Luận văn Continua x với c(x) có một lân cận phẳng tại đỉnh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Phạm Võ Thanh Quí CONTINUA X VỚI C(X) CÓ MỘT LÂN CẬN PHẲNG TẠI ĐỈNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Phạm Võ Thanh Quí CONTINUA X VỚI C(X) CÓ MỘT LÂN CẬN PHẲNG TẠI ĐỈNH Chuyên ngành : Hình Học và Tôpô Mã số : 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THÁI SƠN Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 MỤC LỤC Trang phụ bìa Mục lục LỜI MỞ ĐẦU .................................................................................................. 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................ 6 1.1. Không gian tôpô .................................................................................... 6 1.2. Không gian Haussdorff và Cơ sở .......................................................... 7 1.3. Ánh xạ liên tục ...................................................................................... 7 1.4. Compact ................................................................................................ 8 1.5. Liên thông ............................................................................................. 9 Chương 2. CONTINUUM VÀ SIÊU KHÔNG GIAN ............................... 15 2.1. Các khái niệm về continuum ............................................................... 15 2.2. Các khái niệm về siêu không gian ...................................................... 16 2.3. Cung .................................................................................................... 17 2.4. n - tế bào ............................................................................................. 17 2.5. Triod đơn ............................................................................................. 19 2.6. Cung thứ tự ......................................................................................... 20 2.7. Liên thông trong continuum ................................................................ 21 2.8. Ánh xạ Whitney .................................................................................. 24 Chương 3. CÁC CONTINUUM X VỚI C(X) LÀ 2-TẾ BÀO ĐỊA PHƯƠNG TẠI X ........................................................................................... 27 3.1. Ánh xạ Whitney .................................................................................. 27 3.2. Các tính chất thu được thông qua bậc Whitney .................................. 29 3.3. Các tính chất thu được thông qua các continuum đặc biệt ................. 34 Chương 4. CÁC CONTINUUM X VỚI C(X) CÓ MỘT LÂN CẬN PHẲNG TẠI ĐỈNH ....................................................................................... 41 4.1. Mối quan hệ giữa bậc Whitney với liên thông địa phương ................ 41 4.2. Mối quan hệ giữa bậc Whitney với liên thông địa phương ................ 43 4.3. Các continuum X với C(X) có một lân cận phẳng tại đỉnh ................ 47 KẾT LUẬN .................................................................................................... 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 52 1 LỜI MỞ ĐẦU Hình học – Tôpô là một ngành quan trọng của toán học với nhiều ứng dụng lớn không những có vai trò quan trọng trong toán học như đại số, giải tích mà còn trong cơ học lý thuyết, cơ học lượng tử, vật lý hạt nhân. Trong những lĩnh vực của Hình học – Tôpô nghiên cứu thì lý thuyết continuum và siêu không gian là một bộ phận của Hình học – Tôpô mà cho đến nay vẫn đang tiếp tục được xây dựng và phát triển thêm. Một continuum là một không gian compact, liên thông và metric. Khái niệm continuum được giới thiệu lần đầu tiên bởi Georg Cantor vào năm 1893. Trong [9], tác giả đã chứng minh khái niệm về continuum của Georg Cantor và định nghĩa continuum là một. Những tính chất cơ bản của một continuum được suy từ các tính liên thông của không gian tôpô. Từ khi khái niệm về continuum của Georg Cantor ra đời cho đến nay, nhiều nhà toán học tên tuổi đã nghiên cứu về nó và thu được những kết quả quan trọng có ứng dụng cao trong toán học và thực tiễn. Cho đến nay, nhiều bài toán trong lí thuyết continuum vẫn còn là các bài toán mở. Giải quyết các bài toán này sẽ mở ra những hướng nghiên cứu mới và những ứng dụng to lớn. Do đó việc nghiên cứu về lí thuyết continuum đang rất thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Cho một continuum X , siêu không gian các continuum con của X được ký hiệu bởi ( )C X với metric Hausdorff H . Trong siêu không gian ( )C X , phần tử X có một vị trí đặc biệt và ta gọi X là đỉnh. Và một câu hỏi đặt ra rằng: tại X có tính chất địa phương gì trong ( )C X hay không? Câu trả lời lần lượt được các nhà toán học đưa ra trong các nghiên cứu của mình. Đầu tiên, Alejandro Illanes, Sam Nadler [5] đã chứng minh 2 được ( )C X luôn liên thông địa phương tại . Chiều ngược lại, có tồn tại continuum X sao cho ( )C X chỉ liên thông địa phương tại X đã được Anne Marie Dilks trả lời trong [2] năm 1980. Ông đã xây dựng được một continuum X như thế. Tiếp theo, năm 1989 Hisao Kato [8] và năm 1991 Alejandro Illanes [4] đã lần lượt đưa ra các ví dụ X với ( )C X không co rút địa phương được tại X . Mặt khác, vào năm 1992 Luis Montejano-Peimbert và Isabel Puga-Espinosa [12] đã đưa ra các điều kiện một hình dendroid trơn X có một lân cận trong ( )C X là một đồng phôi với một nón tôpô của một vài continuum nào đó. Một công cụ để nghiên cứu các tính chất địa phương tại đỉnh X chính là ánh xạ Whitney và bậc Whitney. Một ánh xạ Whitney trên ( )C X là một ánh xạ liên tục ( ) [ ]: 0,1C Xµ → sao cho { }( ) 0,p p Xµ = ∀ ∈ , ( ) 1Xµ = và nếu ( ),A B C X∈ và A chứa thật sự trong B ( )A B thì ( ) ( )A Bµ µ< . Trong [5] Alejandro Illanes và Sam Nadler đã chứng minh được với mọi continuum X luôn tồn tại một ánh xạ Whitney trên siêu không gian ( )C X . Còn một bậc Whitney là một tập có dạng ( )1 tµ− với µ là một ánh xạ Whitney trên ( )C X và 1t < . Và Alejandro Illanes và Sam Nadler [5] cũng chứng minh được bậc Whitney luôn là continuum con trên ( )C X . Trong [5] Alejandro Illanes và Sam Nadler đã chứng minh được nếu siêu không gian ( )C X là một 2 − tế bào địa phương tại X thì luôn tồn tại một lân cận đóng  của X trong ( )C X sao cho  là một 2 − tế bào và Alejandro Illanes và Sam Nadler đã mở ra một vấn đề mới liệu các continuum X với ( )C X là một 2 − tế bào địa phương tại X thì các continuom X sẽ có những tính chất đặc trưng gì? Ngoài ra, với một số continuum X đặc biệt thì bậc 3 Whitney trên ( )C X sẽ có những tính chất gì? Giải quyết các vấn đề trên đã đưa ta đến một bài toán mới: Bài toán: Nếu tồn tại một lân cận  của X trong ( )C X sao cho  là nhúng được trong 2 thì lân cận đó có phải là 2–tế bào hay không? Xuất phát từ vấn đề trên, nội dung luận văn này sẽ gồm phần mở đầu, ba chương chính và phần kết luận. Cụ thể như sau: Phần mở đầu: Đặt vấn đề và trình bày sơ lược về hướng phát triển của vấn đề. Phần nội dung: Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này tôi sẽ trình bày các khái niệm cơ về tôpô đại cương và các tính chất của nó, đặc biệt tính chất về liên thông được quan tâm đặc biệt để làm nền tảng cho các chương tiếp theo. Chương 2. CONTINUUM VÀ SIÊU KHÔNG GIAN Trong chương này tôi sẽ trình bày các khái niệm cơ bản cần thiết về continuum, siêu không gian để phục vụ cho chương III và chương IV. Chương 3. CÁC CONTINUUM X VỚI ( )C X LÀ MỘT 2 −TẾ BÀO ĐỊA PHƯƠNG TẠI X Trong chương này tôi sẽ trình bày các tính chất đặc trưng của continuum X thông qua bậc Whitney xét trong một số continuum đặc biệt. Chương 4. CÁC CONTINUUM X VỚI ( )C X CÓ MỘT LÂN CẬN PHẲNG TẠI ĐỈNH Trong chương này ta sẽ giải quyết bài toán đã nêu: Nếu tồn tại một lân cận  của X trong ( )C X sao cho  là nhúng được trong 2 thì X có một lân cận trong ( )C X , lân cận đó 2 – tế bào. 4 Phần kết luận: Tổng kết lại các kết quả đã nghiên cứu trong luận văn và đưa ra những vấn đề mở cho hướng nghiên cứu sắp tới. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Nguyễn Thái Sơn; người thầy dẫn dắt tôi bước vào con đường nghiên cứu khoa học cũng như nhiệt tình giúp đỡ tôi trong việc soạn thảo luận văn bằng LaTex. Sự tận tình hướng dẫn cùng những lời động viên, chỉ bảo của Thầy đã giúp tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập cũng như động viên giúp tôi tiếp cận những hướng mới trong toán học hiện đại, các vấn đề lớn và các bài toán mở trong lý thuyết continuum. Thầy không những giúp đỡ tôi trong việc hoàn thành luận văn mà còn giúp tôi có cái nhìn tích cực trong các vấn đề xã hội. Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn: Ban lãnh đạo và các chuyên viên của phòng Sau đại học cùng với các giảng viên khoa Toán trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, các giảng viên trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Hình học và Tôpô khóa 23 đã tạo điều kiện học tập tốt nhất cho tôi trong suốt khóa học. Ban giám hiệu trường THPT Nguyễn Văn Linh đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi hoàn thành khóa học. Anh Trương Tấn Duy (tổ trưởng tổ Toán trường THPT Nguyễn Văn Linh) đã động viên, trao đổi và hỗ trợ tôi hết mình trong việc tìm kiếm các tài liệu khoa học. 5 Các bạn lớp Cao học Hình học và Tôpô khóa 23 cùng nhau chia sẽ những khó khăn trong quá trình học tập. Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn những người thân yêu trong gia đình đã luôn bên cạnh động viên, hổ trợ về mọi mặt để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học. 6 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung chương này là chủ yếu trình bày các khái niệm và kết quả đã được nghiên cứu trong tôpô cơ bản. Chủ yếu là về liên thông địa phương nhằm phục vụ cho các chứng minh các định lý ở chương sau. 1.1. Không gian tôpô 1.1.1. Định nghĩa Một không gian tôpô là một cặp ( ),X T trong đó X là một tập khác rỗng và T là họ các tập con của X (được gọi là tôpô của X ) mà những phần tử của nó được gọi là các tập mở sao cho: 1. , X T∅ ∈ (tập rỗng và X là mở). 2. Nếu { } AU Tα α∈ ⊂ thì A U Tα α∈ ∈  (hợp vô hạn những tập mở là mở). 3. Nếu { } 1 k i i U T = ⊂ thì 1 k i i U T = ∈  (giao hữu hạn những tập mở là mở). Nếu x X∈ thì một tập mở chứa x được gọi là một lân cận của x . Ta thường bỏ qua T trong ký hiệu và thường nói đơn giản là không gian tôpô X . 1.1.2. Ví dụ 1.  với họ các tập mở xây dựng từ các khoảng mở là một không gian tôpô. 2. Cho tập X khác rỗng thì: • ( )P X họ tất cả các tập con của X là một tôpô trên X , đó là tôpô lớn nhất trên X và gọi là tôpô rời rạc. • { }0 ,T X= ∅ là một tôpô trên X , đó là tôpô nhỏ nhất trên X và gọi là tôpô thô. 7 1.2. Không gian Haussdorff và Cơ sở 1.2.1. Định nghĩa Không gian tôpô X gọi là không gian Hausdorff (hay không gian 2T ) nếu với hai điểm khác nhau luôn được chứa trong hai tập mở rời nhau. 1.2.2. Định nghĩa Một họ con B của tôpô T trên X được gọi là cơ sở của nó nếu mọi tập mở V của T chứa x , đều có một mở G của B sao cho x G V∈ ⊂ . 1.2.3. Định lý Họ con B của T là cơ sở của nó khi và chỉ khi mọi tập mở V của T đều là một hợp thành của các phần tử trong B . Tức là: , : I V T G B I V Gα α α α ∈ ∀ ⊂ ⇒∃ ⊂ ∀ ∈ =  . 1.2.4. Hệ quả Nếu T có cơ sở là B thì nó là tôpô nhỏ nhất chứa B . Mỗi cơ sở xác định duy nhất một tôpô. 1.3. Ánh xạ liên tục 1.3.1. Định nghĩa Cho X , Y là hai không gian tôpô và :f X Y→ . Khi đó f gọi là liên tục tại 0x X∈ nếu với mọi V mở chứa 0( )f x , tồn tại U mở chứa 0x sao cho ( )f U V⊂ . 1.3.2. Định nghĩa Cho X , Y là hai không gian tôpô và :f X Y→ . Các mệnh đề sau là tương đương: 1. f liên tục trên X . 2. Ảnh ngược của mở là mở. 3. Ảnh ngược của đóng là đóng. 8 1.3.3. Định lý Cho X , Y là hai không gian tôpô và :f X Y→ . Khi đó f gọi là: 1. Ánh xạ mở nếu ảnh của mở là mở. 2. Ánh xạ đóng nếu ảnh của đóng là đóng. 3. Phép đồng phôi nếu f song ánh liên tục và có ánh xạ ngược liên tục. Nếu f là một phép đồng phôi thì X và Y gọi là hai không gian đồng phôi hay hai không gian tương đương tôpô X Y≅ . 1.3.4. Định lý Một song ánh liên tục là một phép đồng phôi khi và chỉ khi nó là ánh xạ đóng (hay ánh xạ mở). 1.4. Compact 1.4.1. Định nghĩa Tập con A của không gian tôpô X gọi là tập compact nếu mọi phủ mở của A đều có chứa một phủ con hữu hạn. Tức là: Nếu { } IVα α∈ là một phủ mở của A thì tồn tại 1 2 1 , ,..., : k n n k I A Vαα α α = ∈ ⊂  . Nếu X là tập compact thì X gọi là không gian compact. 1.4.2. Định lý 1. X là không gian compact khi và chỉ khi mọi họ tập đóng có tính giao hữu hạn, đều có giao khác trống. 2. Ảnh liên tục của tập compact cũng là tập compact. 3. Nếu X A B=  trong đó A và B là hai tập compact thì X là compact. 9 4. Tích Tychonoff X Y× của hai không gian compact là compact. Hơn nữa, tích Tychonoff của bất kỳ một họ các không gian compact là compact. Tức là: t t T C ∈ ∏ compact nếu tC compact với t T∈ . 1.5. Liên thông 1.5.1. Định nghĩa Cho X là một không gian tôpô, một cái tách của X là một cặp hai tập con khác rỗng 1U và 2U sao cho 1 2U U =∅ . 1.5.2. Định nghĩa Một không gian tôpô X được gọi là liên thông nếu nó không có một sự tách của X . 1.5.3. Định nghĩa Tập con A của không gian tôpô X gọi là liên thông nếu không tồn tại hai tập mở U , V sao cho: • A U V⊂  . • A U ≠∅ . • A V ≠∅ . • A U V ≠∅  . Nếu tập X là liên thông thì X còn gọi là không gian liên thông. Khi đó ta có các mệnh đề sau là tương đương: • X là không gian liên thông. 10 • X không biểu diễn được là hợp của hai tập mở khác trống rời nhau. • X không biểu diễn được là hợp của hai tập đóng khác trống rời nhau. 1.5.4. Định lý 1. Nếu A là tập liên thông và ( )A B cl A⊂ ⊂ thì B cũng liên thông. 2. Nếu ( ) IAα α∈ là tập liên thông và I Aα α∈ ≠ ∅  thì I Aα α∈  liên thông. 3. Ảnh liên tục của tập liên thông là liên thông. 1.5.5. Định lý Nếu C là tập con liên thông của hai tập rời nhau M và N thì ta có C M =∅ hoặc C N =∅ . 1.5.6. Định lý Cho { }tC là một họ các tập liên thông. Hợp t t C  là liên thông với điều kiện là tồn tại một tập 0C không tách được với bất kỳ tập tC nào. Từ đó ta suy ra: hợp của các tập liên thông mà có cùng một điểm chúng là liên thông. Chứng minh: Gọi t t X C=  và giả sử X M N=  trong đó M và N là hai tập vừa đóng vừa mở và không giao nhau. Ta sẽ chỉ ra hoặc M =∅ hoặc N =∅ . Theo Định lý 1.5.5 ta có thể giả sử 0C M =∅ . Từ đó suy ra 0C N⊂ . Do đó, N là một lân cận (mở) của 0C . Vì các tập 0C và tC là không tách được, theo đó tC N ≠∅ . Nên tC M =∅ (Định lý 1.5.5) với t bất kỳ. Vì vậy M =∅ . 11 1.5.7. Định lý Tích Tychonoff t t T X C ∈ =∏ của các không gian liên thông là liên thông. 1.5.8. Định nghĩa  được gọi là một thành phần liên thông khi  liên thông và nếu 1⊂  thì 1=  với mọi tập 1 liên thông. Hay nói cách khác: Thành phần liên thông của một không gian tôpô là tập con liên thông lớn nhất của nó. 1.5.9. Định nghĩa Cho X là một không gian tôpô và x X∈ , một thành phần của x kí hiệu là xC là tập liên thông lớn nhất chứa x nghĩa là hợp tất cả tập con liên thông của X chứa x . 1.5.10. Định lý Cho X là không gian tôpô và x X∈ . Ta có các khẳng định sau: 1. Mọi thành phần xC là tập liên thông lớn nhất trong X và không tồn tại tập con liên thông Y của X mà xC Y⊂ . 2. Tập tất cả các thành phần rời nhau trong X tạo thành một phân hoạch của Y . 3. Mọi xC là đóng trong Y . Chứng minh: 1. Được suy ra từ định nghĩa. 2. Nếu x yC C ≠∅ thì x yC C là liên thông, mâu thuẫn với xC là tập liên thông lớn nhất. 12 3. Vì xC là liên thông nên tồn tại một tập liên thông A thỏa xC ⊂ A ( )xcl C⊂ mà xC là tập liên thông lớn nhất nên ( )xcl C xC⊂ ( )x xcl C C⇒ = . Vì vậy xC là đóng. 1.5.11. Định lý Các thành phần liên thông là các tập đóng rời nhau. Chứng minh: Đầu tiên ta sẽ chứng minh: Bao đóng của một tập con liên thông Y X⊂ là liên thông. Thật vậy, nếu 1 2( ) Ycl Y Y=  , trong đó 1 2,Y Y là các tập mở khác rỗng và 1 2Y Y =∅ thì do tập Y là trù mật trong bao đóng nên ( ) ( )1 2Y Y Y Y Y=    với 1 2,Y Y Y Y  mở, khác trống và rời nhau. (mâu thuẫn với tính liên thông của Y ). Quay lại định lý, gọi ,tC t T∈ là các thành phần liên thông. Theo kết quả trên thì ( ),tcl C t T∈ liên thông. Theo định nghĩa thì với mỗi t T∈ thì tC chính là tập liên thông lớn nhất nên ( )t tcl C C⊂ . Hiễn nhiên ( )t tC cl C⊂ . Do đó, ( )t tcl C C= nên tC là đóng với mỗi t T∈ . Giải sử rằng các tập ,tC t T∈ không rời nhau và gọi 0 t t T C C ∈ =  thì theo Định lý 1.5.4 ta có t t T C C ∈ =  . Điều này mâu thuẫn với giả thuyết ,tC t T∈ là các thành phần liên thông. Do đó ,tC t T∈ là các tập rời nhau. Vậy các thành phần liên thông là các tập đóng rời nhau. 13 1.5.12. Định nghĩa Một không gian tôpô X được gọi là liên thông địa phương nếu với mọi x X∈ và mọi lân cận  của x luôn tồn tại một lân cận liên thông  của x sao cho ⊂  . 1.5.13. Định nghĩa Một không gian tôpô được gọi là liên thông địa phương yếu tại điểm x nếu mỗi lân cận  của x chứa một lân cận mở  của x sao cho hai điểm bất kỳ trong  nằm trong một tập con liên thông của  . Một định nghĩa khác: một không gian tôpô được gọi là liên thông địa phương yếu tại x nếu với mọi tập mở  chứa x luôn tồn tại một tập con liên thông  của  sao cho x nằm trong phần trong của  . Không gian tôpô X được gọi là liên thông địa phương yếu nếu nó liên thông địa phương yếu tại mọi điểm x X∈ . 1.5.14. Chú ý Liên thông địa phương tại x là liên thông địa phương yếu tại x . Ngược lại không gian tôpô X là liên thông địa phương yếu tại mọi điểm x X∈ thì nó liên thông địa phương tại mọi điểm x X∈ . Ta có mệnh đề sau: 1.5.15. Mệnh đề Nếu X là liên thông địa phương yếu tại mọi điểm x X∈ thì X là liên thông địa phương. Chứng minh: Lấy  là một tập mở trong X ,  là một thành phần của  . Nếu x∈ thì có một tập mở x chứa x và nằm trong  sao cho mỗi hai điểm trong x 14 nằm trong tập con liên thông của  . Suy ra x ⊂  . Vì vậy  là một tập mở và X liên thông địa phương. 15 Chương 2. CONTINUUM VÀ SIÊU KHÔNG GIAN Nội dung của chương này sẽ trình bày các khái niệm về continuum, siêu không gian cùng với các đối tượng như cung, triod đơn, tế bào, ánh xạ Whitney,để phục vụ cho các chứng minh ở hai chương sau. Đồng thời ta sẽ trình bày các khái niệm về liên thông trong continuum. 2.1. Các khái niệm về continuum 2.1.1. Định nghĩa Một continuum X là không gian metric, compact, liên thông. Với một continuum cho trước, một tập con của nó thỏa định nghĩa trên được gọi là continuum con của continuum đó. Một continuum được gọi là không suy biến nếu có nhiều hơn một điểm. Một continuum đồng phôi với một tập con của mặt phẳng Euclide 2 được gọi là một continuum phẳng. Một continuum X được gọi là thuần nhất nếu với hai điểm ,x y bất kỳ trong X tồn tại một phép đồng phôi :h X X→ sao cho ( )h x y= . Một continuum được gọi là continuum Peano nếu continuum đó liên thông địa phương tại mỗi điểm. Một continuum X được gọi là phân tích được nếu X có thể biểu diễn được thành hợp của hai continuum con thực sự. Một continuum không thỏa điều kiện đó gọi là không phân tích được. Một continuum được gọi là không phân tích được di truyền nếu mỗi continuum con của nó là continuum không phân tích được. 16 Ta gọi không gian liên thông, compact, khác rỗng và 2T (không gian Hausdorff) là 2T - continuum (Hausdorff continuum). 2.1.2. Mệnh đề Một số tích chất của continuum: 1. Hợp của hai continuum có một điểm chung là một conti