Luận văn Hàm số lượng giác trong dạy học toán và Vật lý ở trường phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Duy Quang HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TRONG DẠY HỌC TOÁN VÀ VẬT LÝ Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Duy Quang HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TRONG DẠY HỌC TOÁN VÀ VẬT LÝ Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán Mã số: 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THỊ NGA Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu khoa học. Tất cả những trích dẫn trong luận văn này đều là chính xác và trung thực. LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Thị Nga, người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn tất cả các Thầy Cô bộ môn đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức cơ bản và rất thú vị về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn: - Ban Giám hiệu và các Thầy Cô, đồng nghiệp trong Trường THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa đã tạo điều kiện thuận lợi và luôn động viên, giúp đỡ để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình. - Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng SĐH Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học. - Ban Giám hiệu cùng các Thầy Cô trong tổ Toán Trường THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa, Trường THPT Lương Thế Vinh đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm. Lời cảm ơn chân thành xin được gửi đến tất cả các bạn cùng khóa, những người đã cùng tôi chia sẻ những buồn vui và những khó khăn trong suốt khóa học. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình đã luôn động viên và nâng đỡ tôi về mọi mặt. MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các chữ viết tắt Danh mục các bảng Danh mục các hình MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1 Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN PHỔ THÔNG ............................................................................................................ 6 1.1. Đường tròn lượng giác trong SGK Toán 10 ..................................................... 6 1.1.1. Sự xuất hiện và đặc trưng của đường tròn lượng giác ............................... 6 1.1.2. Mối liên hệ với chuyển động tròn đều ....................................................... 8 1.1.3. Các TCTH liên quan đến đường tròn lượng giác trong mối liên hệ với chuyển động tròn đều .................................................................................. 11 1.2. Hàm số lượng giác trong SGK Toán 11 ......................................................... 15 1.2.1. Định nghĩa các hàm số lượng giác ........................................................... 15 1.2.2. Mối liên hệ với chuyển động tròn đều và dao động điều hoà.................. 19 1.2.3. Các TCTH liên quan đến hàm số lượng giác trong mối liên hệ với chuyển động tròn đều và dao động điều hoà ..................................................... 21 Chương 2. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TRONG SÁCH GIÁO KHOA VẬT LÝ PHỔ THÔNG .................................................................................................... 31 2.1. Chuyển động tròn đều trong SGK Vật lý 10 .................................................. 31 2.1.1. Sự xuất hiện và đặc trưng của chuyển động tròn đều .............................. 31 2.1.2. Mối liên hệ với đường tròn lượng giác .................................................... 32 2.1.3. Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến chuyển động tròn đều trong mối liên hệ với đường tròn lượng giác...................................................................... 33 2.2. Dao động điều hoà trong SGK Vật lý 12 ....................................................... 38 2.2.1. Sự xuất hiện và đặc trưng của dao động điều hoà ................................... 38 2.2.2. Mối liên hệ với hàm số lượng giác .......................................................... 42 2.2.3. Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến dao động điều hoà trong mối liên hệ với hàm số lượng giác ................................................................................... 45 Chương 3. THỰC NGHIỆM .................................................................................. 54 3.1. Mục đích thực nghiệm .................................................................................... 54 3.2. Hình thức thực nghiệm ................................................................................... 54 3.3. Phân tích tiên nghiệm các câu hỏi thực nghiệm ............................................. 55 3.3.1. Hệ thống câu hỏi thực nghiệm (xem phụ lục số 1) .................................. 55 3.3.2. Phân tích các câu hỏi ............................................................................... 57 3.4. Phân tích hậu nghiệm ..................................................................................... 60 3.5. Kết luận thực nghiệm của giáo viên ............................................................... 66 3.6. Mục đích thực nghiệm .................................................................................... 67 3.7. Hình thức thực nghiệm ................................................................................... 67 3.8. Phân tích tiên nghiệm các câu hỏi thực nghiệm ............................................. 67 3.8.1. Hệ thống câu hỏi thực nghiệm (xem phụ lục số 2) .................................. 67 3.8.2. Phân tích a priori bộ câu hỏi thực nghiệm học sinh ................................ 69 3.9. Phân tích hậu nghiệm ..................................................................................... 76 3.10. Kết luận thực nghiệm của học sinh .............................................................. 84 KẾT LUẬN .............................................................................................................. 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 89 PHỤ LỤC DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT bt : Bài tập EM10 : Sách bài tập đại số 10 nâng cao EM11 : Sách bài tập đại số và giải tích 11 nâng cao EP10 : Sách bài tập vật lí 10 nâng cao EP12 : Sách bài tập vật lí 12 nâng cao GM10 : Sách giáo viên đại số 10 nâng cao GM11 : Sách giáo viên đại số và giải tích 11 nâng cao GP10 : Sách giáo viên vật lí 10 nâng cao GP12 : Sách giáo viên vật lí 12 nâng cao GV : Giáo viên HS : Học sinh M10 : Sách giáo khoa đại số 10 nâng cao M11 : Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao P10 : Sách giáo khoa vật lí 10 nâng cao P12 : Sách giáo khoa vật lí 12 nâng cao TCTH : Tổ chức toán học THCS : Trung học cơ sở THPT : Trung học phổ thông tr : Trang SBT : Sách bài tập SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1. Thống kê số lượng bài toán liên quan thực tế ứng với các kiểu nhiệm vụ ở M10 ................................................................................................... 14 Bảng 1.2. Thống kê số lượng bài toán liên quan đến hàm số lượng giác trong mối liên hệ với chuyển động tròn đều và dao động điều hoà .................. 27 Bảng 1.3. Thống kê số lượng bài toán thực tế liên quan đến Vật lý trong đó mô hình Toán học biểu diễn hàm điều hòa đã được cho trước trong chương I của M11 ..................................................................................... 29 Bảng 2.1. Thống kê sự xuất hiện của các khái niệm bán kính, chu kì, tần số, tốc độ góc, tốc độ dài có trong các đáp án ..................................................... 33 Bảng 2.2. Thống kê số lượng bài toán tự luận ứng với các kiểu nhiệm vụ ở P10 và EP10 ..................................................................................................... 38 Bảng 2.3. Thống kê sự xuất hiện của các đặc trưng li độ, vận tốc, gia tốc, pha, lực tác dụng, chiều dao động ................................................................... 45 Bảng 2.4. Thống kê số lượng bài toán tự luận ứng với các kiểu nhiệm vụ ở P12 và EP12 ..................................................................................................... 51 Bảng 3.1. So sánh các đặc trưng của đề 1 và đề 2 ................................................... 59 Bảng 3.2. Chiến lược và lời giải có thể quan sát được trong câu 3 của thực nghiệm học sinh ....................................................................................... 73 Bảng 3.3. Thống kê câu trả lời của học sinh trong câu hỏi 1 phần thực nghiệm học sinh .................................................................................................... 76 Bảng 3.4. Thống kê chiến lược của học sinh sinh trong câu hỏi 1 phần thực nghiệm học sinh ....................................................................................... 76 Bảng 3.5. Thống kê câu trả lời của học sinh trong câu hỏi 2 phần thực nghiệm học sinh .................................................................................................... 77 Bảng 3.6. Thống kê chiến lược của học sinh trong câu hỏi 2 phần thực nghiệm học sinh .................................................................................................... 77 Bảng 3.7. Thống kê chiến lược của học sinh trong câu hỏi 3 phần thực nghiệm học sinh .................................................................................................... 78 DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 3.1. Guồng nước đang quay ............................................................................ 68 1 y O M P Q N I m wt + H y = Asin(wt + m) t tB MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát Lượng giác là một trong các chủ đề toán học quan trọng và có nhiều ứngdụng trong ngành vật lý. Ở Việt Nam, lượng giác cũng được đưa vào giảng dạy trong chương trình Toán phổ thông hiện hành theo thứ tự cụ thể: lượng giác “trong tam giác” được đưa vào giảng dạy ở lớp 9, lượng giác “trong đường tròn” được giảng dạy ở lớp 10 và lượng giác “trong hàm số” được dạy ở lớp 11. Tuy nhiên, cách tiếp cận của sách giáo khoa Việt Nam trong các giai đoạn giảng dạy trên còn thiên nhiều về toán học, chưa có các bài toán thực tế để học sinh thấy được ứng dụng của lượng giác. Trong khi đó, hàm số lượng giác lại có mối liên hệ chặt chẽ với chuyển động tròn đều và dao động điều hòa trong Vật lý như sau : Sự chuyển động của con lắc lò xo quanh vị trí cân bằng là một dao động điều hòa của một điểm trên một đoạn thẳng. Từ đó có thể xem điểm đó là hình chiếu của một điểm tương ứng chuyển động tròn đều lên đường kính là đoạn thẳng đó. Từ đây khi ta biểu diễn độ lệch của vật ra khỏi vị trí cân bằng theo thời gian thì ta sẽ có được đường biểu diễn hình sin. Nhận xét trên có thể được mô tả bằng việc xét hệ thống hai hệ trục toạ độ như hình sau: Ở đây hai hệ trục toạ độ là vuông góc, tia It nằm trên đường thẳng OB. M là điểm chuyển động tròn đều với vận tốc góc w và chiều chuyển động là chiều ngược chiều kim đồng hồ. Quỹ đạo của nó là đường tròn tâm O, bán kính A với điểm B là điểm gốc trên đường tròn ấy. 2 Tại một thời điểm t bất kì, góc giữa OM  và OB  là wt m+ , trong đó m là giá trị vào lúc 0t = của wt m+ . Khi đó nếu gọi H là hình chiếu của điểm M lên đường thẳng OP thì sin( )OH A wt m= + . Đồng thời nếu trong hệ toạ độ Ity, trục It là trục biểu diễn thời gian và trục Iy là trục biểu diễn giá trị OH thì khi đó đồ thị chúng ta nhận được trong hệ Ity là một đường hình sin. Việc làm này cũng phù hợp với phát biểu về mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều được nêu trong sách giáo khoa Vật lý lớp 12 trang 59 như sau: “Điểm P dao động điều hoà trên trục Ox với biên độ A và tần số góc ω có thể coi như hình chiếu lên Ox của một điểm M chuyển động tròn đều tốc độ góc ω trên quỹ đạo tròn bán kính A, Ox trùng với một đường kính của quỹ đạo.” Như vậy chúng ta có thể thấy là với khái niệm hàm số lượng giác thì tồn tại một mối liên hệ nhất định giữa Toán và Lý. Chính điều này làm cho chúng tôi đặt ra các câu hỏi ban đầu sau đây: Mối quan hệ liên môn giữa Toán và Lý trong chủ đề hàm số lượng giác thể hiện trong SGK THPT như thế nào? Rất rõ ràng hay mờ nhạt? Cách trình bày của sách giáo khoa ảnh hưởng như thế nào đến ứng xử của giáo viên và học sinh khi dạy - học các tri thức lượng giác? Những câu hỏi này đã lôi cuốn và dẫn chúng tôi đến việc cần phải nghiên cứu sâu sắc cách tiếp cận tri thức lượng giác không những trong sách giáo khoa (SGK) mà còn trong việc giảng dạy. Trong phạm vi của một luận văn thạc sĩ, để đảm bảo tính khả thi, chúng tôi chọn chủ đề nghiên cứu của mình tập trung vào việc tìm kiếm những mối liên quan giữa Toán và Lý trong chủ đề hàm số lượng giác ở bậc trung học phổ thông. Việc lựa chọn này xuất phát từ lý do: - Tri thức lượng giác “trong hàm số” luôn được ưu tiên đề cập trong cả hai bộ sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11 (ban nâng cao và cơ bản) ở Việt Nam. - Chủ đề hàm giữ vai trò chủ đạo xuyên suốt chương trình môn Toán ở trường phổ thông tại Việt Nam, 3 - Giáo viên và học sinh thường gặp khó khăn khi dạy - học những tri thức liên quan đến lượng giác “trong hàm số”. - Các hiện tượng vật lý liên quan đến hàm số lượng giác xuất hiện rất nhiều trong sách giáo khoa Vật lý lớp 12 Việt Nam. 2. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu Mục đích nghiên cứu của luận văn này là tìm kiếm những mối quan hệ liên môn Toán - Lý trong lượng giác xuất hiện ở chương trình trung học phổ thông và nghiên cứu sự ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế đó lên mối quan hệ cá nhân của giáo viên và học sinh. Để thực hiện mục đích nghiên cứu trên, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi didactic toán. Cụ thể, chúng tôi vận dụng các khái niệm mối quan hệ thể chế, mối quan hệ cá nhân, tổ chức toán học để thực hiện nghiên cứu của mình. Trong phạm vi didactic với các khái niệm công cụ đã chọn, các câu hỏi cấu thành nên mục đích nghiên cứu của chúng tôi được trình bày lại như sau: Câu 1: Sự xuất hiện và đặc trưng của đường tròn lượng giác và hàm số lượng giác trong chương trình Toán bậc trung học phổ thông như thế nào? Có sự liên hệ nào giữa hai khái niệm này với khái niệm chuyển động tròn đều và dao động điều hòa trong chương trình Vật lý bậc trung học phổ thông? Câu 2: Sự xuất hiện và đặc trưng của chuyển động tròn đều và dao động điều hòa trong chương trình Vật lý bậc trung học phổ thông như thế nào? Có sự liên hệ nào giữa hai khái niệm này với khái niệm đường tròn lượng giác và hàm số lượng giác trong chương trình Toán bậc trung học phổ thông? Câu 3: Sự ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế đến mối quan hệ cá nhân của giáo viên và học sinh khi dạy và học đường tròn lượng giác và hàm số lượng giác như thế nào? 3. Phương pháp và tổ chức nghiên cứu Chúng tôi sẽ lần lượt triển khai các nhiệm vụ sau: Ξ Thứ nhất: Thông qua nghiên cứu chương trình trung học phổ thông, chúng tôi sẽ làm rõ cách thức tiếp cận tri thức lượng giác trong giai đoạn đường tròn và giai đoạn hàm số qua các cấp học. 4 Ξ Thứ hai: Bằng sự nghiên cứu sâu các sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên Toán và Vật lý, chúng tôi sẽ chỉ ra các kiểu nhiệm vụ liên quan giữa hai phân môn này. Từ đó chỉ ra được đặc trưng của mối quan hệ liên môn Toán - Lý trong lượng giác ở trung học phổ thông. Ξ Thứ ba: Nghiên cứu sự ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế đến mối quan hệ cá nhân của giáo viên và học khi dạy và học đường tròn lượng giác và hàm số lượng giác thông qua hai thực nghiệm được tiến hành trên cả hai đối tượng giáo viên và học sinh. 4. Cấu trúc của luận văn Dựa vào phương pháp luận nghiên cứu nêu trên, cấu trúc luận văn của chúng tôi gồm 5 phần: Phần mở đầu, chương 1, chương 2, chương 3 và phần kết luận. Ψ Trong phần mở đầu, chúng tôi trình bày lý do chọn đề tài, câu hỏi xuất phát, phạm vi lý thuyết tham chiếu, mục đích nghiên cứu của đề tài, phương pháp, tổ chức nghiên cứu và cấu trúc của luận văn. Ψ Trong chương 1, chúng tôi phân tích SGK Toán 10 phần đường tròn lượng giác để so sánh liên hệ với chuyển động tròn đều trong sách giáo khoa Vật lý 10 và SGK Toán 11 phần hàm số lượng giác để so sánh liên hệ với dao động điều hoà trong sách giáo khoa Vật lý 12. Ψ Trong chương 2, chúng tôi phân tích SGK Vật lý 10 và SGK Vật lý 12 trong mối quan hệ như trên. Việc tiến hành tổng hợp kết quả ở chương 1 và chương 2 sẽ cho phép chúng tôi đề xuất các câu hỏi mới và giả thuyết nghiên cứu liên quan đến mối quan hệ cá nhân của giáo viên và học sinh đối với kiến thức lượng giác trong chương trình trung học phổ thông. Ψ Trong chương 3, chúng tôi trình bày các thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính thoả đáng của những giả thuyết nghiên cứu, tìm câu trả lời cho những câu hỏi mới. Ψ Trong phần kết luận, chúng tôi tóm tắt những kết quả đạt được ở ba chương trên, đồng thời nêu ra hướng mở rộng nghiên cứu cho luận văn. 5 Cấu trúc luận văn được sơ đồ hóa như sau : Mở đầu Chương 1 Chương 2 Chương 3 Kết luận 6 Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN PHỔ THÔNG Mục tiêu của chương Chương này có mục tiêu làm rõ đặc trưng của khái niệm đường tròn lượng giác và hàm số lượng giác. Cụ thể hơn, qua việc phân tích SGK Toán, Vật lí ở bậc trung học phổ thông, chúng tôi cố gắng làm rõ tiến trình, cách thức đưa vào các khái niệm đường tròn lượng giác, hàm số lượng giác, cũng như đặc trưng của chúng. Song song đó chúng tôi cũng tìm kiếm sự nối khớp giữa các khái niệm và đặc trưng toán học này với chuyển động tròn đều và dao động điều hoà. Ở đây để có một sự phân tích chuyên sâu, chúng tôi chỉ tập trung phân tích SGK lớp 10, 11 ban nâng cao thay vì phân tích SGK của cả 2 ban (cơ bản và nâng cao). 1.1. Đường tròn lượng giác trong SGK Toán 10 Trong M10, chương 6 – Góc lượng giác và công thức lượng giác bao gồm: Bài 1: Góc và cung lượng giác Bài 2: Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác Bài 3: Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt Bài 4: Một số công thức lượng giác Mục tiêu của chương về kĩ năng liên quan đến đường tròn lượng giác là: “Giúp học sinh biết cách xác định điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn số thực α , từ đó xác định sin ,cos , tan ,cotα α α α (dấu, ý nghĩa hình học, giá trị bằng số) và mối liên quan giữa chúng.” [11, tr.241] 1.1.1. Sự xuất hiện và đặc trưng của đường tròn lượng giác Khái niệm đường tròn lượng giác hoàn chỉnh được xây dựng dựa vào ba bước chính là chọn chiều quay, đường tròn định hướng và đường tròn lượng giác được trải dài trong phần 2 của bài 1 cho đến phần 1 của bài 2. Như vậy chúng ta có thể thấy M10 đưa ra việc xây dựng khái niệm đường tròn lượng giác rất sớm vì tất cả các phần liên quan phía sau như giá trị lượng giác sin, côsin, tang, côtang đều cần khái niệm này. 7 Việc chọn chiều quay được M10 lồng ghép vào phần khảo sát việc quay của tia Om quanh O: “Để khảo sát việc quay tia Om quanh điểm O, ta cần chọn một chiều quay gọi là chiều dương. Thông thường, ta chọn đó là chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ (và chiều quay của kim đồng hồ gọi là chiều âm)” [10, tr.186] Như vậy M10 đã gần như mặc định chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ để phù hợp với tất cả các khái niệm dẫn xuất phía sau. Tiếp theo M10 xây dựng khái niệm đường tròn định hướng như sau: “Vẽ một đường tròn tâm O bán kính R. Nếu tia Om cắt đường tròn tại M thì việc cho tia Om quay quanh O cũng có nghĩa là cho điểm M chạy trên đường tròn đó. Chiều quay của tia Om cho ta chiều di động của điểm M trên đường tròn: chiều dương