Luận văn Cơ sở mahler trong không gian các hàm liên tục

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ____________________ NGUYỄN THỊ VÂN KHÁNH CƠ SỞ MAHLER TRONG KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện sau quá trình tích lũy kiến thức ở lớp Cao học khóa 15 Lời đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc và lời tri ân đến Thầy hướng dẫn của tôi, PGS.TS. Mỵ Vinh Quang, thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi rất nhiều để luận văn được hoàn thành. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đối với các Thầy Cô ở Khoa Toán - Tin Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và các Thầy Cô đã tham gia giảng dạy, quản lý lớp học, đã truyền đạt cho tôi nhiều kiến thức và kinh nghiệm nghiên cứu khoa học. Ngoài ra tôi cũng chân thành cảm ơn các Anh Chị trong Khoa Sư phạm Khoa học Tự Nhiên Trường Đại Học Sài Gòn đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi và động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Cảm ơn các đồng nghiệp, bạn bè đã động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2008 Nguyễn Thị Vân Khánh MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: Không gian các hàm liên tục C( Zp Cp ) là không gian Banach với chuẩn được xác định bởi     , ;P P Pf Max f x x Z f C Z C      . Có một kết quả rất đẹp của Mahler nói rằng: “Tập các đa thức dạng  ; 0,1, 2,...x n n      là cơ sở trực chuẩn của C( Zp Cp )”. Quả thực, mặc dù còn hạn chế về chuyên môn nhưng khi nghiên cứu kết quả trên tôi cảm thấy rất hấp dẫn. Thực hiện đề tài này giúp tôi tập làm quen với các phương pháp nghiên cứu Toán học và trên hết là có thể phát triển tư duy của bản thân. 2. Mục đích nghiên cứu: Mục tiêu chính của luận văn là giới thiệu kết quả trên của Mahler, đồng thời chúng tôi tìm tòi ứng dụng hệ số Mahler trong một số trường hợp cụ thể, ngoài ra chúng tôi mỡ rộng kết quả của Mahler cho không gian các hàm liên tục hai biến C(ZpxZp Cp). 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu chính của luận văn là các hàm cơ bản trên không gian C( Zp Cp ). Tuy nhiên chúng tôi không tập trung vào việc xây dựng các hàm liên tục cơ bản trên Cp, phạm vi nghiên cứu chính của chúng tôi là tìm tòi cách biểu diễn các hàm đó qua cơ sở Mahler. 4. Cấu trúc luận văn: Luận văn bao gồm 3 chương Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản để có thể nghiên cứu được những chương sau. Chương 2: CƠ SỞ MAHLER TRONG KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC C(ZPCP) Trong chương này, chúng tôi chứng minh định lý Kaplansky, là một định lý khá quan trọng để có thể xây dựng cơ sở Mahler. Đặc biệt chúng tôi nghiên cứu về cơ sở trực giao, trực chuẩn và các tính chất của nó, để từ đó có thể hiểu rõ hơn việc xây dựng cơ sở trực chuẩn Mahler trong không gian các hàm liên tục C(Zp Cp), cũng như nghiên cứu các tính chất và kết quả liên quan đến cơ sở Mahler, hệ số Mahler. Chương 3: HỆ SỐ MAHLER CỦA MỘT SỐ HÀM CƠ BẢN Chương 3 chúng tôi trình bày cách biểu diễn hệ số Mahler qua một vài hàm cơ bản như hàm số mũ, hàm exp, hàm sin, hàm cos, hàm p-adic Gamma, tổng vô hạn của hàm liên tục, hàm lũy thừa. Ngoài ra ở cuối chương chúng tôi có mở rộng cơ sở và công thức tính hệ số Mahler trong không gian các hàm liên tục hai biến C(ZpxZp Cp) Người thực hiện Nguyễn Thị Vân Khánh Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản để người đọc có thể dễ dàng nắm bắt được các chương sau, tuy nhiên chúng tôi chỉ chứng minh một số kết quả được sử thường xuyên trong những chương sau, các kết quả chưa được chứng minh độc giả có thể dễ dàng tìm thấy trong mục 2. và 5. của phần tài liệu tham khảo. 1.1. Chuẩn trên trường: 1.1.1. Định nghĩa: Cho K là trường, ta nói chuẩn trên K là một ánh xạ :K R thỏa các điều kiện sau i)   , 0x K x và   0 0x x ii) , , .x y K x y x y   iii) , ,x y K x y x y     Ví dụ: Trường các số hữu tỉ Q với giá trị tuyệt đối thông thường là một chuẩn trên Q. 1.1.2. Định nghĩa: Cho là chuẩn trên trường K, nếu thoả điều kiện mạnh hơn iii) là iii)’  , , ,x y K x y Max x y    thì ta nói là chuẩn phi-Archimedean. Ví dụ: Trên trường các số hữu tỉ Q ta có một số chuẩn phi-Archimedean sau 1. Chuẩn tầm thường:     1 neáu x 0 x 0 neáu x 0 2. Chuẩn p-adic:          pord x p 0 neáu x 0 x 1 neáu x 0 p ( p là số nguyên tố ) Trong đó  Nếu x = 0 thì  0pord    Nếu  \ 0x Z thì  pord x là số mũ của p trong sự phân tích x thành các thừa số nguyên tố Ví dụ: x = 50 = 52.2 thì  5 50 2ord   Nếu  \ 0x Q , giả sử  ; , , 0, , 1   ax a b Z b a b b , thì      p p pord x ord a ord b  Ví dụ: 2 2 9 3 4 2 x   thì    3 3 39 9 4 2 0 24ord ord ord          1.1.3. Định lý Oxtropxki: Mọi chuẩn không tầm thường trên Q đều tương đương với chuẩn p (p là một số nguyên tố nào đó) hoặc tương đương với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường trên Q 1.1.4. Tính chất: Cho là chuẩn trên trường K và 1 là phần tử đơn vị của K. Ta có các tính chất sau 1. ,x K x x    2. 1 1 3.   1 1\ 0 ,x K x x    Chứng minh: 1. Ta có  22 22, .x K x x x x x x          Vậy  x x 2. Ta có 221 1 1  , mà 1 0 Vậy 1 1 3. Ta có 1 1. . 1 1x x x x    , mà 0x  (vì x ≠ 0) Vậy 1 1x x   ª 1.1.5. Nguyên lý tam giác cân: Cho là một chuẩn phi-Archimedean trên trường K. Nếu x y thì    ,x y Max x y Chứng minh: Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử x y    ,Max x y y Theo tính phi-Archimedean ta có x y y  (*) Mặt khác    ,y x x y Max x y x     Nếu  ,Max x y x x  thì y x , trái giả thiết Vậy  ,Max x y x x y    y x y  (**) Từ (*) và (**) ta có  ,x y y Max x y   Hiển nhiên      , ,x y x y Max x y Max x y       ª 1.2. Các trường số p –adic: 1.2.1. Xây dựng trường Qp: Từ định lí Oxtropxki, ta thấy một chuẩn không tầm thường trên Q tương đương với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường, hoặc chuẩn phi-Archimedean p . Mặt khác, ta biết rằng làm đầy đủ Q theo chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường ta sẽ được trường số thực R. Vậy làm đầy đủ Q theo p ta sẽ được trường mới mà ta gọi là trường số p-adic QP. Cụ thể cách xây dựng như sau Gọi S là tập hợp các dãy Cauchy hữu tỉ theo p , trên S ta định nghĩa một quan hệ tương đương như sau:     n n n nnx y x y   lim 0 Ta gọi QP là tập hợp các lớp tương đương theo quan hệ trên và trang bị cho QP hai phép toán cộng và nhân như sau:           n n n n n n n n x y x y x y x y    . . Khi đó dễ dàng chứng minh (QP, +, . ) là một trường và được gọi là trường các số p-adic. Chuẩn trên QP được xác định như sau:  p n np pnQ x x      ; lim Nếu  0 thì 0n px , ngược lại  0 thì     : ;np pM N x n M Trường số hữu tỉ Q được xem là trường con của QP nhờ ánh xạ nhúng  a a Tập hợp  P P pZ x Q x  : 1 là vành con của QP và được gọi là vành các số nguyên p-adic. Với mỗi  px Q , giả sử  ;mpx p m Z , ta hoàn toàn có thể chứng minh x được biểu diễn duy nhất dưới dạng       ;0ii i i m x p p . Biểu diễn trên được gọi là biểu diễn p-adic của phần tử  px Q . Khi đó nếu  px Z thì x có biểu diễn p-adic là       0 ;0ii i i x p p . 1.2.2. Xây dựng trường CP: Ta đã biết trường số thực R không đóng đại số, bao đóng đại số của R là trường số phức C. Làm đầy đủ Q theo p ta được trường QP. Giống như R, QP đầy đủ nhưng không đóng đại số. Ký hiệu PQ là bao đóng đại số của QP, chuẩn p trên QP có thể mỡ rộng thành chuẩn trên PQ như sau Với PQ  thì  là phần tử đại số trên QP. Gọi Irr(,QP, x) là đa thức nhận  làm nghiệm. Giả sử   n nP nIrr Q x x a x a x a     11 1 0, , ... . Ta định nghĩa   0np pa và dễ dàng chứng minh p là một chuẩn trên PQ , chuẩn này chính là mở rộng của p trên QP, nghĩa là   ; Pp px x x Q Trường PQ đóng đại số nhưng nó lại không đầy đủ theo p vừa xây dựng. Nếu tiếp tục làm đầy đủ PQ theo p thì ta sẽ được trường các số phức p-adic, ký hiệu p PC Q Q  Trường số phức pC có vai trò tương tự như trường số phức C trong giải tích phức thông thường. 1.2.3. Tính chất của vành các số nguyên p-adic ZP: Vành các số nguyên p-adic có các tính chất sau 1. Tập các số nguyên p-adic Zp là vành con của trường Qp 2. Zp là tập Compact 3. Zp đầy đủ 4. Tập các số tự nhiên N trù mật trong Zp 5. Tập các số nguyên Z trù mật trong Zp 1.2.4. Tính chất của trường QP va CP : Trường Qp và Cp có các tính chất sau 1. Qp là tập Compact địa phương 2. Qp đầy đủ và tách được 3. Tập các số hữu tỉ Q trù mật trong Qp 4. Cp đóng đại số, đầy đủ và Compact địa phương. 1.3. Dãy và chuỗi trong CP: 1.3.1. Định nghĩa: Dãy 0 1 pa ,a ,... C được gọi là hội tụ đến a  CP nếu nlim a - 0pn a  , ký hiệu nlim a = n a . Dãy không hội tụ thì gọi là dãy phân kỳ. Tổng n 0 1 n i 0 S =a + a +...+ a = a  n i được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi n 0 a    n Nếu có nlim S =  Pn S C thì ta nói chuỗi n0 a    n hội tụ và viết n 0 a    n S Trong trường số phức thông thường ta biết rằng mỗi dãy na hội tụ sẽ thỏa mãn tiêu chuẩn Cauchy là 0, : , m nN m n N a a         , tuy nhiên với tính chất phi-Archimedean và đầy đủ trong trường p-adic Cp thì tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi và dãy khá đơn giản hơn, mệnh đề sau sẽ cho ta thấy điều đó 1.3.2. Mệnh đề: Trong trường p-adic Cp ta có 1. Dãy na hội tụ khi và chỉ khi 10, : n n pN n N a a         2. Chuỗi n 0 a    n hội tụ khi và chỉ khi  lim 0nn a Chứng minh: 1. (  ) Hiển nhiên. (  ) Giả sử   n Pa C thỏa 10, : n n pN n N a a         . Ta sẽ chứng minh  na hội tụ. Thật vậy, ta có  1 1 1 1 1, .... ,...,n p n n p n p n p n n n p n p n n pp p pp N a a a a a a a Max a a a a                      n p n p a a    Vậy na hội tụ 2. Chuỗi n 0 a    n hội tụ  dãy   1nn ii n NS a hội tụ       1lim 0 lim 0n n nn nS S a ª 1.3.3. Mệnh đề : Trong Cp cho hai chuỗi n 0 a    n và n 0 b    n , đặt   0 ; 0,1,2,...   nn j n j j c a b n . Ta có Nếu n 0 a    n và n 0 b    n hội tụ thì chuỗi    n 0 c n cũng hội tụ và n n n 0 0 0 a b c                n n n Chứng minh: Trước tiên ta chứng minh chuỗi n    n 0 c hội tụ Ta có    n 0 a n hội tụ         1 1 1 10, : n pN n N a    n 0 b n hội tụ         2 2 2 20, : n pN n N b Với mọi 0 > 0 cho trước Chọn  sao cho 2 < 0            0 : n p n p a N n N b Chọn ’ sao cho ’M < 0, trong đó  , ,0n np pM Max a b n N             ' ' 0 : ' ' n p n p a N n N b  n Max N N  , ' ta có    2 0 0 ,0 , ' n n j n j j n jp pj p c a b Max a b j n Max M         Vậy chuỗi n    n 0 c hội tụ Bây giờ ta chứng minh n n n 0 0 0 a b c                n n n Giả sử n S    n 1 0 a và n S    n 2 0 b , ta có Với mọi 0 > 0 cho trước Chọn  sao cho M < 0 , trong đó   , 0,1,...i pM Max a i             2 0 0 : n i i p N n N b S Lại chọn ’ sao cho ’ 2 pS < 0           1 0 ' 0 : ' ' n i i p N n N a S  n Max N N  , ' ta có 1 2 1 2 2 2 1 0 0 0 0 0 0 n n n n n n i i i i i i i i i i i ip p p c S S a b S S a b S S a S                             2 2 1 2 0 0 0 0 , , '                            n n ni i i i i ip p Max a b S S a S Max M S  n c S S    n 1 2 0 hay n n n 0 0 0 a b c                n n n Vậy            n n0 0a bn n là chuỗi hội tụ và                  n n0 0 0 0a b n j n j n n n j a b ª 1.3.4. Bổ đề: Nếu j N có biểu diễn p-adic là  0 1 ... ;0 1, 0,1,...,        ss ij a a p a p a p i s và 0 s j i i S a   thì  ! 1jp j S ord j p   Chứng minh: Trong tập  1, 2,..., j , các số chia hết cho p gồm p.1, p.2, , p. j p     , trong đó  x chỉ phần nguyên của x  số mũ của p trong !j bằng số mũ của p trong . . !(p.1) (p.2)... j pj jp p p p                   ! . ! ! j p p p p j j jord j ord p ord p p p                                Tiếp tục như vậy ta được   1 2! ... ... ... ... k p k j j p pj j j jord j p p p p p p                                                            Ta có  0 1 ... ;0 1, 0,1,...,ss ij a a p a p a p i s         1 0 1 2 ... s s aj a a p a p p p       1 0 1 2 1 1 2 ... ... s s s s aj a a p a p p p a a p a p                      Tương tự ... s kk skj a a pp        với k s Nếu k s thì 0kjp      Ta có   2! ... ...                   p k j j jord j p p p    1 21 2 2... ... ...s ss s s sa a p a p a a p a p a                           1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 ... ... 1 11 ... 1 1 1 ... 1 1 ... ... 1 1 s s s s s s s s s s j a a p a p p p pa a p a p a p a p a p p a a a a p a p a p p j S p                                      ª 1.3.5. Chuỗi hàm lũy thừa: Cho a0,a1, là một dãy trong pC . Khi đó chuỗi    nn 0 a x n được gọi là chuỗi hàm lũy thừa. Miền hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa nn 0 a x    n là tập hợp       n p n n 0 x C : a x ho äi tu ï Bán kính hội tụ  của chuỗi hàm lũy thừa nn 0 a x    n được định nghĩa như sau   1lim n n pn a  với quy ước 1 10 , 0     và nn 0 a x    n hội tụ khi p x  , phân kỳ khi p x  1.4. Không gian co: 1.4.1. Định nghĩa: Trong trường số p-adic Cp, ta có các định nghĩa sau 1.   1 2, ,..., ,... : ,p n n pC C n N        2.    1 2, ,..., ,... ,n n pSup n N     là một chuẩn trên pC 3.   1 2, ,..., ,... : lim 0o n p n pnc C       4.         oo 1 2 n o nc , ,..., ,... c : 0,vôùi nñuû lôùn 1.4.2. Định lý : Trong trường số p-adic Cp, ta có các kết quả sau 1.   ,pC là không gian Banach 2. oc là không gian con mở của pC 3. ooc trù mật trong oc Chương 2: CƠ SỞ MAHLER TRONG KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC C ( ZP  CP ) Trong chương này ta sẽ nghiên cứu trên không gian đầy đủ ( , )K , trong đó K là trường và là chuẩn phi-Archimedean. Để xây dựng cơ sở Mahler trong không gian các hàm liên tục, trước tiên ta cần tìm hiểu một số khái niệm sau 2.1. Tính chất Tôpô trên trường phi-Archimedean: 2.1.1. Định nghĩa: Trong trường K, lấy    , 0,a K r .Ta nói        , :B a r x E x a r là hình cầu mở tâm a bán kính r       , :B a r x E x a r là hình cầu đóng tâm a bán kính r    , , ,B a r B a r được gọi chung là hình cầu trong K. 2.1.2. Định lý: 1. Mọi hình cầu trên trường K đều vừa mở vừa đóng. 2. Mọi hình cầu trên trường K đều có vô số tâm 3. Hai hình cầu bất kỳ trong K hoặc rời nhau hoặc lồng nhau Chứng minh: 1. Lấy a K và  0r Chứng minh hình cầu mở  ,B a r là tập đóng: Trên K ta định nghĩa một quan hệ như sau:     , ,x y K x y x y r Ta có là một quan hệ tương đương. Thật vậy Hiển nhiên x x và ( x y y x ); ,x y K  , ,x y z K , giả sử x y và y z Ta có          ,x z x y y z Max x y y z r  x z Vậy là một quan hệ tương đương Hơn nữa mỗi lớp tương đương     : ( , )x y K x y B x r là tập mở Lại có        ,, \x K x B a rK x B a r K x mà  ,x B a r x   là tập mở Vậy  ,B a r là tập đóng Chứng minh hình cầu đóng  ,B a r là tập mở: Giả sử  0 ,x B a r , lấy   0 ,y B x r , ta có                  0 0 0 , , , , y a Max y x x a r y B a r B x r B a r Vậy  ,B a r là tập mở 2. Giả sử  , 0a K r ,  ,B a r là hình cầu đóng. Lấy   , ;b B a r b a . Ta sẽ chứng minh    , ,B a r B b r . Thật vậy    ,x B a r ta có              , ,x b x a a b Max x a a b r x B b r     , ,B a r B b r Ngược lại    ,x B b r ta có          , ,x a Max x b a b r x B a r     , ,B b r B a r Vậy    , ,B a r B b r Việc chứng minh cho hình cầu mở hoàn toàn tương tự 3. Không mất tính tổng quát ta hoàn toàn có thể giả sử  ,B a r và  ,B b s là hai hình cầu đóng với ,a b K và   0r s . Nếu  ,B a r và  ,B b s không rời nhau, nghĩa là      , ,B a r B b s , ta sẽ chứng minh  ,B a r và  ,B b s lồng nhau. Ta có                    , , , , c a r B a r B b s c B a r B b s c b s    ,x B b s , ta có          , , ,x a Max x b b c c a Max s r r    ,x B a r     , ,B b s B a r Việc chứng minh cho hình cầu mở hoàn toàn tương tự Vậy hai hình cầu bất kỳ trong K hoặc rời nhau hoặc lồng nhau ª 2.1.3. Định lý: Trong trường K ta có các kết quả sau 1. Mặt cầu đơn vị         0,1 \ 0,1 : 1B B x K x là nhóm con nhân của nhóm nhân K\{0} 2.        1,1 : 1 1B x K x là nhóm con của mặt cầu đơn vị 3. Với 0 < r < 1 cho trước, mọi hình cầu       1, : 1B r x K x r và        1, : 1B r x K x r đều là nhóm con của nhóm  1,1B Chứng minh: 1. Ta có             1 1 1 0,1 \ 0,1 0,1 \ 0,1B B B B        , 0,1 \ 0,1 1x y B B x y Ta có           1 1 11 1 0,1 \ 0,1x y x y y x y B B x Vậy mặt cầu đơn vị là nhóm con nhân của K\{0} 2. Trước tiên ta chứng minh       1,1 0,1 \ 0,1B B B    1,1x B ta có       1 1 1 ,1 1x x Max x ( vì  1 1x ) Lại có        1 1 1 1 ,x x Max x x x ( vì       0 (1,1 ) ( ,1 ) 1 1B B x x x ) 1 x      0,1 \ 0,1x B B Vậy       1,1 0,1 \ 0,1B B B Ta sẽ tiếp tục chứng minh  1,1B là nhóm con của mặt cầu đơn vị. Thật vậy Hiển nhiên    1,1B (vì  1 1,1B ) Lại có           1 1 , 1,1 1 1 x x y B y và          1,1 0,1 \ 0,1 1x B B B x Ta có         1 1 11 1 , 1 1x y x y x Max y x x    1 1,1x y B Vậy  1,1B là nhóm con của mặt cầu đơn vị 3. Với 0 < r < 1, dễ thấy    1, 1,1B r B           1 , 1, 1 x r x y B r y r . Ta có       1 11 1 , 1x y Max y x r x   1 1,x y B r . Vậy hình cầu       1, : 1B r x K x r là nhóm con Chứng minh tương tự cho hình cầu  1, B r ª 2.1.4. Định lý: Cho  X K , X –mở. Khi đó luôn tồn tại một phủ của X gồm các hình cầu rời nhau. Chứng minh: Giả sử cho trước     1 2 ... ... 0nr r r  a X , đặt               1 1 a n n n 1 B a,r neáuB a,r X B B a,r neáuB a,r Xvaø B a,r X Rõ ràng ;aB a X là một phủ của X. Ta sẽ chứng minh phủ này gồm các hình cầu rời nhau. Thật vậy  ,a b X , ta cần chứng minh hai hình cầu ,a bB B hoặc rời nhau hoặc bằng nhau Nếu  a bB B , theo định lý 2.1.2 thì ,a bB B phải lồng nhau. Giả sử a bB B (*) Mặt khác theo cách đặt aB , rõ ràng aB là hình cầu lớn nhất (chứa trong X) trong số những hình cầu có cùng tâm a, bán kín