Luận văn Bài toán trị riêng trong phương pháp phần tử hữu hạn giải cho hệ dầm liên tục

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o bé quèc phßng Häc viÖn kü thuËt qu©n sù .......................................... TrÇn B¸ Thμnh ®Ò tμi luËn v¨n Bµi to¸n trÞ riªng trong ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n gi¶i cho hÖ dÇm liªn tôc luËn v¨n th¹c sü kü thuËt Hµ Néi, N¨m 2008 Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o bé quèc phßng Häc viÖn kü thuËt qu©n sù .......................................... TrÇn B¸ Thμnh ®Ò tμi luËn v¨n Bµi to¸n trÞ riªng trong ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n Gi¶i cho hÖ dÇm liªn tôc Chuyªn nghµnh: X©y dùng c«ng tr×nh ngÇm, má vµ c¸c c«ng tr×nh dÆc biÖt M· sè: 60 58 50 luËn v¨n th¹c sü kü thuËt Ng−êi h−íng dÉn khoa häc: PGS.TS. NguyÔn Quèc B¶o Hµ Néi, N¨m 2008 Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o bé quèc phßng Häc viÖn kü thuËt qu©n sù .......................................... luËn v¨n th¹c sü kü thuËt bµi to¸n trÞ riªng trong ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n gi¶i cho hÖ dÇm liªn tôc Tªn ®Ò tµi: Bµi to¸n trÞ riªng trong ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n gi¶i cho hÖ dÇm liªn tôc Chuyªn ngµnh: X©y dùng c«ng tr×nh ngÇm, má vµ c¸c CT ®Æc biÖt M· sè: 60 58 50 Ngµy giao ®Ò tµi luËn v¨n: Th¸ng 6/2007 Ngµy hoµn thµnh luËn v¨n: Th¸ng 5/2008 Ng−êi thùc hiÖn: Hä vµ tªn : TrÇn B¸ Thµnh Líp: X©y dùng c«ngtr×nh Kho¸: 17 HÖ ®µo t¹o kh«ng tËp trung C¸n bé h−íng dÉn: Hä vµ tªn : NguyÔn Quèc B¶o CÊp bËc: §¹i t¸ Häc hµm, häc vÞ : PGS.TS §¬n vÞ: Khoa C.T.Q.P Hµ Néi, N¨m 2008 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nghiên cứu nào khác./. Tác giả luận văn Trần Bá Thành MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU................................................................................................... 1 CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN................................................................................. 3 CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH TRỊ RIÊNG HỆ DẦM LIÊN TỤC THEO PHƯƠNG PHÁP PTHH ........................................... 4 2.1. Xây dựng tính chất phần tử....................................................................... 4 2.1.1 Ma trận độ cứng phần tử ................................................................... 4 2.1.2 Ma trận khối lượng ........................................................................... 9 2.1.3 Ma trận chuyển toạ độ .................................................................... 10 2.1.4 Thuật toán xây dựng và lưu trữ các ma trận. Ví dụ minh họa........ 13 2.2. Phương trình trị riêng.............................................................................. 24 2.2.1 Tổng quan ....................................................................................... 24 2.2.2 Bài toán trị riêng trong phương pháp PTHH .................................. 26 CHƯƠNG 3: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TRỊ RIÊNG .............. 31 3.1. Các dạng của bài toán trị riêng ............................................................... 31 3.2. Những tính chất chủ yếu của trị riêng, vectơ riêng ................................ 32 3.2.1 Tính chất của véctơ riêng................................................................ 32 3.2.2 Đa thức đặc trưng của bài toán trị riêng ......................................... 34 3.2.3 Trượt trị riêng.................................................................................. 35 3.3. Chuyển từ bài toán trị riêng tổng quát sang bài toán trị riêng chuẩn ..... 36 3.3.1 Sự cần thiết ..................................................................................... 36 3.3.2 Các bước chuyển từ bài toán tổng quát sang bài toán chuẩn.......... 36 3.4. Các kỹ thuật giải áp dụng trong giải bài toán trị riêng ........................... 38 3.4.1 Quy rút tĩnh học .............................................................................. 39 3.4.2 Phân tích Rayleigh-Ritz .................................................................. 40 3.5. Các nhóm phương pháp chủ yếu giải bài toán trị riêng.......................... 43 3.5.1 Phương trình cơ bản và các nhóm phương pháp giải ..................... 43 3.5.2 Một số lưu ý cơ bản ........................................................................ 44 3.6. Phương pháp lặp vectơ............................................................................ 45 3.6.1 Lặp ngược vectơ ............................................................................. 46 3.6.2 Lặp xuôi vectơ ................................................................................ 49 3.6.3 Trượt trị riêng trong lặp vectơ ........................................................ 52 3.6.4 Lặp thương số Rayleigh.................................................................. 52 3.6.5 Tốc độ hội tụ trong phương pháp lặp ............................................. 54 3.7. Phương pháp biến đổi ma trận hay chéo hóa ma trận............................. 59 3.7.1 Phương pháp xoay Jacobi dùng cho bài toán chuẩn....................... 61 3.7.2 Phương pháp Jacobi dùng cho bài toán tổng quát .......................... 63 3.7.3 Phương pháp lặp ngược Householder – QR................................... 70 3.8. Phương pháp lặp đa thức và phương pháp lặp với dãy Sturm................ 74 3.8.1 Lặp đa thức rõ ................................................................................. 74 3.8.2 Lặp đa thức ẩn................................................................................. 75 3.8.3 Lặp dựa trên tính chất dãy Sturm ................................................... 75 3.9. Phương pháp lặp không gian con............................................................ 76 3.9.1 Sơ bộ về phương pháp lặp không gian con..................................... 76 3.9.2 Nội dung phương pháp lặp không gian con................................... 76 3.9.3 Một số chú ý khi chọn vectơ lặp ban đầu ....................................... 79 3.9.4 Sự hội tụ .......................................................................................... 80 CHƯƠNG 4: THỬ NGHIỆM LẬP TRÌNH TRÊN MATLAB ......................... 82 4.1. Tổ chức số liệu trong chương trình......................................................... 82 4.1.1 Số liệu vào SLV.............................................................................. 83 4.1.2 Số liệu trung gian SLTG................................................................. 83 4.1.3 Số liệu kết quả tính SLR................................................................. 84 4.2. Tổ chức chương trình và một số hàm cơ bản ......................................... 84 4.2.1 Phát sinh kết cấu ............................................................................. 84 4.2.2 Xây dựng phương trình trị riêng..................................................... 84 4.2.3 Giải bài toán trị riêng ...................................................................... 88 4.3. Tính toán minh họa ................................................................................. 88 KẾT LUẬN ...................................................................................................... 94 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................ 95 PHỤ LỤC ...................................................................................................... 97 Trang 1 PHẦN MỞ ĐẦU Tên đề tài “Bài toán trị riêng trong phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) giải cho hệ dầm liên tục” Lý do chọn đề tài Trong việc tính toán kết cấu các công trình, đặc biệt là các công trình cầu việc phân tích động lực học có vai trò rất quan trọng. Bởi hầu hết các cây cầu nếu bị hư hỏng, gãy đổ phần lớn đều do ứng xử động học của nó. Mà điển hình là các ứng xử liên quan đến tác động động đất, tác động gió, va xô tàu thuyền...Ví dụ như cầu đường sắt Kevda (Nga) bị phá hủy năm 1875, cầu Menkhienxtein (Thụy Sỹ) bị phá hủy năm 1891, cầu dàn Quebec (Canada) bị phá hủy năm 1907, cầu dàn Mojur (Nga) bị phá hủy năm 1925. Điều 4.7.1.5 của tiêu chuẩn thiết kế cầu 22 TCN 272-05 có ghi: “trừ khi được chỉ rõ, phải sử dụng các dạng và tần số của dao động riêng không giảm rung để đáp ứng yêu cầu thiết kế về ứng xử động học đàn hồi”. Như vậy, có thể thấy mọi tính toán liên quan đến ứng xử động lực học đều có liên quan đến tần số và dạng dao động riêng. Nhằm tìm hiểu và đóng góp một phần vào lĩnh vực này, học viên đã chọn hướng nghiên cứu là cách tính tần số dao động riêng của kết cấu, đặc biệt là các kết cấu có số lượng phần tử lớn và lấy dầm liên tục là một ví dụ để khảo sát. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu Tìm hiểu phương pháp được sử dụng phổ biến và hiệu quả trong việc tính toán bài toán trị riêng, vectơ riêng của các hệ kết cấu lớn (trong trường hợp này là kết cấu dầm liên tục), giúp cho người dùng cũng Trang 2 như các nhà nghiên cứu có được một công cụ dễ hiểu, trực quan khi cần phân tích dao động của kết cấu là phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH). Đi sâu vào việc nghiên cứu thuật toán của một trong phương pháp tính tần số dao động riêng tương đối hiện đại và phổ biến hiện nay khi tính tần số và dạng dao động riêng của hệ kết cấu có số lượng phần tử lớn là phương pháp lặp không gian con. Trên cơ sở đó phát triển và giải quyết một số các bài toán phức tạp hơn trong xây dựng. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Tìm hiểu lý thuyết giải bài toán trị riêng của hệ dao động với số lượng phần tử lớn (cụ thể là dầm liên tục). Đi sâu nghiên cứu thuật toán của phương pháp PTHH và phương pháp lặp không gian con, ứng dụng chúng trong việc xác định tần số và dạng dao động riêng đối với kết cấu dầm liên tục dựa trên ngôn ngữ lập trình matlab. Làm cơ sở để nghiên cứu bài toán phức tạp hơn trong tương lai. Trang 3 CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN Trong những năm gần đây, cùng với sự phát triển kinh tế không ngừng của đất nước, cơ sở hạ tầng cũng ngày một được cải thiện, ngày càng có nhiều những cây cầu, những con đường được xây dựng mới, nâng cấp hoặc cải tạo từ những nguồn vốn khác nhau: vốn ngân sách, vốn trái phiếu, vốn tín dụng hoặc vốn vay, đặc biệt là những nguồn vốn vay từ quỹ hỗ trợ phát triển chính thức ODA. Những cây cầu, đặc biệt là dạng cầu liên tục, do những ưu điểm của nó về mặt kinh tế, mỹ quan... được sử dụng như những phương án tối ưu trong trường hợp phải vượt qua những khoảng cách lớn trên sông hay thung lũng. Để đảm bảo an toàn cho những cây cầu này, một trong số những điểm khống chế thiết kế là tần số dao động riêng phải không được nằm trong giới hạn cho phép. Hiện nay, cùng với sự phát triển của máy tính điện tử, phần tử hữu hạn (PTHH) là một trong số các phương pháp mạnh và được dùng khá phổ biến trong việc phân tích, tính toán kết cấu. Rất nhiều các chương trình tính toán được các công ty xây dựng dựa trên phương pháp này, như SAP, STAD....Tuy nhiên, một chương trình chuyên sâu vào việc phân tích tính toán dao động và tần số dao động riêng để từ đó có thể nghiên cứu các biện pháp giảm thiểu hoặc loại trừ các tác động gây hại của Việt Nam hiện vẫn đang trong quá trình hình thành. Đề tài này đề cập đến những cơ sở lý thuyết dùng trong phương pháp PTHH để tính toán bài toán trị riêng của các kết cấu có số lượng phần tử lớn và ứng dụng nó trong ngôn ngữ lập trình Matlab để tính toán các trị riêng cho dầm liên tục. Trang 4 CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH TRỊ RIÊNG HỆ DẦM LIÊN TỤC THEO PHƯƠNG PHÁP PTHH 2.1. Xây dựng tính chất phần tử Tính chất phần tử của dầm liên tục trong bài toán trị riêng bao gồm: − Ma trận độ cứng phần tử [EK] hay [K]e − Ma trận khối lượng phần tử [EM] hay [M]e − Ma trận chuyển toạ độ [ET] hay [T]e Ngoài ra, nhằm phục vụ cho việc lập trình sau này, ở phần này sẽ trình bày thêm cách xây dựng thuật toán xếp các ma trận phần tử vào ma trận tổng quát. 2.1.1 Ma trận độ cứng phần tử 2.1.1.1 Công thức tổng quát xây dựng ma trận độ cứng phần tử Ma trận [EK] hay [K] chứa các thành phần biểu thị độ cứng được gọi là ma trận độ cứng của phần tử. Nó là một ma trận vuông có số hàng và số cột bằng số thành phần của vectơ lực nút, cũng là số thành phần của vectơ chuyển vị nút. Có nhiều phương pháp xác định ma trận độ cứng nhưng trong đó phương pháp sử dụng các nguyên lý năng lượng có tính tổng quát, thích hợp với các phần tử của vật thể liên tục, do đó nó thường được sử dụng trong thực tế tính toán. Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp được xây dựng trên cơ sở kết hợp của phương pháp sai phân hữu hạn và phương pháp xấp xỉ hàm. Theo tư tưởng của phương pháp sai phân hữu hạn ta chia kết cấu thành các phần tử, các chuyển vị nút của phần tử là các thông số cần tìm ban đầu. Trọng tâm của phương pháp phần tử hữu hạn là thuyết Trang 5 hàm dáng nhằm xây dựng ma trận hàm dáng [N] để biểu diễn chuyển vị tại một điểm bất kỳ trong phần tử theo các chuyển vị nút {d} {u} = [N]{d} Áp dụng phương trình Cauchy tính biến dạng ta có: {ε} = [S]{u} = [S][N]{d} = [B]{d} Trong đó: Ma trận [B] = [S][N] được gọi là ma trận chuyển vị nút - biến dạng. Khi biết chuyển vị nút {d} của phần tử, ta tính được biến dạng tại điểm bất kỳ bên trong phần tử {ε}. Áp dụng phương trình vật liệu ta có: [σ] = [C]{ε} = [C][B]{d} = [CB]{d} Ma trận [CB] = [C][B] được gọi là ma trận chuyển vị nút - ứng suất, cho phép tính ứng suất - nội lực tại điểm bất kỳ thuộc phần tử. Áp dụng nguyên lý chuyển vị khả dĩ ta có: { } { } { } { } { } { } SXX Sb dudVudV T S T V T V ∫∫∫ +=σε Thay: {u} = [N]{d}; {e} = [B]{d}; {s} = [C][B]{d} vào công thức trên ta có phương trình cân bằng phần tử [K]{d}= {Q} Với: [ ] ∫= V TCBBK - là ma trận độ cứng phần tử (2.1) Công thức (2.1) cũng là công thức tổng quát tính ma trận độ cứng phần tử. Ma trận [K] là ma trận thưa có 2 tính chất quan trọng là tính đối xứng và tính chất băng. Với các bài toán động lực học khi xấp xỉ gia tốc chuyển vị bằng cùng hàm dáng [N] với chính chuyển vị người ta thu được công thức Trang 6 [ ] [ ] [ ]dVNNM T V ∫= ρ (1.2) Công thức (2.2) cũng là công thức tổng quát tính ma trận khối lượng phần tử. 2.1.1.2 Ma trận độ cứng phần tử thanh uốn thuần tuý Xét phần tử thanh chịu uốn trong hệ trục cục bộ như trên hình vẽ (Trong đó, trục x trùng với trục thanh) Để tiện cho việc xây dựng tính chất phần tử, thường sử dụng thêm hệ tọa độ tự nhiên với 2 thông số: L1 = 1 – x/l; và L2 = x/l; Tải trọng thuộc mặt phẳng Oxy và tác dụng vuông góc với trục thanh. Kết cấu hệ thanh thường được đơn giản hóa về kết cấu 1 chiều nhờ giả thiết tiết diện thẳng (Một tiết diện thẳng vuông góc với trục thanh trước và sau khi biến dạng vẫn vuông góc với trục thanh. Sau biến dạng, tiết diện thanh vẫn giữ nguyên hình dạng, kích thước giữ nguyên là thẳng và vuông góc với trục thanh). y z x O l Trang 7 Theo giả thiết trên, về chuyển vị các điểm trên trục thanh chỉ chuyển vị theo trục y, vectơ chuyển vị {u} = v(x). Nhưng càng xa trục thanh theo giả thiết tiết diện phẳng xuất hiện chuyển vị dọc trục u. Để tính chuyển vị này cần đưa thêm thành phần chuyển vị góc xoay dx dvxz =)(θ Cũng theo giả thiết trên trong thanh chỉ xuất hiện một thành phần biến dạng dx du x =ε và một thành phần vectơ ứng suất xx Eεσ = Ma trận hàm dáng [N] Để xây dựng ma trận độ cứng cho dầm coi chuyển vị tại mỗi điểm gồm 2 thành phần là v và θz . Véc tơ chuyển vị nút có 4 thành phần: {d}T = {d1 d2 d3 d4} = {v1 θz1 v1 θz2} Vì dx dvxz =)(θ nên chỉ cần chọn hàm xấp xỉ cho v. Với thanh dầm ta sử dụng phương trình bậc 3 để xấp xỉ. v = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 = α1L13 + α2L23 + α3L12L2 + α4L1L22 (2.3) Để tính góc xoay θz, áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp ta có: )2323(1 214 2 13 2 22 2 24213 2 11 2 2 1 1 LLLLLLLL lx L L v x L L v dx dv z ααααααθ +++−−−=∂ ∂ ∂ ∂+∂ ∂ ∂ ∂== (2.4) Sử dụng các điều kiện biên: Tại nút 1: v = v1 θz = θz1 L1 = 1 L2 = 0 ta có: v1 = α1 )3(1 311 ααθ +−= lz Suy ra: α3 = lθz1 + 3v1 Tại nút 2: v = v2 θz = θz2 L1 = 0 L2 = 1 Trang 8 ta có: v2 = α2 )3(1 242 ααθ +−= lz Suy ra: α4 = -(lθz1 + 3v2) Thay các giá trị α1, α2, α3, α4 vào biểu thức (1.8) ta có: [ ] ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ −−−= 2 2 1 1 2 212 2 22 2 11 2 1 )23()23( z v z v LlLLLLlLLLv θ θ (2.5) So sánh với biểu thức tổng quát {u} = [N]{d} ta có ma trận hàm dáng cho thanh uốn: [ ] [ ]221222221121 )23()23( LlLLLLlLLLN −−−= (2.6) Xác định ma trận biến dạng [B] Ta có: 2 2 x vy dx du x ∂ ∂−==ε Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp ta có: [ ]{ }dLLlLLLlL l yx )42(126)42(126 1 2121212 −−−−−−=ε So sánh với biểu thức tổng quát {ε} = [B]{d} ta có ma trận biến dạng cho thanh chịu uốn: [ ])42(126)42(1261 2121212 LLlLLLlLlyB −−−−−−= (2.7) Ma trận vật liệu chỉ chứa một hằng số là moduyn đàn hồi [C]= E Tính ma trận độ cứng [ ] [ ] [ ][ ]∫= V T dxBCBk Áp dụng công thức tính tích phân một chiều trong hệ toạ độ tự nhiên. )!1( !! 21 ++=∫ qp lqpdlLL qp Trang 9 Ta có: [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − − − = l EIDX l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI k 4 612 264 612612 33 2 2323 (2.8a) Ma trận độ cứng thanh dầm kết hợp với ma trận độ cứng thanh kéo nén tạo thành ma trận độ cứng thanh phẳng dưới đây ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − == l EIDX l EI l EI l EF l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EF EKK e 4 612 00 2604 6120612 0000 ][][ 23 2 2323 (2.8b) 2.1.2 Ma trận khối lượng 2.1.2.1 Công thức tổng quát Áp dụng công thức tích phân tổng quát (1.2) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]dlNNdlNNdSdVNNM T lS m T l T V ∫∫ ∫∫ === ρρρ Trong đó: ∫= S m dSρρ - là khối lượng trên một đơn vị chiều dài thanh Trang 10 Như vậy ta còn phải tính thành phần thứ 2 trong biểu thức tổng quát là tích phân [ ] [ ]dlNN T l ∫ . Tích phân này phụ thuộc vào hàm dáng [N] 2.1.2.2 Ma trận khối lượng của thanh uốn thuần tuý Ma trận hàm dáng của thanh dầm có dạng: [ ] [ ]221222221121 )23()23( LlLLLLlLLLN −−−= (2.9) Ta có: [ ] [ ] [ ]221222221121 2 21 2 2 2 2 2 1 1 2 1 )23()23( )23( )23( LlLLLLlLLL LlL LL LlL LL NN T −−− ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = (2.10) [ ] [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−−− −−−−−− −−− −−−−−− = 4 2 2 1 2 2 4 21 3 2 3 1 2 1 2 2 3 1 2 4 21 2 2 4 22 3 2 2 121 2 2 2 1 3 2 3 1 2 2 3 2 2 1 2 2 4 1 2 12 4 1 1 2 2 3 121 2 2 2 112 4 1 2 1 4 1 )23()23( )23()23()23()23)(23( )23()23( )23()23)(23()23()23( LLlLLlLLLlLLlL LLlLLLLLlLLLLL LLlLLlLLLlLLlL LLlLLLLLLLlLLL NN T Áp dụng công thức: )!1( !! 21 ++=∫ qp lqpdlLL qp (2.11) Ta có: [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−− − − − = 22 22 422313 221561354 3134221 135422156 420 llll ll lll ll lM mρ (2.12a) 2.1.3 Ma trận chuyển toạ độ Trên đây, khi xác lập các véc tơ chuyển vị nút và lực nút, cũng như khi thiết lập ma trận độ cứng của phần tử hữu hạn, ta đều chọn hệ tọa độ như sau: Coi trục x là trục thanh, các trục y và z các là trục quán Trang 11 tính chính trung tâm của mặt cắt ngang của thanh và chiều dương của các trục x, y, z xác định theo quy tắc tam diện thuận. Trong một kết cấu hệ thanh (dàn, khung ...) thường các phần tử thanh có phương khác nhau, nên nói chung hệ tọa độ của từng phần tử không giống nhau. Hệ toạ độ riêng đó đối với từng phần tử ta gọi là hệ toạ độ phần tử hay hệ toạ độ địa phương. Khi tính toán kết cấu gồm nhiều phần tử, để thuận tiện khi thành lập các phương trình cân bằng, người ta cần sử dụng một hệ tọa độ chung cho toàn bộ kết cấu, thường gọi là hệ toạ độ kết cấu hoặc hệ toạ độ chung. Vì vậy trước khi bắt tay vào việc lập phương trình cân bằng ở các nút cần phải biến đổi quan hệ giữa các lực n