Luận văn Gamma hàm P - Adic và các ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH __________________________ Trần Tuấn Anh GAMMA HÀM p-ADIC VÀ CÁC ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CẢM ƠN Trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ quý báu của các thầy cô, các anh chị và các bạn. Với lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tôi xin được bày tỏ lới cảm ơn chân thành tới: Ban giám hiệu, phòng sau đại học, khoa Toán trường Đại Học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện bảo vệ luận văn. PGS. TS. Mỵ Vinh Quang người thầy kính mến đã hết lòng giúp đỡ, dạy bảo, và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và chu đáo của thầy Mỵ Vinh Quang. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đối với thầy. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán-Tin đã giúp tôi trang bị những kiến thức cần thiết để tôi có thể hoàn thành luận văn. Và cuối cùng tôi xin dành lời cảm ơn đến các bạn bè, người thân đã luôn động viên, cổ vũ giúp tôi yên tâm hoàn thành tốt luận văn. MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục LỜI MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .......................................................................... 2 1.1.Chuẩn và chuẩn phi Acsimet. ................................................................................ 2 1.2. Xây dựng trường số p – adic P .......................................................................... 6 1.3. Xây dựng trường P ............................................................................................. 9 Chương 2. KHÁI NIỆM DÃY NỘI SUY p-ADIC. GAMMA HÀM p-ADIC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG ................................................................................................ 12 2.1. Khái niệm dãy nội suy p-adic. ............................................................................ 12 2.1.1. Một số khái niệm và tính chất cơ bản về dãy nội suy p-adic. ...................... 12 2.1.2. Một vài ví dụ về dãy nội suy p-adic. ............................................................ 17 2.2. Xây dựng gamma hàm p-adic (với 2p ≠ ). ......................................................... 19 2.3. Xây dựng gamma hàm p-adic (với 2p = ). ......................................................... 24 2.4. Một số ứng dụng liên quan. ................................................................................. 30 2.4.1. Hằng số Euler p-adic. ................................................................................... 30 2.4.2. Các giá trị của hàm pΓ tại 1 , 1, 2,... 2 − − ......................................................... 32 2.4.3. Công thức nhân Gauss – Legendre p-adic. ................................................... 35 KẾT LUẬN .................................................................................................................. 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 39 1 LỜI MỞ ĐẦU Các gamma hàm đóng một vai trò quan trọng trong giải tích phức, trong lý thuyết số hiện đại, đặc biệt là trong công việc nghiên cứu các L- hàm số học. Một cách tự nhiên ta nghĩ đến việc xây dựng các tương tự p-adic của các gamma hàm trong trường hợp phi Acsimet. Các tương tự phi Acsimet của gamma hàm được xây dựng bởi Dwork, Diamond, Boyarsky trong thập niên 80 của thế kỷ trước và đã có nhiều ứng dụng. Chính vì vậy, tôi quyết định chọn đề tài “Gamma hàm p-adic và các ứng dụng” làm đề tài luận văn thạc sĩ để tìm tòi, nghiên cứu, tập hợp các kết quả của gamma hàm p-adic và các ứng dụng của chúng. Nội dung chính của luận văn là đưa ra một cách xây dựng gamma hàm p-adic và một số ứng dụng liên quan thể hiện trong 2 chương: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị: Trình bày những kiến thức cơ bản về giải tích p- adic. Chương 2. Khái niệm dãy nội suy p-adic – Gamma hàm p-adic và một số ứng dụng: Trình bày khái niệm dãy nội suy p-adic, từ đó đưa ra một số ví dụ cụ thể và cách xây dựng gamma hàm p-adic trong hai trường hợp 2p ≠ và 2p = và một số ứng dụng liên quan. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy Mỵ Vinh Quang. Người viết xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình về sự hướng dẫn chu đáo của thầy trong suốt thời gian thực hiện luận văn. Lời cảm ơn tiếp theo tôi xin dành cho tất cả những người thân đã luôn động viên, giúp đỡ tôi yên tâm hoàn thành luận văn. Và cuối cùng xin cảm ơn các thầy trong bộ môn Đại số, khoa Toán- Tin đã giúp tôi trang bị những kiến thức cần thiết và phòng sau đại học đã tạo điều kiện để tôi thực hiện bảo vệ luận văn này. Do hạn chế về khả năng và thời gian thực hiện, luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Rất mong sự đóng góp của quý thầy cô và những ai quan tâm đến vấn đề này. TP. HCM, ngày 28 tháng 8 năm 2014 2 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Chuẩn và chuẩn phi Acsimet 1.1.1. Khái niệm cơ bản 1.1.1.1. Định nghĩa Cho F là một trường. Ánh xạ : F →  được gọi là một chuẩn trên F nếu thỏa các điều kiện sau: ) 0, . 0 0 ) , , ) , , i x x F x x ii xy x y x y F iii x y x y x y F ≥ ∀ ∈ = ⇔ = = ∀ ∈ + ≤ + ∀ ∈ Ví dụ. 1) F F= ∨ =  , giá trị tuyệt đối thông thường là chuẩn trên F 2) F =  , môđun của một số phức là chuẩn trên F 3) F là một trường. Xét ánh xạ: : 1 , 0 0 , 0 F x x x x → ≠ =  =    Dễ thấy  là một chuẩn trên F, gọi là chuẩn tầm thường. 1.1.1.2. Các tính chất Cho  là một chuẩn trên trường F có đơn vị 1. x F∀ ∈ ta có: 1 ) 1 1 1 ) , ) , 1) , 0 nn i ii x x x F iii x x n iv x x x − = − = ∈ = − ∀ ∈ = ∀ ∈ = ≠   1.1.1.3. Nhận xét Nếu F là trường hữu hạn thì trên F chỉ có duy nhất một chuẩn là chuẩn tầm thường. 1.1.2. Chuẩn tương đương 3 Cho  là một chuẩn trên trường F. Ta định nghĩa hàm :d F F× →  như sau: ( , ) , ,d x y x y x y F= − ∀ ∈ . Do  là một chuẩn trên F nên ta dẽ dàng kiểm tra được d là một mêtríc trên F và do đó ( ),F d là một không gian mêtríc. Tôpô cảm sinh bởi d: ( ) { }, |B a r x F x a r= ∈ − < 1.1.2.1. Định nghĩa Cho 1 2,  là hai chuẩn trên trường F. Ta nói rằng hai chuẩn này tương đương nếu tôpô cảm sinh bởi 1 2,  là như nhau Chú ý rằng: { }nx là dãy Cauchy theo chuẩn  , nghĩa là: , 0m nm nx x →+∞− → . Hay 0, : , ,o o m nn n m n x x∀ > ∃ ∈ ∀ > − <ε ε 1.1.2.2. Định lý (Các điều kiện để chuẩn tương đương) Cho F là một trường; 1 2,  là hai chuẩn trên trường F. Các điều sau là tương đương: 1) 1 2, 1 1x F x x∀ ∈ < ⇔ < 2) 1 2, 1 1x F x x∀ ∈ ≤ ⇔ ≤ 3) * 2 1: , cc x F x x+∃ ∈ ∀ ∈ = 4) { }nx là dãy Cauchy theo chuẩn 1 ⇔ { }nx là dãy Cauchy theo chuẩn 2 5) 1 tương đương với 2 ( 1 2   ) 1.1.2.3. Hệ quả Cho 1 2,  là hai chuẩn trên trường F. Nếu tồn tại hai số dương A, B sao cho 1 2A≤  và 2 1B≤  Thì khi đó 1 2=  . 1.1.3. Chuẩn phi Acsimet 1.1.3.1. Định nghĩa 4 Cho  là một chuẩn trên trường F. Chuẩn  được gọi là chuẩn phi Acsimet trên F nếu nó thỏa điều kiện: ) max{ , }, ,iii x y x y x y F′ + ≤ ∀ ∈ Chuẩn thỏa (iii) nhưng không thỏa (iii’) được gọi là chuẩn Acsimet. Ví dụ. Chuẩn tầm thường trên trường F là chuẩn phi Acsimet. 1.1.3.2. Định nghĩa i) Cho p là một số nguyên tố cố định. Với mỗi m Z∈ , ta định nghĩa ( )pord m là số tự nhiên k lớn nhất để km p (nếu m p thì ( ) 0pord m = ). Nếu *, mr r n ∈ = thì ta định nghĩa ( ) ( ) ( )p p pord r ord m ord n= − . ii) Cho p là một số nguyên tố cố định. Với mỗi { }\ 0x∈ , ta luôn có ( ) ( ) ( ) , ; , 1 , 1 ; , 1 m n m nmx p n m p n p  ∈ = =   = =  α α gọi là p – số mũ của x, ký hiệu ( )pord x =α . Quy ước: ( )0 ,pord a= ∞ ∞ ± = ∞ . 1.1.3.3. Mệnh đề Cho p là một số nguyên tố, ,x y∀ ∈ ta có ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) min{ ( ), ( )} p p p p p p i ord xy ord x ord y ii ord x y ord x ord y = + + ≥ 1.1.3.4. Mệnh đề Cho ρ là một số thực thỏa 0 1< <ρ và p là một số nguyên tố. Ánh xạ : → ρ ( ); 0 0 pord xx x  =  =  ρ ρ ρ là một chuẩn phi Acsimet trên  với quy ước 0∞ =ρ . Chú ý. 1) 1 21 2 0 , 1< < ⇒ ρ ρρ ρ 2) Với mỗi số nguyên tố p, ta có chuẩn 5 ( ) , 0 0 , 0 pord x p Q R p xx x x − →  ≠=  =  Chuẩn ρ được gọi là chuẩn p-adic hay chuẩn p. Rõ ràng chuẩn p là chuẩn phi Acsimet. 3) Cho 0n là số tự nhiên lớn hơn 1. Với mỗi x∈ , ta luôn có 1 s o o s ox a a n a n= + + + (*) trong đó, ( )0 0 1 , 0i o i o sa n hay a n a≤ < ≤ ≤ − ≠ . Biểu diễn (*) được gọi là biểu diễn 0n - phân của x. Ta dễ dàng chứng minh được 1s s o on x n +≤ < và do đó, log 1 ons x s≤ < + nên log ons x =   . 1.1.3.5. Định lý (Các điều kiện tương đương của chuẩn phi Acsimet) Cho F là một trường, là một chuẩn trên F. Các điều sau là tương đương i) là chuẩn phi Acsimet ii) 2 1≤ iii) n 1,≤ iv) N bị chặn. Nghĩa là, 0 : ,c n c n N∃ > ≤ ∀ ∈ 1.1.3.6. Hệ quả Nếu F là trường đặc số p thì mọi chuẩn trên F đều là chuẩn phi Acsimet. 1.1.3.7. Các tính chất cơ bản của chuẩn phi Acsimet Cho F là một trường với chuẩn phi Acsimet . Ta có các khẳng định sau: i) , , max{ , }x y F x y x y x y∀ ∈ ≠ ⇒ + = . Nghĩa là, mọi tam giác đều cân trong không gian mêtric sinh bởi chuẩn . ii) Các tập 6 ( ) { } ( ) { } ( ) { } , : , : , : B a r x F x a r B a r x F x a r S a r x F x a r = ∈ − < = ∈ − ≤ = ∈ − = là các tập vừa đóng vừa mở. iii) Mọi điểm thuộc hình cầu đều là tâm của nó. Nghĩa là, ( ) ( ) ( ), , ,b B a r B a r B b r∀ ∈ ⇒ = iv) Dãy { }nx F⊂ là dãy Cauchy 1lim 0n nn x x+→∞⇔ − = v) Nếu { }nx là dãy Cauchy. Khi đó: • 0nx → thì 0nx → • 0nx → thì { }nx là dãy dừng. Nghĩa là, 1 2: , n n nN n N x x x+ +∃ ∀ ≥ = = = vi) Ký hiệu { : 1} , { : 1}A x F x M x F x= ∈ ≤ = ∈ < . Khi đó: • A là vành con chứa đơn vị của F • M là iđêan tối đại của A. Do đó, A M là một trường, gọi là trường thặng dư của F đối với chuẩn . 1.1.3.8. Định lý Ostrosky. Mọi chuẩn không tầm thường trên  đều tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường hoặc p (p là một số nguyên tố). 1.2. Xây dựng trường số p – adic p Ký hiệu S = {{ }nx ⊂ | { }nx là dãy Cauchy theo . p }. Trên S xét quan hệ tương đương ~ cho như sau: { } ~ { } lim ( ) 0 lim 0n n n n n n pn n x y x y x y →∞ →∞ ⇔ − = ⇔ − = . Ký hiệu p là tập tất cả các lớp tương đương theo quan hệ trên, { }{ } |{ }~p n nS x x S= = ∈ . Ta sẽ trang bị hai phép toán cộng và nhân cho p như sau : * Phép cộng: { }, { } , { }n n p n nx x y y x y x y∀ = = ∈ + = + 7 * Phép nhân: { }, { } , . { . }n n p n nx x y y x y x y∀ = = ∈ = Ta dễ dàng chứng minh được với hai phép toán cho như trên p là một trường với: * Phần tử không: 0 { 0}nx= = * Phần tử đơn vị: 1 { 1}nx= = * Phần tử đối: { } { }n nx x x x= ⇒ − = − * Phần tử nghịch đảo: Ta có nhận xét rằng bất kì một lớp khác không 0 { }nx x≠ = của p đều có một đại diện là một dãy Cauchy mà mọi phần tử đều khác không. Vậy nếu , 0px x∈ ≠ thì { } , 0 n nx x x n= ≠ ∀ . Khi đó 1 1 nx x   =     là phần tử nghịch đảo của x trong p Khi đó ( ), ,.p + là một trường, trường này gọi là trường số p–adic p . Trường  có thể xem như là trường con của p nhờ đồng cấu nhúng : : { } pi x x → →   Chuẩn trên p Với mỗi { }n px x= ∈ , ta định nghĩa lim np pn x x →∞ = . Chú ý. Nếu 0nx → thì 0n px → ; do đó 0px = . Ta dễ dàng chứng minh được . p định nghĩa như trên là một chuẩn trên p . Hơn nữa, mọi dãy Côsi trong ( ), .p p đều hội tụ trong ( ), .p p ,tức ( ), .p p là một mở rộng của ( ), . . Nhận xét. Với mọi { }n px x= ∈ , ta luôn có lim nx x x→∞ = . 1.2.1. Quan hệ đồng dư trong p 8 Với , pa b∈ ta định nghĩa ( ) ( ) mod n na b p a b p≡ ⇔ −  Nhận xét. Với , pa b∈ , ( ) mod n npa b p a b p−≡ ⇔ − ≤ . Nếu a, b ∈  thì định nghĩa đồng dư trong p sẽ trùng với định nghĩa đồng dư thông thường trên tập hợp số nguyên  1.2.2. Bổ đề. Cho , 1p px x∈ ≤ . Khi đó: { }( ), : 0,1,..., 1n npn r x r p r p−∀ ∈ ∃ ∈ − ≤ ∈ −  1.2.3. Định lý (mô tả p ) Cho , 1p px x∈ ≤ . Khi đó, x có một đại diện là 1,{ }n na = +∞ thỏa hai điều kiện i) ( ) 0 1,2,...nna p n≤ < = ii) ( )1 mod , 1,2,...nn na a p n+≡ = 1.2.4. Vành số nguyên p–adic p Cho p là số nguyên tố cố định. Tập hợp { }: 1p p px x= ∈ ≤  cùng với phép cộng và nhân trong p lập thành một vành. Vành này được gọi là vành các số nguyên p–adic. Tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của vành p là: { }* 1: : 1p p p p px x xx  = ∈ ∈ = ∈ =        Các phần tử của *p còn được gọi là các đơn vị p–adic Tính chất i) p là vành chính và tập các iđêan của p lập thành một dây chuyền. Cụ thể: 2 0np p p pp p p⊃ ⊃ ⊃ ⊃ ⊃      . ii) p là compact ; từ đó p là compact địa phương. iii) p đầy đủ. 9 1.2.5. Khai triển p – adic của x trong p * Với mọi px∈ thì 0 1 0 i i i i i x b p b b p b p +∞ = = = + + + +∑   gọi là khai triển p-adic của x trong p ; trong đó 0 1ib p≤ ≤ − * Nếu px∈ bất kì, ( ) mpx p m= ∈ thì 1 1 i m m m n i m m m n i m x b p b p b p b p +∞ − − + − + − − + − + =− = = + + + +∑   gọi là khai triển p-adic của x trong p ; trong đó 0 1 ; 0i mb p b−≤ ≤ − ≠ 1.2.6. Bổ đề Helsel Cho đa thức 0 1( ) [ ], 0 n n p nf x c c x c x x c= + + ∈ ≠  . Nếu tồn tại phần tử 0 pa ∈ thỏa điều kiện ( ) ( ) 0 0 ( ) 0 mod ( ) 0 mod f a p f a p  ≡  ′ ≡/ Thì tồn tại duy nhất 0 px ∈ để ( ) 0 0 0 ( ) 0 mod f x x a p =  ≡ . 1.3. Xây dựng trường p 1.3.1. Chuẩn trên không gian véctơ Cho F là một trường với chuẩn ; V là một không gian véctơ trên trường F. Ánh xạ :V →  được gọi là một chuẩn trên không gian véctơ V nếu thỏa các điều kiện: i) 0, ; 0 0x x V x x≥ ∀ ∈ = ⇔ = ii) , ,a F x V ax a x∀ ∈ ∀ ∈ = 10 iii) , ,x y x y x y V+ ≤ + ∀ ∈ 1.3.1.1. Định lý. Cho ( ),F là compact địa phương, K là không gian hữu hạn chiều trên trường F. Khi đó, mọi chuẩn không gian véctơ trên K đều tương đương. 1.3.1.2. Hệ quả. Cho ( ),F là một trường với chuẩn compact địa phương, K là mở rộng hữu hạn của F. Khi đó, có nhiều nhất một chuẩn trường trên K là mở rộng của trên F. 1.3.2. Chuẩn trên p a) F được gọi là bao đóng đại số của F nếu : i) F là mở rộng đại số của F ii) Đồng thời mọi đa thức của [ ]F x đều phân rã được trong [ ]F x b) Gọi p là bao đóng đại số của p , tức, p là tập các phần tử đại số trên p . Trong p ta đã có chuẩn p là chuẩn compac địa phương. Nhận xét. Có tối đa một chuẩn trên p là mở rộng của chuẩn p trên p . Nhận xét. Giả sử là chuẩn trên p là mở rộng của chuẩn p trên p . Nếu , p′α α ∈ và , ′α α liên hợp với nhau trên p thì ′α = α . Chuẩn của phần tử trong p Với pα∈ ⇒ α đại số trên p . Ký hiệu đa thức tối tiểu của α trên p là ( ) ( ) ( )11 1 1min , ; n np n o n i px a x a x a x x a−−α = + + + = −α −α ∈    Trong đó, iα là các liên hợp của α trên p (nghiệm của đa thức ( )min , pα  ) 0 : p n pa → α α =    Kí hiệu p= do đó ta có 0np paα = 1.3.3. Trường p 11  → = → =     đầy đủ, đóng đại số.  p p p→ = →    đóng đại số, không đầy đủ. a) Trường p không đầy đủ. Đặt    p p= =   . Ta chứng minh được p là đóng đại số. p gọi là tương tự p–adic của trường số phức  b) Nhắc lại bao đủ của p Ký hiệu S = {{ } pnx ⊂ | { }nx là dãy Cauchy theo . p }. Trên S xét quan hệ tương đương ~ cho như sau: { } ~ { } lim ( ) 0 lim 0n n n n n n pn n x y x y x y →∞ →∞ ⇔ − = ⇔ − = . Ký hiệu p là tập tất cả các lớp tương đương theo quan hệ trên, { }{ } |{ }~p n nS x x S= = ∈ . Ta sẽ trang bị hai phép toán cộng và nhân cho p như sau : * Phép cộng: { }, { } , { }n n p n nx x y y x y x y∀ = = ∈ + = + * Phép nhân: { }, { } , . { . }n n p n nx x y y x y x y∀ = = ∈ = Ta dễ dàng chứng minh được với hai phép toán cho như trên p là một trường Chuẩn trên p Với mỗi { } ; n p n px xα = ∈ ∈  ta định nghĩa lim np pn x →∞ α = . Một số tính chất của trường p a) p đầy đủ (mọi dãy cauchy theo p đều hội tụ trong p ). b) p đóng đại số (mọi đa thức ( ) [ ]pf x x∈ đều phân rã được trong [ ]p x ). c) p không compac địa phương. d) p là không gian vectơ vô hạn chiều trên p . [ ]: 2, :p p = = ∞     12 Chương 2. KHÁI NIỆM DÃY NỘI SUY p-ADIC. GAMMA HÀM p-ADIC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 2.1. Khái niệm dãy nội suy p-adic 2.1.1. Một số khái niệm và tính chất cơ bản về dãy nội suy p-adic Trước khi đi vào khái niệm, ta chứng minh mệnh đề sau: 2.1.1.1. Mệnh đề Tập hợp các số tự nhiên  trù mật trong p . Chứng minh Với mọi px∈ , giả sử x có biểu diễn p-adic dạng 0 1 ... ... n nx a a p a p= + + + + với { }0,1,..., 1ia p∈ − Khi đó, với mỗi số tự nhiên n, ta xét 0 1 ... nn nx a a p a p= + + + . Rõ ràng nx ∈ và 1 1 ... n n n np p x x a p p+ −+− = + < nên lim nn x x→∞ = . Mệnh đề được chứng minh.  Từ mệnh đề 2.1.1.1 ta có nhận xét: 2.1.1.2. Nhận xét Nếu 1 2, ,...a a là dãy các phần tử của p thì tồn tại nhiều nhất một hàm : p pf →  liên tục sao cho ( ) nf n a= , với mọi n∈ . Chứng minh Nhận xét này được suy ra từ mệnh đề 2.1.1.1 và một kết quả trong tôpô: Cho X, Y là các không gian metric. , :f g X Y→ là hai hàm liên tục. Giả sử A X⊂ trù mật trong X. Khi đó nếu | |A Af g= thì f g= .  Qua nhận xét trên, ta thấy rằng nếu cho trước 1 2, ,...a a là dãy các phần tử của p thì có nhiều nhất một hàm : p pf →  liên tục sao cho ( ) nf n a= , với mọi n∈ . Nhưng một câu hỏi đặt ra là liệu có luôn tồn tại một hàm f có tính chất như vậy không? Ta có định nghĩa sau: 2.1.1.3. Định nghĩa 13 Dãy 1 2, ,...a a các phần tử của p gọi là nội suy p-adic nếu tồn tại một hàm : p pf →  liên tục sao cho ( ) nf n a= , với mọi n∈ . Ta sẽ thay thế định nghĩa 2.1.1.3 bằng một định nghĩa khác dễ hình dung hơn thông qua định lý sau : 2.1.1.4. Định lý Dãy 1 2, ,...a a các phần tử của p là dãy nội suy p-adic khi và chỉ khi ánh xạ : p n g n a →   liên tục đều. Chứng minh  Điều kiện cần Giả sử dãy 1 2, ,...a a là dãy nội suy p-adic, tức là tồn tại hàm : p pf →  liên tục sao cho ( ) nf n a= , với mọi n∈ . Do p là tập compact nên f liên tục đều trên p . Suy ra f liên tục đều trên  . Do đó | : ng f n a=   liên tục đều.  Điều kiện đủ Giả sử hàm g liên tục đều. Ta tìm cách xây dựng hàm : p pf →  liên tục mà |f g= . Với mỗi pX ∈ =  , tồn tại { } :n nx x X⊂ → . Vì g liên tục đều trên  nên ( ) ( ) ( )0, , , : (*)p px y x y g x g y∀ε > ∃δ = δ ε ∀ ∈ − < δ⇒ − < ε Vì nx X→ nên tồn tại ( ) : ,n pN N x X n N= δ − < δ ∀ ≥ Do đó với , :n m N≥ ( ) ( ) ( )max ,m n m n m np p ppx x x X X x x X x X− = − + − ≤ − − < δ Nên theo (*), ta có ( ) ( )m n pg x g x− < ε . 14 Như vậy, ta đã chứng minh ( ){ }ng x là dãy Cauchy trong p mà p đầy đủ nên tồn tại ( )lim nnL g x→∞= . Giả sử có { } ,n nx x X′ ′⊂ → , suy ra { } 0n nx x′− → . Do g liên tục đều nên ( ) ( ){ } 0n ng x g x′− → . Do đó ( )lim nnL g x→∞ ′= . Bây giờ, ta định nghĩa : p pf →  cho bởi ( ) ( )lim nnf X g x→∞= , ta đã chứng minh f được định nghĩa tốt và ta thấy rằng |f g= . Ta chỉ cần chứng minh f liên tục đều trên p . Lấy , pX Y ∈ thỏa pX Y− < δ (δ được xác định trong (*)) Do  trù mật trong p nên tồn tại { } { },n nx y ⊂  sao cho ,n nx X y Y→ → . Suy ra tồn tại ( )1 1 : ,n np pN N x X y Y= δ − < δ − < δ với mọi 1n N≥ . Khi đó ( ) ( ) ( ) ( )max , ,n n