
Bài giải
1)
A = sin3α + cos3 α
Từ giả thiết suy ra: m2 = (sinα + cosα)2 = 1 + 2 sinα. cosα
⇒ sinα. cosα = m
2 − 1
2
Ta có A = (sinα + cosα)3 − 3 sinα. cos α(sin2 α + cos2α)
⇒ A = m2 − 3(m
2 − 1
2
)
2)
B = sin7 α + cos7 α
⇒ B = (sin3α + cos3 α)(sin4 α + cos4 α) − sin3 α. cos3 α(sinα + cosα)
Ta có sin4 α + cos4α = (sin2 α + cos2 α)2 − 2 sin2 α. cos2 α
= 1− 2 sin2 α. cos2 α
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 6 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
= 1− 1
2
(m2 − 1)2
Vậy B = [m3 − 3(m
2 − 1
2
)].[1 − 1
2
(m2 − 1)2]−m.(m
2 − 1
2
)3
*Chú ý: ∀k ∈ Z+ sink α + cosk α đều có thể tính theo m.
Bài toán 1.2 Biết rằng (sinα + cosα) hữu tỉ.
Chứng minh rằng ∀n ∈ Z+ sinn α + cosn α cũng là hữu tỉ
Bài giải
Chứng minh quy nạp
Với n=1: (sinα + cosα) hữu tỉ.
Với n=2: (sin2α + cos2 α) = 1 hữu tỉ.
Giả sử khẳng định bài toán đã đúng đến n ∈ Z+ nghĩa là: sinn α+cosn α
là hữu tỉ.
Ta chứng minh sinn+1 α + cosn+1 α là hữu tỉ.
Thật vậy, ta có:
sinn+1 α + cosn+1 = (sinn α + cosn)(sinα + cosα)−
− sinα. cosα(sinn−1 α + cosn−1 α)
Theo giả thiết quy nạp:
(sinα + cosα); (sinn−1 α + cosn−1); (sinn α + cosn) là các số hữu tỷ
Mà sinα. cosα =
(sinα + cosα)2 − 1
2
⇒ sinα. cosα là số hữu tỷ
Suy ra sinn+1 α + cosn+1 là số hữu tỷ ⇒Đpcm
Vậy sinn α + cosn α là số hữu tỉ.
Bài toán 1.3 Biết sinα − cosα = 1. Hãy tính
A = sin3α + cos4 α
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 7 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Bài giải
Từ giả thiết: sinα − cosα = 1 bình phương hai vế ta được:
sinα. cosα = 0
⇔
[
cosα = 0 ⇒ sinα = 1 ⇒ sin3 α + cos4 α = 1
sinα = 0 ⇒ cosα = −1 ⇒ sin3 α + cos4 α = 1
Vậy A=1
Bài toán 1.4 Biết 3 sin4 α + 5 cos4 α = 5. Hãy tính giá trị của
B = 5 sin4α + 3 cos4α
Bài giải
Từ giả thiết: 3 sin4α + 5 cos4 α = 5
⇒ 3 sin4 α + 5(1− sin2 α)2 = 5
⇒ 3 sin4 α + 5 + 5 sin4 α − 10 sin2α − 5 = 0
⇒ 8 sin4 α − 10 sin2 α = 0 ⇒ sin2 α(4 sin2α − 5) = 0
⇔
sin2 α = 54 > 1(loi)
sin2 α = 0 ⇒ cos2 α = 1 ⇒ 5 sin4 α + 3 cos4α = 5.0 + 3.1 = 3
Vậy B=3
Bài toán 1.5 Biết
1
cos x
− tgx = 2. Hãy tính giá trị của
C =
1
cos x
+ tgx
Bài giải
Ta có 1 + tg2α =
1
cos2α
⇔ 1
cos2 α
− tg2α = 1
⇔ ( 1
cosα
− tgα)( 1
cosα
+ tgα) = 1
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 8 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
⇔ ( 1
cosα
+ tgα) =
1
(
1
cosα
− tgα)
=
1
2
Bài toán 1.6 Ký hiệu fk(x) =
1
k
(sink x + cosk x). Chứng minh
rằng:
f4(x)− f6(x) = 1
12
∀x
Bài giải
Ta có:
f4(x) =
1
4
(sin4 x + cos4 x) =
1
4
[(sin2 x + cos2 x)2 − 2 sin2 x cos2 x]
⇒ f4(x) = 1
4
(1 − 1
2
sin2 2x) =
1
4
− 1
8
sin22x
f6(x) =
1
6
(sin6 x + cos6 x)
=
1
6
[(sin2 x + cos2 x)3 − 3 sin2 x cos2 x(sin2 x + cos2 x)]
⇒ f6(x) = 1
6
(1 − 3 sin2 x cos2 x) = 1
6
− 1
8
sin22x
⇒ f4(x)− f6(x) = 1
12
∀x
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 9 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
§2: Công thức cộng cung
1) cos(a + b) = cos a cos b− sina sin b
2) cos(a− b) = cos a cos b + sin a sin b
3) sin(a+ b) = sin a cos b + sin b cos a
4) sin(a− b) = sin a cos b− sin b cos a
5) tg(a + b) =
tga + tgb
1− tgatgb
6) tg(a− b) = tga− tgb
1 + tgatgb
7) cotg(a + b) =
cotga.cotgb − 1
cotga + cotgb
8) cotg(a− b) = cotga.cotgb + 1
cotgb − cotga
Bài toán 1.7 Tính giá trị của
1) cos
pi
12
2) tg
pi
8
Bài giải
1) Ta có: cos
pi
12
= cos(
pi
4
− pi
6
) = cos
pi
4
cos
pi
6
+ sin
pi
4
sin
pi
6
=
√
6 +
√
2
4
2) Ta có: tg
pi
8
= tg(
pi
4
− pi
8
) =
tg
pi
4
− tgpi
8
1 + tg
pi
4
tg
pi
8
=
1 − tgpi
8
1 + tg
pi
8
⇔ 1− tgpi
8
= tg
pi
8
+ tg2
pi
8
⇔ tg2pi
8
+ 2tg
pi
8
− 1 = 0
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 10 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
⇔ (tgpi
8
+ 1)2 − 2 = 0 ⇔ (tgpi
8
+ 1 −
√
2)(tg
pi
8
+ 1 +
√
2) = 0
⇔ tgpi
8
=
√
2 − 1 hoặc tgpi
8
= −√2 − 1 (loại vì tgpi
8
> 0 )
Vậy tg
pi
8
=
√
2− 1
Bài toán 1.8 Biết rằng:sin a + 7 sin b = 4(sin c + 2 sin d)cos a + 7 cos b = 4(cos c + 2 cos d)
Chứng minh rằng: 2 cos(a− d) = 7 cos(b− c)
Bài giải
Giả thiết suy ra: sin a− 8 sin d = 4 sin c− 7 sin b)cos a− 8 cos d = 4 cos c − 7 cos b)
Bình phương các đẳng thức trên và cộng lại ta được:
1 + 64 − 16 cos(a− d) = 16 + 49 − 56 cos(b− c)
⇔ 2 cos(a− d) = 7 cos(b− c)
Bài toán 1.9 Biết rằng tg(a + b) =
√
5
tg(a− b) = √3
Hãy tính tg2a và tg2b ?
Bài giải
Ta có:
tg2a = tg[(a + b) + (a− b)] = tg(a + b) + tg(a− b)
1− tg(a + b)tg(a− b) =
√
5 +
√
3
1−√15
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 11 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
tg2b = tg[(a + b)− (a− b)] = tg(a + b)− tg(a− b)
1 + tg(a + b)tg(a− b) =
√
5−√3
1 +
√
15
Bài toán 1.10 Chứng minh tg10 là số vô tỷ
Bài giải
Giả sử phản chứng: tg10 là số hữu tỷ
Áp dụng công thức:
tg2α =
2tgα
1− tg2α ta suy ra
tg20, tg40, tg80, tg160, tg320 là số hữu tỷ.
Mặt khác ta có:
tg320 = tg(300 + 20) =
tg300 + tg20
1 − tg300tg20 =
1√
3
+ tg20
1 − 1√
3
.tg20
là số vô tỷ
Suy ra mâu thuẫn với giả thiết tg320 là số hữu tỷ
Suy ra giả thiết phản chứng là sai
Vậy tg10 là số vô tỷ
Bài toán 1.11 M ABC có tgA,tgB,tgC là các số nguyên dương. Hãy
tính tgA,tgB,tgC
Bài giải
Giả sử A ≤ B ≤ C ⇒ A ≤ 600 ⇒ 0 < tgA ≤ √3
⇒ tgA = 1 ⇒ A = 450
⇒ B + C = 1350 ⇒ −1 = tg(B + C) = tgB + tgC
1− tgBtgC
⇒ (tgB − 1)(tgC − 1) = 2
⇒ tgB = 2, tgC = 3
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 12 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Bài toán 1.12 Biết
cos x + cos y + cos z
cos(x + y + z)
=
sin x + sin y + sin z
sin(x+ y + z)
= a
Chứng minh rằng:
cos(x + y) + cos(y + z) + cos(z + x) = a
Bài giải
Ta có:
cos(x+ y) = cos(x+ y+ z− z) = cos(x+ y+ z) cos z +sin(x+ y+ z) sin z
Tương tự: cos(y + z) = cos(x + y + z) cos x + sin(x + y + z) sinx
cos(z + x) = cos(x + y + z) cos y + sin(x + y + z) sin y
Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta được
cos(x+ y)+ cos(y + z) + cos(z + x) = cos(x+ y + z)(cos x+ cos y +cos z)+
+ sin(x + y + z)(sinx + sin y + sin z)
Từ giả thiết ta có:
(cos x + cos y + cos z) = a cos(x + y + z)
sin x + sin y + sin z = a sin(x + y + z)
Suy ra
cos(x + y) + cos(y + z) + cos(z + x) = a(cos2(x + y + z) + sin2(x + y + z))
⇒ cos(x + y) + cos(y + z) + cos(z + x) = a
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 13 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
§3: Hàm số lượng giác của những góc bội
sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos2 a− sin2 a
= 2 cos2 a− 1
= 1 − 2 sin2 a
tg2a =
2tga
1 − tg2a
cotg2a =
cotg2 − 1
2cotga
sin 3a = 3 sin a− 4 sin3 a
cos 3a = 4 cos3 a− 3 cos a
tg3a =
3tga − tg3a
1− 3tg2a
cotg3a =
cotg3a− 3cotga
3cotg2a− 1
Hệ quả:
sin2 a =
1 − cos 2a
2
cos2 a =
1 + cos 2a
2
tg2a =
1 − cos 2a
1 + cos 2a
sin3 a =
− sin 3a + 3 sin a
4
cos3 a =
cos 3a + 3 cos a
4
Bài toán 1.13 Chứng minh rằng:
∀x : cos3 x sin x − sin3 x cos x = 1
4
sin 4x
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 14 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Bài giải
Ta có: cos3 x sin x − sin3 x cos x = 1
2
cos2 x. sin 2x− 1
2
sin2 x. sin 2x
=
1
2
sin 2x(cos2 x − sin2 x) = 1
2
sin 2x. cos 2x =
1
2
sin 4x
Bài toán 1.14 Chứng minh rằng: ∀x :
1. sin4 x + cos4 x =
3
4
+
1
4
cos 4x
2. sin6 x + cos6 x =
5
8
+
3
8
cos 4x
Bài giải
1. Ta có:
sin4 x + cos4 x = (sin2 x + cos2 x)2 − 2 sin2 x cos2 x
= 1− 1
2
sin2 2x
= 1− 1
4
(1 − cos 4x)
=
3
4
+
1
4
cos 4x
2. Ta có:
sin6 x + cos6 x = (sin2 x + cos2 x)3 − 3 sin2 x cos2 x(sin2 x + cos2 x)
= 1− 3 sin2 x cos2 x
= 1− 3
4
sin2 2x
= 1− 3
8
(1 − cos 4x)
=
5
8
+
3
8
cos 4x
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 15 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Bài toán 1.15 Tính:
1. cos
pi
24
2. sin 180
Bài giải
1. Ta có:
cos2
pi
24
=
1 + cos
pi
12
2
(∗)
Lại có:
cos2
pi
12
=
1 + cos
pi
6
2
=
1 +
√
3
2
2
=
2 +
√
3
4
⇒ cos pi
12
=
1
2
√
2 +
√
3 =
1
2
√
2
(1 +
√
3)
Thay vào (*) ⇒ cos2 pi
24
=
1 +
1
2
√
2
(1 +
√
3)
2
=
1 + 2
√
2 +
√
3
4
√
2
⇒ cos pi
24
=
1
2
√
1 + 2
√
2 +
√
3√
2
2. Ta có:
sin 540 = cos 360
Suy ra: 3 sin 180 − 4 sin3 180 = 1− 2 sin2 180
⇔ 4 sin3 180 − 3 sin3 180 − 2 sin2 180 + 1 = 0
⇔ (sin 180 − 1)(4 sin2 180 + 2 sin 180 − 1) = 0
Vì sin 180 < 1 suy ra: 4 sin2 180 + 2 sin 180 − 1 = 0
⇔ sin 180 = −1 ±
√
5
4
mà sin 180 > 0 nên sin 180 =
−1 +√5
4
Vậy sin 180 =
√
5− 1
4
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 16 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Bài toán 1.16 Chứng minh rằng:
1. cos 200. cos 400. cos 800 =
1
8
2. cos
pi
7
. cos
2pi
7
. cos
3pi
7
=
1
8
3. tg50.tg550.tg650.tg750 = 1
Bài giải
1. Ta có:
cos 200. cos 400. cos 800 =
1
sin 200
. sin 200. cos 200. cos 400. cos 800
=
1
2 sin 200
sin 400. cos 400. cos 800
=
1
4 sin 200
sin 800. cos 800 =
1
8 sin 200
. sin 1600
=
1
8 sin 200
. sin 200 =
1
8
2. Ta có:
cos
pi
7
. cos
2pi
7
. cos
3pi
7
= − 1
sin
pi
7
sin
pi
7
. cos
pi
7
. cos
2pi
7
. cos
4pi
7
= − 1
2 sin
pi
7
sin
2pi
7
. cos
2pi
7
. cos
4pi
7
= − 1
4 sin
pi
7
sin
4pi
7
. cos
4pi
7
= − 1
8 sin
pi
7
sin
8pi
7
=
1
8
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 17 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
3. Ta có:
tg3x =
3.tgx − tg3x
1 − 3tg2x =
tgx(3 − tg2x)
1 − 3tg2x
=
tgx.(
√
3 − tgx)(√3 + tgx)
(1 +
√
3tgx)(1 −√3tgx)
= tgx.
(
tg600 − tgx
1 + tg600tgx
)
.
(
tg600 + tgx
1 − tg600tgx
)
= tgx.tg(60 − x).tg(60 + x)
Suy ra:
tg50.tg550.tg650.tg750 = tg50.tg(60 − 5)0.tg(60 + 5)0.tg750
= tg(3.5)0.tg750 = tg150cotg150 = 1
Bài toán 1.17 Biết rằng:cos x + cos y + cos z = 0cos 3x + cos 3y + cos 3z = 0
Chứng minh rằng: cos 2x. cos 2y. cos 2z ≤ 0
Bài giải
Ta có:
0 = cos 3x+cos 3y+cos 3z = 4(cos3 x+cos3 y+cos3 z)−3(cos x+cos y+cos z)
Vì cos x + cos y + cos z = 0 suy ra:
cos3 x + cos3 y + cos3 z = 0
Từ giả thiết suy ra: cos x+cos y = − cos z Lập phương hai vế được:
cos3 x + cos3 y + 3 cos x cos ycos x + cos y = − cos3 z
⇒ cos3 x + cos3 y + cos3 z = 3 cos x cos y cos z
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 18 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
⇒ cos x cos y cos z = 0
Không mất tổng quát, giả sử cos x = 0
⇒ cos y + cos z = 0 ⇒ cos y = − cos z
Khi đó:
cos 2x. cos 2y. cos 2z = (2 cos2 x− 1)(2 cos2 y − 1)(2 cos2 z − 1)
= −1(2 cosy −1)2 ≤ 0
Vậy cos 2x. cos 2y. cos 2z ≤ 0
Bài toán 1.18 Chứng minh rằng:
(4 cos2 90 − 3)(4 cos2 270 − 3) = tg90
Bài giải
Từ công thức cos 3a = 4 cos3 a− 3 cos a ⇒ 4 cos2 a− 3 = cos 3x
cos x
Ta có:
(4 cos2 90 − 3)(4 cos2 270 − 3) = cos 27
0
cos 90
.
cos 810
cos 270
=
cos 810
cos 90
=
sin 90
cos 90
= tg90
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 19 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
§4:Biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng
1) Công thức biến đổi tổng thành tích
cos a + cos b = 2 cos
a + b
2
cos
a− b
2
cos a− cos b = −2 sin a + b
2
sin
a− b
2
sin a + sin b = 2 sin
a + b
2
cos
a− b
2
sina− sin b = 2 cos a + b
2
sin
a− b
2
tga + tgb =
sin(a + b)
cos a. cos b
tga− tgb = sin(a− b)
cos a. cos b
cotga + cotgb =
sin(a + b)
sin a. sin b
cotga − cotgb = − sin(a− b)
sina. sin b
2) Công thức biến đổi tích thành tổng
cos a cos b =
1
2
[cos(a− b) + cos(a + b)]
sina sin b =
1
2
[cos(a− b)− cos(a + b)]
sin a cos b =
1
2
[sin(a− b) + sin(a + b)]
Bài toán 1.19 Tính các tổng sau:
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 20 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
1. cos
pi
5
+ cos
3pi
5
2. cos
pi
7
− cos 2pi
7
+ cos
3pi
7
3. tg90 − tg270 − tg630 + tg810
Bài giải
1. Ta có:
cos
pi
5
+ cos
3pi
5
= 2 cos
pi
5
cos
2pi
5
= 2
1
sin
pi
5
sin
pi
5
cos
pi
5
cos
2pi
5
=
1
sin
pi
5
. sin
2pi
5
cos
2pi
5
=
1
2 sin
pi
5
. sin
4pi
5
=
1
2 sin
pi
5
. sin
pi
5
=
1
2
2. Ta có:
cos
pi
7
− cos 2pi
7
+ cos
3pi
7
= − cos 6pi
7
− cos 2pi
7
− cos 4pi
7
= −
(
cos
2pi
7
+ cos
4pi
7
+ cos
6pi
7
)
= − 1
2 sin
pi
7
.
(
2 sin
pi
7
cos
2pi
7
+ 2 sin
pi
7
cos
4pi
7
+ 2 sin
pi
7
cos
6pi
7
)
= − 1
2 sin
pi
7
.
(
sin
3pi
7
− sin pi
7
+ sin
5pi
7
− sin 3pi
7
+ sin
7pi
7
− sin 5pi
7
)
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 21 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
= − 1
2 sin
pi
7
.
(
− sin pi
7
+ sin
7pi
7
)
= − 1
2 sin
pi
7
.
(
− sin pi
7
)
=
1
2
3. Ta có:
tg90 − tg270 − tg630 + tg810 = (tg90 + tg810)− (tg270 + tg630)
=
1
cos 90. cos 810
− 1
cos 270. cos 630
=
1
cos 90. sin 90
− 1
cos 270. sin 270
=
2
sin 180
− 2
sin 540
=
2(sin 540 − sin 180)
sin 180. sin 540
=
4 cos 360. sin 180
sin 180. sin 540
= 4
Bài toán 1.20 Chứng minh rằng ∀x, y, z ta luôn có:
1. sinx + sin y + sin z − sin(x + y + z) = 4 sin x + y
2
sin
y + z
2
sin
z + x
2
2. cos x + cos y + cos z + cos(x + y + z) = 4 cos
x + y
2
cos
y + z
2
sin
z + x
2
Bài giải
1.
V T = 2 sin
x + y
2
cos
x − y
2
+ 2 cos
x + y + 2z
2
sin
−x − y
2
= 2 sin
x + y
2
(cos
x− y
2
− cos x + y + 2z
2
)
= 4 sin
x + y
2
sin
x + y
2
sin
y + z
2
sin
z + x
2
= V P
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 22 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
2. Ta có:
V T = 2 cos
x + y
2
cos
x− y
2
+ 2 cos
x + y + 2z
2
cos
x + y
2
= 2 cos
x + y
2
(cos
x− y
2
+ cos
x + y + 2z
2
)
= 4 cos
x + y
2
cos
y + z
2
sin
z + x
2
*Liên hệ với M ABC : Chứng minh rằng:
1. sinA + sinB + sinC = 4 cos
A
2
cos
B
2
cos
C
2
2. sin(nA) + sin(nB) + sin(nC) =
= −4 sin nA
2
sin
nB
2
sin
nC
2
(khi n = 4k, n ∈ N∗)
= 4 cos
nA
2
cos
nB
2
cos
nC
2
(khi n = 4k + 1, n ∈ N∗)
= 4 sin
nA
2
sin
nB
2
sin
nC
2
(khi n = 4k + 2, n ∈ N∗)
= −4 cos nA
2
cos
nB
2
cos
nC
2
(khi n = 4k + 3, n ∈ N∗)
3. cosA + cosB + cosC = 1 + 4 sin A2 sin
B
2 sin
C
2
Bài giải
Áp dụng các đẳng thức trên với lần lượt (x,y,z) bằng (A,B,C);(nA,nB,nC),
trong đ