Luận án Phép tính tenxơ và một số ứng dụng trong cơ học vật rắn biến dạng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ----------------- ĐÀO THỊ BÍCH THẢO PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ----------------- ĐÀO THỊ BÍCH THẢO PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG Mã số: 60440107 Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS VŨ ĐỖ LONG Hà Nội- Năm 2014 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Vũ Đỗ Long đã tận tình hướng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi và thường xuyên động viên để tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo Bộ môn Cơ học, Trường đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN và các thầy, cô trong Khoa Toán – Cơ – Tin học đã quan tâm, giúp đỡ và tạọ điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian tác giả học tập và nghiên cứu tại Khoa. Tác giả xin cảm ơn các nhà khoa học, các thầy cô giáo trong seminar Cơ học vật rắn biến dạng đã có những góp ý quý báu trong quá trình tác giả thực hiện luận văn. Tác giả xin cảm ơn các thầy, cô giáo, các cán bộ Phòng Sau đại học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình nghiên cứu của tác giả. Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình và các bạn bè thân thiết của tác giả, những người đã luôn ở bên cạnh động viên và giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả Đào Thị Bích Thảo MỤC LỤC TỔNG QUAN ......................................................................................................... 1 Chương 1 - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ ..................................... 3 1.1 Một số khái niệm cơ bản ................................................................................ 3 1.2. Phép biến đổi tọa độ ...................................................................................... 5 1.2.1. Hệ tọa độ Đề các ........................................................................................ 5 1.2.2. Hệ tọa độ cong ........................................................................................... 7 1.2.3. Phép biến đổi tọa độ ................................................................................... 8 1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide ..................................................... 14 1.3. Thành phần vật lý của tenxơ ........................................................................ 20 1.3.1. Tenxơ hạng nhất ....................................................................................... 20 1.3.2. Tenxơ hạng hai ......................................................................................... 21 1.3.3. Khai triển cụ thể ....................................................................................... 21 1.4. Đạo hàm hiệp biến ....................................................................................... 23 1.4.1. Đạo hàm véctơ cơ sở ................................................................................ 23 1.4.2. Kí hiệu Christoffel .................................................................................... 25 1.4.3. Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng nhất.................................................... 31 1.4.4. Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng hai ..................................................... 32 Chương 2 - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ ........................... 33 2.1. Ứng dụng tenxơ xác định phương trình cân bằng- chuyển động. ................ 33 2.2. Ứng dụng tenxơ xác định các thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị ...... 42 2.3. Ứng dụng tenxơ trong bài toán vỏ mỏng ...................................................... 48 2.3.1 Trình bày lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi ......................................................... 48 2.3.2. Thành phần biến dạng của vỏ mỏng .......................................................... 49 2.3.3. Phương trình cân bằng .............................................................................. 52 2.3.4 Khai triển cho vỏ trụ, vỏ cầu ...................................................................... 53 1 TỔNG QUAN Tenxơ là một khái niệm trong toán học phục vụ cho việc thiết lập và giải quyết các vấn đề vật lý trong nhiều lĩnh vực như cơ học môi trường liên tục, lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tương đối rộng Tenxơ lần đầu tiên được nghiên cứu bởi các nhà toán học Tullio Levi-Civita và Gregorio Ricci- Curbastro cùng một số nhà toán học khác. Trong luận văn này tenxơ được sử dụng để biểu diễn quan hệ ánh xạ giữa các tập véctơ hình học. Để giải các bài toán trong lý thuyết đàn hồi người ta thường sử dụng hệ các phương trình cân bằng, phương trình chuyển động, hệ thức Côsi liên hệ biến dạng - chuyển vị. Việc thiết lập các phương trình đó dựa trên các hệ tọa độ cong như hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu ,.là tương đối phức tạp. Vì vậy trong các bài báo hay các giáo trình cơ học nói chung thường chỉ nêu ra trực tiếp phương trình cân bằng, hệ thức Côsi mà không nói rõ các bước biến đổi để thu được kết quả. Luận văn trình bày rõ ràng các khái niệm, phép tính cơ bản, các phép biến đổi của tenxơ. Trên cơ sở đó vận dụng các phép tính của tenxơ để xác định các phương trình liên hệ biến dạng - chuyển vị, các phương trình cân bằng- chuyển động trong hệ tọa độ cong bất kỳ. Từ kết quả trên sau khi biến đổi, tác giả đã thu được các phương trình liên hệ biến dạng – chuyển vị cũng như hệ phương trình cân bằng trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu. Luận văn bao gồm phần mục lục, tổng quan, hai chương, phần kết luận và tài liệu tham khảo. Nội dung chính của luận văn bao gồm: - Chương 1 trình bày khái niệm, thành phần vật lý của tenxơ, một số phép tính của tenxơ và đạo hàm hiệp biến của ten xơ hạng nhất, hạng hai. Đồng thời tác giả cũng trình bày cách biến đổi để thu được hệ véctơ cơ sở, tenxơ mêtric hiệp biến và phản biến, các thành phần của kí hiệu Christoffel, hệ số Lamé trong hệ tọa độ cong, cụ thể là hệ tọa độ trụ và cầu, từ đó giúp ích cho việc xác định các phương trình cân bằng- chuyển động, phương trình liên hệ biến dạng- chuyển vị ở chương 2. 2 - Chương 2 vận dụng các hệ thức cơ sở của phép tính tenxơ để xây dựng các phương trình cân bằng- chuyển động và xây dựng các phương trình liên hệ biến dạng- chuyển vị. Đồng thời cũng trình bày ứng dụng của tenxơ trong bài toán vỏ mỏng, cụ thể hơn là áp dụng khai triển cho vỏ trụ và vỏ cầu. Nội dung của luận văn sẽ được trình bày chi tiết dưới đây: 3 Chương 1 - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ 1.1 Một số khái niệm cơ bản Định nghĩa Tenxơ là trường hợp riêng của hệ thống phần tử, các thành phần của hệ là hằng số hoặc là hàm số xác định trong hệ cơ sở đã cho, với phép biến đổi tuyến tính của hệ cơ sở các thành thay đổi theo một quy luật xác định. Hệ thống kí hiệu Các kí hiệu trong hệ thống đặc trưng bởi một hay nhiều chỉ số trên và dưới. Ví dụ như , , , . Theo quy ước: các chỉ số bằng chữ la tinh lấy cá giá trị 1,2,3. Ví dụ, nếu kí hiệu nghĩa là biểu thị 1 trong 3 phần tử , , . biểu thị 1 trong 9 phần tử , , , , , , , , . Hạng của tenxơ Hạng của tenxơ xác định bằng số lượng chỉ số trong kí hiệu tenxơ. Như phụ thuộc vào một chỉ số nên là hệ thống hạng 1 bao gồm 3 hạng tử. phụ thuộc vào 2 chỉ số (, ) nên là hệ thống hạng 2 bao gồm 3 = 9 phần tử. Tổng quát: hệ thống phụ thuộc n chỉ số là hệ thống hạng n gồm 3 phần tử. Quy ước về chỉ số Chỉ số trong hệ thống tenxơ tuân theo quy ước: “ Trong một biểu thức, nếu chỉ số lặp lại 2 lần , nó biểu thị tổng đó từ 1 đến 3”. Chỉ số như vậy là chỉ số câm nên nó có thể thay bằng chữ khác. Ví dụ: = = + + . Hệ thống đối xứng Xét hệ thống hạng hai Nếu thay đổi chỗ của 2 chỉ số cho nhau, các thành phần của hệ thống không thay đổi dấu giá trị thì hệ thống gọi là hệ thống đối xứng. = . 4 Nếu thay đổi vị trí của 2 chỉ số cho nhau, thành phần của hệ thống chỉ thay đổi dấu mà không thay đổi giá trị tuyệt đối thì hệ thống là hệ thống phản đối xứng. = − . Ví dụ hệ thống Kronecker = 1 , 0 , nếu = nếu ≠ là hệ thống đối xứng Mở rộng cho hệ có nhiều hệ số Hệ thống đối xứng với hai chỉ số nào đấy, nếu thành phần của nó không thay đổi khi đổi chỗ hai chỉ số đó cho nhau. Ví dụ: Nếu hệ thống đối xứng theo 2 chỉ số ( , ) thì = . Hệ thống Levi-Civita là một hệ thống phản đối xứng hạng 3 = 0, 1, − 1, khi 2 chỉ số bất kỳ bằng nhau khi , , là hoán vị chẵn của các số 1, 2, 3. khi , , là hoán vị lẻ của các số 1, 2, 3 Cụ thể: = = = 1 , = = = − 1, Cách thành phần còn lại của = 0. Loại tenxơ Loại tenxơ (phản biến, hiệp biến, hỗn hợp) được xác định bởi vị trí của chỉ số. Hệ thống hạng hai gọi là tenxơ hiệp biến hạng hai. Hệ thống hạng hai gọi là tenxơ phản biến hạng hai. Hệ thống hạng hai gọi là tenxơ hỗn hợp hạng hai 5 1.2. Phép biến đổi tọa độ 1.2.1. Hệ tọa độ Đề các Xét trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc , , với véc tơ cơ sở {⃗, ⃗, ⃗} (Hình 1) ⃗ = ⃗(, , ) là véctơ bán kính của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác. Véc tơ ⃗ được biểu diễn dưới dạng ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ = ⃗ ( = 1,2,3). (1.1) Xét điểm Q là lân cận của điểm P. ⃗= ⃗ = (⃗)= ⃗ + ⃗ = ⃗ . ( ⃗ = 0) là độ dài bình phương vô cùng nhỏ của ⃗ = ⃗.⃗ = ⃗ .⃗ = ⃗.⃗ Do trong hệ tọa độ Đềcác hệ các véctơ cơ sở {⃗, ⃗, ⃗} là các véctơ đơn vị và trực giao nên tích vô hướng ⃗.⃗=0 nếu ≠ , ⃗.⃗ = 1 nếu = nên ⃗.⃗ = . Suy ra: = ⃗.⃗ = = = () + () + (). a. Các phép tính đối với tenxơ hạng nhất ( vectơ ) Xét một hệ thống ⃗ có các thành phần trong hệ cơ sở ⃗. Phép cộng ⃗ + ⃗ = ⃗ + ⃗ = ( + )⃗ = ( + )⃗ + ( + )⃗ + ( + )⃗. Nhân với một số O Hình 1. 6 ⃗ = (⃗)= ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗. Nhân vô hướng ⃗.⃗ = ⃗. ⃗ = ⃗.⃗ = = = + + . Nhân véctơ ⃗ × ⃗ = ⃗ ⃗ ⃗ = ( − )⃗ + ( − )⃗ + ( − )⃗. Hay viết dưới dạng: ⃗ × ⃗ = ⃗ × ⃗ = ⃗ × ⃗ = ⃗ = ⃗ − ⃗ − ⃗ − ⃗ + ⃗ + ⃗ = ( − )⃗ + ( − )⃗ + ( − )⃗. Tích hỗn hợp ⃗ × ⃗⃗ = ⃗. ⃗ = ⃗.⃗ = = = − − + + − = + + − − − . Tích tenxơ ( ký hiệu tích tenxơ là ⊗ ) ⃗⨂ ⃗ = ⃗ ⊗ ⃗ = ⃗⨂ ⃗ = ⃗⨂ ⃗ + ⃗⨂ ⃗ + ⃗⨂ ⃗ + ⃗⨂ ⃗ + ⃗⨂ ⃗ +⃗⨂ ⃗ + ⃗⨂ ⃗ + ⃗⨂ ⃗ + ⃗⨂ ⃗ b. Các phép tính đối với tenxơ hạng hai. Tenxơ hạng cao Đối với tenxơ hạng hai và tenxơ hạng cao, các phép tính cũng được thực hiện tương tự như đối với tenxơ hạng nhất. Chú ý là phép tính cộng, trừ chỉ áp dụng được với các tenxơ cùng hạng và cùng loại. Phép nhân có thể thực hiện với hai tenxơ có hạng bất kỳ. Ví dụ: xét tenxơ hạng hai : = ⃗⃗ 7 Phép cộng ⃗⃗ + ⃗⃗ = + ⃗⃗ . Phép trừ ⃗⃗ − ⃗⃗ = − ⃗⃗ . Phép nhân vô hướng ⃗⃗.⃗ = ⃗⃗.⃗ = ⃗ = ⃗ . ⃗⃗.⃗⃗ = ⃗⃗⃗.⃗ = ⃗⃗ = ⃗⃗ . Tích tenxơ ⃗⃗ ⊗ ⃗⃗ = ⃗⃗ ⊗ ⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ . Phép nhân( tích tenxơ) của các ten xơ dẫn đến tenxơ hạng cao hơn với chú ý sau các phép cộng và nhân tenxơ, chỉ số dưới vẫn là chỉ số dưới, chỉ số trên vẫn là chỉ số trên. 1.2.2. Hệ tọa độ cong Hệ tọa độ cong , , với hệ véc tơ cơ sở {⃗, ⃗, ⃗} (Hình 2). ⃗ = ⃗(, , ) là véctơ bán kính của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ cong. Biểu diễn véc tơ ⃗ dưới dạng : ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ = ⃗. (1.2) Lấy điểm ( + ) là lân cận của điểm (). ⃗ = ⃗ = ⃗ . ⃗ ⃗ ⃗ O Hình 2 8 Độ dài bình phương của véc tơ vô cùng nhỏ ⃗được xác định bằng = ⃗.⃗ = ⃗ ⃗ = ⃗.⃗ = . Trong đó = ⃗.⃗ . Phép tính đối với vectơ Cho hai véctơ ⃗ = ⃗ = ⃗ và ⃗ = ⃗ = ⃗ Phép cộng, trừ ⃗ ± ⃗ = ( ± )⃗ = ( ± )⃗ . Tích vô hướng ⃗.⃗ = ⃗. ⃗ = ⃗.⃗ = = ⃗ .⃗ = ⃗ .⃗ = . 1.2.3. Phép biến đổi tọa độ Bán kính ⃗ của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác (, ⃗, ⃗, ⃗) biểu diễn dưới dạng: ⃗= ⃗ = ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗. Với các véc tơ cơ sở ⃗ là không đổi. Trong tọa độ cong , , bất kỳ, các biến liên hệ với tọa đồ Đề các trong miền đang xét bằng phép biến đổi thuận nghịch liên tục vi phân được, đơn trị. = (, , ) và = (, , ). Jacôbiên của 2 phép biến đổi thuẩn nghịch đều khác không. = ≠ 0 ; ̅= ≠ 0. Ta có: = ∙ = ∙ + ∙ + ∙ = . Suy ra 2 ma trận ; là nghịch đảo của nhau. Ta kí hiệu : 9 ⃗ = ⃗ ; ⃗ = ⃗ ; ⃗ = ⃗ hay ⃗ = ⃗ = ⃗,. (1.3) Các véctơ ⃗ = ⃗()= ⃗( , , ) thay đổi từ điểm này sang điểm khác gọi là hệ véctơ cơ sở hiệp biến của hệ tọa độ cong. Trong đó ⃗ là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ ; ⃗ là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ ; ⃗ là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ . Cùng với hệ véctơ cơ sở ⃗, ta đưa vào hệ véctơ cơ sở phản biến ⃗ liên hệ theo hệ thức sau ⃗.⃗ = (1.4) Nếu xét một lân cận vô cùng nhỏ của điểm P trong tọa độ cong, thì chuyển dịch vô cùng nhỏ từ () tới điểm ( + ) cho ta vi phân vô cùng nhỏ của véc tơ bán kính ⃗ của điểm . ⃗ ≈ ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ = ⃗ . Vậy véctơ ⃗ được biểu diễn dưới dạng: ⃗ = ⃗. Phép biến đổi đơn trị, thuận nghịch vi phân được từ hệ tọa độ cong này (, , ) sang hệ tọa độ cong khác ;;. = ∙ . (1.5) Ta kí hiệu ⃗ là các rêpe địa phương trong hệ tọa độ cong ;;. Do đó ⃗ sẽ được xác định từ biểu thức: ⃗ = ⃗ = ⃗ ∙ (1.6) Thay ⃗ ở (1.3) vào ( 1.6), biểu thức trở thành: ⃗ = ⃗ = ∙⃗ ; ≠ 0. (1.7) 10 Khai triển cụ thể sẽ được kết quả: ⃗ = ∙⃗ + ∙⃗ + ∙⃗ ⃗ = ∙⃗ + ∙⃗ + ∙⃗ (1.8) ⃗ = ∙⃗ + ∙⃗ + ∙⃗. Ngược lại, nếu biến đổi từ hệ tọa độ cong ;; sang hệ tọa độ cong (, , ). ⃗ = ⃗ = ⃗ ∙ = ∙⃗ . (1.9) Khai triển cụ thể (1.9) ⃗ = ∙⃗ + ∙⃗ + ∙⃗ ⃗ = ∙⃗ + ∙⃗ + ∙⃗ (1.10) ⃗ = ∙⃗ + ∙⃗ + ∙⃗ . Xét một véctơ (tenxơ hạng nhất) bất kỳ ⃗(, , ). Có thể biểu diễn véc tơ ⃗ dưới dạng: ⃗ = ⃗ = ⃗ . Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ cong khác, véctơ ⃗ không đổi. Biểu diễn ⃗ với các thành phần phản biến ⃗ = .⃗ = .⃗ = ∙ ⃗ = ⃗ ∙ = ⃗ . Suy ra: = ∙ (1.11) Khai triển (1.11) cho biểu thức sau: 11 = + + = + + (1.12) = + + ∙ Biểu diễn ⃗ với các thành phần hiệp biến ⃗ = ⃗ = ⃗ ⃗ = ⃗ = ⃗ .⃗ .⃗ = ⃗ = ⃗ từ đó suy ra = ∙ (1.14) Biểu diễn cụ thể (1.14) như sau = + + , = + + , (1.15) = + + . Đối với tenxơ hạng hai Một tenxơ hạng hai bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng: = ⃗⃗ = ⃗ ⃗ = ⃗⃗ . Trong đó là các thành phần 2 lần phản biến của tenxơ. là các thành phần 2 lần hiệp biến của tenxơ. là các thành phần 1 lần phản biến, 1 lần hiệp biến của tenxơ. Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ cong khác với cơ sở ⃗ ;⃗ ;⃗ tenxơ hạng 2 sẽ được biểu diễn trong hệ cơ sở mới với các thành phần 2 lần phản biến như sau: 12 = ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ = ⃗ ∙ ⃗ = ⃗ ∙ ∙ ⃗ ∙ = ∙ ∙⃗ ⃗ . Suy ra: = ∙ . (1.16) bao gồm 9 thành phần: , , , , , , , , . Ví dụ nếu khai triển chi tiết thành phần ta sẽ được = ∙ + ∙ + ∙ + ∙ + ∙ + ∙ + ∙ + ∙ + ∙ = + + + 2 ∙ + 2 ∙ + 2 ∙ . Tượng tự với 8 thành phần còn lại của với chú ý là = ; = ; = . Nếu biểu diễn dưới dạng các thành phần hiệp biến, tenxơ bậc 2 sẽ có dạng: = ⃗ .⃗ = ⃗ .⃗ = .⃗ .⃗ .⃗ .⃗.⃗ .⃗ = . . .⃗ .⃗ = ∙ ∙′⃗ ∙′⃗ . Vậy: = ∙ . (1.17) Hệ thống gồm có 9 phần tử , , , , , , , , 13 trong đó = ; = ; = . Ví dụ, ta khai triển chi tiết 1 phần tử sẽ được: = + + + 2 ∙ + 2 ∙ + ∙ . Biểu diễn tenxơ hạng 2 với các thành phần 1 lần phản biến, 1 lần hiệp biến: = ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ ⃗ .⃗ = ⃗ . .⃗ = ⃗ ∙ ∙⃗ = ⃗ ∙ ∙ ∙⃗ = ∙ ∙′⃗ ∙′⃗ . Vậy: = ∙ . (1.18) Tương tự đối với tenxơ hạng cao ta có: = ∙ ∙ . = ∙ ∙ . ′ = ∙ ∙ . Tenxơ kết hợp Do các véc tơ ⃗;⃗ đều là các véctơ cơ sở nên véctơ ⃗ có thể biểu