Khóa luận Phát triển tư duy toán thông qua tìm kiếm quy luật khi giải toán

Lôøi Caûm ôn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn PGS. TS. Trần Vui đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong quá trình làm khoá luận. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán trường ĐHSP Huế đã tận tình giảng dạy và chỉ bảo tôi trong suốt 4 năm học vừa qua. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trường THPT Hai Bà Trưng (đặc biệt là tổ Toán) đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi để tôi tiến hành thực nghiệm sư phạm phục vụ cho khoá luận. Nhân dịp này, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã giúp đỡ, động viên để tôi yên tâm học tập và hoàn thành khoá luận này. Huế, tháng 5 năm 2008 Sinh viên Bùi Thị Đức MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các ký hiệu viết tắt DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT GQVĐ : Giải quyết vấn đề HS : Học sinh GV : Giáo viên SGK : Sách giáo khoa THPT : Trung học phổ thông MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài Một trong những bất cập lớn nhất của giáo dục Việt Nam hiện nay là chất lượng đào tạo thấp, thiên về lý thuyết, thiếu thực tế và tính sáng tạo. Dạy học theo kiểu áp đặt, truyền thụ một chiều từ giáo viên, sự tiếp thu thụ động của học sinh, khiến các em có suy nghĩ rằng toán học đã tồn tại từ lâu với những công thức và thuật toán bất di bất dịch, sẽ không còn chổ cho những ý tưởng mới, hay ít ra là cũng không có cơ hội để những học sinh bình thường đưa ra những suy nghĩ, cách nhìn mới của bản thân, sáng tạo mới có lẽ chỉ dành cho những thiên tài như Isacc Newton … Đáng tiếc là những suy nghĩ như vậy hoàn toàn không đúng với bản chất của toán học. Việc học toán là một quá trình mang tính sáng tạo chứ không phải là tiếp thu một thực thể kiến thức đã có sẵn. Vì vậy, yêu cầu đặt ra là phải đổi mới phương pháp dạy học, cần phải thay đổi phương pháp dạy học truyền thống (lối truyền thụ tri thức áp đặt, một chiều từ người dạy đến người học, người học tiếp thu một cách thụ động theo phương thức tái hiện) đến các phương pháp dạy học tích cực, sáng tạo, người dạy tổ chức, định hướng nhận thức, phát huy vai trò chủ động, tích cực của HS để HS tự chiếm lĩnh tri thức và hình thành kỹ năng. Phương pháp giải quyết vấn đề (GQVĐ) là phương pháp dạy học đáp ứng phần nào những yêu cầu này. Đây là phương pháp dạy học mà chúng ta đang rất quan tâm. Tìm kiếm quy luật là một phương án hiệu quả trong các phương án của GQVĐ và một số người còn gọi đó là nghệ thuật của toán học (art of maths). Nhiều lần, một nhà khoa học đã tiến hành các quan sát, khám phá ra các quy luật và thiết lập các kết luận khoa học. Nhiều lần, các em học sinh (HS) đã tìm tòi, khám phá ra các quy luật, giải được các bài tập không quen thuộc. Khi thực hiện việc tìm kiếm một quy luật, tư duy của các em đã được rèn luyện và phát triển, đặc biệt là tư duy phê phán và sáng tạo – hai loại tư duy mà chúng ta đang quan tâm nhiều để dạy cho HS. Tuy nhiên, chưa có nghiên cứu nào thật chi tiết và sâu sắc về phương án tìm kiếm quy luật và sự phát triển của tư duy toán thông qua việc tim kiếm quy luật, để giáo viên và học sinh có thể hiểu rõ và vận dụng một cách linh hoạt và có hiệu quả phương án này trong giải toán. Với những lý do như vậy, tôi quyết định chọn đề tài: “Phát triển tư duy toán thông qua tìm kiếm quy luật khi giải toán” làm đề tài khoá luận tốt nghiệp của mình. II. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phương án tìm kiếm quy luật, vai trò và hiệu quả của nó trong GQVĐ; Nghiên cứu sự phát triển tư duy toán của học sinh thông qua việc tìm kiếm quy luật khi giải toán. III. Đối tượng nghiên cứu Các tài liệu liên quan đến đề tài, SGK THPT; Các hoạt động thiết kế phục vụ cho việc tìm quy luật; HS và GV ở trường THPT. IV. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu cơ sở lý luận của sự phát triển tư duy toán thông qua tìm kiếm quy luật khi giải toán; Nghiên cứu vị trí của phương án tìm kiếm quy luật trong GQVĐ; Nghiên cứu về khó khăn và thuận lợi của HS trong việc tìm quy luật khi giải toán; Vận dụng cơ sở lý luận vào tìm quy luật để giải một số bài toán. V. Phương pháp nghiên cứu 1. Phương pháp nghiên cứu lý luận Nghiên cứu nội dung và lý luận về phương án tìm kiếm quy luật khi giải toán; Phân tích sự phát triển tư duy toán thông qua việc tìm quy luật khi giải toán. 2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn Thực hành giảng dạy; Điều tra, phỏng vấn, thu thập ý kiến; Nghiên cứu hoạt động. VI. Cấu trúc khoá luận Mở đầu Chương 1: Cơ sở lý luận Tư duy toán học Phương pháp giải quyết vấn đề Sử dụng phương án tìm kiếm quy luật khi giải toán Chương 2: Phương án tìm kiếm quy luật trong giải quyết vấn đề Phương án tìm kiếm quy luật trong giải quyết các vấn đề từ các tình huống thực tế hằng ngày Áp dụng phương án tìm kiếm quy luật trong giải toán Chương 3: Thực nghiệm sư phạm Mục đích và ý nghĩa thực nghiệm Quá trình thực nghiệm Thu thập dữ liệu, phân tích và lý giải các dữ liệu của thực nghiệm Kết luận sư phạm Kết luận CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN Polya (1887 - 1985) là một trong những nhà nghiên cứu giáo dục Toán nổi tiếng có nhiều đóng góp cho giáo dục. Đặc biệt là những nghiên cứu của ông tập trung nhiều vào phương pháp và các bước để giải quyết bài toán. Polya đã cho rằng Euler là nhà Toán học vĩ đại nhất trong những nhà Toán học bởi vì Euler luôn giải thích bằng cách nào ông tìm ra kết quả. Polya cũng thường nói với học sinh mình rằng: “Tôi biết chứng minh của em là hoàn toàn đúng nhưng hãy giải thích cho tôi bằng cách nào em đã tìm ra nó”. Điều này chứng tỏ Polya đặc biệt quan tâm đến con đường để mỗi học sinh có thể tiếp cận một bài toán hơn là kết quả mà học sinh đó đưa ra. Tìm kiếm một quy luật là một con đường hiệu quả để HS tiếp cận, giải quyết một bài toán. Một số người còn gọi đó là nghệ thuật của Toán học. Đây là một phương án được quan tâm hàng đầu trong các phương án của GQVĐ. Vậy hiệu quả của phương án này như thế nào? Chúng ta tiến hành tìm quy luật như thế nào? Thông qua quá trình tìm kiếm quy luật phát triển tư duy toán của học sinh như thế nào? Chúng ta sẽ tiến hành nghiên cứu và lần lượt trả lời những câu hỏi này. Trước hết chúng ta sẽ tìm hiểu một số vấn đề về tư duy toán và nhiệm vụ phát triển tư duy toán của dạy học môn Toán hiện nay. 1. Tư duy toán học 1.1. Các mức độ của tư duy toán học Hiện thực xung quanh có rất nhiều cái mà con người chưa biết. Nhiệm vụ của cuộc sống và hoạt động thực tiễn luôn đòi hỏi con người phải hiểu thấu những cái chưa biết đó ngày một sâu sắc, đúng đắn và chính xác hơn, phải vạch ra được cái bản chất và những quy luật tác động của chúng. Quá trình nhận thức đó gọi là tư duy. Bản chất của quá trình tư duy được thúc đẩy do nhu cầu của xã hội, tức ý nghĩ con người được hướng vào giải quyết các nhiệm vụ nóng hổi nhất của giai đoạn lịch sử đó. Tư duy được nảy sinh khi trong hoạt động thực tiễn xuất hiện một mục đích mới, một vấn đề mới mà những phương tiện, phương pháp hoạt động quen thuộc không đủ để giải quyết (những hoàn cảnh (tình huống) như thế gọi là hoàn cảnh có vấn đề). Thuật ngữ tư duy dùng để chỉ khả năng của HS để đạt đến một kết luận có cơ sở từ những dữ liệu đã cho. HS phải đặt giả thuyết, những tính chất trừu tượng từ những mối liên hệ trong những tình huống có vấn đề, sau đó đi đến kết luận và lý giải các kết quả đạt được. Những kết luận này sẽ được tổng hợp để hình thành những ý tưởng mới. Chúng ta cần phân biệt hai thuật ngữ “suy luận” và “tư duy”. Suy luận được xem là một bộ phận của tư duy, nó nằm trên mức độ kiến thức hay nhắc lại. Suy luận Bậc cao Sáng tạo Phê phán Hiểu Nhắc lại Các khối tư duy toán học được xếp theo mức độ từ thấp đến cao như hình vẽ dưới đây: Chúng ta chia tư duy thành bốn thành phần chính: nhắc lại, hiểu, phê phán, sáng tạo. Giữa các mức độ tư duy có sự tương tác qua lại, mỗi mức độ tư duy sử dụng rộng rãi những kỹ năng bên dưới nó. Ngay trong những mức độ của tư duy bậc cao cũng đã có sự tương tác qua lại rất lớn giữa tư duy phê phán và tư duy sáng tạo. Nhắc lại: bản chất dường như là tự động và phản xạ. Những phép tính nhẩm, những công thức, những định lý, những thuật toán, … mà học sinh đã được học sẽ được học sinh thu nhận và nỗ lực một cách có nhận thức để chuyển vào bộ nhớ. Việc gọi lại một sự kiện cơ bản hoặc thể hiện một thuật toán gọi là tư duy nhắc lại. Khu vực gọi ra được mở rộng một cách thường xuyên khi cá nhân xúc tiến quá trình học tập của mình. Hiểu: đây là loại tư duy cơ bản, gồm việc hiểu các khái niệm toán và nhận ra sự áp dụng của chúng vào giải toán, vào thực tiễn cuộc sống. Ví dụ: Ta có khái niệm: “Trung bình điều hoà của hai số là nghịch đảo của trung bình cộng của hai nghịch đảo của hai số đã cho”. Từ khái niệm này HS hiểu rằng trung bình điều hoà của hai số a và b là Và nhận ra sự áp dụng của công thức này là để tính vận tốc trung bình của hai vận tốc trên cùng một đoạn đường. Xét các vận tốc , tương ứng với các thời gian , trên cùng một đoạn đường s. Khi đó vận tốc trung bình trên toàn bộ các đoạn đường đi được là: . Đó chính là trung bình điều hoà. Phê phán: là tư duy xem xét, liên hệ và đánh giá tất cả mọi khía cạnh của tình huống hoặc bài toán. Các kỹ năng của tư duy phê phán bao gồm: - tập trung vào những yếu tố của bài toán hay tình huống khó khăn; - thu thập và sắp xếp thông tin trong bài toán; - nhớ và kết hợp với thông tin đã học. Bản chất của tư duy phê phán là phân tích và phản ánh. Đây là loại tư duy đóng vai trò quan trọng trong giải toán của người học, giúp người học đọc hiểu được bài toán. Sáng tạo: là tư duy có tính khởi đầu, hiệu quả và sản sinh ra một sản phẩm phức tạp. Tư duy sáng tạo có tính phát minh, trực giác và tưởng tượng. Các kỹ năng của tư duy sáng tạo bao gồm: - tổng hợp các ý tưởng; - tổng quát các ý tưởng; - áp dụng các ý tưởng. 1.2. Nhiệm vụ của dạy học môn Toán Chúng ta đang đổi mới cách dạy học toán từ thụ động một chiều sang dạy học tích cực hoá nhằm phát triển tư duy toán học. Lớp học toán được chuyển đổi từ mô hình dạy học truyền thống với thầy giáo làm trung tâm sang dạy học lấy HS làm trung tâm. Đây là một sự chuyển đổi tích cực, hy vọng về một nền giáo dục phát triển của Việt Nam trong tương lai. Nhiệm vụ của người giáo viên (GV) là mở rộng trí tuệ cho HS chứ không phải là làm đầy trí tuệ cho các em bằng cách truyền thụ các tri thức đã có. Việc mở rộng trí tuệ cho học sinh đòi hỏi GV phải biết cách dạy cho HS tự suy nghĩ để GQVĐ mà HS gặp phải trong quá trình học và trong cuộc sống. Thông qua dạy học GQVĐ, giáo viên sẽ dạy học sinh suy luận. Những chương trình toán thí điểm hiện nay chú trọng đến những nhu cầu dạy những kỹ năng “tư duy bậc cao” bao gồm tư duy phê phán, tư duy sáng tạo cho HS thông qua dạy học theo phương pháp giải quyết vấn đề và khảo sát toán học. Chúng ta dạy cho HS biết con đường mà kiến thức toán được thiết lập, chứ không chỉ là nội dung của các kiến thức toán mà những nhà toán học đã thiết lập được. Ví dụ: không phải chúng ta dạy HS chứng minh tổng của n số tự nhiên liên tiếp là mà chúng ta dạy HS đi tìm tổng của n số tự nhiên liên tiếp. Tức là chúng ta đang dạy HS tư duy. Chúng ta luôn mong muốn những kỹ năng tư duy bậc cao này được phát triển thông qua việc dạy GQVĐ theo cả hai khía cạnh. Thứ nhất là giải quyết vấn đề như là một đối tượng của dạy học và thứ hai là sử dụng nó như là một phương pháp dạy học GQVĐ thông qua tất cả các hoạt động dạy học. Tư duy sáng tạo, tư duy phê phán và tư duy GQVĐ là tất cả các khía cạnh học tập của HS. Chúng sẽ trở thành một phần chính trong hoạt động dạy học hằng ngày của chúng ta. Chúng ta phải làm cho lớp học toán phản ánh được yêu cầu này về hiểu biết toán và năng lực toán. Năng lực toán phải bao gồm khả năng “khám phá, đặt giả thuyết và suy luận logic cũng như khả năng sử dụng các phương pháp toán học khác nhau một cách có hiệu quả để giải quyết các bài toán không quen thuộc trước đó”. Phát triển và rèn luyện cho HS những kỹ năng suy luận và GQVĐ sẽ là nhiệm vụ chính mà các GV toán phải thường xuyên thực hiện trong lớp học toán. Tóm lại, dạy có hiệu quả là dạy như thế nào để làm cho HS hiểu thế nào là Toán học và có tư duy toán học để phát triển. 2. Phương pháp giải quyết vấn đề 2.1. Giới thiệu về phương pháp GQVĐ Trong những năm gần đây, phương pháp GQVĐ đã trở thành một trong những phương pháp chính được sử dụng để dạy học môn Toán ở tất cả các bậc học tại nhiều nước trên thế giới. Hội đồng những người hướng dẫn bộ môn Toán của Mỹ (The National Counsil of Supervisors of Mathermatics) đã khẳng định rằng “Học phương pháp để giải quyết bài toán là mục đích chính của việc học Toán”. Trong giáo dục toán người ta thường dùng các thuật ngữ như câu hỏi, bài tập, bài toán (vấn đề). Các thuật ngữ này được phân biệt như sau: Câu hỏi: một tình huống mà ta có thể giải bằng cách tái hiện lại kiến thức hoặc trí nhớ; Bài tập: một tình huống liên quan đến luyện tập và thực hành để cũng cố những kỹ năng và thuật toán đã được học trước đó; Bài toán: là một tình huống đòi hỏi tư duy và sự tổng hợp các kiến thức đã được học trước đó để giải. Khi đứng trước một bài toán HS không thấy được ngay các phương pháp hoặc con đường thu được lời giải. Để trả lời một câu hỏi, giải một bài tập, thường học sinh giải quyết dựa trên những kinh nghiệm sẵn có, có thể đó là dạng toán mà học sinh đã gặp, đã làm, bài toán đã được cung cấp thuật toán sẵn. Nhưng khi gặp dạng toán mới (bài toán) yêu cầu sử dụng những phân tích hợp lý để đi đến kết quả thì học sinh sẽ gặp phải trở ngại và rơi vào thế bị động. GQVĐ là một phương pháp giúp học sinh khắc phục được điều này. Mục đích chính của phương pháp này là hướng dẫn và rèn luyện học sinh lúc đứng trước một tình huống phải biết phân tích và tư duy một cách linh hoạt để tìm ra con đường tốt nhất để giải quyết. Về cơ bản, GQVĐ là quá trình tìm tòi “phương án” (strategy) để giải bài toán không quen thuộc. Phương án khác với thuật toán (algorithm). Có phương án tốt chưa chắc đã giải đúng. Còn thuật toán nó có tính chất quy trình giải toán (procedure), nếu áp dụng đúng bảo đảm có lời giải đúng. Quá trình GQVĐ thách thức đối với người học, đến đây người học phải thể hiện tư duy toán của mình. Các bước để giải một bài toán (vấn đề): Đọc hiểu bài toán; Lên phương án giải toán; Giải toán; Xem lại (kiểm tra, mở rộng bài toán). Trong tác phẩm nổi tiếng của George Polya là: “How to solve it” đã giới thiệu những phương pháp GQVĐ rất hiệu quả. Phương pháp của Polya được gọi với một thuật ngữ chung là “hueristics” (GQVĐ bằng cách đánh giá kinh nghiệm và tìm lời giải qua thử nghiệm). Polya cũng từng nói rằng: “ Vấn đề của bạn có thể là đơn giản nhất, nhưng nếu nó tạo cho bạn sự tò mò, mang lại những ý tưởng sáng tạo và bạn giải quyết nó bằng năng lực bản thân thì điều đó sẽ đem lại những kinh nghiệm cùng niềm vui của sự khám phá”. Khi nói đến GQVĐ chúng ta cần phải hiểu rằng: - Đối với học sinh, đó chính là phương pháp để hình thành con đường tiếp cận bài toán; - Đối với giáo viên, GQVĐ lại mang ý nghĩa của một phương pháp dạy học mới. Hai khía cạnh này liên quan chặt chẽ với nhau bởi vì với phương pháp truyền thống học sinh khó có thể hình thành và rèn luyện GQVĐ. Chính vì vậy, phương pháp GQVĐ cần được tồn tại và phát triển trong một môi trường dạy học GQVĐ tạo ra. Để làm được điều này, giáo viên phải là người đi đầu, phải đưa ra những vấn đề với nhiều cách giải quyết linh hoạt để minh họa cho những phương pháp GQVĐ. Sau đó, giáo viên sẽ đưa ra những vấn đề mở rộng để chứng tỏ sức mạnh của phương pháp này. Học sinh phải thật sự kiên nhẫn bởi vì đối với học sinh bắt đầu quá trình GQVĐ cũng có nghĩa là bắt đầu quá trình của những khám phá. 2.2. Các phương án GQVĐ cơ bản Muốn GQVĐ thì trước tiên, học sinh phải đọc hiểu vấn đề và thăm dò để lựa chọn phương án giải. Đây là giai đoạn khó và quan trọng nhất. Có nhiều phương án cụ thể trong giải quyết vấn đề. Việc chọn phương án phù hợp với học sinh là cần thiết. Trong phần này chúng ta quan tâm đến mười phương án thường được sử dụng ở bậc phổ thông trong những tình huống toán và cuộc sống. Trong lớp học toán những phương pháp này sẽ cung cấp đan xen để giải quyết các tình huống có vấn đề nảy sinh trong bản thân chương trình toán. Các phương án GQVĐ: Tìm quy luật Làm ngược Xét trường hợp đặc biệt Minh họa bằng hình vẽ Đoán và thử thông minh Liệt kê khả năng có thể Chứng minh bằng phản chứng Tổng quát hóa Suy luận lôgic Phương án GQVĐ Nhìn theo một cách khác Trong mười phương án này, chúng ta sẽ đi sâu vào nghiên cứu phương án tìm kiếm quy luật. Thông qua việc giải một số bài toán bằng phương án tìm kiếm một quy luật, chúng ta sẽ phân tích quá trình tìm kiếm để thấy được hiệu quả của phương án này trong GQVĐ và thấy được sự phát triển tư duy thông qua việc tìm kiếm quy luật. Hơn nữa, qua đây chúng ta tích luỹ thêm kinh nghiệm của việc sử dụng phương án này nói riêng và kinh nghiệm giải toán nói chung. 3. Sử dụng phương án tìm kiếm quy luật khi giải toán Có những bài toán thiết lập bởi một quá trình lặp đi lặp lại nhưng với kết quả là bất biến theo một nghĩa nào đó. Trong thực tế luôn xảy ra một quá trình lặp lại và phổ biến theo một quy luật nào đó. Nhiệm vụ của chúng ta là phải tìm những bất biến trong quá trình hoặc những kết quả hội tụ của quá trình đó. Chúng ta có thể gọi công việc này là tìm kiếm quy luật trong giải toán. Ví dụ 3.1: Tìm số hạng tiếp theo của dãy số sau: 3; 6; 13; 24; 39; … Các sai khác giữa các số hạng liên tiếp của dãy số đã cho tạo thành dãy số thứ hai: 3; 7; 11; 15; … Các sai khác giữa các số hạng liên tiếp của dãy số thứ hai này tạo thành dãy số: 4; 4; 4; ... Đến đây thì ta đã tìm được một sự bất biến, đó là một dãy hằng, số hạng thứ tư của dãy thứ ba này là 4. Do đó số hạng tiếp theo của dãy thứ hai là 19 (=15 + 4). Do đó, số hạng tiếp theo của dãy số đã cho là 58 (= 39 + 19). Như vậy, điều quan trọng để giải quyết bài toán này là tìm ra sai khác thứ hai là một dãy hằng, tức là tìm ra bất biến. Mỗi dãy số có thể đều tồn tại một bất biến tiềm ẩn đang nằm đâu đó, chúng ta hãy đi tìm kiếm bất biến đó. Một cách suy luận tương tự như thế chúng ta có thể giải quyết được nhiều bài toán khác. Tìm ra quy luật của một bài toán phụ thuộc rất nhiều yếu tố: sự khéo léo trong quan sát, sự nhảy cảm dự đoán và kiểm tra của chúng ta. Từ những kinh nghiệm đã trải qua trong tính toán và các bài toán tương tự, từ khả năng liên hệ bài toán tương tự với điều kiện mới, vv… Chúng ta xét một ví dụ khác: Ví dụ 3.2: Cho trước số tự nhiên n. Hãy tìm tổng của các số tự nhiên 1; 2; …; n. Ta ký hiệu là tổng phải tìm, nghĩa là: (3.2). Mục đích của chúng ta là tìm ra công thức ngắn gọn để tính tổng trên, công thức đó giúp ta tính nhanh gọn hơn là phải thực hiện các phép cộng trong tổng. Bây giờ, ta sẽ tính tổng từ đẳng thức (3.2) với một vài số tự nhiên liên tục, chẳng hạn bắt đầu từ 1. Kết quả thu được ở bảng sau: n 1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15 21 Chúng ta cố gắng tìm ra quy luật với bảng trên, mỗi số tự nhiên ở hàng trên trong bảng cho tương ứng với các số ở hàng dưới. Từ bảng trên ta nhận thấy một quy luật: tích của hai số liên tục ở hàng trên bằng hai lần số đầu tiên tương ứng ở hàng dưới. Thật vậy: ; ; ; ; . Như vậy, ta đã tìm ra quy luật với các trường hợp riêng 1; 2; 3; … Mở rộng quy luật trên cho bảng số với các số tự nhiên bất kỳ ta đưa ra giả thuyết thích hợp với quy luật vừa tìm được: . Để chứng minh công thức này ta dùng phương pháp quy nạp. Để tìm một quy luật chúng ta cần so sánh và đối chiếu. Chúng ta phải so sánh để tìm nét đặc trưng tồn tại trong các phần tử của tập hợp chứa quy luật. Còn phép đối chiếu để tìm ra những yếu tố thay đổi. Quy luật có thể xuất hiện ở nhiều dạng: quy luật của các số, quy luật của hình học, quy luật của từ ngữ, vv … Như chúng ta đã nói “tìm kiếm quy luật” là một bài toán thách thức khả năng tư duy của chúng ta. Đòi hỏi chúng ta phải biết phân tích, so sánh, đối chiếu, suy đoán, … Chúng ta phải có trực giác, sự trải nghiệm, … tức chúng ta phải có tư duy và ở đây quan trọng là tư duy phê phán, tư duy sáng tạo và tư duy giải quyết vấn đề. Thật sự thì cũng không có một quy trình nào thật cụ thể cho quá trình tìm kiếm quy luật. “Quy luật từ trên trời