Luận văn Bước chuyển từ lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường tròn trong dạy học toán ở trường phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Bùi Thị Hạnh BƯỚC CHUYỂN TỪ LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC SANG LƯỢNG GIÁC TRONG ĐƯỜNG TRÒN TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Tóan Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. LÊ VĂN PHÚC Thành phố Hồ Chí Minh – 2007 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát Cách đây rất lâu, con người đã biết sử dụng kiến thức lượng giác trong thực tế cuộc sống, chẳng hạn như đo góc quay của kim đồng hồ, đo khoảng cách giữa các ngôi sao gần, hoặc để đo khoảng cách giữa các con tàu trên đại dương Vì vậy chúng tôi tự hỏi kiến thức lượng giác đã có từ khi nào? Và kiến thức ấy xuất hiện trong tình huống nào? Khi ấy con người đã dùng lượng giác để giải quyết thứ tự các dạng toán nào? Ngày nay, trong chương trình và SGK Toán ở trường phổ thông, kiến thức lượng giác được đưa vào giảng dạy chủ yếu ở 3 khối lớp (lớp 9, lớp 10, lớp 11). Vì vậy chúng tôi tự hỏi kiến thức lượng giác được giảng dạy hiện nay ở bậc phổ thông có đi theo trình tự giống như kiến thức lượng giác trong quá khứ đã đi qua hay không? Đồng thời giữa từng cặp khối lớp (Lớp 9 sang lớp 10); lớp 10 sang lớp 11 thì kiến thức lượng giác có sự gián đoạn hoặc kế thừa không? Lượng giác là một nội dung học phong phú. Trong chương trình môn Toán, lượng giác được giảng dạy ở cả 3 khối lớp của cấp THPT, và cả ở lớp 9 của cấp THCS, với nội dung cụ thể như sau:  Ở lớp 9: Lượng giác có mặt ở phần: Hệ thức lượng trong tam giác vuông qua bài tỉ số lượng giác của góc nhọn.  Ở lớp 10: Lượng giác được đề cập trong 2 phần. - Chương II (Sách Hình học 10): Tích vô hướng của 2 vectơ và ứng dụng. - Chương VI (Sách Đại số 10): Góc lượng giác và công thức lượng giác.  Ở lớp 11: Lượng giác được đề cập đến trong phần Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác.  Ở lớp 12: Lượng giác có ở phần ứng dụng của đạo hàm, nguyên hàm, tích phân Trong khuôn khổ của luận văn này, chúng tôi quan tâm đến bước chuyển từ lượng giác Lớp 9 sang lượng giác ở Lớp 10 để tìm các yếu tố gián đoạn hoặc sự kế thừa của các kiến thức ấy. Ở Lớp 9, lượng giác luôn gắn liền với tam giác vuông, đi liền với nó là các tỉ số giữa cạnh đối với cạnh huyền, cạnh kề với cạnh huyền của 1 tam giác vuông. Do vậy lượng giác ở lớp 9 còn có tên gọi khác là lượng giác trong tam giác. Ở đây học sinh đã “giải được tam giác vuông” khi biết ít nhất 2 yếu tố của nó trong đó phải có ít nhất 1 yếu tố độ dài, đồng thời số đo của 1 góc nhọn nằm trong phạm vi từ 0o đến 90o. Ở Lớp 10, lượng giác có mặt trong 2 cuốn SGK Hình học 10 và Đại số 10. Trong cuốn Hình học 10 thì lượng giác có mặt trong chương tích vô hướng 2 véctơ và ứng dụng, đi liền sau đó là giải tam giác thường. Và từ đây số đo của góc đã được mở rộng ra từ 0o đến 180o. Trong cuốn Đại số 10 thì lượng giác có mặt ở phần góc lượng giác và công thức lượng giác, mà góc lượng giác lại có số đo là 1 số thực bất kỳ. Do có sự tương ứng giữa số thực  và điểm M trên đường tròn lượng giác nên với mọi số thực  cho trước sẽ tìm được duy nhất 1 điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho số đo AM = . Từ đó, điểm M có thể nằm ở bất kỳ 1 vị trí nào trên đường tròn lượng giác mà chỉ phụ thuộc vào số thực  cho trước. Bởi vậy lượng giác ở lớp 10 còn có tên gọi khác là lượng giác trong đường tròn. Từ những vấn đề vừa trình bày ở trên, chúng tôi mạnh dạn chọn đề tài “bước chuyển từ lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường tròn trong dạy học Toán ở trường phổ thông”. Sự lựa chọn này xuất phát từ những lý do sau: - Tại sao lượng giác trong tam giác lại được giảng dạy trước lượng giác trong đường tròn? - Lượng giác trong tam giác đã trang bị những kiến thức gì cho người học – Đặc trưng của lượng giác trong tam giác. - Lượng giác trong đường tròn đã trang bị những kiến thức gì cho người học – Đặc trưng của lượng giác trong đường tròn. Qua đó cho thấy có mối quan hệ nào giữa lượng giác trong tam giác và lượng giác trong đường tròn? Việc nghiên cứu về bước chuyển từ lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường tròn trong dạy học Toán ở trường phổ thông là thực sự cần thiết; vì nó cho phép hiểu rõ hơn những điều kiện và ràng buộc của quá trình truyền thụ tri thức gắn liền với lượng giác trong tam giác và lượng giác trong đường tròn. 2. Mục đích nghiên cứu Qua những ghi nhận ban đầu được trình bày ở trên, dẫn chúng tôi đến các câu hỏi dưới đây, mà việc tìm kiếm câu trả lời là mục đích của luận văn này. Trong quá khứ kiến thức lượng giác được hình thành trong tình huống nào? Các kiến thức lượng giác ấy đã tuần tự giải quyết các dạng bài toán nào? Trong 1 số giáo trình được giảng dạy ở trường Sư phạm, các TCTH nào được xây dựng xung quanh lượng giác trong tam giác và lượng giác trong đường tròn. Lượng giác đã được đưa vào trong chương trình và SGK Toán ở bậc phổ thông trong tình huống nào? Đâu là các TCTH được xây dựng xung quanh vấn đề lượng giác trong tam giác, lượng giác trong đường tròn. Có sự chênh lệch nào giữa các TCTH tham chiếu với các TCTH được dạy ở phổ thông? Có sự gián đoạn hoặc kế thừa từ lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường tròn? Các quy tắc của hợp đồng didactic được hình thành giữa giáo viên và học sinh trong quá trình làm việc với lượng giác trong tam giác và lượng giác trong đường tròn? Chúng được thể hiện cụ thể qua những kiểu nhiệm vụ, những kỹ thuật nào? Học sinh có gặp khó khăn gì trong việc học lượng giác nói chung và trong bước chuyển từ lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường tròn không? Đó là những khó khăn nào? Đào tạo ở trường cao đẳng sư phạm, đại học sư phạm có cung cấp đủ cho sinh viên những công cụ cần thiết cho hoạt động nghề nghiệp sau này của họ hay không? Nếu không, cần điều chỉnh quy trình đào tạo này như thế nào? 3. Phạm vi lý thuyết tham chiếu Để trả lời cho các câu hỏi trên, nghiên cứu của chúng tôi, dựa vào khung lý thuyết tham chiếu là didactic Toán cụ thể là một số khái niệm của lý thuyết nhân chủng học (mối quan hệ thể chế, mối quan hệ cá nhân, tổ chức toán học – praxéologie), tổ chức didactic và khái niệm hợp đồng didactic. Sự chọn lựa này xuất phát từ những lý do sau: Khái niệm hợp đồng didactic cho phép ta “giải mã” các ứng xử của giáo viên và học sinh, tìm ra ý nghĩa của những hoạt động mà họ tiến hành, từ đó có thể giải thích một cách rõ ràng và chính xác những sự kiện quan sát được trong lớp học. Việc nghiên cứu các quy tắc của hợp đồng didactic là cần thiết, vì để chuẩn bị cho tương lai, giáo viên phải xem xét đến quá khứ mà hợp đồng hiện hành là dạng thể hiện thực tế của nó. Phá vỡ hợp đồng là nguyên tắc chủ đạo để có sự tiến triển mong đợi. Việc dựa vào lý thuyết nhân chủng học cho chúng tôi làm rõ những mối quan hệ thể chế với tri thức và giữa tri thức với cá nhân nào đó. Qua đó cho chúng tôi biết tri thức xuất hiện ở đâu, có vai trò gì trong thể chế và việc học tập của cá nhân về tri thức bị ảnh hưởng bởi những ràng buộc nào trong mối quan hệ với thể chế. Việc mô hình hoá các hoạt động toán học theo cách tiếp cận của tổ chức toán học (trong lý thuyết nhân chủng học) sẽ giải thích được thực tế của hoạt động toán học theo những quan điểm khác nhau và bằng những cách khác nhau thành 1 hệ thống các nhiệm vụ xác định. Đánh giá từng thành phần của tổ chức toán học cho biết chúng có được nêu lên một cách rõ ràng hay không? Có dễ hiểu không? Phạm vị hợp thức như thế nào? Có đáp ứng nhu cầu hiện tại và trong tương lai? Nghiên cứu các tổ chức toán học là công cụ tiếp cận mối quan hệ thể chế và là công cụ phân tích thực tế dạy học. Việc chỉ rõ các mối quan hệ với tri thức cũng giúp ta xác định một số quy tắc của hợp đồng didactic. Đặc biệt ta có thể nhận ra một số yếu tố của hợp đồng didactic đặc thù cho tri thức bằng cách nghiên cứu những tiêu chí hợp thức hoá việc sử dụng tri thức, bởi vì việc sử dụng đó không chỉ được quy định bởi các văn bản hay bởi định nghĩa của tri thức mà còn phụ thuộc vào tình huống vận dụng tri thức, vào những ước định được hình thành trong quá trình giảng dạy. 4. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu Với khung lý thuyết tham chiếu, chúng tôi trình bày lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm hiểu câu trả lời chính là mục đích nghiên cứu của luận văn. Q1: Trong quá khứ, kiến thức lượng giác được hình thành gắn liền với tình huống nào? Kiến thức lượng giác ấy đã tuần tự giải quyết các dạng bài toán nào? Q2: Trong một số giáo trình ở Đại học; các TCTH nào gắn liền với lượng giác trong tam giác, lượng giác trong đường tròn. Q3: Lượng giác đã được đưa vào trong chương trình và SGK Toán ở bậc phổ thông trong tình huống nào? Các TCTH được xây dựng xung quanh vấn đề lượng giác trong tam giác, lượng giác trong đường tròn. Có sự chênh lệch nào giữa các TCTH tham chiếu với các TCTH được giảng dạy ở bậc phổ thông. Q4: Các quy tắc của hợp đồng didactic được hình thành giữa giáo viên và học sinh trong bước chuyển từ lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường tròn? Chúng được thể hiện cụ thể qua những kiểu nhiệm vụ, những kỹ thuật nào? Q5: Học sinh có gặp khó khăn gì trong việc học lượng giác nói chung và trong bước chuyển từ lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường tròn hay không? Đó là những khó khăn nào? Q6: Đào tạo ở trường cao đẳng sư phạm, đại học sư phạm có cung cấp đủ cho sinh viên những công cụ cần thiết cho hoạt động nghề nghiệp sau này của họ hay không? Nếu không, cần điều chỉnh quy trình đào tạo này như thế nào? 5. Phương pháp nghiên cứu Để đạt được mục đích trên, chúng tôi sẽ tiến hành các nghiên cứu sau:  Sơ lược quá trình hình thành và phát triển của kiến thức lượng giác qua các thời kỳ.  Phân tích một số giáo trình được dùng trong đào tạo giáo viên ở trường sư phạm để làm rõ chiến lược đào tạo nói chung, cũng như mối quan hệ của thể chế này với đối tượng lượng giác trong tam giác và lượng giác trong đường tròn.  Phân tích đồng thời chương trình và SGK Toán các lớp 9 và 10 để làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng lượng giác trong tam giác và lượng giác trong đường tròn và đưa ra các giả thuyết nghiên cứu.  Xây dựng các tình huống thực nghiệm dựa trên các giả thuyết nghiên cứu 6. Cấu trúc của luận văn Luận văn này gồm:  Mở đầu  Chương 1: Sơ lược quá trình hình thành và phát triển của kiến thức lượng giác qua các thời kỳ. Các tổ chức toán học tham chiếu liên quan đến lượng giác trong tam giác và lượng giác trong đường tròn.  Chương 2: Mối quan hệ thể chế với lượng giác trong tam giác và lượng giác trong đường tròn trong chương trình Toán ở bậc phổ thông.  Chương 3: Nghiên cứu thực nghiệm.  Kết luận. Chương 1 SƠ LƯỢC QUÁ TRÌNH HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN CỦA KIẾN THỨC LƯỢNG GIÁC QUA CÁC THỜI KỲ. CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC THAM CHIẾU LIÊN QUAN ĐẾN LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC VÀ LƯỢNG GIÁC TRONG ĐƯỜNG TRÒN 1.1. Sơ lược quá trình hình thành và phát triển 1.1.1. Thời kỳ thứ nhất Ngay từ thời kỳ cổ Hy Lạp, khi xây dựng các công trình đồ sộ như đền đài, Kim Tự Tháp, người ta đã biết sử dụng khái niệm về tỉ số các đoạn thẳng trùng với khái niệm côsin ngày nay. Độ lớn của các tỉ số này rất quan trọng đối với những người xây dựng Kim Tự Tháp, bởi vì họ cần tính toán chính xác để ghép những khối đá liên tiếp nhau. Về phương diện này, những nhà thiên văn học xứ Babylone thế kỷ IV và V trước công nguyên đã tích lũy một lượng lớn dữ liệu về thiên văn. Về sau, những kiến thức lượng giác đầu tiên đã xuất hiện ở thời kỳ cổ Hy Lạp do nhu cầu của thiên văn. Lúc bấy giờ Hippác và Plôtême (thế kỷ thứ 2 trước công nguyên) đã lập các bảng về sự liên hệ giữa góc ở tâm đường tròn với chiều dài cung bị chắn. Tóm lại: Trong thời kỳ thứ nhất, kiến thức lượng giác mới chỉ là một lý thuyết về những thủ thuật tính toán các yếu tố của một tam giác và các hình có thể qui về những tam giác. Vì lẽ đó, người Hy Lạp hồi xưa gọi bộ môn này là “tam giác lượng” tức là đo đạc các tam giác. “Tam giác lượng” phát sinh trên cơ sở của hình học, có ngôn ngữ hình học và được áp dụng vào các bài toán hình học do các vấn đề cụ thể của kỹ thuật thời bấy giờ đặt ra. 1.1.2. Thời kỳ thứ hai Trong nhiều thế kỷ, lượng giác đã xuất hiện như là một khoa học về “tam giác lượng”. Đến thế kỷ 17 và 18, cùng với việc ra đời và phát triển mạnh của giải tích toán đã tạo điều kiện cho lượng giác phát triển hơn nhưng theo một hướng mới. Trước đây, các đại lượng của lượng giác chỉ được coi như là phương tiện để giải quyết các vấn đề của hình học thì nay đã trở thành đối tượng để nghiên cứu. Các đại lượng đó được xem như là những hàm và một hướng mới của lượng giác đã phát triển gọi là “giác lượng” – tức là đo đạc về góc được xuất hiện. Lý thuyết về các hàm lượng giác được Ơle nghiên cứu lần đầu tiên (1748) trong tác phẩm “Mở đầu về giải tích của các vô cùng bé”. Trong đó các hàm lượng giác được nghiên cứu theo phương pháp giải tích nhờ các chuỗi. Hướng mới trên đây của lượng giác bắt nguồn từ các dao động trong cơ học, âm học, quang học và sóng điện từ. Các hàm sin và côsin bây giờ được nghiên cứu như là các chuỗi lũy thừa. ... !4 x !2 x1xcos ... !5 x !3 xxxsin 42 53   Như vậy, ở thời kỳ thứ hai, người ta đã vận dụng kiến thức của giải tích vào lượng giác để nghiên cứu các hàm lượng giác một cách chính xác, giải thích rõ ràng các tính chất của chúng, để rồi sau đó lại áp dụng các hàm lượng giác này vào các bài toán của thực tế như: dao động của lò xo, của con lắc, việc đo đạc, các hiện tượng thủy triều, chu kì một trăng mọc, (Trích Lê Đình Phi – Nguyễn Đức Thuần – Nguyễn Đình Thọ – Quốc Trinh (1975), Hướng dẫn giảng dạy lượng giác cấp III, NXB Giáo dục). 1.2. Các tổ chức toán học liên quan đến lượng giác trong tam giác, lượng giác trong đường tròn Chương này có mục đích trả lời cho nhóm câu hỏi Q2 cụ thể là: Trong các giáo trình Toán ở bậc Cao đẳng, Đại học  TCTH nào gắn liền với lượng giác trong tam giác.  TCTH nào gắn liền với lượng giác trong đường tròn. Để xây dựng các TCTH tham chiếu, chúng tôi sẽ tham khảo một số giáo trình sau: - Nguyễn Mạnh Quý; Nguyễn Tiến Đức (1980) Toán tập 1 (Sách đào tạo và bồi dưỡng) NXB Giáo dục. - Nguyễn Duy Thuận (1998) Đại số và giải tích (Giáo trình đào tạo giáo viên tiểu học hệ Trung học Sư phạm) NXB Giáo dục. 1.2.1. Các tổ chức toán học liên quan đến lượng giác trong tam giác Trong giáo trình Toán tập 1 (Đã nói ở trên) chúng tôi tìm thấy các kiểu nhiệm vụ liên quan đến lượng giác trong tam giác là: T1 (Chuyển đổi): Đổi hàm số lượng giác của 1 góc cho trước thành hàm số lượng giác của góc nhỏ hơn 45o. (Trong giáo trình Toán tập 1 của tác giả Nguyễn Mạnh Quý, Nguyễn Tiến Đức thì sin, cos, tg, cotg được gọi là các hàm số lượng giác của góc ). T2 (Tính GT): Tính giá trị các hàm số lượng giác của góc đặc biệt. T3 (Dựng góc ): Dựng góc nhọn  khi biết 1 trong các hàm số lượng giác của nó. T4 (Tìm góc ): Tìm góc nhọn  khi biết 1 hàm số lượng giác của nó. T5 (Giải tg vuông) Giải tam giác vuông (khi biết 1 cạnh và 1 góc nhọn hoặc biết trước 2 cạnh). T6 (Giải tg thường) Giải tam giác thường (Biết 2 góc và 1 cạnh). 1.2.1.1. Các tổ chức toán học gắn liền với kiều nhiệm T1(Chuyển đổi) “Đổi hàm số lượng giác của 1 góc cho trước thành hàm số lượng giác của góc nhỏ hơn 45o” Có 2 kỹ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ này: 1 định lý:  Dùng định lý nói về hàm số lượng giác của 2 góc phụ nhau. Nếu 2 góc phụ nhau thì:  sin của góc này bằng cosin của góc kia và cosin của góc này bằng sin của góc kia.  tang của góc này bằng cotang của góc kia và cotang của góc này bằng tang của góc kia. 1 định lý: Định nghĩa của hàm số lượng giác Như vậy: Trong định nghĩa này, tác giả đã dựa vào 2 tam giác vuông đồng dạng có cùng 1 góc nhọn, để từ đó xác lập các tỉ số đồng dạng; đồng thời tác giả gọi sin, cos, tg, cotg là các hàm số lượng giác của 1 góc  mà trước đó không hề đưa vào khái niệm hàm số lượng giác. Điểm đặc biệt nữa của định nghĩa này là sau phần định nghĩa thì tác giả đã suy ra ngay 2 công thức:   cos sintg và  tg 1gcot 1 định lý:  Định lý nói về điều kiện để 2 tam giác vuông đồng dạng.  Định lý “Một đường thẳng song song với 1 cạnh của 1 tam giác tạo thành với 2 cạnh kia một tam giác mới có 3 cạnh tỉ lệ với 3 cạnh của tam giác thứ nhất. Kỹ thuật thứ 2 giải quyết kiểu nhiệm vụ này là: 1 bảng số: Dùng bảng số với 4 chữ số thập phân 1 (bảng số): Định nghĩa các hàm số lượng giác. Nhận xét:  Hai kỹ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ T1, có đặc điểm giống nhau là cuối cùng đều phải dùng đến Bảng số với 4 chữ số thập phân; mặc dù lúc đầu nhìn thì thấy khác.  Nếu số đo các góc có số phút là 6’, 12’, 18’, 24’, 30’, 36’, 42’, 48’, 54’, 60’ thì ta chỉ việc tra bảng là có kết quả, nhưng nếu số đo các góc có số phút khác số phút ở trên thì học sinh phải sử dụng thêm phần hiệu chính. 1.2.1.2. Tổ chức toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ T2 (Tính GT) “Tính giá trị các hàm số lượng giác của góc đặc biệt” (30o, 45o,